HISTÓRIA-DA-MATEMÁTICA-DIAGRAMADA

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História da 
Matemática 
 
 
 02 
 
 
 
1. A Origem da Noção de Número 4 
 
2. Origens da Matemática 10 
 
3. A Matemática na Antiguidade Clássica 17 
 
4. O Nascimento do Método Dedutivo e a Geometria de 
Euclides 23 
 
5. A Matemática Grega após Euclides 30 
 
6. Referências Bibliográficas 37 
 
 
 03 
 
 
 
 
 
 4 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
1. A Origem da Noção de Número 
 
 
Fonte: www.gazetadopovo.com.br1 
 
ocê já percebeu como os núme-
ros são importantes em nossa 
vida? Diariamente, e a todo mo-
mento, estamos pensando em quan-
tidades numéricas, seja para fazer 
uma medida, seja para fazer um pa-
gamento, seja, até mesmo, para ver 
as horas. Este tópico conta um 
pouco da história dos números. Faça 
uma leitura atenta e comece a enten-
der de que maneira diversos povos 
criaram seus símbolos para repre-
sentar as quantidades. 
Você já parou para pensar em 
como surgiram os números? Em al- 
 
1 Retirado em www.gazetadopovo.com.br 
guns momentos da história antiga, 
quando os seres humanos percebe-
ram a necessidade de organizar seu 
dia a dia, surgiu também a necessi-
dade de contar. Acredita-se que, 
bem antes da criação dos números, 
essa contagem era feita de forma ru-
dimentar, com a utilização de obje-
tos, como pedras. Conta a história 
que, no pastoreio, cada ovelha era 
representada por uma pedrinha que 
seu dono guardava em um recipi-
ente, tal qual um saco de couro. As-
sim, ao final de um dia, o pastor con-
seguia identificar se estava faltando 
V 
 
 
5 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
ou até mesmo sobrando alguma ove-
lha no seu rebanho, fazendo uma re-
lação de um para um damos o nome 
de correspondência biunívoca. Caso 
houvesse uma ovelha a mais no re-
banho, bastava acrescentar uma pe-
drinha no saco; quando uma ovelha 
morria, bastava retirar uma pedri-
nha do saco. 
 
 
Fonte: super.abril.com.br 
 
Outros tipos de marcação, en-
tretanto, sugerem essa noção biuní-
voca, como no caso de desenhos em 
cavernas, cortes em pedaços de ma-
deira ou ossos e mesmo nós em 
corda, os quais indicam a marcação 
de quantidades. 
O homem jamais parou de 
evoluir. No início, sua sobrevivência 
era garantida por aquilo que a natu-
reza oferecia em quantidade e abun-
dância, como frutas, peixes e caça. 
Levava, portanto, vida nômade. De-
pois, sentindo a necessidade de viver 
em sociedade, passou à vida seden-
tária e, tendo local fixo da moradia, 
percebeu que precisava produzir a 
própria alimentação. 
Surgiram, assim, os primeiros 
povoados e, com eles, a necessidade 
de registrar as quantidades de pes-
soas, de animais, de alimentos, entre 
outras. 
Cada povo passou, então, a re-
presentar essas quantidades com 
símbolos próprios, dando origem à 
escrita numérica e aos diferentes sis-
temas de numeração. 
Os egípcios, por exemplo, re-
presentavam os algarismos de 1 a 9 
por traços verticais, com uma lógica 
representativa.A partir do número 
10, as representações eram diferen-
tes. Para representar o número 10, 
os egípcios utilizavam o símbolo ∩. 
Esse símbolo representa um calca-
nhar. Dez calcanhares, que valem 
100, eram representados por uma 
espiral que significava um rolo de 
corda. Dez espirais, que valem 1000, 
eram representadas por um novo 
símbolo, que era a figura da flor de 
lótus.Resumidamente, os símbolos 
utilizados pelos egípcios para com-
por seu sistema de numeração estão 
indicados no quadro a seguir. 
 
 
Fonte: Teoria dos números e teoria 
dos conjuntos 
 
 
6 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
Cada sistema de numeração 
tem regras próprias, que permitem a 
representação de qualquer número. 
Os maias, por sua vez, tinham 
o ponto e o traço para a representa-
ção dos números. Trata-se de um 
sistema de numeração vigesimal, ou 
seja, sua base é 20. O zero é repre-
sentado por uma concha. De 20 em 
diante os números têm seus algaris-
mos escritos na vertical e são lidos 
de cima para baixo. 
Os romanos, por sua vez, utili-
zavam combinações de diferentes 
símbolos para a representação de 
seu sistema de numeração. Veja a ta-
bela a seguir: 
 
Representação dos algarismos de 1 a 10 pelos romanos 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 
I II III IV V VI VII VIII IX X 
 
O sistema de numeração ro-
mano, mais sofisticado, é composto 
pelas letras I, V, X, L, C, D, M, todas 
maiúsculas. O valor que cada uma 
das letras representa está indicado a 
seguir: 
 I...............1 
 V...............5 
 X...............10 
 L...............50 
 C...............100 
 D...............500 
 M...............1000 
 
Para a representação de nú-
meros romanos, é necessário conhe-
cer algumas regras: 
 
a. A letra que está à direita de 
outra de maior valor é so-
mada. 
Exemplo: LX = 60 
 
b. A letra que está à esquerda 
de outra de maior valor é subtraída. 
Exemplo: XL = 40 
 
c. Somente três letras podem 
se repetir e no máximo três vezes. 
São elas: I, X, C. 
Exemplo: XXX = 30 
 
d. As letras X, L, C, D, M são 
somadas quando colocadas lado a 
lado. 
Exemplo: MDCL = 1000 + 500 + 
100 + 50 = 1650 
e. A letra que está entre duas 
de maior valor tem o seu valor sub-
traído da letra que está à direita. 
Exemplo: CXL = 140. 
 
 
 
7 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
f. Quando há um traço 
acima de uma ou mais letras, o valor 
destas é multiplicado por mil. 
Exemplos: LX = 60000 
 M = 1000000 
 
E nós, brasileiros, que sistema 
de numeração utilizamos? 
Nós representamos os núme-
ros com a utilização do sistema indo-
arábico. 
Por que tem esse nome? 
Porque foi um sistema inven-
tado pelos hindus, no século V, com 
apenas nove símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9. Somente no final do século VI 
foi introduzido o décimo, o zero. 
Mais tarde, no século VIII, os árabes 
adotaram esse sistema e o difundi-
ram pelo mundo, a partir da sua uti-
lização pelos povos que dominaram. 
O sistema de numeração indo-ará-
bico é também conhecido como sis-
tema decimal de numeração, por 
constituir-se de dez símbolos para a 
representação de qualquer número. 
São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
Há relatos de que a designação 
de decimal se dá pelo fato de nossas 
duas mãos, juntas, apresentarem 
dez dados e as pessoas fazerem uso 
deles para pequenas contagens. 
Lembra-se do sistema maia, 
com base 20? Acredita-se que a base 
dos maias era vigesimal pelo fato de 
utilizarem os dedos dos pés e os de-
dos das mãos para a contagem. 
O sistema de numeração 
usado no Brasil, o sistema decimal, é 
posicional. Isso significa que um 
mesmo algarismo pode assumir di-
ferentes valores, dependendo da po-
sição que ele ocupa no numeral. 
Cada posição ocupada por um alga-
rismo é chamada de ordem. 
Assim dizemos que o alga-
rismo de primeira ordem se deno-
mina unidade simples, o de se-
gunda, dezena simples e o de ter-
ceira, centena simples. Observe a re-
presentação dessas ordens a seguir: 
 
Organização dos algarismos em ordens 
3º ordem 2ª ordem 1ª ordem 
Centenas 
simples 
Dezenas 
simples 
Unidades 
simples 
 
Preste bastante atenção: a pri-
meira ordem é representada na po-
sição mais à direita do número. Por 
exemplo, o número 839 tem 9 uni-
dades simples, 3 dezenas simples e 8 
centenas simples. A dezena é com-
posta por 10 dez unidades, e cada 
centena é composta por 10 dezenas, 
ou seja, 100 unidades. 
Assim, o número 839 é igual a 
800 + 30 + 9, que é o resultado das 
seguintes operações: 
8 . 100 + 3 . 10 + 9. 
A cada três ordens, temos o 
que chamamos de classe. Assim, 
 
