números complexo

Prévia do material em texto

1Matemáti caComplexos, polinômios 
e equações algébricas 
Rua General Celso de Mello Rezende, 301 – Tel.: (16) 3238·6300
CEP 14095-270 – Lagoinha – Ribeirão Preto-SP
www.sistemacoc.com.br
SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Gerência Operacional: Danilo Maurin
Gerência de Relacionamento: Danilo Lippi
Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: José Tadeu B. 
Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo 
Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Clayton Furukawa
Editoria: José F. Rufato, Marina A. 
Barreto e Paulo S. Adami
Coordenação editorial: Luzia H. Fávero F. López
Assistente editorial: George R. Baldim
Projeto gráfico e direção de arte: 
Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro 
e Paula de Oliveira Quirino
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, 
José S. Lara, Leda G. de Almeida e 
Maria Cecília R. D. B. Ribeiro
Capa: LABCOM comunicação total
Conferência e Fechamento: BFS bureau digital
CAPÍTULO 01 NÚMEROS COMPLEXOS 7
1. A unidade imaginária 7
2. Resolução de algumas equações 7
3. Conjunto dos números complexos 7
4. Igualdade de números complexos 8
5. Operações com números complexos 8
6. Potências de i 10
7. O plano de Gauss 12
8. Módulo de um número complexo 13
9. Argumento de um número complexo 14
10. Forma trigonométrica de um número complexo 15
11. Operações na forma trigonométrica 17
CAPÍTULO 02 POLINÔMIOS 21
1. Introdução 21
2.	 Polinômios	–	definição	 21
3. Polinômios – operações 24
CAPÍTULO 03 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 34
1. Introdução 34
2. Equações algébricas ou equações polinomiais 34
3. Raiz ou solução de uma equação algébrica 34
4. Teoremas fundamentais 37
5. Teorema das raízes complexas 43
6. Pesquisa de raízes racionais 44
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Capítulo 01 51
Capítulo 02 61
Capítulo 03 67
GABARITO 79
Su
m
ár
io
Teoria
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
7
Matemáti ca
2. Resolução de algumas equações
A partir da criação da unidade imaginária i, 
vamos resolver algumas equações cuja solu-
ção era impossível no conjunto universo dos 
número reais.
1ª) Resolver a equação: x2 + 9 = 0
Resolução
Como essa é uma equação de segundo grau 
incompleta, não há necessidade de utilizar-
mos a fórmula de Bhaskara.
x2 + 9 = 0 ⇒ x2 = – 9 ⇒ x2 = 9 · (–1)
Como i2 = –1, temos: x2 = 9i2 ⇒ x = ± 3i
S i= ±{ }3
2ª) Resolva a equação: x2 – 6x + 13 = 0
Resolução
∆ = − = − − ⋅ ⋅ = − =
=
− ± ∆
=
±
⋅
=
±
b ac i
x
b
a
i i
2 2 2
2
4 6 4 1 13 16 16
2
6 16
2 1
6 4
2
( )
Assim: x = 3 + 2i ou x = 3 – 2i
S i i= + −{ }3 2 3 2,
3. Conjunto dos números complexos
Com a criação da unidade imaginária i, surgiu 
um novo conjunto numérico , o conjunto 
dos números complexos, que engloba o con-
junto  dos números reais.
Assim, por meio de um diagrama Euler-Venn, 
temos:
O surgimento desse novo conjunto numérico foi 
de grande utilidade para a superação de alguns 
obstáculos na matemática e, por conseguinte, 
nas aplicações diretamente ligadas a ela.
1. A unidade imaginária
No século XVI, o matemático italiano Giro lamo 
Cardano, com o auxílio de seu compatriota 
Tartáglia, descobriu uma fórmula para resolver 
equações cúbicas do tipo x3 + px = q.
A fórmula era:
x
q q p q q p
= +



 +



 + −



 +



2 2 3 2 2 3
2 3
3
2 3
3
De posse dessa fórmula, Rafael Bombelli, ma-
temático italiano e da mesma época de Tartá-
glia e Cardano, ao resolver a equação:
x3 – 15x = 4
encontrou: x = + − + − −2 121 2 1213 3 , o 
que mostrava que x não deveria ser um núme-
ro real, pois − ∉121 .
No entanto, Bombelli percebeu que o número 
real x = 4 era raiz da equação, pois 43 – 15 · 4 = 4, 
e isso o intrigou bastante.
Continuando suas pesquisas, Bombelli desco-
briu que:
2 121 2 1
2 121 2 1
3
3
+ − = + −
− − = − −
e
Portanto, o valor encontrado com o uso da fór-
mula passava a ser:
x = + − + − − =2 1 2 1 4 ,
um valor coerente com as expectativas.
A partir desse momento, começou-se a tra-
balhar com raízes quadradas de números 
negativos e, mais tarde, já no século XVIII, o 
matemático suíço Leonhard Euler passou a 
representar -1 por i, convenção que utiliza-
mos até os dias atuais.
Assim: − =1 i, que passamos a denominar 
unidade imaginária. Normalmente, utilizamos 
a igualdade:
i2 = –1
CAPÍTULO 01 NÚMEROS COMPLEXOS
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
8
Matemáti ca
Definições
Chamamos de número complexo na forma al-
gébrica, todo número na forma a + bi, em que 
a e b são números reais e i é unidade imaginá-
ria (i2 = –1).
Da mesma forma que, quando nos referimos 
a um número natural, usamos a letra n para 
representá-lo, a letra z será usada para repre-
sentarmos um número complexo.
 Assim, no número complexo z = a + bi, dize-
mos que a é a parte real de z, e b é a parte 
imaginária de z.
Representamos: a = Re (z)
 b = Im (z)
Em particular, temos:
1º) Se Im (z) = 0, dizemos que z é um nú-
mero real.
Exemplos: – 5 = – 5 + 0i; 2 2 0= + i
2º) Se Re (z) = 0 e Im (z) ≠ 0, dizemos que z 
é um imaginário puro.
Exemplos: 2i = 0 + 2i; 3 0 3⋅ = + ⋅i i
4. Igualdade de números complexos
Dois números complexos, na forma algébrica, 
são iguais quando suas partes reais e imaginá-
rias forem respectivamente iguais. 
Assim, sendo z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, com a1, 
b1 , a2 e b2 reais, dizemos:
z1 = z2 ⇔ a1 = a2 e b1 = b2
Exemplo
Calcular a e b de modo que:
(2a – b) + 3i = – 2 + (– a + b)i
Resolução
Devemos ter: 
2 2
3
a b
a b
− = −
= − +

Resolvendo o sistema, temos:
2 2
3
1
a b
a b
a
− = −
− + =

=
Substituindo a = 1 na equação –a + b = 3, 
temos:
–1 + b = 3 ⇒ b = 4
Assim: a = 1 e b = 4
5. Operações com números 
complexos 
A. Adição
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, 
com a, b, c e d reais, a soma z1 + z2 será um 
complexo tal que:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Exemplo
Sendo z1 = – 3 + 4i e z2 = 2 – i, calcular z1 + z2.
Resolução
z1 + z2 = (– 3 + 4i) + (2 – i) = (– 3 + 2) + (4 – 1)i
Assim: z1 + z2 = – 1 + 3i
B. Subtração
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, 
com a, b, c e d reais, a diferença z1 – z2 será um 
complexo, tal que:
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Exemplo
Sendo z1 = 5 + 3i e z2 = 3 + 2i, calcular z1 – z2.
Resolução
z1 – z2 = (5 + 3i) – (3 + 2i) = (5 – 3) + (3 – 2)i
Assim: z1 – z2 = 2 + i
C. Multi	plicação
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, 
com a, b, c e d reais, o produto z1 · z2 será um 
complexo, tal que:
z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
De fato, usando a propriedade distributi va, te-
mos:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci – bdi2
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
9
Matemáti ca
Como i2 = – 1, temos:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci – bd
Agrupando a parte real e a parte imaginária, 
temos: z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
Exemplo
Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 2 + 4i, calcule z1 · z2.
Resolução
z1 · z2 = (3 + 2i) · (2 + 4i)
z1 · z2 = 3 · 2 + 3 · 4i + 2i · 2 + 2i · 4i
z1 · z2 = 6 + 12i + 4i + 8i2
z1 · z2 = 6 + 12i + 4i – 8
z1 · z2 = – 2 + 16i
Observação – As propriedades da adição, sub-
tração e multiplicação válidas para os nú meros 
reais continuam válidas para os números com-
plexos.D. Conjugado de um número complexo
Chamamos de conjugado do número comple-
xo z = a + bi, com a e b reais, o número com-
plexo z a bi= − .
Exemplos
1º) z1 = 2 – 3i ⇒ z 1 = 2 + 3i
2º) z2 = –1 – 4i ⇒ z 2 = –1 + 4i
3º) z3 = –3i ⇒ z 3 = 3i
4º) z4 = 2 ⇒ z 4 = 2
Propriedade
O produto de um número complexo pelo seu 
conjugado é sempre um número real.
z z⋅ ∈z z⋅ ∈z z 
Demonstração
Sendo z = a + bi e z = a – bi (a ∈  e b ∈ ) 
temos:
z z a bi a bi
z z a abi abi b i
z z a b
⋅ = + ⋅ −
⋅ = − + −
⋅ = +
( ) ( )
2 2 2
2 2
Como a e b são reais, z z⋅ ∈ .
E. Divisão 
Dados dois números complexos, z1 e z2, com 
z2 ≠ 0, efetuar a divisão de z1 por z2 é encon-
trar um terceiro número complexo z3 tal que 
z1 = z2 · z3, ou seja:
z
z
z1
2
3=
Exemplo
Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i.
Resolução
Devemos encontrar um número complexo z3 = 
= a + bi tal que z3 = 
z
z
1
2
. Assim,
2 3
1 2
2 3 1 2
2 3 2 2
2 3 2
2
−
+
= +
− = + ⋅ +
− = + + +
− = +
i
i
a bi
i a bi i
i a ai bi bi
i a a
( ) ( )
ii bi b
i a b a b i
+ −
− = − + +
2
2 3 2 2( ) ( )
a b
a b x
a b
a b
a
− =
+ = −

+
− =
+ = −

=
2 2
2 3 2
2 2
4 2 6
5
.................
−− ⇒ = −4 4
5
a
Substituindo em a – 2b = 2, temos:
− − = ⇒ − − = ⇒ = −
4
5
2 2
4
5
2 2
7
5
b b b
Assim:
a e b= − = −
4
5
7
5
Então:
2 3
1 2
4
5
7
5
−
+
= − −
i
i
i
Regra práti ca
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, a, b, 
c e d reais e z2 ≠ 0, para efetuarmos a divisão 
de z1 por z2, basta multiplicarmos o numerador 
e o denominador da fração z
z
1
2
 pelo conjugado 
do denominador ( ).z2
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
10
Matemáti ca
Assim, temos:
a bi
c di
a bi c di
c di c di
a bi
c di
ac adi bci bdi
c
+
+
=
+ −
+ −
+
+
=
− + −
( )( )
( )( )
2
22 2 2
2 2
− + −
+
+
=
+ + −
+
cdi dic d i
a bi
c di
ac bd bc ad i
c d
( ) ( )
Dessa forma:
a bi
c di
ac bd
c d
bc ad
c d
i
+
+
=
+
+



