Equações diferenciais final parte 1

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Sumário
0Equações Diferenciais	�
0Introdução	�
2Soluções de uma equação diferencial	�
3Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem	�
3Equações Diferenciais Separáveis	�
5Equações Diferenciais Homogêneas	�
6Solução de equações diferenciais homogêneas	�
8Equações Diferenciais Exatas	�
9Método de solução	�
12Fatores integrantes	�
14Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem	�
19Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira ordem	�
19Equações de Bernoulli	�
20Equações de Clairaut	�
21Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de 2ª. ordem	�
27Solução	�
28Solução	�
1Solução	�
1Solução	�
3Solução:	�
5Solução	�
14REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	�
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Equações Diferenciais
Introdução
Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma função incógnita. Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas (ou diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função. 
As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como:
O crescimento de culturas de bactérias; →
Competitividade entre as espécies de um ecossistema,
Escoamento de fluidos em dutos,
O movimento dos planetas em torno do sol,
Trajetória de projeteis,
A formação do granizo na atmosfera,
Circulação sangüínea,
Movimento angular de ciclones,
Fenômenos de difusão,
Previsão de baixas em batalhas,
Jogos de guerra,
O formato de um ovo,
Mecanismos de transferência de calor,
A maré dos oceanos,
Ondas de choque,
A mudança diária da temperatura do vento,
Problemas de servos-mecanismos,
Evolução de uma epidemia devido a vírus,
Realimentação de sistemas, etc.
Exemplo: Lei de Resfriamento de Newton
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Tm do meio ambiente, na forma:
, k = constante
Um ovo a 98º C é colocado em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos a temperatura do ovo é de 38º C. Suponha que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente. Quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20º C?
 
Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como:
Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial ordinária (EDO). Se depender de mais de uma variável, temos uma equação diferencial parcial (EDP).
As expressões seguintes são alguns exemplos de equações diferenciais.
A. 
	B. 
	C. 
D. 
	E. 
	F. 
, u = (x, t)
A ordem de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máxima das derivadas da equação (máxima ordem ( Item D = 3).
O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem (como a ordem máxima é da equação D, seu grau é 1 e não 4 como era de se esperar).
Exemplos Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais.
(a) 
 (b) 
	A Equação (a) é uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2y/dx2 é a derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira potência de dy/dx não tem influência no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem que d2y/dx2.
A Equação (b), por outro lado, é uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; dy/dx é a derivada de maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx aparecendo na equação.
Soluções de uma equação diferencial
	As soluções de uma equação diferencial correspondem a uma família de curvas. Por exemplo, dada a seguinte equação diferencial de ordem 1:
Por integração temos: 
Isto é, uma família de circunferências centradas na origem diferenciadas pela constante R (raio).
Para equações diferencias de ordem superior teríamos tantas constantes quanto a ordem da equação diferencial.
Teorema 1. Suponha que uma família de curvas no plano xy cuja equação é: 
, onde C é uma constante. A ordenada y de uma destas curvas verifica uma equação diferencial de primeira ordem, independente de C.
Exemplo: Seja uma família de curvas 
 na forma 
, isto é, uma família de parábolas. Tomando a derivada em um ponto P qualquer, tem-se:
Isto é, a equação diferencial independe de K.
Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de y = y0, correspondente a um valor particular de x = x0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(x0). O problema de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial. 
Exemplo: Mostre que 
 é uma solução para a equação diferencial 
 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial 
.
Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem
Equações nas quais as variáveis podem ser separadas;
Equações homogêneas (todos os termos são do primeiro grau);
Equações lineares (onde y e y’ são do primeiro grau).
Todas as equações acima podem ser escritas na forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, onde M(x,y) e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo y com dy, obtendo-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o método de separação de variáveis. O método é descrito a seguir.
Equações Diferenciais Separáveis
Coloque a equação na forma diferencial na forma 
M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy 
.
Exemplo 01 Reescreva a equação diferencial de primeiro grau 
 na forma da Equação 
Neste exemplo, M(x) = -2/x e N(y) = 1/y2. 
Exemplo 2 Determinar a solução geral da equação diferencial x2yy’ – 2xy3 = 0.
Exemplo 3 Resolver a equação diferencial 
.
Exercícios: Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
	1. 
	9. 
	2. 
	10. 
	3. 
	11. 
	4. 
	12. (1 + x2)dy – dx = 0 
 