 
8 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
quando um número tem mais de três 
algarismos, temos mais de uma 
classe. A primeira classe é a das uni-
dades simples, a segunda classe é a 
dos milhares, a terceira classe é a 
dos milhões, a quarta classe é a dos 
bilhões, a quinta classe é a dos tri-
lhões e assim sucessivamente. Ob-
serve a tabela a seguir:Organização dos algarismos em classes e ordens 
3ª classe 
(Milhões) 
2ª classe 
(Milhares) 
1ª classe 
(Unidades simples) 
9ª ordem 8ª or-
dem 
7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª or-
dem 
3ª ordem 2ª or-
dem 
1ª ordem 
 
Centenas 
de milhão 
Dezenas 
de mi-
lhão 
Unidades 
de milhão 
Cente-
nas de 
milhar 
Dezenas 
de milhar 
Unida-
des de 
milhar 
Cente-
nas sim-
ples 
Dezenas 
simples 
Unidades 
simples 
 
 
Como exemplo, analisemos o 
número 47321108 (lê-se “quarenta e 
sete milhões, trezentos e vinte e um 
mil cento e oito”). Esse número tem 
3 classes e 8 ordens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
2. Origens da Matemática 
 
 
Fonte: super.abril.com.br2 
 
o Mesolítico, pelo menos há 
6000 anos antes da nossa era, 
existia já uma arte, que só podia re-
sultar do conhecimento muito pre-
ciso da geometria. 
A partir de meados do IV milê-
nio antes da nossa era, começou a 
florescer, em algumas regiões do 
mundo antigo, uma arquitetura mo-
numental, constituída por grandes 
blocos de pedra conhecidos por ma-
gálitos. A palavra megálito deriva do 
grego, de mega, que significa grande 
 
2 Retirado em super.abril.com.br 
e de lithos que significa pedras. Es-
tas construções grandiosas vão de 
simples blocos compridos, implan-
tados verticalmente no solo, aos de-
signados menirs ou menhirs, aos ali-
nhamentos e aos cromeleques, no 
último caso quando os blocos se 
agrupam em círculo. Outra família 
de megálitos são os dólmenes, antes 
ou orcas, que são túmulos coletivos. 
Outras sepulturas colossais são as 
pirâmides, e os zigurates também 
com a função de templos. 
N 
 
 11 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
Há presentemente referência a 
megálitos admiráveis, como as pirâ-
mides do Egito, da China e da Amé-
rica Central, bem como grandes me-
gálitos na Europa Ocidental. A idade 
de construção destes megálitos varia 
entre 3500 e 1500 anos antes da 
nossa era. Entre eles sobressai a 
Grande Pirâmide de Quéops, no 
Egito, e Stonehenge na Grã-Breta-
nha. A Pirâmide de Quéops ocupa 
uma área de cinco hectares, com 
cento e quarenta e seis metros de al-
tura inicialmente, com duzentos e 
vinte e oito metros de lado e com seis 
milhões e meio de toneladas de pe-
dra. Stonehenge é um megálito for-
mado por círculos concêntricos de 
pedra, alguns com mais de vinte to-
neladas de peso, construído na pla-
nície de Salisbury. Foi construído 
em três etapas entre 2100 e 1600 
anos a.C. Na opinião de vários cien-
tistas, como o astrônomo Hawkins, 
as pedras encontram-se colocadas 
de modo tão sofisticado e enge-
nhoso, que se torna possível a sua 
utilização como gigantescas calcula-
doras, verdadeiros computadores 
megalíticos, com o objetivo de pre-
ver o nascimento do Sol e da Lua, o 
que é de enorme utilidade para um 
povo de agricultores, e também 
fonte de prestígio para a classe do-
minante. 
Recentemente, arqueólogos 
descobriram o maior templo da 
Idade da Pedra na Europa, em Stan-
ton Drew, de forma circular, com 
noventa e cinco metros de diâmetro, 
portanto, seis vezes maior que a 
construção de Stonehenge. Pense-se 
que o templo teria dez metros de al-
tura e teria sido construído há cerca 
de 5.000 anos. 
Os cerca de cinquenta mil mo-
numentos megalíticos agora conhe-
cidos na Europa Ocidental são ape-
nas uma parte dos que devem ter 
existido no apogeu da civilização 
megalítica. Sabe-se que muitos fo-
ram destruídos ao longo do tempo 
por tempestades, erosão, aluimen-
tos de terras e também por atos deli-
berados, por questões religiosas. 
Muitos ainda apresentam cruzes e 
foram destruídos por cristãos por os 
considerarem obra do demônio e, 
por isso, a sua destruição seria meri-
tória. Outros foram destruídos, para 
utilização das pedras, como alguns 
em Averbury, no sul da Inglaterra, 
para dar lugar às construções das 
povoações circundantes. 
Nas Américas, só no México 
calcula-se que existam cerca de cem 
mil pirâmides, ou melhor, pirâmides 
truncadas, idênticas aos zigurates da 
Suméria, por descobrir, cobertas por 
vegetação densa. 
Não há dúvida, contudo, de 
que tanto a construção destes mega-
líticos como das pirâmides exigia, já 
nesse tempo, medições cuidadas e 
 
 12 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
precisas, e a construção de figuras 
geométricas, Era necessário a esses 
construtores um profundo conheci-
mento de Geometria. 
Estas construções da América 
Latina, Mesopotâmia, Ásia, Egito e 
Europa são testemunhos mais que 
evidentes que esta Geometria era 
praticada por todos estes povos na 
época. 
O lugar de origem da Matemá-
tica, muito provavelmente, foi o vale 
compreendido entre os rios Tigre e 
Eufrates, a terra dos sumérios e dos 
babilônios, que inventaram a escrita 
cuneiforme e desenvolveram uma 
das civilizações mais avançadas do 
nosso planeta. 
Pelas escavações arqueológi-
cas, já que são escassos os documen-
tos escritos, sabe-se que os sumérios 
dominavam uma cultura muito 
avançada, com a construção de um 
sistema de canais invejável. Quanto 
à urbanização, as casas eram plane-
adas, a construção obedecia a regras 
e eram rodeadas por jardins, onde a 
água era levada por um sistema de 
canais que assegurava a umidade. O 
sistema social e a organização do Es-
tado eram um dos mais evoluídos. A 
legislação tem por funções fazer pre-
valecer a justiça, impedir que os for-
tes oprimam os fracos, fazer progre-
dir o país e providenciar no sentido 
do bem-estar crescente do povo. 
Quem nunca ouviu falar do célebre 
Código de Hamurabi, rei dos babilô-
nios? Quem poderá discordar de um 
dos seus princípios? Juntamente 
com estes princípios de ordem, jus-
tiça social e bem-estar, deu-se o de-
senvolvimento econômico e cientí-
fico, o que levou a um grande avanço 
da civilização nesta parte do mundo. 
Com o estabelecimento da su-
premacia dos babilônios, durante a 
dinastia Hamurabi, cerca de 1950 
anos antes da nossa era, a cidade 
transformou-se rapidamente num 
grande centro comercial e como re-
sultado verificou-se, também, um 
melhoramento do sistema de nume-
ração, que foi emergindo gradual-
mente. 
A Aritmética dos babilônios ti-
nha duas bases: o 10 (dez) e o 60 
(sessenta). A base 10 teve origem na 
observação dos dedos das mãos e a 
base 60 relaciona-se com as obser-
vações astronômicas. Os babilônios 
consideravam o ano dividido em 
360 dias e, por isso, dividiam, tam-
bém, a circunferência em 360 graus. 
Pensa-se que aprenderam a medir o 
tempo, medindo a sombra de um 
pauzinho, projetado no terreno. Di-
vidiam a área que continha a sombra 
em ângulos iguais entre si. A partir 
daí, construíam triângulos equiláte-
ros e obtinham, assim, ângulos de 
60 graus. A escolha do 6, como divi-
sor da circunferência e divisor do 
tempo, correspondente a um dia, foi 
 
 13 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
rápida. Mas o número 6 foi conside-
rado insuficiente e através da combi-
nação com a base 10 chegou-se ao 
número 60. Este número, também 
combinado com o número 6, che-
gava de novo ao número 360. E es-
tabeleceram que a circunferência do 
círculo é seis vezes o raio do círculo. 
Em 1889, foram encontradas 
em Nuffar cerca de cinquenta mil 
bronzes com tabelas de multiplica-
ção dos números inteiros até 
180.000. Foram também encontra-
das tabelas de divisão em caracteres 
cuneiformes até o número 12.960. 
Estes povos chegaram a escrever nú-
meros enormes, tal como o que 
achegou até nós, 
195.955.500.000.000. 
Os babilônios conheciam as 
séries geométricas e aritméticas e ti-
nham já alguns conhecimentos no 
nível das proporções. O seu conheci-
mento de Geometria parece ter sido 
confinado a regras isoladas, úteis na 
Astronomia e na construção. Cons-
truíram canais eficientes para o con-
trole dasinundações, e foi pelos co-
nhecimentos sobre Geometria Apli-
cada que este povo pôde construir a 
arquitetura espetacular do Palácio 
de Bel, com os seus jardins suspen-
sos. 
De uma maneira geral, acre-
dita-se que a Geometria Aplicada te-
nha nascido nas margens do Nilo. 
Alguns investigares referem que, no 
antigo Egito, que erigiu pirâmides 
colossais, esta ciência tivera também 
origem na Babilônia. 
 