 +
−
+



2 2 2 2
Exemplo
Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i.
Resolução
2 3
1 2
2 3 1 2
1 2 1 2
2 3
1 2
2 4 3 6
1 4
2
2
−
+
=
− −
+ −
−
+
=
− − +
−
i
i
i i
i i
i
i
i i i
i
( )( )
( )( )
2 3
1 2
4 7
1 4
−
+
=
− −
+
i
i
i
2 3
1 2
4
5
7
5
−
+
= − −
i
i
i
6. Potências de i 
Calculemos algumas potências de i com expo-
ente natural:
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2 · i = (–1) · i = –i
i4 = i2 · i2 = (–1) · (–1) = 1
i5 = i4 · i = 1 · i = i
i6 = i4 · i2 = 1 · (–1) = –1
i7 = i4 · i3 = 1 · (–i) = –i
Notamos que, a partir de i4, as potências de i 
vão repetindo os quatro primeiros resultados; 
assim, de um modo mais geral, com n ∈ , po-
demos afirmar que:
i4n = (i4)n = 1n = 1
i4n + 1 = i4n · i1 = 1 · i = i
i4n + 2 = i4n · i2 = 1 · (–1) = –1
i4n + 3 = i4n · i3 = 1 · (–i) = –i
Esta conclusão sugere-nos o seguinte:
Propriedade
Se m ∈  e r é o resto da divisão de m por 
4, então im = ir.
Demonstração
m m q r com r
r q
4 4 0 1 2 3= + ∈{ , , , }
Assim:
im = i4q + r = i4q · ir = (i4)q · ir
im = 1q · ir ⇒ im = ir
Observação – notamos que r ∈ {0, 1, 2, 3}, en-
tão, com m ∈ , a potência im é sempre igual 
a i0 ou i1 ou i2 ou i3, ou seja, 1, i, –1, –i, respec-
tivamente.
Exemplos
1º) Calcular i359
Resolução
359 4
39 89
3
359 3⇒ = = −i i i
2º) Calcular i130
Resolução
130 4 1
10 32
2
130 2⇒ = = −i i
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
11
Matemática
01. 
Resolva a equação: x4 – 1 = 0
Resolução
x4 – 1 = 0 ⇒ (x2 + 1) (x2 – 1) = 0
x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = – 1 ⇒ x2 = i2 ⇒ x = ±i
 ou
x2 – 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1
Resposta
S = { + i, + 1, – 1, – i}
02. 
Resolva a equação: x2 – 2x + 10 = 0
Resolução
∆
∆
∆
= −( ) − ⋅ ⋅ = −
= − = ⋅ −( ) = ⋅ − = ⋅
=
±
⋅
=
±
= ±
2 4 1 10 36
36 36 1 6 1 6
2
2 1
2 6
2
1
2
i
x
i
x 33i
Resposta
S = {1 – 3i, 1 + 3i}
03. 
Se Z = 4 + 2i e W = 3 – 5i, então, calcular:
Resolução
Se (1 – i) é raiz, temos:
 (1 – i)2 + k(1 – i) + t = 0
 1 – 2i – 1 + k – ki + t = 0
 (k + t) + (–2 – k)i = 0 + 0i
Logo: k t
k
t
k
+ =
− − =
⇒
=
= −

0
2 0
2
2
Resposta
C
05. UCMG
O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i, 
é igual a:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a. –2 + 2i
b. 2 – 3i
c. 1 + 2i
d. 2 + 4i
e. 3 + i
Resolução
Fazendo z = a + bi e z = a – bi, temos:
 5z + z = 12 + 16i ⇒ 5(a + bi) + a – bi = 12 + 16i
 5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i
 
6 4 12 16
6 12 2
4 16 4
a bi i
a a
b b
+ = +
= ⇒ =
= ⇒ =
Logo: z = 2 + 4i
Resposta
D
06. 
Determine o inverso do número complexo 
z = 3 – 2i.
Resolução
O inverso de z será z–1, tal que z · z–1 = 1, ou 
seja, z–1 = 
1
z
. Assim: 
z
i
i
i i
i
i
i
−
=
−
=
⋅ +
− +
=
+
−
=
+
+
1
2
1
3 2
1 3 2
3 2 3 2
3 2
9 4
3 2
9 4
( )
( )( )
Assim, z i− = +1
3
13
2
13
Resposta
z i− = +1
3
13
2
13
a. Z + W b. Z – W c. Z · W
Resolução
Z + W = (4 + 2i) + (3 – 5i) = 4 + 2i + 3 – 5i = 7 – 3i
Z – W = (4 + 2i) – (3 – 5i) = 4 + 2i –3 + 5i = 1 + 7i
Z · W = (4 + 2i) (3 – 5i) = 12 – 20i + 6i – 10i2 =
 12 – 14i + 10 = 22 – 14i
Resposta
a. 7 – 3i; b. 1 + 7i; c. 22 – 14i.
04. FCC-BA
O número complexo 1 – i é raiz da equação 
x2 + + kx + t = 0 (k, t ∈ ) se, e somente se:
a. k = t = – 2 
b. k = t = 2 
c. k = –2 e t = 2
d. k = 2 e t = – 2
e. k + t = 1
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
12
Matemática
07. 
Determinar m ∈  para que z
i
mi
=
+
+
2 3
2
 seja 
um imaginário puro.
Resolução
z
i
mi
i mi
mi mi
z
i
mi
mi i mi
=
+
+
=
+ −
+ −
=
+
+
=
− + −
2 3
2
2 3 2
2 2
2 3
2
4 2 6 3
( )( )
( )( )
22
2 2
2 2
4
2 3
2
4 3
4
6 2
4
−
=
+
+
=
+
+
+
−
+
m i
z
i
mi
m
m
m
m
i
( ) ( )
Para que z seja imaginário puro, devemos ter:
Re (z) = 0
Assim:
4 3
4
0 4 3 0
4
32
+
+
= ⇒ + = ⇒ = −
m
m
m m
Resposta 
m = −
4
3
08. 
Calcular: i14 – 3i–9 + 2i26
Resolução
14 4
2 3
9 4
1 2
26 4
2 6
3
1
2 1 3 2 3 32 2i
i
i i i− ⋅ + = − + − = − +
Resposta
–3 + 3i
09. 
Calcular i4n – 2.
Resolução
i
i
i
i
n
n n n
4 2
4
2
4
1
1
1
1− = =
−
=
−
= −
( )
Resposta 
– 1
7. O plano de Gauss 
Já sabemos que cada número real pode ser associado a um ponto de uma reta e que cada ponto 
da reta é imagem de um único número real. Para representarmos geometricamente os números 
complexos (entre os quais se encontram todos os números reais), utilizaremos um plano. Assim 
sendo, considere um plano no qual se fixou um sistema de coordenadas retangulares. Represen-
taremos cada número complexo z = a + bi pelo ponto do plano de coordenadas (a, b).
Dessa forma, o número complexo z = 2 + 3i, por exemplo, será representado pelo ponto 
P (2, 3).
0 2 x
3
y
P (2, 3)
Quem pela primeira vez fez essa interpretação geométrica foi Wessel, num artigo publicado em 
1798, mas sua obra ficou quase desconhecida; por isso, este plano onde representamos os nú-
meros complexos é conhecido, até hoje, como plano de Gauss, embora este tenha publicado a 
mesma ideia cerca de trinta anos depois. No plano de Gauss, os números reais são representados 
por pontos que pertencem ao eixoOx e, por isso, esse eixo será chamado de eixo real, enquanto 
o eixo Oy será chamado de eixo imaginário. O ponto P(a, b), que representa o número complexo 
z = a + bi, será chamado de afixo ou imagem deste número complexo.
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
13
Matemática
8. Módulo de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi, com a 
e b reais, chamamos de módulo de z e indica-
mos z ou ρ à distância entre a origem O do 
plano de Gauss e o afixo de z.
O a
b
x
P (afixo de z)
z
y
Sendo O (0, 0) e P (a, b)
d a b a bOP = − + − = +( ) ( )0 02 2 2 2
Assim: | |z a b= = +ρ 2 2
Observação – a definição de módulo no con-
junto dos números complexos é coerente com 
a definição dada em , ou seja:
Se z = x e x ∈ , então |z| = |x|
De fato:
x ∈  e z = x ⇒ z = x + 0 i ⇒ | |z x= +2 20
Assim z x ou seja z x, | | , ,| | | |= =2
Exemplos
1º) z i z1 1 2 23 2 3 2 13= + ⇒ = + =| |
2º) z i z2 2 2 21 3 1 3 10= − + ⇒ = − + =| | ( )
3º) z i z3 3 2 22 0 2 2= ⇒ = + =| |
4º) z z4 4 2 23 3 0 3= − ⇒ = − + =| | ( )
Propriedades
Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di dois números 
complexos quaisquer, então:
1ª) | | | |z z1 1=
Demonstração
z a bi z a b
z a bi z a b a b
1 1
2 2
1 1
2 2 2 2
= + ⇒ = +
= − ⇒ = + − = +
| |
| | ( )
Assim: | | | |z z1 1=
2ª) | | | | | |z z z z1 2 1 2⋅ = ⋅
z z a bi c di ac bd bc ad i
z z ac bd bc ad
1 2
1 2
2
⋅ = + + = − + +
⋅ = − + +
( )( ) ( ) ( )
| | ( ) ( ))
| |
| | (
2
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2
2 2z z a c abcd b d b c abcd a d
z z c a b
⋅ = − + + + +
⋅ = + )) ( )
| | ( )( )
| |
+ +
⋅ = + +
⋅ = + ⋅ +
d a b
z z a b c d
z z a b c d
2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
Assim: |z1 · z2| = |z1| · |z2|
3ª) 
z
z
z
z
z1
2
1
2
2 0= = ≠( )
Demonstração
z
z
z
z z
z
z
z z
z
z
z z
2
1
2
2 1
1
2
2 1
1
2
2 1
0≠ ⇒ ⋅ = ⇒
⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =
Assim: 
z
z
z
z
1
2
1
2
=
Observação – Existem outras propriedades
que são válidas para os números complexos e 
que serão demonstradas posteriormente.
4ª) | | | |z zn n1 1=
5ª) z z z z1 2 1 2+ ≤ +
Importante
Todos os números complexos com módulo r 
têm os seus afixos em uma circunferência de 
centro na origem e raio r.
O
r
Real
Im
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
14
Matemática
9. Argumento de um número complexo
Sendo z = a + bi um número complexo não nulo 
e P o afixo de z no plano de Gauss de origem O, 
chamamos argumento do número complexo z 
a medida θ do arco com centro em O tomado a 
partir do semieixo real positivo até a semirreta 
OP
� ��
 no sentido anti-horário.
Assim:
O
ρ
Real
Im
P
θ
θ0° < < 90°
O
ρ
Real
Im
P
θ
θ90° < < 180°
O
ρ
Real
Im
P
θ
180° < θ < 270°
O ρ Real
Im
P
θ
270° < θ < 360°
Da trigonometria concluímos que:
cos θ
ρ
θ
ρ
= =
a
e sen
b
em que ρ é o módulo de z.
Em particular quando:
a e b
se a
se a
a e b
se b
≠ = ⇒
= ° >
= ° <

= ≠ ⇒
= ° >
= °
0 0
0 0
180 0
0 0
90 0
270
θ
θ
θ
θ
,
,
,
,, se b <
 0
Exemplos
1º) Calcular o argumento do número com-
plexo z = 2 – 2i.
Resolução
ρ
θ θ
θ
= = + − = =
= = =
−
= −
= °
z
e sen
Assim
2 2 8 2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
315
2 2( )
cos
,
2º) Calcular o argumento de z i= − +1 3 .
Resolução
ρ
θ θ
θ
= = − + = =
= − =
= °
z
e sen
Assim
( ) ( )
cos
,
1 3 4 2
1
2
3
2
120
2 2
3º) Calcular o argumento de z = – 4i.
Resolução
ρ
θ θ
θ
= = + − =
= = =
−
= −
= °
z
e sen
Assim
0 4 4
0
4
0
4
4
1
270
2 2( )
cos
,
4º) Calcular o argumento de z = – 2.
Resolução
ρ
θ θ
θ
= = − − =
=
−
= − = =
= °
z
e sen
Assim
( )
cos
,
2 0 2
2
2
1
0
2
0
180
2 2
Importante
Todos os números complexos com mesmo ar-
gumento θ têm os seus afixos em uma semir-
reta de origem O.
O Real
Im
P
θ
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
15
Matemáti ca
10. Forma trigonométrica 
de um número complexo
Podemos determinar um número complexo de 
dois modos:
1º) Conhecendo a = Re (z) e b = Im (z) e te-
mos: 
z = a + bi, que é a forma algébrica de z.
2º) Conhecendo ρ = |z| e o θ = argumento 
de z, temos:
cos cos
:
cos
θ
ρ
ρ θ
θ
ρ
ρ θ
ρ θ ρ
= ⇒ = ⋅
= ⇒ = ⋅
= + = ⋅ + ⋅
a
a e
sen
b
b sen
Assim
z a bi sen θθi
Então:
z = ρ(cosq + isenq) ,
que é a forma trigonométrica de z.
Exemplos
1º) Colocar o número complexo z = 1 + i na 
forma trigonométrica.
Resolução
z i z
e sen
Então
Logo z
= + ⇒ = + =
= = = =
= °
=
1 1 1 2
1
2
2
2
1
2
2
2
45
2
2 2
cos
:
: (co
θ θ
θ
ss )45 45° + °i sen
2º) Escreva na forma trigonométrica z = – 2i.
Resolução
z i z
e sen
Então
Logo z
= − ⇒ = + − =
= = =
−
= −
= °
=
2 0 2 2
0
2
0
2
2
1
270
2 2( )
cos
:
:
θ θ
θ
22 270 270(cos )° + °i sen
3º) Escreva na forma trigonométrica z = – 4.
Resolução
z z
e sen
Assim
Logo z
= − ⇒ =
=
−
= − = =
= °
= ° +
4 4
4
4
1
0
4
0
180
4 180
cos
:
: (cos
θ θ
θ
ii sen180°)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – 2i, verificar a veraci-
dade das sentenças abaixo.
a. z z1 1=
b. z z z z1 2 1 2⋅ = ⋅
c. z
z
z
z
1
2
1
2
=
d. z z12 1
2
=
e. z z z z1 2 1 2+ ≤ +
Resolução
a. z i
z i
z z
1
2 2
1
2 2
1 1
2 3 2 3 13
2 3 2 3 13
= + = + =
= − = + − =
∴ =
( )
b. z z i i
z z i i i
z z i
z z
1 2
1 2
2
1 2
1 2
2 3 1 2
2 4 3 6
8 64 1 65
⋅ = + −
⋅ = − + −
⋅ = − = + =
⋅
( )( )
)
== + ⋅ −
⋅ = + ⋅ + = ⋅ =
∴ ⋅ = ⋅
2 3 1 2
4 9 1 4 13 5 651 2
1 2 1 2
i i
z z
z z z z
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
16
Matemática
c. z
z
i
i
z
z
i i
i i
z
z
i
1
2
1
2
1
2
2 3
1 2
2 3 1 2
1 2 1 2
4
5
7
5
16
2
=
+
−
=
+ +
− +
=
−
+ =
( )( )
( )( )
55
49
25
65
5
2 3
1 2
4 9
1 4
13
5
65
5
1
2
1
2
1
2
+ =
=
+
−
=
+
+
= =
∴ =
z
z
i
i
z
z
z
z
d. z i
z i i
z i
z i
1
2 2
1
2 2
1
2
1
2 2
2 3
4 12 9
5 12 25 144 13
2 3 4
= +
= + +
= − + = + =
= +( ) = +
( )
99 13 13
2 2
1
2
1
2
( ) = ( ) =
∴ =z z
e. z z i i
z z i
z z i i
z z
1 2
1 2
1 2
1 2
2 3 1 2
3 9 1 10
2 3 1 2
4 9 1
+ = + + −
+ = + = + =
+ = + + −
+ = + + + 44
13 5
10 13 5
1 2
1 2 1 2
z z
z z z z
+ = +
< + ⇒ + ≤ +
02. 
Obter o argumento dos complexos:
a. z = 5 + 5i
b. z i= −3
Resolução
a. tgθ = =5
5
1
O Re
Im
Z
5
5
(1° quadrante)
Portanto, θ pi= ° =45
4
rad
b. tgθ =
−
= −
1
3
3
3
O
3
Re
Im
Z
–1 (4° quadrante)
x
y
π5
6
π11
6
Portanto, θ pi= 11
6
rad
03. 
Escrever o número z i= − −1 3 na forma trig-
nométrica.
Resolução
ρ
θ
= − + − =
=
−
−
=
( ) ( )1 3 2
3
1
3
2 2
tg
O
3–
Re
Im
Z
–1
(3° quadrante) 
x
y
π
3
π4
3
Logo z i sen
z i sen
, (cos )
cos
= +
= +