	5. 
	13. (1 + x2)dy + xdx = 0 
	6. 
	14. 
	7. 
	15. 
	8. 
	16. 
Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas. 
	17. 
; y (1) = 1 
	19. 
; y (0) = 4 
	18. 
; y (0) = 2 
	20. 
; y (1) = 1
Respostas
	1) y.lnx + 1 = Cy
	8) y = arc tg[(ex – 1)³.k]
	15) y = 
	2) y = k.
	9) y = 
	16) y = 
	3) y = C/x
	10) 2y + e-2x = C
	17) (2 – x³).y³ = 1
	4) y = arc cos(senx – c)
	11) y = sen
	18) y = 
	5) 3y² = 2x³ + C
	12) y = arc tg x + C
	19) y² = 2.ln(x² + 1) + 16
	6) y = k. 
	13) y = - 
	20) y = 
	7) 1 = 2y².(senx + C)
	14) arc tg y = x + 
+C
	
Equações Diferenciais Homogêneas
	Algumas equações que não são separáveis podem vir a sê-lo mediante uma mudança de variáveis. Isso funciona para equações da forma y’ = f(x,y), onde f é uma função homogênia, e f pode ser escrita como uma função 
Exemplos: 
(1) f(x,y) = x2–3xy+5y2
f(kx,ky) =(kx)2 – 3(kx)(ky) +5(ky)2= k2x2–3k2 xy+5k2y2
f(kx,ky) = k2[ x2–3xy+5y2] = k2 f(x,y) ( função homogênea de grau dois.
 (2) f(x,y) =x3+y3+1
f(kx,ky) = (kx)3+ (ky)3+1 ( k3 f(x,y) ( função não é homogênea.
OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada termo.
Exemplos: (1) f(x,y) = 6xy3 – x2y2 ( A função é homogênea de grau quatro.
 (2) f(x,y) = x2 – y ( A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos sãodiferentes. 
Solução de equações diferenciais homogêneas
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.
Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir.
Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas
	Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y=ux onde u é uma função diferenciável de x e dy/dx =u + xdu/dx.
OBS: São válidas também as substituições x = yu e dx=ydu + udy.
Exemplo: Resolva (x2 + y2)dx + (x2 – xy)dy = 0
Exercícios
Resolva a equação diferencial homogênea dada.
	1. 
 
	4. 
	2. 
 (usar a subst. x = yv) 
	5. 
	3. 
 
	6. 
Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
	7. xdy – (2xe-y/x + y)dx = 0; y(1) = 0
	9. 
; y(1) = 0
	8. – y2dx + x(x + y)dy = 0; y(1) = 1
	10. 
; y(1) = 0
Respostas
	1) x = C.(x – y)²
	5) y = C
	9) y = x arc sen(ln x)
	2) x = k.y² - 2y
	6) y = kx² - 3x
	10) y = x sen(- ln(x()
	3) x² - 2xy – y² = k
	7) 
= ln x² + 1
	
	4) x² - kx = y²
	8) y = 
	
Equações Diferenciais Exatas
Embora a equação y dx + x dy = 0 seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também equivalente à diferencial do produto de x e y; isto é
y dx + x dy = d(xy) = 0, integrando ( xy = c.
Se z = f(x,y) é uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano xy, então sua diferencial total é
 