 
Fonte: BBC 
 
Aristóteles, filósofo grego, di-
zia que o Egito era o local do nasci-
mento das Matemáticas, porque, aí, 
a classe dos sacerdotes tinha tempo 
livre para se poder dedicar ao estudo 
e à investigação. A Geometria teria 
sido cultivada em solo egípcio. A 
inundação das terras pelo Nilo obri-
gava a esse conhecimento. Os docu-
mentos matemáticos mais antigos 
datam de 1700 anos a.C., estão com-
pilados em papiros de Ahmes. Mas o 
conhecimento egípcio sobre Geome-
tria é certamente muito anterior. 
Nesses documentos podem já ver-se 
as regras para a construção de figu-
ras planas e para a determinação das 
suas áreas. 
Os egípcios conseguiriam uma 
aproximação muito maior da razão 
da circunferência de um círculo, em 
relação ao seu diâmetro, do que os 
babilônios. Conheciam, o que era 
algo de enorme importância para a 
 
 14 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
construção de pirâmides, que os tri-
ângulos, cujos lados têm razões de 3, 
4 e 5, formam ângulos retos. Os pa-
piros de Ahmes mostram também 
que os egípcios já conseguiram re-
solver problemas de equações sim-
ples. 
Os antigos chineses não ti-
nham uma Álgebra literal, e todo o 
seu envolvimento com problemas al-
gébricos era fundamentado numa 
notação e procedimentos apropria-
dos, para a utilização de varetas de 
cálculo, instrumento que precedeu o 
conhecido suan pan, ou seja, o ábaco 
chinês. A dinastia Sung, fundada por 
um general chamado Chao Kuang-
Yn, desenvolveu a ciência e a tecno-
logia e foi nesse tempo que foi inven-
tado o ábaco chinês, antigo instru-
mento de cálculo, que ainda hoje é 
usado. Por volta do ano 100 a.C., 
usavam o triângulo aritmético para 
o cálculo aproximado de raízes qua-
dradas, cúbicas, etc. Chamavam ao 
triângulo aritmético sistema de ta-
bulação, que servia para descobrir 
coeficientes binomiais e encaixava-
se muito bem nesse sistema. Num 
dos livros Chineses mais antigos o 
Jiuzhang Suanshu, escrito creca do 
ano 100 a.C., o seu quarto capítulo é 
dedicado ao ensino do procedi-
mento da extração de raízes quadra-
das e cúbicas. 
 
 
 
Fonte: Revista Galileu 
 
Os espantosos conhecimentos 
adquiridos sobre Aritmética maia 
mostram uma capacidade enorme 
para um povo primitivo. Como 
acontece atualmente, a posição dos 
algarismos era fundamental na nu-
meração. Os mais possuíam um sis-
tema posicional mais sucinto do que 
é hoje utilizado. Usavam apenas três 
símbolos, que eram o ponto, o traço 
e a forma de uma espécie de concha, 
para representar o zero. Possuíam 
um sistema de base vinte e escre-
viam os números com vários algaris-
mos em colunas que se leem verti-
calmente de baixo para cima. Um 
número até vinte era representado 
por um único hieróglifo, combina-
ção de pontos e traços, correspon-
dendo cada ponto ao algarismo um, 
e cada traço ao algarismo cinco. Para 
as datas, forma sob a qual surgem os 
números mais extensos dos maias, o 
sistema de base vinte foi ligeira-
mente alterado para tornar mais fá- 
 
 
 
 15 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
cil a contagem dos anos. Todas as 
datações maias têm por base o nú-
mero de dias decorridos a partir do 
início do seu calendário, data essa 
que, de acordo com alguns investi-
gadores, corresponde a 11 de agosto 
de 3114 a.C. 
O sistema complexo matemá-
tico utilizado pelos mais teve como 
finalidade satisfazer o seu grande in-
teresse pela cronologia. A importân-
cia dada ao calendário é uma carac-
terística das sociedades marcadas 
pelas festas de índole agrícola e reli-
giosa, por meio das quais é necessá-
rio um conhecimento exato das esta-
ções e de período da máxima pluvio-
sidade, para a determinação da 
época das sementeiras e das colhei-
tas. O ano maia era constituído por 
dezoito meses de cinte dias cada um, 
mais cinco dias extras e designava-
se por haab. O período de 360 dias 
ou tun era a base do calendário, exis-
tindo ainda uma série de múltiplos. 
A Matemática indiana poderá 
ter-se inciada por volta de 2000 a.C., 
na região da Harappa e Mohenjo 
Daro. Era muito rudimentar e só 
com a invasão Ariana, por volta de 
1500 a.C. passou a resolver proble-
mas de maior complexidade. A Ma-
temática veda, era essencialmente 
geométrica, voltada para as constru-
ções de altares. Cerca do ano 600 
a.C., o vedismo deixa de ser domi-
nante e difundem-se outras religi-
ões, o hinduísmo e o janaísmo, am-
bas evidenciando uma atuação con-
tra os sacrifícios rituais védicos. 
A palavra jaina, que deriva do 
sânscrito significa vitorioso e aplica-
se aos que obtiveram a vitória sobre 
os desejos mundanos e que conse-
guiram controlar, pela vontade, os 
sentidos. Para se atingir essa perfei-
ção, os jainos passavam por um 
treino, sendo o estudo de Gani-
tanuyoga ou Matemática, o treino 
considerado mais adequado, mais 
nobre e mais eficaz. 
Nesse tempo, os livros eram 
feitos em folhas de palmeira, o que 
levou a que poucos deles chegassem 
aos nossos dias. Além disso, alguns 
não estavam escritos em sânscrito, 
nem se conhecia a sua autoria. Isso 
dificulta grandemente o nosso co-
nhecimento quanto à Matemática 
utilizada pelos antigos indianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
3. A Matemática na Antiguidade Clássica 
 
 
Fonte: brasilescola.uol.com.br3 
 
om o desenvolvimento comer-
cial entre o Egito e a Grécia, 
por volta do século VI a.C., o conhe-
cimento dos egípcios tornou-se 
acessível aos gregos e, nas suas 
mãos, a Matemática assumiu um 
novo desenvolvimento. Aparente-
mente os gregos foram os primeiros 
a conceber a ideia da formulação e 
demonstração de teoremas gerais 
em Geometria. 
Tales de Mileto, filósofo grego 
da cidade de Mileto, que viveu nos 
últimos decênios do séc. VII e pri-
meira metade do século VI a.C., a os 
 
3 Retirado em brasilescola.uol.com.br 
seus discípulos Anaximandro (614-
550 a.C.), filósofo, geógrafo e enge-
nheiro e Mileto e ainda Anaxímenes, 
filósofo grego de Mileto, que viveu 
na segunda metade do século VI 
a.C., conheceram muitas das propri-
edades dos triângulos e do círculo e 
também rudimentos das propor-
ções. Não se conhece muito da vida 
de Tales. Sabe-se que, inicialmente, 
encaminhado para a vida de comer-
ciante, pôde visitar o Egito. A ciência 
egípcia era exclusiva dos sacerdotes, 
mas sabe-se que Tales de Mileto es-
teve em contato com eles. Adquiriu 
C 
 