ρ θ θ
pi pi
2
4
3
4
3
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
17
Matemáti ca
11. Operaçõesna forma 
trigonométrica
A. Adição 
Sejam os números complexos z1 e z2 na forma 
trigonométrica:
z1 = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1)
z2 = ρ2 (cos θ2 + i sen θ2)
Vamos efetuar a adição de z1 e z2:
z1 + z2 = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1) + ρ2 (cos θ2 + i sen θ2)
z1 + z2 = (ρ1 · cos θ1 + ρ2 · cos θ2) + i (ρ1 · sen θ1 + 
+ ρ2 · sen θ2)
O módulo de z1 + z2 será:
z z1 2z z1 2z z
2 2
+ =+ =z z+ =z z1 2+ =1 2z z1 2z z+ =z z1 2z z
( )1 1( )1 1 2 2( )2 2⋅ +( )⋅ + + ⋅( )n s( )n s1 1( )1 1n s1 1n s( )n s1 1n s2 2( )2 2+ ⋅( )+ ⋅ + ⋅( )+ ⋅n s+ ⋅n s( )n s+ ⋅n s( )ρ θ( )1 1( )1 1ρ θ1 1( )1 1⋅ +( )⋅ +ρ θ⋅ +( )⋅ +1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1ρ θ1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1( )ρ θ( )2 2( )2 2ρ θ2 2( )2 2 ( )ρ θ( )se( )seρ θse( )sen s( )n sρ θn s( )n s( )ρ θ( )1 1( )1 1ρ θ1 1( )1 1se1 1se( )se1 1seρ θse1 1se( )se1 1sen s1 1n s( )n s1 1n sρ θn s1 1n s( )n s1 1n s+ ⋅( )+ ⋅ρ θ+ ⋅( )+ ⋅1 1+ ⋅1 1( )1 1+ ⋅1 1ρ θ1 1+ ⋅1 1( )1 1+ ⋅1 1( )ρ θ( )n s( )n sρ θn s( )n sen( )enρ θen( )en( )ρ θ( )n s( )n sρ θn s( )n s2 2( )2 2ρ θ2 2( )2 2n s2 2n s( )n s2 2n sρ θn s2 2n s( )n s2 2n sen2 2en( )en2 2enρ θen2 2en( )en2 2en+ ⋅( )+ ⋅ρ θ+ ⋅( )+ ⋅n s+ ⋅n s( )n s+ ⋅n sρ θn s+ ⋅n s( )n s+ ⋅n sn s2 2n s+ ⋅n s2 2n s( )n s2 2n s+ ⋅n s2 2n sρ θn s2 2n s+ ⋅n s2 2n s( )n s2 2n s+ ⋅n s2 2n s1 1( )1 1ρ θ1 1( )1 1co1 1( )1 1ρ θ1 1( )1 1⋅ +( )⋅ +ρ θ⋅ +( )⋅ +co⋅ +( )⋅ +ρ θ⋅ +( )⋅ +1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1ρ θ1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1co1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1ρ θ1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1( )s c( )1 1( )1 1s c1 1( )1 1⋅ +( )⋅ +s c⋅ +( )⋅ +1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1s c1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 11 1( )1 1ρ θ1 1( )1 1s c1 1( )1 1ρ θ1 1( )1 1⋅ +( )⋅ +ρ θ⋅ +( )⋅ +s c⋅ +( )⋅ +ρ θ⋅ +( )⋅ +1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1ρ θ1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1s c1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1ρ θ1 1⋅ +1 1( )1 1⋅ +1 1( )ρ θ( )s c( )ρ θ( )2 2( )2 2ρ θ2 2( )2 2s c2 2( )2 2ρ θ2 2( )2 2⋅( )⋅ρ θ⋅( )⋅s c⋅( )⋅ρ θ⋅( )⋅( )ρ θ( )os( )ρ θ( )2 2( )2 2ρ θ2 2( )2 2os2 2( )2 2ρ θ2 2( )2 2
Simplificando, encontramos:
z z1 2 12 22 1 2 1 22+ = + + ⋅ ⋅ −( )( )ρ ρ ρ ρ θ θcos
Este último resultado mostra-nos que o módulo 
de soma é o maior possível quando cos (θ1 – θ2) 
for máximo, o que se dará para cos (θ1 – θ2) = 1, 
e neste caso teremos:
z z1 2 12 22 1 22+ = + + ⋅ρ ρ ρ ρ
ou seja:
z z1 2 1 2+ = +ρ ρ
Assim, podemos afirmar que:
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
B. Representação 
geométrica da adição
Consideremos dois números complexos, z1 e 
z2, na forma algébrica:
z1 = a1 + b1 i
z2 = a2 + b2 i
Vamos construir as imagens respectivas de 
z1 e z2 que representamos por M1 e M2.
Com os pontos O, M1, M2 e M vamos cons-
truir o paralelogramo OM1MM2, cuja diagonal 
é OM .
x
M2
Q1
Q2
Q M
O P2 P1 P
M1
A partir da figura, podemos concluir que:
OP OP PP
PP OP
OP OP OP
= +
=
 ⇒ = +
1 1
1 2
1 2
Como OP1 = a1 e OP2 = a2, temos que: OP = a1 + a2
Analogamente, provamos que:
OQ = OQ1 + OQ2 = b1 + b2
Dessa forma, concluímos que o ponto M é o afi-
xo do número complexo (a1 + a2) + (b1 + b2) i, 
que é a soma z1 + z2.
Assim, concluímos que:
a soma de dois números complexos é repre-
sentada geometricamente pela diagonal do 
paralelogramo construído sobre os vetores 
correspondentes aos dois complexos dados.
Escrevemos que:
OM OM OM
� ��� � ��� � ���
= +1 2
C. Multi	plicação	
Consideremos os números complexos não nulos:
z1 = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1)
z2 = ρ2 (cos θ2 + i sen θ2)
A multiplicação de z1 por z2 ficará:
z1 · z2 = ρ1 · ρ2 · (cos θ1 · cos θ2 + i cos θ1 · sen θ2 
+ i cos θ2 · sen θ1 + i2 sen θ1 · sen θ2)
Agrupando convenientemente, temos:
z z sen sen1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
+
ρ ρ θ θ θ θ
θ θ
(cos cos )
cos( )
upcurlybracketleft upcurlybracketmid����� upcurlybracketright������
� ������ ���



+
+
⋅ ⋅ + ⋅
+
i sen sen
sen
( cos cos )
( )
θ θ θ θ
θ θ
1 2 2 1
1 2
����



Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
18
Matemáti ca
Assim:
z1 · z2 = ρ1 · ρ2 [cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)]
Podemos observar que:
1º) o módulo de z1 · z2 é igual ao produto 
dos módulos de z1 e z2 ;
2º) o argumento de z1 · z2 é igual à soma 
dos argumentos de z1 e z2.
Exemplo
Calcular o produto dos números complexos
z = 2 (cos 50° + i sen 50°) e 
w = 3 (cos 20° + i sen 20°).
Resolução
z · w = 2 · 3 · [cos (50° + 20°) + i sen (50° + 20°)]
Assim: z · w = 6 · (cos 70° + i sen 70°)
Importante – Se tivermos n fatores, podere-
mos verificar que:
 z1 · z2 · ... · zn = ρ1 · ρ2 · ... · ρn [cos (θ1 + θ2 + ... + 
+ θn) + i sen (θ1 + θ2 + ... + θn)]
Exemplo
Calcular o produto dos números complexos:
z i sen
z i sen
z i sen
1
2
3
2
6 6
3
3 3
5
2
= +




= +




= +
cos
cos
cos
pi pi
pi pi
pi pipi
2




Resolução
z z z
i sen
1 2 3 2 3 5 6 3 2
6 3 2
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + +



 +


+ + +






cos
pi pi pi
pi pi pi
Assim: z1 · z2 · z3 = 30 [cos π + i sen π]
D. Divisão
Consideremos os números complexos não nulos:
z1 = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1) z2 = ρ2 (cos θ2 + i sen θ2)
A divisão de z1 por z2 ficará:
z
z
i sen
i sen
i sen1
2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2
=
+
+
⋅
−ρ θ θ
ρ θ θ
ρ θ θ
ρ
(cos )
(cos )
(cos )
(coos )
(cos cos cos cos
θ θ
ρ ρ θ θ θ θ θ
2 2
1
2
1 2 1 2 2 1 1
−
=
⋅ − ⋅ + ⋅
i sen
z
z
i sen i sen θθ θ θ
ρ θ θ
ρ ρ θ θ
2
2
1 2
2
2 2
2
2
2
1
2
1 2 1 2
− ⋅
+
=
⋅ +
i sen sen
sen
z
z
)
(cos )
(cos cos ssen sen i sen sen
sen
θ θ θ θ θ θ
ρ θ θ
1 2 1 2 2 1
2
2 2
2
2
2
⋅ + ⋅ − ⋅
+
( cos cos )
(cos )
Logo:
z
z
1
2
1
2
= −= −[ ]1 2[ ]1 2 1 2[ ]1 2= −[ ]= − + −[ ]+ −ρρ [ ]θ θ[ ]1 2[ ]1 2θ θ1 2[ ]1 2= −[ ]= −θ θ= −[ ]= −[ ]θ θ[ ]1 2[ ]1 2θ θ1 2[ ]1 2+ −[ ]+ −θ θ+ −[ ]+ −1 2+ −1 2[ ]1 2+ −1 2θ θ1 2+ −1 2[ ]1 2+ −1 2[ ]cos([ ]= −[ ]= −cos(= −[ ]= −[ ]) ([ ]i s[ ]i s) (i s[ ]i sen[ ]en) (en[ ]en+ −[ ]+ −) (+ −[ ]+ −i s+ −i s[ ]i s+ −i s) (i s+ −i s[ ]i s+ −i sen+ −en[ ]en+ −en) (en+ −en[ ]en+ −en[ ])[ ]
Podemos observar que:
1º) o módulo de 
z
z
1
2
 é igual ao quociente 
dos módulos de z1 e z2;
2º) o argumento de 
z
z
1
2
 é igual à diferença 
dos argumentos de z1 e z2.
Exemplo
Calcular o quociente dos números complexos
z = 6 (cos 70° + i sen 70°) e
w = 2 (cos 20° i sen 20°).
Resolução
z
w
i sen= ° − ° + ⋅ ° − °[ ]6
2
70 20 70 20cos ( ) ( )
Assim: 
z
w
i sen= ° + °3 50 50(cos )
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
19
Matemática
E. Potenciação 
Sendo z = ρ (cos θ + i sen θ) e n um número 
natural não nulo, temos:
z z z z zn
n fatores
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅...� �� ��
zn = ρ · ρ · ... · ρ [cos (θ + θ + ... + θ) + 
+ i sen (θ + θ + ... + θ)]
Assim, zn = ρn [cos(n · θ) + i sen (n · θ)] é conhe-
cida como a 1ª fórmula de Moivre.
Podemos observar que:
1º) o módulo de zn é igual ao módulo de z 
elevado ao expoente n;
2º) o argumento de zn é igual ao argumen-
to de z multiplicado por n.
Exemplos
1º) Dado z i= +
1
2
3
2
, calcular z6.
Resolução
ρ = 