 (1)
E se f(x,y) = c, então 
 (2)
Exemplo 1 Se x2 – 5xy + y3 = c, então por (2)
(2x –5y)dx + (-5x +3y2)dy = 0 ou 
.
Note que a equação anterior não é separável nem homogênea.
	Uma equação diferencial 
M(x,y)dx + N(x,y)dy
é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x,y). Isto é: 
Exemplo 2 A equação x2y3 dx + x3y2 dy = 0 é exata, pois
Teorema Critério para uma Diferencial Exata
	Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região R definida a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que
M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, seja uma diferencial exata é 
.
Método de solução
	Dada a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 
Mostre primeiro que 
.
	Depois suponha que 
Integrando, considerando y=cte, obtém-se:
, onde g(y) é a constante de integração.
Derivando f(x,y) com relação a y e supondo (f/(y = N(x,y)
Executando os cálculos acima chega-se a f(x,y) = c. 
Exemplo 3 Resolva 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0.
Exemplo 4 Resolva o problema de valor inicial
 
Exercícios. Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral.
	1. (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0
	6. 2y2
dx + 2xy
dy = 0
	2. yexdx + exdy = 0
	7. 
	3. (3y2 + 10xy2)dx + (6xy – 2 + 10x2y)dy = 0
	8. 
	4. 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0
	9. 
	5. (4x3 – 6xy2)dx + (4y3 – 6xy)dy = 0
	10. 
Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
	11. 
; y(2) = 4
	14. 
; y(0) = (
	12. 
; y(4) = 3
	15. (2xtgy + 5)dx + (x2sec2y)dy = 0; y(0) = 0
	13. 
; y(0) = 4
	16. (x2 + y2)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1
Respostas
	1) x² - 3xy + y² = C
	7) arc tg(x/y) = C
	13) x² + y² = 16
	2) yex = C
	8) 
	14) e3x.sen3y = 0
	3) 3xy² + 5x²y² - 2y = C
	9) não é exata
	15) x². tgy - 5x = 0
	4) sen(2x – y) = C
	10) ey. senxy = C
	16) xy² + 
 = 12
	5) não é exata
	11) y.ln(x – 1) + y² = 16
	
	6) não é exata
	12) 
	