 18 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
os conhecimentos matemáticos, que 
eram patrimônio dos hitistas, dos 
assírios, dos babilônios e dos egíp-
cios. Pode-se dizer que foi o pri-
meiro grego a estudar Matemática 
entre outras ciências por interesse 
puramente científico. Foi o primeiro 
filósofo da escola Jônica, a escola 
mais antiga da Grécia. 
Anaxímenes, parece ter pre-
tendido realizar uma síntese de todo 
o conhecimento dos seus predeces-
sores. 
Anaximandro é o que se pode 
designar como um modelo universal 
de curiosidade do saber. Tal como 
Tales, perguntava-se quanto ao 
princípio originário e original de to-
das as coisas. Situando esse princí-
pio no infinito, foi protagonista de 
um avanço de enorme importância 
na história do pensamento Ociden-
tal. Elaborou o primeiro conceito ci-
entífico do infinito e opera a passa-
gem da observação à reflexão. 
Pitágoras, famoso filósofo e 
matemático grego que viveu no sé-
culo VI e V a.C., fundou uma escola, 
onde, pela primeira vez, foram aber-tas as portas às mulheres, a Escola 
Pitagórica. É talvez oportuno recor-
dar que Teano, mulher de Pitágoras, 
escreveu vários tratados sobre Mate-
mática, Física, Medicina e Psicologia 
infantil. Após a morte do marido, 
Teano e as suas duas filhas continu-
aram a Escola Pitagórica. 
Pitágoras permaneceu longo 
período no Egito e, ao que parece, te-
ria acesso à cultura sacerdotal do 
Antigo Egito, através de uma tor-
mentosa e duradoura iniciação, à 
qual foi fiel toda a vida. Ao que se 
sabe, Pitágoras passou do Egito para 
a Babilônia, depois da invasão do 
Nilo por Cambises, rei dos persas e 
aí teria contato com as doutrinas cal-
daicas, com os costumes persas e as 
crenças monoteístas hebraicas. De 
regresso à Grécia, ter-se-á ficado em 
colênias estabelecidas pelos Gregos 
no sul da Itália, onde fundou em 
Crotona a Escola Pitagórica. Tam-
bém chamada de Escola Itálica, os 
seus membros formavam uma espé-
cie de grupo ou seita, onde se encon-
travam os intelectuais mais notáveis 
do tempo. Na concepção pitagórica, 
há várias curiosidades. Uma delas 
consistia na proibição de ingerir 
carne. Pitágoras e os seus discípulos 
acreditavam que todos os animais ti-
nham direito à vida, e foram, po-
ranto, talvez o primeiro núcleo dos 
vegetarianos. 
As lições ministradas eram de 
algum modo cópias do sistema do 
sacerdócio egípcio, no qual, em si-
multâneo, imperava a racionalidade 
grega, que veio a constituir a base da 
civilização Ocidental moderna. Mais 
tarde, a escola acabou por despertar 
suspeitas e inimizades, e a seita dis-
 
 19 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
persou-se. Mas a ciência e os ensina-
mentos perduraram no tempo. Pitá-
goras libertou a antiga sabedoria 
Matemática egípcia e babilônica de 
outros interesses e conceberam 
princípios e generalizações válidos 
por si mesmos. 
Foi Pitágoras quem dividiu a 
Matemática em quatro ramos, a 
Aritmética, a Música, a Geometria e 
a Astronomia, que perdurou até de-
pois da Idade Média. Foi Pitágoras 
quem definiu o ponto como unidade 
de posição e a classificação dos ân-
gulos nas três categorias, que ainda 
hoje são ensinadas nas escolas. A 
concepção geométrica do espaço, 
como entidade homogênea, contí-
nua e ilimitada, é de sua autoria. 
Para Pitágoras, o número é a 
essência de todas as coisas, pois 
existe uma ordem mensurável em 
todos os fenômenos do universo. 
Este conceito foi de grande impor-
tância para o desenvolvimento da ci-
vilização europeia. Ele mesmo ten-
tou associar a Aritmética à Geome-
tria. Distinguiu os números pares 
dos números ímpares. Os números 
pares eram considerados imperfei-
tos, já que eram divisíveis em duas 
partes exatamente iguais. 
Pitágoras e os seus discípulos 
foram os primeiros a desenhar poli-
edros regulares convexos, como o te-
traedro, o cubo, o octaedro e o icosa-
edro. Alguns destes poliedros, como 
o dodecaedro, já eram conhecidos 
anteriormente por povos, como os 
etruscos, com os quais Pitágoras 
deve ter contatado na Itália. Estas 
construções exigiam o conheci-
mento do pentágono regular. No en-
tanto, a realização mais conhecida, 
mais famosa de Pitágoras, é sem dú-
vida a do célebre teorema de Pitágo-
ras que retrata: “a soma dos quadra-
dos dos catetos de um triângulo re-
tângulo é igual ao quadrado da hipo-
tenusa”. Esta descoberta notável, 
que é um dos alicerces da Geome-
tria, permitiu ao próprio Pitágoras 
fazer uma nova descoberta, mas que 
o perturbou profundamente. Pitágo-
ras acreditava que tudo na Natureza 
tinha explicação pelos números e, 
para ele, os números eram inteiros 
ou fracionários. 
Mas no caso de um triângulo 
isósceles (com os lados iguais) em 
que o lado é a unidade, quanto me-
dirá a hipotenusa? Terá que ser um 
número cujo quadrado é dois, e a sua 
demonstração é um dos mais belos 
raciocínios matemáticos. A lenda 
conta que Pitágoras ficou tão pertur-
bado com sua descoberta, que fez 
prometer aos seus discípulos que a 
não divulgassem, para que os deuses 
não fossem irritados com a revela-
ção de tal segredo escandaloso. O va-
lor da raiz quadrada de dois pode 
calcular-se com tantas casas deci-
mais quantas se queira, mas nunca 
 
 20 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
se obtém uma dízima periódica. Ora 
as frações dão sempre origem a dízi-
mas periódicas e reciprocamente, 
qualquer dízima periódica pode re-
duzir-se a uma fração. Então, consi-
derando os inteiros e as dízimas fini-
tas como dízimas de período zero, 
podem chamar-se racionais aos nú-
meros correspondentes a dízimas 
periódicas, e números irracionais 
àqueles a que correspondem dízi-
mas não periódicas. 
Os babilônios não deviam des-
conhecer as características de retân-
gulos análogos aos da formulação do 
teorema de Pitágoras. De fato, al-
guns textos em escrita cuneiforme, 
da dinastia Hamurabi, apresentam 
cálculos da diagonal de um retân-
gulo semelhante. 
Os egípcios deviam também 
conhecer o assunto, pois que a Câ-
mara dos Reis, no interior da Pirâ-
mide de Quéops, encontra-se dentro 
das proporções três-quatro-cinco, 
que segundo Plutarco, representa as 
divindades egípcias: Osíris, Ísis e 
Hórus. 
Também os sábios hindus co-
nheciam as propriedades do triân-
gulo retângulo, mas as relações en-
tre os comprimentos dos lados eram 
cinco-doze-treze. É, no entanto, Pi-
tágoras o autor a quem se tem atri-
buído o enunciado e a demonstração 
do teorema, cuja validade é indiscu-
tível. 
Hipócrates de Quios, matemá-
tico grego que viveu no século V a.C., 
não confundir com Hipócrates de 
Cós, o lendário pai da Medicina, fez 
um em contributo importante para 
dois dos principais problemas da 
Geometria antiga: o da quadratura 
do círculo, por meio das chamadas 
Iunulae Hippocratis e o da duplica-
ção do cubo. 
Com Platão (427 – 347 a.C.), 
os matemáticos começaram a verda-
deira ciência. Desenvolveu o método 
analítico e insistiu no rigor lógico em 
todas as provas. Platão era filósofo e 
foi aluno de Sócrates, tinha feito es-
cola em Atenas, que era o berço da 
civilização, da filosofia e da arte e fi-
zera uma fabulosa viagem ao Egito, 
onde tomara contato direto com a 
“mística oriental dos números”, que 
tanto influência exercera sobre Pitá-
goras. 
Arquitas de Tarento, filósofo e 
matemático da Escola Pitagórica 
que viveu no século IV a.C., foi o pri-
meiro matemático a entender a 
forma mecânica da duplicação do 
cubo. Arquitas ocupou-se também 
da política e conseguiu formar em 
Tarento um autêntico governo de fi-
lósofos tão poderosos, a ponto de 
poder fazer frente a Dionísio, jovem 
tirano de Siracusa. Quando Dionísio 
prendeu Platão para manda-lo ma-
tar, Arquitas interveio e conseguiu 
salvar o seu amigo filósofo. 
 