 +



 = + =
1
2
3
2
1
4
3
4
1
2 2
cos θ
ρ
θ
ρ
θ pi
= = =
= = =





⇒ =
a
sen
b
rad
1
2
1
1
2
3
2
1
3
2
3
Assim:
z i sen
z i sen
= ⋅ +




= ⋅ ⋅ + ⋅




1
3 3
1 6
3
6
3
6 6
cos
cos
pi pi
pi pi
z6 = 1 · (cos 2 π + i sen 2 π)
z6 = 1 · (1 + i · 0)
z6 = 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Dados os números complexos z = 8 (cos 75° + 
+ i sen 75°) e w = 2 (cos 15° + i sen 15°), pode-
se dizer que:
a. z · w = 16
b. z
w
i= +2 2 3
c. z
w
sen i= ° + °4 60 60( cos )
d. z · w = – 16i
Resolução
z
w
i sen
i sen
= ° − ° + ° − °[ ] =
= ° + ° = +8
2
75 15 75 15
4 60 60 4
1
2
(cos( ) ( )
(cos )
33
2
2 1 3 2 2 3
i
i i



 =
= + = +( )
Resposta
B
02. 
Dado z = 2 cos
pi pi
3 3
+



i sen , calcular 
1
6z
.
Resolução
Sabendo que zn = ρn · (cos n · θ + i sen n · θ)
z i sen
z
− −
−
= − ⋅
  + − ⋅ 




= ⋅ −(
6 6
6
6
2 6
3
6
3
1
2
2
cos
cos
pi pi
pi)) + −( ) 
= ⋅ +( )
= ⋅ + ⋅( )
=
−
−
−
i sen
z i sen
z i
z
2
1
2
0 0
1
64
1 0
1
64
6
6
6
6
pi
cos
Resposta
z− =6 1
64
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
20
Matemática
03. 
Determinar o menor valor de n ∈ *, tal que 
2 2−( )i n seja real.
Resolução
Sendo z i
a
sen
b
= −
= ( ) + −( ) = =
= =
= =
−





⇒ =
2 2
2 2 4 2
2
2
2
2
2 2
ρ
θ
ρ
θ
ρ
θ
cos
77
4
pi
Assim:
z i sen
z n i sen nn n
= ⋅ +




= ⋅ ⋅



 + ⋅



2
7
4
7
4
2
7
4
7
4
cos
cos
pi pi
pi pi





Para que zn seja real, devemos ter:
Im (zn) = 0
Assim: sen n⋅

 =
7
4
0
pi
n k⋅ =
7
4
pi
pi
Então: n k k⋅ = ∈
7
4
, 
Se n é natural, devemos ter que n seja múltiplo 
de 4. Então, o menor valor de n é:
n = 4
04. 
Sendo z = cos θ + i sen θ, obtenha as fórmulas 
de sen (2θ) e cos (2θ) utilizando a fórmula de 
Moivre.
Resolução
Sabemos que:
(cos θ + i sen θ)n = (cos(nθ) + isen(nθ))
Fazendo n = 2, temos:
(cos θ + i sen θ)2 = (cos 2θ + i sen 2θ) 
(cos θ + i sen θ)2 =
= cos2 θ + 2 cos θ · i sen θ + i2 · sen2 θ
(cos θ + i sen θ )2 =
= (cos2 θ – sen2 θ) + i · 2 · sen θ · cos θ 
Então:
(cos 2θ + i sen 2θ) =
= (cos2 θ – sen2 θ) + i · 2 · sen θ · cos θ
Igualando as partes reais e imaginárias, obtemos:
cos 2θ = cos2 θ – sen2 θ 
e
sen (2θ) = 2 sen θ · cos θ 
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
21
Matemáti ca
1. Introdução
Vimos, anteriormente, as funções do 
1º grau (f(x) = ax + b) e as funções do 
2º grau (f(x) = ax2 + bx + c). Tais funções pos-
suem relativa facilidade ao serem manipula-
das e estudadas. Em uma tentativa de se gene-
ralizarem funções que tivessem características 
semelhantes às funções do 1º e do 2º grau, 
desenvolveu-se uma classe de funções espe-
ciais denominadas polinômios.
2. Polinômios – defi nição
A. Monômios
Toda expressão da forma axn, com a ∈  (com-
plexos), x ∈  e n ∈ , recebe o nome de mo-
nômio.
Nomenclatura
a é denominado coeficiente.
x é denominado variável.
n é denominado grau, quando a ≠ 0.
Ao atribuirmos um valor α à variável x e efe-
tuarmos as operações matemáticas, teremos 
um resultado denominado valor numérico do 
monômio para x = α.
Por exemplo: considere o monômio 2 ⋅ x2. Se 
substituirmos 5 no lugar da variável x, teremos 
as seguintes operações: 2 ⋅ 52, cujo resultado é 
50. Dizemos então que 50 é o valor numérico 
do monômio 2 ⋅ x2 quando x = 5.
B. Polinômios
Quando conseguirmos organizar um ou mais 
monômios na forma:
P(x) = an ⋅ xn + an – 1 ⋅ xn – 1 + an – 2 ⋅ xn – 2 + ... + 
+ a3 ⋅ x3 + a2 ⋅ x2 + a1 ⋅ x1 + a0 ,
formamos um polinômio ou função polino-
mial, ou função racional inteira.
Os números complexos an, an – 1, an – 2, ... , a3, 
a2, a1, e a0 são denominados coeficientes do 
polinômio e a0 é também chamado de coefi-
ciente independente ou termo independente. 
O complexo x é a variável ou incógnita. Cada 
polinômio da forma ak ⋅ xk é também chama-
do de termo polinômio. Quando an é não nulo, 
dizemos que o polinômio tem grau n e indica-
mos por G(P(x)) = n.
Exemplos
a. Toda função constante, não nula, é um 
polinômio de grau 0.
b. Toda função afim e não constante é um 
polinômio de grau 1.
c. Toda função quadrática é um polinômio 
de grau 2.
C. Valor numérico de um polinômio
Dizemos que o resultado das operações 
an ⋅ αn + an – 1 ⋅ αn – 1 + an – 2 ⋅ αn – 2 + ... +
+ a3 ⋅ α3 + a2 ⋅ α2 + a1 ⋅ α1 + a0, que indicamos 
por P(α), é o valor numérico do polinômio 
P(x) = an ⋅ xn + an – 1 ⋅ xn – 1 + an – 2 ⋅ xn – 2 + ... + 
+ a3 ⋅ x3 + a2 ⋅ x2 + a1 ⋅ x1 + a0, para x = α.
Exemplo
Considere o polinômio P(x) = 3x4 + x3 – 5x – 7. 
Calcular os seguintes valores numéricos:
a. P(0)
b. P(1)
Resolução
I. P(0) = 3 ⋅ 04 + 03 – 5 ⋅ 0 – 7 = 
 = 0 + 0 – 0 – 7 = –7
II. P(1) = 3 ⋅ 14 + 13 – 5 ⋅ 1 – 7 = 
 = 3 + 1 – 5 – 7 = –8
Analisando esse exemplo, podemos enunciar 
duas importantes propriedades:
I. P(0) fornece o termo independente do 
polinômio.
II. P(1) fornece a soma dos coeficientes do 
polinômio.
Observação – A princípio, são óbvias essas 
propriedades, mas, se encontrarmos polinô-
mios na forma fatorada, tais propriedades po-
dem se tornar bastante úteis.
CAPÍTULO 02 POLINÔMIOS
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
22
Matemáti ca
D. Raiz ou zero de um polinômio
Dizemos que α é uma raiz ou zero de um po-
linômio quando seu valor numérico é igual a 
zero, isto é, quando P(α) = 0.
Exemplo
Considere o polinômio P(x) = 2x3 – 3x2 – 4. Cal-
cule P(2).
Resolução
P(2) = 2 ⋅ 23 – 3 ⋅ 22 – 4 = 16 – 12 – 4 = 0
Como P(2) é igual a zero, dizemos que 2 é uma 
raiz do polinômio.
Observação – Métodos para encontrar raízes 
de polinômios serão estudados posteriormen-
tes, porém é importante se acostumar com 
esse conceito desde as primeiras definições.
E. Polinômio	identi	camente	nulo
Um polinômio P(x) é denominado polinômio 
nulo quando P(x) = 0 para todo valor da variável. 
Indicamos o polinômio nulo por P(x) ≡ 0. Na prá-
tica, dizemos que um polinômio é nulo quando 
todos os seus coeficientes são iguais a zero.
Observação – Não se define grau de polinômio 
nulo.
Exemplo
P(x) = 0x2 + 0x + 0 é identicamente nulo.
F. Polinômios	idênti	cos
Dois polinômios, P(x) e Q(x), são chamados de 
polinômios idênticos se P(x) = Q(x), para todos 
os valores de x. Quando dois polinômios são 
idênticos, usamos a notação P(x) ≡ Q(x), leia-se 
P(x) idêntico a Q(x). Na prática, tal definição 
não é eficaz, então é preferível utilizar a se-
guinte propriedade:
P(x) ≡ Q(x) se, e somente se, G(P(x)) = G(Q(x)) e 
todos os coeficientes correspondentes são iguais.
Observação – dizemos que dois coeficientes 
são correspondentes quando são coeficientes 
de variáveis que possuem expoentes iguais. 
Por exemplo, o coeficiente do termo que pos-
sui x4 em P(x) é correspondente ao coeficiente 
do termo que possui x4 em Q(x).
Exemplo
Calcular a, b e c para que os polinômios sejam 
idênticos:
P(x) = ax4 + (b + 1)x3 + (c – 2)x – 5
M(x) = 3x3 + 4x – 5
Resolução
Devemos ter:
ax4 + (b + 1)x3 + 0x2 + (c – 2)x – 5 ≡ 0x4 + 3x3 + 
+ 0x2 + 4x – 5
para ∀ x ∈ .
Assim:
a = 0; b + 1 = 3 e c –2 = 4
ou seja: a = 0; b = 2 e c = 6
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Se P(x) = 2x3 + ax + b, P(2) = 12 e P(–2) = 8, 
então P(1) é:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Resolução
P a b
a b
P
( )
................... ( )
( ) (
2 2 2 2 12
2 4 1
2 2
3
= ⋅ + ⋅ + = ⇒
⇒ + = −
− = ⋅ −− + ⋅ − + = ⇒
⇒ − + =
2 2 8
2 24 2
3) ( )
................. ( )
a b
a b
De (1) e (2), temos a = –7 e b = 10. Assim,
P(x) = 2x3 – 7x + 10.
Portanto, P(1) = 2 ⋅ 13 – 7 ⋅ 1 + 10 = 5
Resposta
E
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
23
Matemática
02. UFRGS-RS
Se P(x) é um polinômio de grau 5, então o grau 
de [P(x)]3 + [P(x)]2 + 2P(x) é:
a. 3
b. 8
c. 15
d. 20
e. 30
Resolução
gr(P(x)) = 5
gr[P(x)]3 = 5 ⋅ 3 = 15
gr[P(x)]2 = 5 ⋅ 2 = 10
gr[2P(x)] = 5
Temos então três polinômios de graus dife-
rentes. Logo, para gr{[P(x)]3 + [P(x)]2 + 2P(x)}, 
o grau será o do polinômio de maior grau, ou 
seja, 15.
Resposta
C
03. UFPA
Dos polinômiosabaixo, qual o único que pode 
ser identicamente nulo?
a. a2x3 + (a – 1)x2 – (7 – b)x
b. (a + 1)x2 + (b2 – 1)x + (a – 1)
c. (a2 + 1)x3 – (a – 1)x2
d. (a – 1)x3 – (b + 3)x2 + (a2 – 1)
e. a2x3 – (3 + b)x2 – 5x
Resolução
a. Não, pois a2 e a – 1 não podem ser, simul-
taneamente, iguais a zero.
b. Não, pois a + 1 e a – 1 não podem ser, si-
multaneamente, iguais a zero.
c. Não, pois a2 + 1 e a – 1 não podem ser, 
simultaneamente nulos.
e. Não, pois o termo do 1º grau tem coefi-
ciente não nulo.
O polinômio do item d será nulo quando a = 1 
e b = –3.
Resposta
D
04. Unifor-CE
Sejam os polinômios f(x) = x2 + 2px + q e 
g(x) = (x – p) (x + q), com p e q reais não nulos. 
Se f(x) é idêntico a g(x), então o valor de p + q 
é igual a:
a. –4
b. –3
c. –2
d. 0
e. 1
Resolução
p e q ∈ *
f(x) ≡ g(x) ⇒ x2 + 2px + q ≡ (x – p) (x + q)
x2 + 2px + q ≡ x2 + (q – p)x – pq