Fatores integrantes
	Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não exata em uma equação exata multiplicando-a por uma função ((x,y) chamada fator de integração. Porém, a equação exata resultante:
((x,y)M(x,y)dx + ((x,y)N(x,y)dy = 0
Pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções.
Exemplo Se a equação diferencial
2y dx + x dy = 0 (Não é uma equação exata)
for multiplicada pelo fator integrante ((x,y) = x, a equação resultante
2xy dx + x2 dy = 0 (Equação exata)
é exata, ou seja, 
.
	Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, existem duas classes de equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de x ou apenas de y. O Teorema a seguir, que enunciaremos sem demonstração, fornece um roteiro para encontrar esses dois tipos especiais de fatores integrantes. 
Teorema Fatores Integrantes
	Considere a equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0.
1. Se 
 é uma função só de x, então 
 é um fator integrante.
2. Se 
é uma função só de y, então 
 é um fator integrante.
Exemplo 1 Encontre a solução geral da equação diferencial (y2 – x) dx + 2y dy = 0.
A equação dada não é exata, pois 
. Entretanto, como
Temos que 
= 
é um fator integrante. Multiplicando a equação dada por ex, obtemos a equação diferencial exata
(y2ex – x ex) dx + 2yex dy = 0
cuja solução é obtida da seguinte maneira:
Outra forma de encontrar o fator integrante é em E. D. na forma:
M(x,y) = y. f(x,y) e N(x,y) = x. g(x,y), então
Exemplo 2 Resolva 
.
Exercícios
Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou apenas de y, e use-o para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
	1. ydx - (x + 6y2)dy = 0
	6. (2x2y – 1)dx + x3dy = 0
	2. (2x3 + y)dx - xdy = 0
	7. y2dx + (xy - 1)dy = 0
	3. (5x2 - y)dx + xdy = 0
	8. (x2 +2x + y)dx + 2dy = 0
	4. (5x2 – y2)dx + 2ydy = 0
	9. 2ydx + (x – sen 
)dy = 0
	5. (x + y)dx + tgxdy = 0
	10. (-2y3 + 1)dx + (3xy2 + x3)dy = 0
Respostas
	1) FI: 1/y² ( (x/y) – 6y = C
	6) FI: x -1 ( x²y – ln x = C
	2) FI: 1/x² ( (y/x) – x² = C
	7) FI: (1/y) ( xy – ln y = C
	3) FI: 1/x² ( (y/x) + 5x = C
	8) FI: 
 ( 
(2y + 2x² - 4x + 8) = C
	4) FI: e-x ( e-x (y² - 5x² - 10x – 10) = C
	9) FI: (1/
) ( x. 
 + cos 
 = C
	5) FI: cos x ( y sen x + x sen x + cos x = C
	10) FI: x -3 ( x -2y³ + y - (1/ 2x²) = C
Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem
	Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como,
.
A linearidade significa que todos os coeficientes 
são funções de x somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência.
	Quando n = 1, a equação linear é de primeira ordem:
Procuramos uma solução para a equação acima em um intervalo no qual as funções P(x) e Q(x) são contínuas. Rescrevendo na forma:
Podemos sempre encontrar uma função ((x) para equações lineares, isto é:
é uma equação diferencial exata. Neste caso:
	Portanto, ((x) é um fator de integração para a equação linear. Note que não precisamos usar uma constante de integração pois a equação diferencial não se altera se multiplicarmos todos os temos por uma constante. Para ((x) ( 0, é contínua e diferenciável.
Esta solução pode ser obtida diretamente pelo método Método de Lagrange. Resolve-se a equação considerando Q(x)=0, e obtendo-se y(x)=Af(x), com A=Cte. Depois, substitui-se A por uma função A(x) e resolve a equação completa, e então obtém-se o valor de A(x).
Exemplo 1: Encontre a solução geral de 
.
Pelo Método de Langrange
Exemplo 2: Um corpo de massa m, afunda em um fluido e sofre a resistência deste. Como as velocidades são pequenas, a resistência é proporcionalà velocidade na forma f=Bv. Determine a velocidade do corpo.
Exemplo 3 Uma esfera de diâmetro D e massa m, com velocidade inicial de translação v0, é desacelerada pela ação do ar. Se a força de resistência do ar fR=CD2v, onde C é uma constante e D2 refere-se a área de seção transversal da esfera em relação ao movimento. Calcule o comportamento da velocidade e do deslocamento da esfera. 
Exemplo 3 Calcule a corrente elétrica que circula em um circuito composto por uma fonte V=V0 cos(wt), onde w é a frequencia angular, conectada em série com um resistor R e um capacitor C.
Exercícios
Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
	1. 
 
	2. 
	3. 
	4.
	5. 
	6. 
	7. 
	8. 
	9.
	10. 
 
	11. 
	12. 
	13. 
	14. 
	15. 
	16. 
	17. 
	 18.
 
Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira ordem
Equações de Bernoulli
	A equação diferencial
 
em que n é um número real qualquer, é uma equação não-linear, chamada de equação de Bernoulli. Dividindo por 
, obtém-se:
. (2)
Exemplo: resolva 
Comparando com 
 verificamos que 
. 
Exercícios
Resolva a equação diferencial de Bernoulli dada.
	1. y’ + 3x2y = x2y3
	3. yy’ – 2y2 = ex
	5. y’ - y = x3
	2. y’ + 2xy = xy2
	4. y’ + 
y = x
	6. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRONSON, R. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. 
BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno.
EDWARDS, C. H. Jr. e PENNEY, David E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 
GUIDORRIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo (vol. 2).
ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. (vol 1)
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica (vol 2)
LARSON, Hostetler & Edwards. Cálculo com Geometria Analítica (vol 2).
STEWART, James. Cálculo (vol 2).
KREIDER, D.L. e Outros. Equações Diferenciais.
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