 21 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
Eudoxo de Cnidos (408-355 
a.C.) foi um dos maiores matemáti-
cos e astrônomos de todos os tem-
pos. Estudou Geometria e Matemá-
tica em Cnidos. Aos vinte e dois 
anos, foi para Atenas onde se tornou 
discípulo e amigo de Platão. Como 
matemático, inventou o método de 
exaustão, baseados numa rigorosa 
noção de limite, para medir e com-
parar as áreas de figuras planas, cur-
vilíneas e os volumes de sólidos, 
como a pirâmide e o cone. 
Notabilizou-se, sobretudo, 
pela teoria geral das proporções, 
aplicável a grandezas comensurá-
veis e incomensuráveis, absoluta-
mente necessária desde a descoberta 
dos números irracionais. No en-
tanto, a teoria que o tornou celébre, 
foi a das esferas homocêntricas, com 
a qual pretendeu dar uma explicação 
matemática das posições dos corpos 
celestes, o que era difícil, sobretudo 
por causa dos astros errantes, os 
plantes. 
Aristóteles (384-322 a.C.), fi-
lósofo grego, interessou-se pelas 
Matemáticas como método de racio-
cínio, fez uma síntese organizada de 
todo o saber do seu tempo e formu-
lou o primeiro sistema de lógica.22 
 
 
 
 23 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
4. O Nascimento do Método Dedutivo e a Geometria 
de Euclides 
 
 
Fonte: www.obaricentrodamente.com4 
 
 muito comum ouvirmos que a 
geometria surgiu às bordas do 
Nilo, devido às enchentes e à neces-
sidade de medir a área das terras a 
serem redistribuídas entre aqueles 
que haviam sofrido prejuízos. Esta 
hipótese tem sua origem nos escritos 
de Herôdoto: 
“[Quando das inundações do 
Nilo] o rei Sésostris enviava pessoas 
para inspecionar o terreno e medir a 
diminuição dos mesmos para atri-
 
4 Retirado em www.obaricentrodamente.com 
buir ao homem uma redução pro-
porcional de impostos. Aí está, creio 
eu, a origem da geometria que mi-
grou, mais tarde, para a Grécia”. 
(Herôdoto, Oeuvres complètes II 
109, p.183). 
Por outro lado, Aristóteles 
afirma que a Matemática surgiu: 
“[...] em lugares nos quais as 
pessoas dispunham de lazer. Esta é a 
razão de a Matemática ter surgido 
primeiro no Egito; pois aí a casta dos 
É 
 
 24 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
sacerdotes tinha permissão para 
desfrutar de lazer. ” (Aristóteles, 
Metafísica, 981b20-25, pp. 258-
259.) 
A história tradicional nos 
conta que um dos primeiros mate-
máticos gregos foi Tales de Mileto, 
que teria vivido nos séculos VII e VI 
a. C. e sido influenciado pelos meso-
potâmicos e egípcios. Diz-se que um 
de seus feitos teria sido, justamente, 
o cálculo da altura de uma das pirâ-
mides do Egito, a partir da seme-
lhança entre, por um lado, a relação 
desta altura com sua sombra e, por 
outro, a relação de sua própria altura 
com sua própria sombra. A Matemá-
tica pitagórica, datada da primeira 
metade do século V a. C., teria feito 
a transição entre as épocas de Tales 
e Euclides. 
É verdade que os povos meso-
potâmicos e egípcios realizavam cál-
culos com medidas de comprimen-
tos, áreas e volumes. Contudo, estas 
práticas são bem diferentes da geo-
metria grega. Nas práticas de me-
dida, os problemas geométricos são 
transformados em problemas nu-
méricos. A escolha de uma unidade 
de medida basta para converter um 
comprimento, uma área ou um vo-
lume em um número. Sem dúvida, 
os primeiros matemáticos gregos 
praticavam uma geometria baseada 
em cálculos de medidas, como os po-
vos antigos. Não há, contudo, uma 
documentação confiável que possa 
estabelecer a transição entre a Mate-
mática mesopotâmica e egípcia e a 
Matemática grega. 
Também influenciado pela 
Matemática egípcia, Pitágoras teria 
introduzido um tipo de Matemática 
abstrata na Grécia. A narrativa his-
tórica tradicional enfatiza a transi-
ção do tipo de Matemática realizada 
pelos babilônios e egípcios, profun-
damente marcada por cálculos e al-
goritmos, para a Matemática teó-
rica, praticada pelos gregos, fundada 
em argumentações consistentes e 
demonstrações. 
O tipo de pensamento que se 
expressa nesta Matemática tem rela-
ção com o contexto grego da época, 
tal como se desenvolveu a partir do 
século V a. C. Por volta do século VII 
a. C., o crescimento populacional e a 
dispersão dos gregos pela bacia do 
Mediterrâneo deram origem à mais 
importante instituição da antigui-
dade grega, que foi determinante 
para a organização política, admi-
nistrativa, religiosa e militar da Gré-
cia durante os séculos V e IV a. C. 
Trata-se da polis – a cidade-estado 
grega. 
A polis surgiu ao mesmo 
tempo em que o cidadão passou a ter 
direito de reger sua cidade. Para isto, 
eram necessários parâmetros, o que 
alimentava um gosto pela discussão. 
A controvérsia movimentava a polis 
 
 25 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
grega e, como contribuía para ven-
cer o debate, a persuasão tornou-se 
uma habilidade bastante valorizada. 
Em seus estudos sobre as ori-
gens históricas da razão grega, Jean-
Pierre Vernant mostra que este uni-
verso é marcado pela ligação íntima 
entre logos, razão e atividade polí-
tica. Tratamos de um período no 
qual a vida pública adquiriu suma 
importância para os antigos gregos, 
o que se refletiu no debate político 
na ágora, nas trocas comerciais, na 
laicização e na expansão das formas 
de religiosidade ao espaço externo 
(até então assunto privado, restrito 
ao interior do templo) e na organiza-
ção racional e geométrica do territó-
rio. 
O pensamento racional foi se 
constituindo neste contexto e ga-
nhou impulso neste novo tipo de or-
ganização. Surgiu então, na Grécia, a 
ideia de que quem soubesse persua-
dir sempre poderia convencer os ou-
tros de que sua tese era verdadeira. 
Em sentido oposto, no entanto, essa 
tentação ao ceticismo deu origem a 
um esforço para mostrar que ver-
dade e verossimilhanças são coisas 
diversas. 
A partir do final do século V a. 
C., Platão e Aristóteles buscaram 
propor maneiras de selecionar os ti-
pos de afirmação que alguém pode 
fazer, distinguindo os raciocínios 
falsos dos corretos e estabelecendo 
critérios de verdade. 
Em um mundo no qual as opi-
niões se multiplicavam, era necessá-
rio selecionar os argumentos, esta-
belecer critérios para decidir quem 
tinha razão. Este novo tipo de pen-
samento, para Platão, devia se fun-
dar em definições claras, que distin-
guem os seres inteligíveis de suas có-
pias no mundo sensível. Nos discur-
sos de Sócrates está presente este 
modo de argumentação, chamado 
“dialética”, que se servia das ideias 
para ultrapassar as opiniões. 
A distinção entre retórica e di-
alética irá marcar a educação do ci-
dadão livre. Mais tarde, Aristóteles 
desenvolverá uma lógica, na qual os 
critérios de verdade estarão mais li-
gados à pura coerência, ao rigor da 
demonstração. Ou seja, em uma ca-
deia de conclusões, tudo deve decor-
rer daquilo que antes foi dito, sem 
que haja contradição no interior do 
raciocínio. Platão e Aristóteles se 
serviram da Matemática para cons-
tituir este novo ideal de pensa-
mento. Mas, na verdade, que Mate-
mática era esta? 
Grande parte do conheci-
mento de que dispomos hoje sobre a 
Matemática da época é indireto, 
proveniente de escritos como os de 
Platão, Aristóteles, Euclides e Pro-
clus. Além destas obras, há outras 
 