 
 
 
p q p
p q q
p e q
+ − = −
⋅ − =
 = − = −
( )
( )
2
1 3
∴ p + q = – 1 – 3 = –4
Resposta
A
05. PUC-SP
O número de raízes reais do polinômio 
P(x) = (x2 + 1)(x – 1)(x + 1) é:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Resolução
P(x) = (x2 + 1) (x – 1) (x + 1)
Raízes de P(x) ⇒ P(x) = 0 
x2 + 1 = 0 ⇒ raízes complexas não reais
ou x – 1 = 0 ⇒ x = 1
ou x + 1 = 0 ⇒ x = –1
Há duas raízes
Resposta
C
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
24
Matemática
3. Polinômios – Operações
A. Adição (subtração) de polinômios
Para somar ou subtrair dois polinômios, basta 
somar (subtrair) os termos que possuem vari-
ável com mesmo expoente.
Assim, dados dois polinômios:
A(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a2x2 + a1x1 + a0
e
B(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + ... + b2x2 + b1x1 + b0 ,
chamamos de soma de A e B o único polinô-
mio S, tal que S(x) = A(x) + B(x).
Esse polinômio é:
S(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn – 1)xn – 1 + ... + (a2 + 
+ b2)x2 + (a1 + b1)x + (a0 + b0)
Exemplo
Dados os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 e 
B(x) = x3 – 3x2 + 4x + 1, obter o polinômio S(x), 
tal que S(x) = A(x) + B(x).
Resolução
Observemos que:
A(x) = 0x3 + x2 – 3x + 2 e
B(x) = x3 – 3x2 + 4x + 1
S(x) = (0 + 1)x3 + (1 – 3)x2 + (–3 + 4)x + (2 + 1)
Assim: S(x) = x3 – 2x2 + x + 3
A.1. Propriedades
Sendo A, B e C três polinômios quaisquer, são 
válidas as seguintes propriedades:
1ª A + B ≡ B + A (comutativa)
2ª A + (B + C) ≡ (A + B) + C (associativa)
3ª A + 0 ≡ A (elemento neutro)
 0 indica o polinômio nulo.
4ª A + (–A) ≡ 0 (elemento oposto)
Observação – A partir da quarta propriedade, 
podemos definir a diferença entre dois polinô-
mios A – B como sendo a adição de A com o 
oposto de B.
A(x) – B(x) ≡ A(x) + [–B(x)]
Exemplo
Dados os polinômios P1(x) = 3x3 – 2x – 1 e 
P2(x) = x4 + x2 + 3x + 5, obter P1(x) – P2(x).
Resolução
P1(x) – P2(x) = (3x3 – 2x – 1) – (x4 + x2 +3x + 5)
Assim:
P1(x) – P2 (x) = –x4 + 3x3 – x2 – 5x – 6
A.2. Considerações sobre o grau
Sendo A e B dois polinômios quaisquer, temos:
1º Se GA ≠ GB, o grau de A + B ou de A – B 
ou de B – A é o maior grau entre os dois 
polinômios A e B.
Exemplo
Sendo A(x) = 3x2 + 2x + 1 e
B(x) = x3 + x – 3, temos:
A(x) + B(x) = x3 + 3x2 + 3x – 2
GA = 2 e GB = 3 ⇒ GA + B = 3
2º Se GA = GB, o polinômio A + B pode ser 
identicamente nulo (grau não definido) 
ou apresentar grau menor ou igual ao 
grau dos polinômios A e B (o mesmo 
pode ser afirmado de A – B e B – A).
Exemplo
Sendo A (x) = x3 + 3x2 – x + 1 e
B(x) = x3 + 3x2 + 2x – 3
A(x) + B(x) = 2x3 + 6x2 + x – 2
∴ GA + B = 3
A(x) – B(x) = –3x + 4
∴ GA – B = 1
B. Multiplicação	de	polinômios
B.1. Definição
Dados dois polinômios:
A(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a2x2 + a1x + a0 e
B(x) = bmxm + bm – 1xm – 1 + ... + b2x2 + b1x + b0 , 
chamamos de produto de A e B o único polinô-
mio P, tal que P(x) ≡ A(x) ⋅ B(x).
Este polinômio é obtido multiplicando-se cada 
termo de A por todos os termos de B, isto é:
P(x) = (anbm)xn+m + (anbm–1 + an–1bm)xn+m–1 + ... + 
(a1b0 + a0b1)x + (a0b0)
Observação – Na multiplicação, deve-se ficar 
atento à propriedade distributiva.
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
25
Matemática
Exemplo
Dados os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 e 
B(x) = x3 – 3x2 + 3, obter o polinômio P(x), 
tal que P(x) ≡ A(x) ⋅ B(x).
Resolução
P(x) = x2(x3 – 3x2 + 3) – 3x(x3 – 3x2 + 3) + 
+ 2(x3 – 3x2 + 3)
P(x) = x5 – 3x4 + 3x2 – 3x4 + 9x3 – 9x + 2x3 – 6x2 + 6
P(x) = x5 – 6x4 + 11x3 – 3x2 – 9x + 6
B.2. Propriedades
Sendo A, B e C três polinômios quaisquer, são 
válidas as seguintes propriedades:
1ª A ⋅ B ≡ B ⋅ A (comutativa)
2ª A ⋅ (B · C) ≡ (A ⋅ B) ⋅ C (associativa)
3ª A ⋅ (B + C) ≡ A ⋅ B + A ⋅ C (distributiva)
B.3. Considerações sobre o grau
Sendo A e B dois polinômios não nulos, o grau 
do produto A · B é a soma dos graus dos poli-
nômios A e B.
GA ⋅ B = GA + GB
No caso de um dos polinômios A ou B ser iden-
ticamente nulo, o produto A · B é identicamen-
te nulo (o grau não é definido).
Exemplo
GA = 5 e GB = 3 ⇒ GA ⋅ B = 8
C. Divisão de polinômios
A divisão de polinômios tem sua principal ideia 
na divisão de números inteiros.
Considere a divisão inteira:
47 6
5 7
Na divisão acima, o número 47 é chamado di-
videndo, o número 6 é chamado de divisor, 7 é 
o quociente e 5 é o resto.
A divisão dos inteiros é efetuada corretamente 
se for válido o algoritmo da divisão: dividen-
do = (divisor) ⋅ (quociente) + resto, em que o 
resto é o número não negativo menor que o 
divisor.
Na divisão anterior, de fato temos: 47 = 6 ⋅ 7 + 5 
e 5 < 6.
C.1. Divisão de polinômios
Para dividir um polinômio P(x) por um polinô-
mio D(x), devemos encontrar dois polinômios 
Q(x) e R(x), satisfazendo o algoritmo da divisão.
Dividendo Divisor
sto QuocienteRe
P x D x
x Q x
( ) ( )
R( ) ( )
P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x), com G(R(x)) < G(D(x)) 
ou R(x) ≡ 0. Nesta última situação, dizemos 
que P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é um di-
visor de P(x).
C.2. Divisão pelo método das chaves
É um método bastante prático que envolve al-
guns passos.
1º passo: divide-se o termo de maior grau 
do dividendo pelo termo de maior grau 
do divisor para achar o termo de maior 
grau do quociente.
2º passo: multiplicamos o termo encon-
trado no primeiro passo por todos os 
termos do divisor, levando os resul-
tados, com sinais trocados, abaixo do 
dividendo, tomando o cuidado de colo-
car o termo de mesmo grau abaixo de 
termo de mesmo grau, para trabalhar 
de forma organizada e evitar, ou pelo 
menos minimizar, possíveis erros. Efe-
tue a soma e aparecerá um polinômio 
que será candidato ao resto.
3º passo: se o grau do polinômio candidato 
ao resto for menor que o grau do divi-
sor, a divisão terminou. Caso contrário, 
deverá ser efetuada nova divisão, de 
modo semelhante aos passos anterio-
res.
A divisão termina quando o resto tiver menor 
grau que o divisor ou ele for o polinômio iden-
ticamente nulo.
Exemplo
Dividir o polinômio P(x) = –6x3 + 8x2 – 6x + 4 
pelo polinômio D(x) = x2 – 2x + 1, usando o mé-
todo das chaves.
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
26
Matemática
1ª etapa: dividir o termo de maior grau do 
dividendo pelo termo de maior grau do 
divisor, isto é, dividir –6x3 por x2. O re-
sultado dessa divisão é –6x.
− + − + − +
−
6 8 6 4 2 1
6
3 2 2x x x x x
x
2ª etapa: multiplicar todos os termos de 
D(x) por –6x e levar os resultados ob-
tidos, com sinais trocados, abaixo do 
dividendo, de forma organizada, e efe-
tuar a soma dos termos corresponden-
tes, não sendo necessário escrever os 
resultados nulos. Simplesmente abaixe 
os termos do dividendo que aparente-
mente não têm correspondente, como 
se estivesse somando tais termos com 
termos nulos.
− + − + − +
− + −
− +
6 8 6 4 2 1
6 12 6 6
4 4
3 2 2
3 2
2
x x x x x
x x x x
x
3ª etapa:o candidato ao resto é o polinô-
mio –4x2 + 4, que possui grau igual ao 
grau do divisor, portanto a divisão deve 
continuar. Dividir o termo –4x2, termo 
de maior grau do candidato ao resto, 
por x2, termo de maior grau do divisor. 
O resultado é –4, que é o próximo ter-
mo do quociente.
− + − + − +
− + − −
− +
6 8 6 4 2 1
6 12 6 6 4
4 4
3 2 2
3 2
2
x x x x x
x x x x
x 
4ª etapa: repetir a 2ª etapa para a nova si-
tuação.
− + − + − +
− + − −
− +
− +
− +
6 8 6 4 2 1
6 12 6 6 4
4 4
4 8 4
8 8
3 2 2
3 2
2
2
x x x x x
x x x x
x
x x
x
Nessa etapa, o último polinômio encontrado 
(–8x + 8) possui grau menor que o divisor e, 
portanto, a divisão está encerrada.
Dividendo: P(x) = –6x3 + 8x2 – 6x + 4
Divisor: D(x) = x2 – 2x + 1
Quociente: Q(x) = –6x – 4
Resto: R(x) = –8x + 8
C.3. Considerações sobre o grau
Sendo A e B dois polinômios não nulos, o grau 
do quociente Q(x) é a diferença entre os graus 
dos polinômios A e B, e o resto, se não for 
nulo, terá grau menor que o grau de B(x).
C.4. O método de Descartes
Vamos dividir, por exemplo, o polinômio 
A(x) = 2x3 – 8x2 + 7x – 5 por B(x) = x2 – 2x + 3 
pelo método de Descartes, também conhecido 
como método dos coeficientes a determinar.
1ª etapa
Estimamos quem serão o quociente Q(x) e o 
resto R(x) da divisão, lembrando que: 
GQ = GA – GB = 1, e, se o resto não for nulo, 
GR < GB.
Assim:
Q(x) = ax + b e R(x) = cx + d
2ª etapa
Como A(x) ≡ B(x) ⋅ Q(x) + R(x), temos:
2x3 – 8x2 + 7x – 5 ≡ (x2 – 2x + 3) ⋅ (ax + b) + cx + d
2x3 – 8x2 + 7x – 5 ≡ ax3 + (–2a + b)x2 + (3a – 2b)x + 
+ 3b + cx + d, ou seja:
2x3 – 8x2 + 7x – 5 ≡ ax3 + (–2a + b)x2 + (3a – 2b + 
+ c)x + (3b + d)
3ª etapa
Estabelecemos a igualdade dos coeficientes 
dos termos correspondentes.
a
a b
a b c
b d
=
− + = −
− + =
+ = −





