T1_calculo2_360 com respostas

Prévia do material em texto

PUCRS - Faculdade de Matemática 
Prof. Pedro Sica Carneiro 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Turma 360 – T1 – 28/03/2014 
 
 
NOMES: _____________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________ 
 
 
OBS: QUESTÕES SEM DESENVOLVIMENTO NÃO SERÃO CONSIDERADAS 
 
 
QUESTÃO ① (VALOR: 3,0) 
Calcule exatamente três das seguintes integrais: 
a) 
dxex x 
325
 b) 
     dxxxsen 4cos4
3
 c) 



dx
xx
x
3 2 6
3
 
d)
 dxx
x)(lnsec2 e) 
  dxxx 5
2
 f) 
 
dx
x294
1
 
 
 
Respostas: 
a) 
Ce x 
3
3
5
 
b) 
C
xsen

16
)4(4
 
c) 
Cxx  3
2
2 )6(
4
3 
d) 
  Cx lntan
 
e) 
      Cxxx  2
3
2
5
2
7
5
3
50
545
7
2
 
f) 
C
x






2
3
arctan
6
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO ② (VALOR: 2,0) 
a) Uma partícula move-se em linha reta, de tal modo que a velocidade (em função de t) é dada por 
 tsentv 24)( 
 (em m/s). Encontre s(t), a distância percorrida pela partícula após t segundos, 
sabendo que s(0) = 2. 
 
Resposta: y = 2.cos (2t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sabendo que o ponto (4, 15) pertence a uma curva de equação y = f(x) e que a declividade da reta 
tangente em cada ponto da mesma é dada por 
x
xx 2
, encontre a equação da curva. 
Resposta: y = 
322  xx
 
QUESTÃO ③ (VALOR: 3,0) 
Considere a função 
f
(x) = 3x – x2 e responda o que é pedido em cada caso. 
a) (1,5) Seja R a região limitada entre o gráfico da função 
f
 e o eixo x. Calcule o volume do sólido 
obtido pela rotação do gráfico de f ao redor do eixo x. 
 
 
Resposta: 81π/10 u.v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (1,5) Determine a área total entre o gráfico da função 
f
 e o eixo x de x = 1 até x = 4. 
Resposta: 31/6 u.a. 
 
 
 
QUESTÃO ④ (VALOR: 2,0 CADA ITEM) 
Considere a região R limitada pelos gráficos das 
funções
3xy 
, 
6 xy
e 
2
x
y 
 representadas 
graficamente abaixo. 
 
 
 
 
 
a) Escreva (não calcule) uma integral (ou soma de integrais) que fornece a área da região R 
integrando em relação a x. 
 
Resposta: 
dxxxdxxx  

2
0
3
0
4
)]()6[()]2/()6[(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Escreva (não calcule) uma integral (ou soma de integrais) que fornece a área da região R 
integrando em relação a y. 
Resposta 
dyyydyyy  
2
0
3
3
1
3 )]6([)]2/()[(