 26 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
evidências em alguns poucos frag-
mentos atribuídos a Eudemo de Ro-
des, que viveu no século IV. a. C. 
Presume-se que o “catálogo dos geô-
metras”, contido no comentário de 
Proclus, é proveniente dos escritos 
deste pupilo de Aristóteles, que 
mencionava proposições e constru-
ções que teriam sido realizadas por 
Tales. 
No final do século VII a. C., di-
versas realizações tecnológicas po-
dem ter contribuído para o desen-
volvimento da Matemática. Alguns 
termos de geometria já apareciam, 
por exemplo, na arquitetura. Há es-
critos técnicos do século VI a. C. tra-
tando de problemas relacionados à 
astronomia e ao calendário. Neles 
intervinham alguns conceitos geo-
métricos, como círculos e ângulos. 
Ao menos um destes livros ainda es-
tava em circulação na época de Eu-
demo, e os enunciados geométricos 
aí contidos podem ter ficado conhe-
cidos como sendo de Tales. 
No entanto, é difícil estabele-
cer as bases factuais destas afirma-
ções. O papel de Tales foi objeto de 
algumas controvérsias históricas, 
descritas por W. Burkert. Parece ser 
fato que, por volta do século V. a. C., 
seu nome era empregado em cone-
xão com resultados geométricos. 
Além disso, Aristóteles menci-
ona Tales, na Metafísica, como o 
fundador da filosofia. Esta honra, 
somada à circulação da referência a 
seu nome como geômetra, pode ter 
levado a se atribuir ao filósofo de Mi-
leto importantes descobertas geo-
métricas. 
Entre Tales e Euclides, a histo-
riografia da Matemática costuma 
analisar as contribuições da escola 
pitagórica do século V a. C. Além 
disso, é frequente encontrarmos re-
ferências a Pitágoras como um dos 
primeiros matemáticos gregos. 
Mas ambas as afirmaçõessão 
hoje largamente questionadas. As 
evidências mostram que havia uma 
Matemática grega antes dos pitagó-
ricos. Parecia ser comum a constru-
ção de soluções para problemas geo-
métricos e a comparação de grande-
zas geométricas por meio de razões. 
Presume-se que no século V. a. 
C., em Atenas, a geometria era ensi-
nada, apesar de não sabermos exata-
mente como. Podemos deduzir, das 
poucas evidências, uma intensa prá-
tica geométrica na primeira metade 
do século IV a. C. 
Não há sinais de que a Mate-
mática desenvolvida na Grécia du-
rante os séculos V e IV a. C. empre-
gasse qualquer precaução no uso de 
procedimentos heurísticos e infor-
mais. 
Há evidências, todavia, de que 
no meio dos filósofos os m´todos 
usados pelos matemáticos eram 
questionados. 
 
 27 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
Por volta do ano 375 a. C., Pla-
tão começa a criticar os geômetras 
por não empregarem critérios de ri-
gor desejáveis nas práticas matemá-
ticas. Não por acaso, o trabalho de 
Eudoxo se desenvolveu no seio da 
Academia platônica. Sendo assim, 
ainda que não possamos dizer que a 
transformação dos fundamentos da 
Matemática grega é devida a Platão, 
ele expressa o descontentamento 
dos filósofos com os métodos em-
pregados e articula o trabalho dos 
pensadores à sua volta para que se 
dediquem a formalizar os conceitos 
e técnicas utilizadas indiscriminada-
mente na Matemática da época. 
Os membros da Academia de-
batiam o modo de descrever as dis-
ciplinas matemáticas, o que pode ter 
tido um papel na legitimação deste 
saber em sua forma abstrata e na 
consolidação da posição da Matemá-
tica como uma disciplina do pensa-
mento puro. 
No século V a. C., o pensa-
mento geométrico e técnico já estava 
desenvolvido, mas não temos como 
saber se os pitagóricos contribuíram 
para isto. A geometria grega come-
çou antes deles e continuou depois; 
como mostra Burkert, esta escola 
não parece ter tido um papel signifi-
cativo na transformação da Mate-
mática de seu tempo. 
Quase todos os livros de histó-
ria da Matemática a que temos 
acesso em português reproduzem a 
lenda de que a descoberta dos inco-
mensuráveis provocou uma crise 
nos fundamentos da Matemática 
grega. Alguns chegam a afirmar que 
esta crise só foi resolvida com a defi-
nição rigorosa dos números reais, 
proposta por Cantor e Dedekind no 
século XIX. Este mito possui conse-
quências importantes para o modo 
como a história da geometria grega 
se estrutura. 
A descoberta das grandezas in-
comensuráveis, frequentemente 
atribuída a um pitagórico, deve ter 
tido outras origens. Esta descoberta 
contribuiu para a separação entre a 
geometria e a aritmética, a primeira 
devendo se dedicar as grandezas ge-
ométricas e a segunda, aos números. 
Esta separação é um dos traços mar-
cantes da geometria grega, ao menos 
na maneira como ela se disseminou 
com Euclides. 
Apesar de questionarmos a va-
lidade da tese historiográfica a res-
peito da crise dos incomensuráveis, 
é inegável que a descoberta de que 
duas grandezas podem não possuir 
uma medida comum teve conse-
quências importantes. 
Uma delas pode ajudar a expli-
car o caráter formal e abstrato da ge-
ometria, tal como exposta nos Ele-
mentos de Euclides. O fato de que 
duas grandezas podem ser incomen-
suráveis desafia o testemunho dos 
 
 28 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
sentidos e foi, talvez, o que motivou 
um novo modo de fazer geometria. 
A necessidade de demonstra-
ção surge com os gregos a partir 
deste momento chave da história da 
geometria. A descoberta dos inco-
mensuráveis nos leva a desconfiar 
dos sentidos, uma vez que eles não 
permitem “enxergar” a possibilidade 
de dois segmentos não serem co-
mensuráveis. 
E necessário, portanto, de-
monstrar, fundar a geometria sobre 
bases mais sólidas do que aquelas 
que podem ser fornecidas pela intui-
ção. Com esta transformação, ganha 
destaque o espaço abstrato sobre o 
qual fundamos, até hoje, a Matemá-
tica. 
Com Euclides, a Matemática 
na Grécia parece ter adquirido uma 
configuração particular, passando a 
empregar enunciados geométricos 
gerais, que não envolvem somente 
procedimentos de medida. Os Ele-
mentos de Euclides representam, 
neste contexto, o resultado dos es-
forços de formalização da Matemá-
tica para apresentar uma geometria 
consistente e unificada que valesse 
para grandezas quaisquer, fossem 
elas comensuráveis ou incomensu-
ráveis. 
Trataremos a seguir de alguns 
resultados, dentre os mais significa-
tivos que se encontram nos Elemen-
tos. O papel desta obra na Matemá-
tica não pode ser superestimado. 
Em primeiro lugar, ela expõe, de 
maneira organizada, a Matemática 
elementar que os gregos da época 
clássica tinham criado e desenvol-
vido. Assim, muito do que sabemos 
da Matemática grega deve-se a esta 
obra de Euclides. Em segundo lugar, 
como os Elementos constituem a 
mais antiga exposição organizada de 
Matemática que nos chegou, eles 
muito influenciaram seu desenvolvi-
mento posterior. 
Antes de analisar os Elemen-
tos com mais detalhes, começare-
mos por descrever a concepção par-
ticular de número da escola pitagó-
rica, bem como alguns princípios 
básicos de sua filosofia. Nosso obje-
tivo será mostrar que, se existiu uma 
“Matemática pitagórica”, tratava-se 
de uma prática bastante concreta. 
Mesmo o famoso teorema “de Pitá-
goras”, em sua compreensão geomé-
trica como relação entre medidas 
dos lados de um triângulo retângulo, 
não parece ter sido particularmente 
estudado por Pitágoras e sua escola. 
29 
 
 
 
 30 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
5. A Matemática Grega após Euclides 
 
 
Fonte: www.claudiobuffara.com.br5 
 
 comum afirmarmos que as fi-
guras geométricas aceitas na 
geometria grega deviam ser constru-
ídas com régua e compasso. De fato, 
isto é verdade se temos em mente as 
construções realizadas nos Elemen-
tos de Euclides. Dizer que o mesmo 
é verdade para toda a geometria 
grega significa considerar que o con-
junto das práticas gregas seguia o 
padrão de rigor estabelecido por Eu-
clides, o que não acontecia. 
 