2
2 8
3 2 7
3 5
4ª etapa
Resolvemos o sistema e encontramos: 
a = 2; b = – 4; c = –7 e d = 7.
Então, Q(x) = 2x – 4 e R(x) = –7x + 7
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
27
Matemática
01. UEA-AM
Qual é o resto da divisão do polinômio x4 + 1 
por x2 + 1?
03. 
Dados os polinômios P(x) = 2x5 – 32x3 + 43x2 – 
– 40x + 20 e D(x) = x2 + 4x – 3, efetuar a opera-
ção P(x) ÷ D(x).
Resolução
2 32 43 40 20 4 3
2 8 6 2 8 6 5
5 3 2 2
5 4 3 3 2
x x x x x x
x x x x x x
quocien
− + − + + −
− − + − + −
tte
x x x x
x x x
x x x
� ���� ����
− − + − +
+ −
+ −
8 26 43 40 20
8 32 24
6 19 40
4 3 2
4 3 2
3 2 ++
− − +
− − +
+ −
− + →
20
6 24 18
5 22 20
5 20 15
2 5
3 2
2
2
x x x
x x
x x
x resto
04. ITA-SP
Os	valores	de	α,	β	e	γ que formam o polinô-
mio P(x) = 4x5 + 2x4 – 2x3	+	αx2	+		βx	+	γ divi-
sível por Q(x) = 2x3 + x2 – 2x + 1 satisfazem as 
desigualdades:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a. –2x
b. –2
c. 0
d. 2
e. 2x
Resolução
x x x x x x
x x x
x x
x
Q x x e
4 3 2 2
4 2 2
2
2
2
0 0 0 1 0 1
1
0 1
1
2
1
+ + + + − +
− − −
− + +
+ +
= −( ) Ressto = 2.
Resposta
D
02. UFG-GO
Na divisão do polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d 
pelo polinômio D(x) = x2 + 1 encontra-se para 
quociente o polinômio Q(x) = 2x – 1 e para res-
to o polinômio R(x) = –x + 1. Então, P(x) é o 
polinômio:
a. x3 – x2 + x + 1
b. 2x3 – x2 + 1
c. 2x3 – x2 + 1
d. 2x3 – x2 + x
Resolução
ax bx cx d x
x x
3 2 2 1
1 2 1
+ + + +
− + −
ax3 + bx2 + cx + d = (2x – 1)(x2 + 1) + (–x + 1)
ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 + 2x – x2 – 1 – x + 1
ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 – x2 + x
Portanto, P(x) = 2x3 – x2 + x
Resposta
D
a. α	>	β	>	γ
b. α	>	γ	>	β
c. β	>	α	>	γ
d. β	>	γ	>	α
e. γ	>	α	>	β
Resolução
4 2 2 2 2 1
4 2 4 2 2 1
2
5 4 3 2 3 2
5 4 3 2 2
3
x x x x x x x x
x x x x x
x
+ − + + + + − +
− − + − +
+
α β γ
α( −− + +
− − + −
− + + + −
2
2 2 1
3 2 1
2
3 2
2
)
( ) ( ) ( )
x x
x x x
x x
β γ
α β γ
Como P(x) deve ser divisível por Q(x), temos:
( ) ( ) ( )α β γ
α
β
γ
α
β
γ
− + + + − = ⇒
− =
+ =
− =



⇒
=
= −
=



3 2 1 0
3 0
2 0
1 0
3
2
1
2x x

> >Assim, α γ β
Resposta
B
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
28
Matemática
C.5. Dispositivo	prático	de	Briot-Ruffini
Quando, em uma divisão de polinômios, o di-
visor for do primeiro grau na forma (x – a), há 
um método bastante eficiente denominado 
dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Exemplo de aplicação de Briot-Ruffini
Dividir o polinômio P(x) = 5x3 – 3x2 + 2x – 70 
pelo polinômio do primeiro grau D(x) = x + 1.
1º passo: em uma linha horizontal, escrever 
a raiz do divisor e, em seguida, todos os 
coeficientes do dividendo, inclusive os 
coeficientes nulos, caso existam. Usar 
um pequeno segmento vertical para 
separar a raiz dos coeficientes.
– 1 5 –3 2 –70
Raiz do divisor
2º passo: repetir o primeiro coeficiente de 
P(x) em uma segunda linha abaixo da 
primeira, conservando seu posiciona-
mento. Este será o primeiro coeficiente 
do quociente Q(x).
–1 5
5
–3 2 –70
1º coeficiente
3º passo: multiplicar o 1º coeficiente da 
2ª linha pela raiz do divisor e somar o 
produto com o próximo coeficiente, 
colocando o resultado na 2ª linha, à di-
reita do coeficiente anterior. Este será o 
segundo coeficiente de Q(x).
–1 5
5
–3
–8
2 –70
5 · (–1) + (–3) = –8x
+
4º passo: repetir o passo anterior com 
este coeficiente e com os demais que 
surgirão.
–1 5 –3 2 –70
5 –8 10 –80
5º passo: quando o processo terminar, o 
último número da 2ª linha é o resto da 
divisão e os números anteriores serão 
os coeficientes do quociente em ordem 
decrescente de expoente.
–1 5
5 –8 10
–3 2 –70
Resto
–80
Assim, temos:
Dividendo: P(x) = 5x3 – 3x2 + 2x – 70
Divisor: D(x) = x + 1
Quociente: Q(x) = 5x2 – 8x + 10
Resto: R(x) = –80
C.6. Briot-Ruffini	para	o	binômio	
ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0 e a ≠ 1)
P x ax b Q x r
P x a x
b
a
Q x r
P x x
b
a
a
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
= + ⋅ +
= +



 ⋅ +
= +



 ⋅ QQ x r( )+
Fazendo Q1(x) = a · Q(x), temos:
P x x
b
a
Q x r( ) ( )= +

 ⋅ +1
Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffi-
ni para x
b
a
+



 , obtemos Q1(x) e r, em que 
r também é o resto na divisão por (ax + b) e 
1
1a
Q x⋅ ( ) é o quociente na divisão por (ax + b)
Exemplo
Dividir P(x) = 2x3 – 4x2 + 6x – 2 por (2x – 1).
Resolução
1
2 2 4 6 2
2 3
9
2
1
4
1
- -
-
Q x R x( ) ( )
� �� �� �
Assim:
Q x Q x x x
Q x x x e R x
( ) ( )
( ) ( )
= ⋅ = − +




= − + =
1
2
1
2
2 3
9
2
3
2
9
4
1
4
1
2
2
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
29
Matemática
01. 
Efetuar, utilizando o dispositivo prático de 
Briot-Ruffini, a divisão do polinômio P(x) = 2x4 + 
+ 4x3 – 7x2 + 12 por D(x) = (x – 1).
Resolução
1 2 4 –7 0 12
 2 6 –1 –1 11
Assim, temos:
Quociente: Q(x) = 2x3 + 6x2 – x – 1
Resto: R(x) = 11
02. Unifor-CE modificado
Dividindo-se o polinômio P(x) = x3 – 2x2 + 3x – 1 
pelo polinômio D(x) = x – 1, encontra-se o quo-
ciente q e o resto r. Dividindo-se q por D(x), en-
contra-se:
a. quociente x + 1.
b. resto 0.
c. quociente 2x.
d. resto 1.
e. quociente x.
Resolução
Para dividir P(x) por D(x), vamos usar o dispo-
sitivo prático de Briot-Ruffini.
1 1 –2 3 –1
 1 –1 2 1
q = x2 – x + 2 e r = 1
Para dividir q por D(x), usamos novamente 
Briot-Ruffini.
1 1 –1 2
 1 0 2
O novo quociente é q1(x) = x + 0 = x e o restoé r1 = 2.
Resposta
E
03. 
Obter o quociente e o resto da divisão de 
P(x) = 2x5 – x3 – 4x + 6 por (x + 2).
Resolução
–2 2 0 –1 0 –4 6
 2 –4 7 –14 24 –42
Assim, temos:
Quociente: Q(x) = 2x4 – 4x3 + 7x2 – 14x + 24
Resto: R(x) = –42
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
C.7. Teorema do resto
Considere um polinômio do primeiro grau d(x), em que α é sua raiz, isto é, d(α) = 0.
“O resto da divisão de um polinômio P(x) por d(x) é igual a P(α).”
De fato: P x d x
R Q x
( ) ( )
( )
P(x) = d(x) ⋅ Q(x) + R, observar que R é nulo ou tem grau zero, de qualquer forma será uma constante.
P(α) = d(α) ⋅ Q(α) + R
P(α) = 0 ⋅ Q(α) + R
P(α) = R
Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 + 2x3 + + 3x2 – 6 por x + 2.
Resolução
x + 2 = x – (–2)
Então: r = P(–2)
r = (–2)4 + 2(–2)3 + 3(–2)2 – 6
r = 6
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
30
Matemática
C.8. Teorema de D'Alembert
Observação
Se o resto for nulo, dizemos que P(x) é indi-
visível por d(x) ou d(x) é um divisor de P(x). 
Teorema de D'Alembert: “P(x) é divisível por 
d(x) se e somente se P(α) = 0.”
Exemplo
Determine k para que o polinômio
P(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3).
Resolução
Devemos ter: P(–3) = 0
Assim:
k (–3)3 + 2 (–3)2 + 4 (–3) –2 = 0
Então, k =
4
27
.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Qual o resto da divisão de P(x) = x40 – x – 1 por 
(x – 1)?
Resolução
R = P(1) = 140 – 1 – 1 = – 1
Resposta
R = –1
02. PUC-MG
O polinômio P(x) = x4 – kx3 +5x2 + 5x + 2k é divi-
sível por x – 1. Então, o valor de k é:
Resolução
P(–1) = 1 – (–1)2 – (–1)3 – (–1)4 – (–1)5 – (–1)6 = 0
P(–1) = 0 ⇒ P(x) é divisível por (x + 1).
Resposta
B
04. Fuvest-SP
Dividindo-se o polinômio P(x) por 2x2 – 3x + 1, 
obtêm-se quociente 3x2 + 1 e resto – x + 2. Nes-
sas condições, o resto da divisão de P(x) por 
x – 1 é:
a. 2
b. 1
c. 0
d. –1
e. –2
Resolução
P x x x
x x
P x x x x x
P x x
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
2 3 1
2 3 1
2 3 1 3 1 2
2
2
2 2
− +
− + +
= − + ⋅ + + − +
÷ −− ⇒ =
= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + + − + =
1 1
2 1 3 1 1 3 1 1 1 2 12 2
) ( )
( ) ( ) ( )
R P
R
Resposta
B
Resolução
P(x) = x4 – kx3 +5x2 + 5x + 2k
P(x) divisível por (x – 1) ⇔ P(1) = 0
14 – k ⋅ 13 + 5 ⋅ 12 + 5 ⋅ 1 + 2k = 0
1 – k + 5 + 5 + 2k = 0
∴ k = –11
Resposta
A
03. FEI-SP
Se P(x) = 1 – x2 – x3 – x4 – x5 – x6:
a. P(x) é divisível por (x – 1).
b. P(x) é divisível por (x + 1).
c. o resto da divisão de P(x) por (x + 1) é 1.
d. o resto da divisão de P(x) por (x – 1) é –1.
e. o grau de P(x) é zero.
a. –11
b. -
1
3
c. 1
5
d. 9
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
31
Matemáti ca
C.9. Divisibilidade por (x – a) ⋅ (x – b)
“P(x) é um polinômio divisível por (x – a) e por 
(x – b), com a ≠ b, se e somente se P(x) for di-
visível por (x – a) ⋅ (x – b)”.
Observação – Esta propriedade pode ser gene-
ralizada para um divisor do tipo d(x) = (x – x1) ⋅ 
⋅ (x – x2) ... (x – xn), porém é preciso que se ga-
rantam os elementos x1, x2, ... , xn distintos dois 
a dois.
Consideremos um polinômio P(x) com grau 
maior ou igual a dois, que, dividido por (x – a) 
e por (x – b) apresenta restos iguais a r1 e r2, 
respectivamente.
Vamos calcular o resto na divisão de P(x) por 
(x – a) · (x – b).
Como os restos na divisão de P(x) por (x – a) e 
por (x – b) são r1 e r2 , respectivamente, temos:
P(a) = r1 e P(b) = r2.
O resto na divisão de P(x) por (x – a) · (x – b) é 
um polinômio R(x) = mx + n de grau no máximo 
igual a 1, já que o divisor tem grau 2. Assim:
P(x) = (x – a) · (x – b) · Q(x) + mx + n
Como P(a) = r1 e P(b) = r2, temos:
P(a) = (a – a) (a – b) · Q(a) + m · a + n = r1
ma + n = r1
P(b) = (b – a) (b – b) · Q(b) + m · b + n = r2
m · b + n = r2
Resolvendo o sistema:
m a n r
m b n r
⋅ + =
⋅ + =

1
2,
encontramos:
m
r r
a b
e n
ar br
a b
=
−
−
=
−
−
1 2 2 1
Assim: R x
r r
a b
x
ar br
a b
( )R x( )R x = r r−r r
a b−a b





 +
−
a b−a b





1 2
r r1 2r r 2 1ar2 1ar br2 1br
Observações
1ª Se P(x) for divisível por (x – a) e por 
(x – b), temos:
 P(a) = 0 ⇒ r1 = 0
 P(b) = 0 ⇒ r2 = 0
Então, R x
a b
x
a b
a b
( ) = −
−



 +
⋅ − ⋅
−




0 0 0 0
,
ou seja: R(x) = 0.
Assim, P(x) é divisível por (x – a) · (x – b).
2ª Do mesmo modo, podemos provar 
que, se P(x) é divisível por n fatores 
distintos (x – a1), (x – a2), ... , (x – an), 
então P(x) é divisível pelo produto 
(x – a1) · (x – a2) ⋅ ... ⋅ (x – an).
Exemplos
1º Verificar se o polinômio P(x) = x3 – 4x2 + 
+ 4x – 1 é divisível por B(x) = x2 – 1.
Resolução
Sabemos que B(x) = x2 – 1 = (x + 1)(x – 1); para 
que P(x) seja divisível por B(x) é necessário 
que P(x) seja divisível por (x + 1) e por (x – 1); 
então devemos ter P(1) = 0 e P(–1) = 0.
P(1) = 13 – 4 · 12 + 4 · 1 – 1 = 0
∴ P(x) divisível por (x – 1)
P(–1) = (–1)3 – 4 · (–1)2 + 4 (–1) –1
P(–1) = –10
∴ P(x) não é divisível por (x + 1).
Logo, P(x) não é divisível por B(x).
2º Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + 
+ ax + b seja divisível por (x – 1) · (x – 2).
Resolução
P(x) deve ser divisível por (x – 1) e por (x – 2). 
Então:
P(1) = 13 + 2 · 12 + a · 1 + b = 0 ∴ a + b = –3
P(2) = 23 + 2 · 22 + a · 2 + b = 0 ∴ 2a + b = –16
Resolvendo o sistema:
a b
a b
+ = −
+ = −

3
2 16
encontramos a = – 13 e b = 10.
3º Se um polinômio P(x) dividido por (x – 1) 
dá resto 2 e dividido por (x – 2) dá resto 
1, qual é o resto na divisão de P(x) pelo 
produto (x — 1) · (x – 2)?
Resolução
P(1) = 2 e P(2) = 1
O resto na divisão de P(x) por (x – 1) · (x – 2) 
é um polinômio R(x) = ax + b, pois se o divisor 
tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1.
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
32
Matemática
Assim:
P(x) = (x – 1) · (x – 2) · Q(x) + ax + b
P(1) = (1 – 1) (1 – 2) · Q(1) + a · 1 + b = 2
∴ a + b = 2
P(2) = (2 – 1) (2 – 2) · Q(2) + a · 2 + b = 1
∴ 2a + b = 1
Resolvendo o sistema:
a b
a b
+ =
+ =

2
2 1
encontramos a = – 1 e b = 3.
Assim: R(x) = –x + 3.
C.10. Divisões sucessivas 
Consideremos um polinômio P(x) divisível por 
B(x) = (x – a) · (x – b), e que o quociente na 
divisão de P(x) por B(x) é um polinômio Q(x).
Assim:
P x x a x b Q x
Q x
( ) ( )( ) ( )
( )
= − − ⋅
1upcurlybracketleft upcurlybracketmid� upcurlybracketright�
P(x) é divisível por (x – a) e o quociente na di-
visão de P(x) por (x – a) é Q1(x) = (x – b) Q(x).
Então, Q1(x) é divisível por (x – b) e o quo-
ciente na divisão de Q1(x) por (x – b) é Q(x). 
Portanto, Q(x) é o quociente na divisão de 
P(x) por (x – a) · (x – b).
Esquematicamente:
P (x) (x – a) (x – b)
0 Q (x)
P (x) x – a
0 Q1(x)
Q1 (x) x – b
0 Q(x)
e
Reciprocamente, temos:
Se P(x) é divisível por (x – a) e o quociente 
Q1(x), da divisão de P(x) por (x – a), é divisível 
por (x – b), então concluímos que P(x) é divi-
sível pelo produto (x – a) · (x – b). Além disso, o 
quociente na divisão de P(x) por (x – a) ⋅ (x – b) 
é igual ao quociente na divisão de Q1(x) por 
(x – b).
P (x) (x – a) (x – b)
0 Q (x)
P (x) x – a
0 Q1(x)
Q1 (x) x – b
0 Q(x)
e
Observações
1ª Podemos efetuar essas divisões su-
cessivas com auxílio do dispositivo de 
Briot-Ruffini.
Exemplo
Verificar se P(x) = x3 + 2x2 – 13x + 10 é divisível 
por (x – 1) ⋅ (x – 2).
Resolução
Dividimos sucessivamente P(x) por (x – 1) e o 
quociente encontrado por (x – 2).
1 2 –13 10
1
2
Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente 
nesta divisão é divisível por (x – 2), concluímos 
que P(x) é divisível por (x – 1) · (x – 2).
2º No caso particular, se b = a, as divisõessucessivas permitem verificar se P(x) é 
divisível por (x – a)2, (x – a)3 etc.
Exemplo
Calcular a e b para que P(x) = x4 + x2 + ax + b 
seja divisível por (x – 1)2.
Resolução
Dividimos P(x) por (x – 1), e o quociente en-
contrado também dividimos por (x – 1). Os res-
tos nas duas divisões devem ser nulos.
1 0 1 a b
1 1 2 a + 2
1 2 4
1
1
a + 2 + b
a + 6
Devemos ter:
a
a b
+ =
+ + =

6 0
2 0
Resolvendo o sistema, encontramos:
a = – 6 e b = 4
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
33
Matemática
01. ITA-SP modificado
Um polinômio P(x) dividido por x + 1 dá resto 
0 e por x – 1 também dá resto 0. Qual será o 
resto da divisão de P(x) por (x + 1) ⋅ (x – 1)?
Resolução
P(x) dividido por (x + 1) tem resto 0 ⇒ P(–1) = 0
P(x) dividido por (x – 1) tem resto 0 ⇒ P(1) = 0
P x x x
R x ax b Q x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ ⋅ −
= +
1 1
P(x) = (x + 1) ⋅ (x – 1) ⋅ Q(x) + (a ⋅ x + b)
P(–1) = (–1 + 1) ⋅ (–1 – 1) ⋅ Q(–1) + (a ⋅ (–1) + b) = 0
P(–1) = (0) ⋅ (–1 + 1) ⋅ Q(–1) + (a ⋅ (–1) + b) = 0
– a + b = 0 (I)
P(1) = (1 + 1) ⋅ (1 – 1) ⋅ Q(1) + (a ⋅ (1) + b) = 0
P(1) = (1 + 1) ⋅ (0) ⋅ Q(1) + (a ⋅ (1) + b) = 0
a + b = 0 (II)
(I) e (II):
− + =
+ =

a b
a b
0
0
Somando termo a termo, encontramos b = 0, e 
substituindo em (I), temos a = 0.
Assim, o resto é um polinômio nulo.
Resposta
R(x) ≡ 0
02. 
Determine a e b de modo que o polinômio 
P(x) = x3 + ax + b seja divisível por (x – 1)2.
Resolução
1 0 a b
1 1 a + 1
1 2 
1 a + b + 1
a + 3
1
a b
a
a e b
+ + =
+ =

∴ = − =
1 0
3 0
3 2
03. UFSC
Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá 
resto 3 e por (x – 2) dá resto 6. O resto da 
divisão de P(x) pelo produto (x + 1) ⋅ (x – 2) é 
da forma ax + b, com a, b ∈ . Obter o valor 
numérico da expressão a + b.
Resolução
P(x) ÷ (x + 1) ⇒ r = P(–1) ⇒ P(–1) = 3
P(x) ÷ (x – 2) ⇒ r = P(2) ⇒ P(2) = 6
P x x x
Q x
( ) ( )( )
( )
+ −1 2
R(x) = ax + b
P(x) = (x + 1)(x – 2) ⋅ Q(x) + ax + b
P(–1) = 3 ⇒ –a + b = 2
P(2) = 6 ⇒ 2a + b = 6
∴ a = 1 e b = 4
a + b = 5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
34
Matemática
1. Introdução
Achar as soluções de equações polinomiais foi 
um dos grandes desafios da Álgebra Clássica.
As primeiras contribuições vieram com o ma-
temático árabe AL-Khowarizmi, no século IX, 
com importantes conclusões sobre a resolu-
ção de equações de 1º e 2º graus.
Em seus trabalhos, Al-Khowarizmi usou pela 
primeira vez o termo “álgebra”, que signifi-
ca “trocar de membro” um termo de uma 
equação.
Porém, apenas no século XVI, no Renascimento, 
é que os matemáticos italianos Girolano Carda-
no (1501-1576), Niccolo Tartaglia, (1500-1557) 
e Ludovico Ferrari (1522-1565) começaram a 
propor fórmulas para resolver equações de 3º e 
4º graus. No entanto, a resolução de equações 
de grau superior ao 4º ainda continua sendo 
um grande desafio.
Em 1798, em sua tese de doutoramento, o ma-
temático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-
1855) demonstrou que “toda equação de grau 
n (n ∈ *) admite pelo menos uma raiz com-
plexa”, o que ficou conhecido como o Teorema 
Fundamental da Álgebra.
Em 1824, o matemático norueguês Niels Hen-
rik Abel (1802-1829) demonstrou que uma 
equação do 5º grau não poderia ser resolvida 
através de fórmulas envolvendo radicais.
Em 1829, o jovem matemático francês Évariste 
Galois (1811-1832) demonstrou que a impos-
sibilidade, descoberta por Abel, estendia-se a 
todas as equações polinomiais de grau maior 
que o 4º.
As descobertas de Abel e Galois não signi-
ficam, no entanto, que nunca poderemos 
conhecer as raízes de uma equação de grau 
maior que o 4º. Existem teoremas gerais que, 
associados a condições particulares, permi-
tem que descubramos soluções de equações 
deste tipo.
2. Equações algébricas ou 
equações polinomiais
Chamamos de equação algébrica (ou equação 
polinomial) toda equação que pode ser escrita 
na forma P(x) = 0, em que P(x) é um polinômio.
Representação genérica da equação algébrica:
a. P(x) = 0 ou
b. an ⋅ xn + an – 1 ⋅ xn – 1 + ... + a3 ⋅ x3 + a2 ⋅ x2 + 
+ a1 ⋅ x1 + a0 = 0, em que P(x) = an ⋅ xn + 
+ an – 1 ⋅ xn – 1 + ... a3 ⋅ x3 + a2 ⋅ x2 + a1 ⋅ x1 + a0 
é um polinômio de coeficientes com-
plexos e variável complexa.
Observação
01. O grau de uma equação algébrica é o 
grau do polinômio P(x).
02. Não confundir a equação algébrica 
P(x) = 0 com o polinômio nulo P(x) ≡ 0, 
quando P(x) é nulo para todos os valo-
res de x.
3. Raiz ou solução de uma 
equação algébrica
O número complexo α é uma raiz da equação 
P(x) = 0 se e somente se a igualdade P(α) = 0 
for verdadeira.
Exemplo
Na equação x5 + x4 + x3 + x2 + x – 5 = 0, o número 
1 (um) é uma raiz, pois 15 + 14 + 13 + 12 + 1 – 5 = 0 
é verdadeiro.
A. Resolução de equação algébrica
Resolver uma equação algébrica P(x) = 0 é en-
contrar o seu conjunto solução, isto é, o con-
junto constituído de todas as raízes da equação.
Exemplos
1º Resolver a equação x3 – 4x2 + 3x = 0
Resolução
x3 – 4x2 + 3x = 0 ⇒ x (x2 – 4x + 3) = 0
Então:
x = 0
ou
x2 – 4x + 3 = 0 ⇒ x = 3 ou x = 1
CAPÍTULO 03 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
35
Matemáti ca
Assim:
S = {0, 1, 3} (conjunto solução).
2º Resolver a equação x3 + x2 – 3x – 3 = 0
Resolução
x2(x + 1) – 3(x + 1) = 0
(x + 1)(x2 – 3) = 0
x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
ou
x2 – 3 = 0 ⇒ x2 = 3 ⇒ x = ± 3
Assim: S = − + −{ }1 3 3, , (conjunto solução)
3º Resolver a equação x3 +2x2 +2x = 0 em .
Resolução
x3 + 2x2 + 2x = 0 ⇒ x(x2 + 2x + 2) = 0
x(x2 + 2x + 2) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x2 + 2x + 2 = 0
De x2 + 2x + 2 = 0, vem:
∆ = − = − =
=
− ±
⇒ = − + = − −
4 8 4 4
2 2
2
1 1
2i
x
i
x i ou x i
Portanto:
x3 + 2x2 + 2x = 0 ⇒ x = 0 ou x = – 1 + i ou x = – 1 – i
Ou seja, o conjunto solução da equação é 
S = {0, –1 + i, – 1 – i}
Observação – Dizemos que duas equações são 
equivalentes em U quando os seus conjuntos 
soluções em U são iguais.
B. Multi	plicidade	de	uma	raiz
Quando P(x) = S(x) ⋅ (x – r)k e S(r) ≠ 0, dizemos 
que r é uma raiz de P(x) = 0 de multiplicidade k.
Exemplo
Quando uma equação do segundo grau tem 
discriminante (∆) igual a zero, dizemos que a 
equação tem duas raízes reais iguais ou que a 
raiz tem multiplicidade dois.
Quando α é raiz de multiplicidade 1 em uma 
equação P(x) = 0, dizemos que α é uma raiz 
simples de P(x) = 0.
Exemplo
Verificar qual a multiplicidade da raiz 2 na 
equação x4 – 4x3 + 16x – 16 = 0. Resolver a 
equação.
Resolução
Dividindo P(x) = x4 – 4x3 + 16x – 16 por (x – 2), 
temos:
1 –4 0 16 –162
01 –2 –4 8
Assim:
P(x) = (x – 2) (x3 – 2x2 – 4x + 8)
Dividindo Q1(x) = x3 – 2x2 – 4x + 8 por (x – 2), 
temos:
1 –2 –4 82
01 0 –4 
Assim: P(x) = (x – 2) (x – 2) · (x2 – 4)
Como x2 – 4 = (x + 2) (x – 2), temos:
P(x) = (x – 2)3 · (x + 2)
Então, 2 é raiz tripla (multiplicidade 3) da 
equação P(x) = 0.
O conjunto solução da equação é:
S = {2, – 2}
C. Quando 1 é raiz?
Sabemos que, em um polinômio P(x), o valor 
de P(1) é igual à soma dos coeficientes de P(x), 
o que nos permite concluir:
Numa equação P(x) = 0, se a soma dos coefi-
cientes de P(x) for nula, 1 é raiz da equação.
Exemplo
Resolver a equação:
2x3 – 3x2 + 2x – 1 = 0
Resolução
2 – 3 + 2 – 1 = 0 ⇒ 1 é raiz da equação.
Dividindo P(x) = 2x3 – 3x2 + 2x – 1 por (x – 1), 
temos:
2 –3 2 –11
02 –1 1 
Assim: P(x) = (x – 1) (2x2 – x + 1)
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
36
Matemática
Resolvendo a equação 2x2 – x + 1 = 0, temos:∆ = 1 – 8 = – 7 = 7i2
Assim: S
i i
=
+ −