5 Retirado em www.claudiobuffara.com.br 
As construções com régua e 
compasso não permitem resolver to-
dos os problemas tratados pelos ma-
temáticos gregos antes e depois de 
Euclides, os quais não se furtavam a 
utilizar outros métodos de constru-
ção, ou a empregar outras curvas. 
Com o auxílio destas curvas, foram 
resolvidos os problemas clássicos: a 
trissecção do ângulo, a quadratura 
do círculo e a duplicação do cubo. 
É 
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 31 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
Pappus, um dos maiores co-
mentadores dos trabalhos matemá-
ticos de seus antecessores gregos, e 
que viveu no século III d. C., classifi-
cou os problemas geométricos do se-
guinte modo: 
“Os antigos consideravam três 
classes de problemas geométricos, 
chamados ‘planos’, ‘sólidos’ e ‘linea-
res’. Aqueles que podem ser resolvi-
dos por meio de retas e circunferên-
cias de círculos são chamados de 
‘problemas planos’, uma vez que as 
retas e curvas que os resolvem tem 
origem no plano. Mas problemas cu-
jas soluções são obtidas por meio de 
uma ou mais seções cônicas são de-
nominados ‘problemas sólidos’, uma 
vez que superfícies de figuras sólidas 
(superfícies cônicas) precisam ser 
utilizadas. Resta uma terceira classe, 
que é chamada ‘linear’ porque ou-
tras ‘linhas’, envolvendo origens di-
versas, além daquelas que acabei de 
descrever, são requeridas para sua 
construção. Tais linhas são as espi-
rais, a quadratriz, a conchóide, a cis-
sóide, todas com muitas proprieda-
des surpreendentes. ” ([147], pp. 38-
39). 
O livro no qual encontramos 
este comentário, A Coleção matemá-
tica, é uma das fontes principais que 
nos permite conhecer muitos traba-
lhos gregos cujas fontes originaisse 
perderam. 
O critério usado nesta classifi-
cação dos problemas baseia-se nos 
tipos de linhas necessárias à cons-
trução, uma vez que os problemas 
envolvem sempre construção. Por 
exemplo, a conchóide é uma curva 
construída de modo mecânico pelos 
gregos, da seguinte maneira. 
Sejam um ponto fixo, K, e uma 
reta AB, também fixa. A conchóide é 
o lugar geométrico dos pontos P tais 
que o comprimento entre P e S, 
ponto de intersecção de KP com a 
reta AB, é constante, conforme mos-
tra a figura a seguir: 
 
 
 
No entanto, a divisão dos pro-
blemas em três tipos só foi explici-
tada no comentário de Pappus, no 
terceiro século da Era Comum, e po-
dia ser de ordem descritiva, mais do 
que normativa. 
A partir de Arquimedes, pode-
mos estudar m´métodos que marca-
ram a geometria grega e se distin-
guem dos procedimentos euclidia-
nos. Ele nasceu mais ou menos no 
momento em que Euclides morreu, 
em torno da segunda década do sé-
culo III a. C. Era de se esperar, por-
 
 32 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
tanto, que o trabalho de Euclides ti-
vesse uma influência marcante em 
sua obra. Mas não foi bem assim, 
mostraremos que Arquimedes não 
pode ser visto como um sucessor de 
Euclides; e seu trabalho não se ins-
creve, por assim dizer, em uma tra-
dição euclidiana. Um exemplo disso 
é a utilização de métodos mecânicos 
de construção. Arquimedes exprimi-
ria uma tradição alternativa aos Ele-
mentos de Euclides, ligada aos mé-
todos desenvolvidos por Eudoxo. 
Arquimedes, um dos mais co-
nhecidos matemáticos gregos, che-
gou a defender um método que per-
mitisse entender certas realidades 
matemáticas usando a mecânica, 
ainda que este método possibilitasse 
apenas a descoberta de proprieda-
des que deveriam ser, em seguida, 
demonstradas geometricamente. 
Sabemos hoje que alguns dos resul-
tados demonstrados dessa maneira 
por Arquimedes eram obtidos de 
modo puramente mecânico. Have-
ria, portanto, uma distinção entre 
métodos de descoberta, que pode-
riam ser mecânicos, e métodos de 
demonstração, que deveriam ser pu-
ramente geométricos. 
No início de sua obra sobre a 
Quadratura da Parábola (pp. 233 - 
252), em uma carta a Dositeu, Ar-
quimedes afirma que pretende co-
municar: 
“[U]m certo teorema geomé-
trico que não foi investigado antes e 
que foi agora investigado por mim e 
que eu descobri, primeiramente, por 
meio da mecânica e que exibi, em se-
guida, por meio da geometria. ” 
Este tipo de procedimento fica 
ainda mais claro na obra, encon-
trada apenas em 1899, O Método 
dos Teoremas Mecânicos, carta es-
crita a Eratóstenes, na qual Arqui-
medes explica: 
“ (...) [P]ensei que seria apro-
priado escrever-lhe neste livro sobre 
um certo método por meio do qual 
você poderá reconhecer certas ques-
tões matemáticas com ajuda da me-
cânica. Estou convencido de que ele 
não é menos útil para encontrar pro-
vas para os mesmos teoremas. Algu-
mas coisas, que se tornaram claras 
para mim, em primeiro lugar, pelo 
método mecânico, foram provadas 
geometricamente em seguida, uma 
vez que a investigação pelo referido 
método não fornece de fato uma de-
monstração. No entanto, é mais fácil 
encontrar a prova quando adquiri-
mos previamente, pelo método, al-
gum conhecimento das questões, do 
que encontrá-la sem nenhum conhe-
cimento prévio. ” 
O final do século III a. C. foi o 
período de maior popularidade dos 
três problemas clássicos. Estes pro-
blemas constituem o ponto comum 
dos trabalhos de diversos geômetras 
 
 33 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
da época, como Eratóstenes, Nico-
medes, Híppias, Diocles, Dionisodo-
rus, Perseus e Zenodorus. Apesar da 
maioria das fontes que contêm estes 
trabalhos não ter sido preservada, 
há evidências de aplicações da geo-
metria a problemas de astronomia, 
ótica, geografia e mecânica. Além 
disso, estes geômetras parecem ter 
sofrido influência direta de Arqui-
medes, o que pode ser constatado 
pelo uso de métodos mecânicos, 
como a espiral (e outras curvas gera-
das por movimentos mecânicos) e 
diversos tipos de neuses. Contudo, 
nota-se também que estes matemá-
ticos se distanciaram um pouco do 
estilo de Arquimedes, uma vez que 
se dedicaram à procura de métodos 
alternativos em suas construções. 
Esta busca poderia indicar uma ne-
cessidade de ir além dos procedi-
mentos disponíveis na época. Os es-
critos de Euclides ofereciam uma al-
ternativa, mas sua exploração de-
mandava técnicas de natureza muito 
distinta, o que talvez ultrapassasse 
as possibilidades desta geração ime-
diatamente posterior a Arquimedes. 
Na verdade, a busca de novos 
métodos de construção, inspirados 
no paradigma euclidiano serviu de 
motivação para os trabalhos de Apo-
lônio, desenvolvidos na virada do sé-
culo III para o século II a. C. Acre-
dita-se que ele tenha começado a re-
digir seu livro mais conhecido, o Cô-
nicas, por volta do ano 200 a. C. 
Nesta obra, Apolônio define as se-
ções cônicas do modo mais geral 
possível, como seções de cones, 
usando métodos muito característi-
cos dos Elementos de Euclides. Em 
particular, aqueles que dizem res-
peito à aplicação de áreas, que de-
ram origem aos nomes dos diferen-
tes tipos de cônicas: parábola, hipér-
bole e elipse. O estilo deste livro 
também é muito similar ao de Eucli-
des, pois Apolônio segue o estilo for-
mal dos Elementos até nos detalhes 
do enunciado de certas proposições. 
Seus resultados parecem exprimir a 
tentativa de estender e tornar rigo-
rosos os métodos antigos emprega-
dos no estudo de cônicas, desenvol-
vidos por Euclides (em sua obra so-
bre as cônicas) e Arquimedes. 
Uma das preocupações de 
Apolônio era apresentar soluções 
por meio de cônicas para os proble-
mas clássicos, como a duplicação do 
cubo e a trissecção do ângulo, a fim 
de eliminar as soluções por neuses e 
por curvas especiais usadas por Ar-
quimedes e outros. A diversidade de 
métodos empregados na resolução 
de problemas geométricos até o sé-
culo III a. C. mostra que, neste está-
gio do desenvolvimento da Matemá-
tica, o importante era resolver os 
problemas por qualquer técnica dis-
 