1
1 7
4
1 7
4
, ,
01. UFRGS-RS
Se a é uma raiz do polinômio p(x) e b é uma 
raiz do polinômio q(x), então:
a. p(b) / q(a) = 1
b. p(a) ⋅ q(b) = 1
c. p(a) + q(b) = 1
d. p(b) ⋅ q(a) = 0
e. p(a) + q(b) = 0
Resolução
Como a e b são raízes, respectivamente, de 
p(x) e q(x), temos:
p(a) = 0 q(b) = 0
p(a) + q(b) = 0 + 0 = 0
Assim, p(a) + q(b) = 0
Resposta
E
02. PUC-SP
O número de raízes reais do polinômio 
p(x) = (x2 + 1)(x – 1)(x + 1) é:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Resolução
p(x) = (x2 + 1) ⋅ (x – 1) ⋅ (x + 1)
(x2 + 1) ⋅ (x – 1) ⋅ (x + 1) = 0
x – 1 = 0 x + 1 = 0 x2 + 1 = 0
x = 1 x = –1 x = ±i
V = {–1, 1, –i, i}
∴ o número de raízes reais do polinômio é 2.
Resposta
C
03. FGV-SP
A equação x3 – 3x2 + 4x + 28 = 0 admite –2 como 
raiz. As outras raízes satisfazem a equação:
a. x2 – 4x + 14 = 0
b. x2 – 5x + 14 = 0
c. x2 – 6x + 14 = 0
d. x2 – 7x + 14 = 0
e. x2 – 8x + 14 = 0
Resolução
Se –2 for raiz da equação x3 – 3x2 + 4x + 28 = 
0, então o polinômio será divisível por x + 2. 
Assim:
x x x x
x x
3 2
2
3 4 28 2
0 5 14
− + + +
− +
Logo, x3 – 3x2 + 4x + 28 = 0 ⇒ 
(x + 2) (x2 – 5x + 14) = 0 e, portanto, as outras 
raízes satisfazem a equação:
x2 – 5x + 14 = 0
Resposta
B
04. FGV-SP 
Na equação x4 + px3 + px2 + px + p = 0, sabendo-
se que 1 é raiz, então:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a. p = −
1
4
b. p = 0 ou p = 1
c. p = 0 ou p = –1
d. p = 1 ou p = –1
e. p =
1
3
Resolução
P(1) = 1 + p + p + p + p = 0 ⇒ 1 + 4p = 0 
p = −
1
4
Resposta
A
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
37
Matemáti ca
05. PUC-SP
A multiplicidade da raiz x0 = 1 da equação 
x4 – x3 –3x2 + 5x – 2 = 0 é:
06. UFES
Se f é um polinômio tal que a soma de seus 
coeficientes é zero, então:
a. f(0) = 0
b. f é divisível por x – 1 
c. f é divisível por x – 2
d. f é identicamente nulo
e. f não possui raízes reais
Resolução
Se a soma dos coeficientes é zero, então o 
polinômio anula-se para x = 1. Assim sendo, o 
número real 1 é raiz do polinômio. Portanto, 
pelo teorema de D’Alembert, o polinômio é di-
visível por (x – 1).
Resposta
B
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Resolução
x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0
1 –1 –3 5 –2
1 0 –3 2
1 1 –2 
1 2 
1
1
1
1
0
0
0
 1 3 = 0
Logo, 1 é raiz de multiplicidade 3.
Resposta
C
B. Teorema da decomposição
Admitamos que α1 é uma raiz da equação de 
grau n, (n ≥ 1):
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an = 0
Dividindo P(x) por (x – α1), encontramos um 
quociente Q1(x) e resto R1 = P(α1) = 0
Então:
P(x) = (x – α1) · Q1(x)
Q1(x) tem grau n – 1 e, se n – 1 ≥ 1, a equa-
ção Q1(x) = 0 possui pelo menos uma raiz α2. 
Dividindo Q1(x) por (x – α2), encontramos um 
quociente Q2(x) e resto R2 = Q1(α2) = 0.
Então:
Q1(x) = (x – α2) · Q2(x)
Ou seja:
P(x) = (x – α1) (x– α2) · Q2(x)
Prosseguindo nesse raciocínio, chegaremos, 
após um número finito de divisões, a um poli-
nômio constante Qn(x) = k, tal que:
P(x) = (x – α1) ⋅ (x – α2) ⋅ ... ⋅ (x – αn) ⋅ Qn(x)
Através da identidade:
(x – α1) ⋅ (x – α2) ⋅ ... ⋅ (x – αn) ⋅ k = a0xn + a1xn – 1 
+ ... + an – 1x + an, é possível mostrar que k = a0.
Então:
Todo polinômio P(x) de grau n pode ser escrito 
na forma fatorada:
P(x) = a0(x – α1) ⋅ (x – α2) ⋅ ... ⋅ (x – αn), onde a0
é o coeficiente de xn no polinômio P(x), e α1, 
α2, ..., αn são as n raízes de P(x).
Observações
1º Toda equação polinomial de grau n ad-
mite n raízes (reais ou imaginárias).
2º Quando conhecemos uma raiz α da equa-
ção P(x) = 0, dividindo P(x) por (x – α) en-
contramos o quociente Q(x), tal que:
P(x) = (x – α) ⋅ Q(x)
4. Teoremas fundamentais
A. Teorema fundamental da álgebra
“Uma equação polinomial de grau n, n natural não nulo, tem pelo menos uma raiz complexa.”
Complexos, polinômios e equações algébricas
PV
-1
3-
11
38
Matemática
Então:
P(x) = 0 ⇔ (x – α) ⋅ Q(x) = 0 ⇔ (x = α ou Q(x) = 0)
Assim, as demais raízes de P(x) = 0 também 
são raízes da equação Q(x) = 0.
Como o grau de Q(x) é uma unidade menor 
que o grau de P(x) = 0, dizemos que abaixamos 
o grau da equação.
Exemplos
1º Dada a equação 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0:
a. verificar que 3 é uma de suas raízes;
b. obter as demais raízes;
c. escrever esta equação na forma fatorada.
Resolução
a. Sendo P(x) = 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0
 P(3) = 2 · 33 – 3 · 32 –11 · 3 + 6
 P(3) = 54 – 27 – 33 + 6 = 0
 Logo, 3 é raiz de P(x) = 0
b. Como 3 é raiz, podemos dividir P(x) por 
(x – 3), encontrando resto nulo.
2 –3 –11 63
2 3 –2 0
 Assim:
 P(x) = (x – 3) ⋅ (2x2 + 3x – 2)
 As demais raízes de P(x) = 0 são as raí-
zes de 2x2 + 3x – 2 = 0, que são:
x
x ou x
=
− ± +
=
− ±
= − =
3 9 16
4
3 5
4
2
1
2
 Então, as demais raízes da equação são 
x e x= − =2
1
2
.
c. A forma fatorada de P(x) é:
P x x x x( ) ( )( )= − + −

2 3 2
1
2
2º Resolver a equação x3 – 3x2 + 4x – 2 = 0, 
em , sabendo que 1 é raiz.
Resolução
Dividindo P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 por (x – 1), 
temos:
1 –3 4 –21
1 –2 2 0
Assim: P(x) = (x –1) (x2 – 2x + 2)
Fazendo x2 – 2x + 2 = 0, temos:
x x
i
x i ou x i
=
± −
⇒ =
±
= + = −
2 4 8
2
2 2
2
1 1
Então: S = {1, 1 + i, 1 – i}
3º Resolver a equação:
2x4 – 7x3 – 17x2 +7x + 15 = 0, sabendo que 
duas de suas raízes pertencem ao conjunto 
{–2, –1, 0, 1, 2}.
Resolução
Vamos dividir:
P(x) = 2x4 – 7x3 – 17x2 + 7c + 15 por (x + 2), 
(x + 1), (x), (x – 1) e (x – 2), até encontrarmos 
resto zero.
2 –7 –17 7 15–2
2 –11 5 –3 21 = 0
2 –7 –17 7 15–1
2 –9 –8 15 0
Como o resto é nulo, temos:
P(x) = (x + 1) (2x3 – 9x2 – 8x + 15) 
As outras raízes de P(x) serão as raízes de 
2x3 – 9x2 – 8x + 15 = 0
Vamos dividir:
Q(x) = 2x3 – 9x2 – 8x + 15 sucessivamente por 
(x +1), x, (x – 1) e (x – 2), até encontrarmos 
resto zero.
2 –9 –8 15–1
2 –11 –3 12 = 0
PV
-1
3-
11
Complexos, polinômios e equações algébricas
39
Matemáti ca
2 –9 –8 150
2 –9 –8 15 = 0
2 –9 –8 151
2 –7 –15 0
Como o resto é nulo, temos:
Q(x) = (x – 1) (2x2 – 7x – 15)
Assim:
P(x) = (x + 1) (x – 1) (2x2 – 7x – 15)
As demais raízes de P(x) = 0 serão as raízes de 
2x2 – 7x – 15 = 0, então:
x x
x ou x
=
± +
⇒ =
±
= =
−
7 49 120
4
7 13
4
5
3
2
Assim: S = −
−
1 1 5
3
2
, , ,
4º Escrever na forma fatorada o polinô-
mio P(x) = 3x2 – 5x + 2. 
Resolução
Raízes de P(x): a soma dos coeficientes de P(x) 
é zero, assim 1 é uma raiz. O produto das raízes 
é 
2
3
, então, como 1 é raiz, a outra raiz é 
2
3
.
Forma fatorada: P x x x( ) ( )= ⋅ − ⋅ −

3 1
2
3
Resposta
P x x x( ) ( )= ⋅ − ⋅ −

3 1
2
3
C. Multi	plicidade	das	raízes	
Conforme vimos anteriormente, em uma 
equação algébrica de grau n, podemos ter, 
entre as suas n raízes, m raízes iguais entre si. 
Quando m raízes são iguais a um mesmo nú-
mero α, dizemos que α é raiz de multiplicida-
de m da equação, e, na forma fatorada, o fator 
(x – α) aparece exatamente m vezes.
α é a raiz de multiplicidade m de P(x) = 0
P(x) = (x – α)m ⋅ Q(x) e Q(α) ≠ 0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Componha uma equação de grau 3 em que o 
coeficiente do termo de maior grau é 3, saben-
do que 3 é raiz simples e 2 é raiz dupla.
Resolução
3(x – 2)2 (x – 3) = 0
3(x2 – 4x + 4) (x – 3) = 0
3(x3 – 7x2 + 16x – 12) = 0
3x3 – 21x2 + 48x – 36 = 0
02. UEL-PR
As soluções de uma