 34 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
ponível. Este leitmotiv marca a tra-
dição grega de resolução de proble-
mas geométricos. Com Apolônio, 
este panorama começa a se transfor-
mar. Mesmo que tenha fornecido, 
ele mesmo, uma construção da du-
plicação do cubo por meio da neusis, 
Apolônio preferia claramente solu-
ções usando cônicas, com um estilo 
bem euclidiano, e que dependiam de 
resultados centrais dos Elementos. 
Por exemplo, as soluções da trissec-
ção do ângulo por meio da espiral de 
Arquimedes e da neusis não eram 
consideradas satisfatórias, e Apolô-
nio propôs uma construção com a 
hipérbole. Os trabalhos de Arquime-
des apresentam uma diversidade de 
aplicações do método da neusis em 
construções que também podiam ser 
realizadas com régua e compasso. 
A popularidade destas cons-
truções por neuses demonstra a 
vasta presença de métodos não-eu-
clidianos nos trabalhos de Arquime-
des e seus seguidores. Além destas 
técnicas, a ênfase de Arquimedes na 
investigação dos procedimentos de 
Eudoxo contrasta com o tipo de pes-
quisa característico de Euclides e 
Apolônio, marcado pelo estudo de 
lugares geométricos e pelo uso de 
cônicas. 
Os métodos de resolução de 
problemas usados por Euclides fo-
ram consolidados por Apolônio no 
período seguinte, ao passo que os 
procedimentos de Arquimedes só 
encontrariam seguidores bem mais 
tarde, por volta dos séculos XVI e 
XVII. Pode datar da transição entre 
os séculos III e II a. C. a tentativa de 
regularização dos métodos para re-
solver problemas geométricos, 
quando os matemáticos teriam bus-
cado construir, somente por méto-
dos planos (ou seja, com régua e o 
compasso), ou por métodos sólidos 
(usando seções cônicas) construções 
já efetuadas por outrosmeios. 
Na época de Apolônio, o 
campo da geometria estava desen-
volvido a tal ponto que pode ter se 
tornado interessante regularizar os 
métodos de resolução de problemas 
e tornar as técnicas de construção 
mais formais. A consideração de 
classes distintas de problemas – 
como a dos problemas planos, sóli-
dos e lineares – ajudava a compre-
ender o escopo dos métodos usados 
para tratá-los. Isso explicaria o es-
forço para reduzir outros tipos de 
construção a um destes três. Assim, 
descrever os tipos de problema exis-
tentes podia ser conveniente para 
organizar a pesquisa. 
O início do século II a. C. foi 
marcado por um declínio na atenção 
dos matemáticos aos problemas ge-
ométricos avançados, o que não re-
presentou uma decadência do 
campo matemático, mas um deslo-
camento de interesse em direção a 
 
 35 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
outras áreas, como a trigonometria e 
os métodos numéricos. W. Knorr 
taxa a escola de Alexandria, nos tem-
pos de Arquimedes, de “academi-
cista”. Mesmo a composição dos Ele-
mentos de Euclides, para ele, se re-
laciona aos ideais da época e, sobre-
tudo, aos seus objetivos pedagógi-
cos. Esta abordagem privilegiava 
uma exposição sintética, que torna 
inacessível o procedimento heurís-
tico da descoberta e menosprezava 
toda consideração concreta ou prá-
tica. Ele contrasta esta tendência 
com outras obras alexandrinas mais 
tardias, como as Métricas de Hierão, 
o Almagesto de Ptolomeu, e a 
Aritm´etica de Diofanto. 
A exposição de Euclides não 
dá nenhuma pista sobre a aplicação 
de seus teoremas a problemas práti-
cos. A abordagem teórica, de inspi-
ração euclidiana, seria característica 
do ensino nas escolas filosóficas, 
pois o estudante devia aprender Ma-
temática por meio da contemplação, 
e não pela prática. 
Knorr chega a atribuir a para-
lisação do trabalho produtivo da ge-
ometria grega aos efeitos esclero-
santes desta pedagogia, típica da ori-
entação escolástica dos pensadores 
da Alexandria antes do início da era 
comum. Logo, a divisão, proposta 
por Pappus, entre problemas planos 
(construídos com régua e compasso) 
e outros, sólidos ou mecânicos, não 
provém do tempo de Euclides. A re-
solução de problemas era a parte es-
sencial da atividade geométrica na 
época de Euclides, Arquimedes e 
Apolônio, e a compilação do saber 
na forma de um conjunto de teore-
mas, uma atividade auxiliar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
 
 37 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
6. Referências Bibliográficas 
 
______. O Romance das Equações Algé-
bricas. São Paulo: Editora Livraria da Fí-
sica, 2010. 
 
______. Uma crítica aos fundamentos do 
ensino autoritário e reprodutivo da mate-
mática. Salvador: Faculdade de Educação 
– UFBA, 1994 (Dissertação de Mestrado). 
 
_______. História da Matemática e Edu-
cação. Cadernos CEDES. Campinas, n. 40, 
1. ed. p. 7-17. 1996. 
 
ARAGÃO, M. J. História da Matemática, 
Rio de Janeiro – RJ, Editoria Interciência 
Ltda, p. 9-15, 19-23, 2009. 
 
BICUDO, Irineu. Sobre a História da Ma-
temática. Bolema, Rio Claro, Especial n. 2, 
p. 7-25, 1992. 
 
BOYER C. B. “História da Matemática”. 
Edgard Blucher .1996. 
 
BOYER, Carl B. História da Matemática, 
trad. Elza Furtado Gomide, Editora Blü-
cher, São Paulo, 1974; 
 
CHALMERS, A.F. O que é Ciência Afinal? 
Brasiliense, São Paulo, 1993. 
 
CONTADOR P. R. M. “Matemática-Uma 
Breve História”. Vol. 1. Editora Livraria Fí-
sica. 2006. 
 
CONTADOR P. R. M. “Matemática-Uma 
Breve História”. Vol. 2. Editora Livraria 
Física.2006. 
 
CONTADOR P. R. M. “Matemática-Uma 
Breve História”. Vol. 3. Editora Livraria Fí-
sica.2005. 
 
D’AMBROSIO, Ubiratan. Reflexões sobre 
História, filosofia e Matemática. Bolema, 
Rio Claro, Especial n. 2, p. 42-60, 1992. 
DIAS, André Luís Mattedi. Matemática no 
Brasil: Um Estudo da Trajetória da Histo-
riografia. Revista Brasileira de História da 
Matemática. Rio Claro, v. 2, n. 4, out. 2002 
– mar. 2003, pp. 169-195. 
 
DIEUDONNÉ, Jean. A formação da Mate-
mática contemporânea. Dom Quixote, Lis-
boa, 1990. pp. 19-41. 
 
DOMINGUES, Hygino H. A demonstração 
ao Longo dos Séculos. Bolema, Rio Claro, 
ano 15, n. 18, p. 55-67, 2002. 
 
EUCLIDES. Os Elementos. Rio Claro: Edi-
tora da UNESP, 2010. 
 
EVES H. W. “ Introdução a História da 
Matemática”. Editora Unicamp. 2004. 
 
GARBI, Gilberto. A Rainha das Ciências: 
um passeio histórico pelo maravilhoso 
mundo da Matemática. São Paulo: Editora 
Livraria da Física, 2009. 
 
GARNICA, Antônio Vicente Marafioti. 
História Oral e Educação matemática: de 
um inventário a uma regulação. Zetetiké. 
Campinas, v.11, n.19, p. 9-48, 2003. 
 
IFRAH, Georges. Os números: História 
universal dos algarismos. Tradução: Al-
berto Munõz e Ana Beatriz Katinsky. Rio 
de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. 
 
JARDINETTI, José Roberto Boettger. A 
função metodológica de história para ela-
boração e execução de procedimentos de 
ensino da matemática. Bolema. Rio Claro, 
ano 9, n. 10, p. 75-82, 1994. 
 
LEITE, A. E. Teoria dos números e teoria 
dos conjuntos, 1ª Edição, Curitiba – PR, 
Editora Intersaberes, p. 23-27, 2014. 
 
MENEGUETTI, Renata; BICUDO, Irineu. 
O que a História do Desenvolvimento do 
 
 38 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
Cálculo pode nos ensinar quando questio-
namos o Saber Matemático, seu Ensino e 
seus Fundamentos. Revista Brasileira de 
História da Matemática. Rio Claro, v. 2, n. 
3, abril 2002, pp. 103-117. 
 
OTTE, Michael. Concepção de História da 
Matemática. Bolema. Rio Claro, Especial 
n. 2, p. 104-119, 1992. 
 
SILVA, Clóvis Pereira da. Sobre a História 
da Matemática no Brasil. Bolema, Rio 
Claro, Especial n. 2, p.61-83, 1992. 
 
STRUIK, D.J. História concisa das mate-
máticas. (1.ed.1948) Trad. João C. S. Guer-
reiro. 4.ed. Lisboa: Gradiva, 1997. 
 
WEIL, André. História da Matemática: 
Por que e Como. Matemática Universitá-
ria. São Paulo, n. 13, junho, p.17-30, 1991. 
 
ROQUE, T; PITOMBEIRA, J. B. Tópicos 
de História da Matemática. Disponível em: 
<http://www.professoresdematema-
tica.com.br/wa_files/Topi-
cos_20de_20Historia_20da_20Matema-
tica_28PROFMAT_29_TatianaRo-
que_Pitombeira.pdf> Acesso em: 27 de 
agosto de 2019. 
 
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