TRANSFORMADA DE FOURIER

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FACULDADE ESTÁCIO DE CURITIBA
ENGENHARIA ELÉTRICA – CIRCUITOS ESPECIAIS 
TRANSFORMADA DE FOURIER E SINCROFASORES E SUAS APLICAÇÕES
Curitiba
 2017
THIAGO TERENCIO DE MENEZES SANTOS
TRANSFORMADA DE FOURIER E SINCROFASORES E SUAS APLICAÇÕES
Este trabalho apresentada à Faculdade Estácio de Curitiba, como requisita de avaliação parcial da disciplina de sistemas especiais do curso de bacharelado em engenharia elétrica, realizada pelo aluno Thiago Terencio de Menezes Santos, sob a orientação da Prof. Msc. Fabrício.
CURITIBA
2017
RESUMO
Este trabalho tem a finalidade de apresenta a teoria das Séries de Fourier e das Transformadas de Fourier. O objetivo principal deste trabalho é o estudo introdutório das Séries de Fourier e da Transformada de Fourier, obtendo como resultado a aquisição de conhecimentos básicos e sólidos sobre essa teoria, As Séries de Fourier permitem representar muitas funções periódicas. A representação por meio de séries é bastante vantajosa quando se deseja aproximar os valores da função, por exemplo, quando a função possui uma fórmula complicada, difícil de calcular com exatidão.
No campo matemático da análise harmônica, a transformada de Fourier tem relações muito próximas com a série de Fourier. Também está estreitamente relacionada com a transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) e a transformada discreta de Fourier (DFT).
A transformada de Fourier pode ser aplicada tanto para tempo discreto como para sinais periódicos no tempo usando o formalismo do delta de Dirac. Na verdade, a série de Fourier, a DTFT e a DFT podem ser derivadas em da transformada contínua de Fourier geral. Elas são, do ponto de vista teórico, os casos particulares da transformada de Fourier.
Palavras chaves: transformada de Fourier, Series de Fourier, Aplicações de Fourier.
	ABSTRACT
This work has the purpose of presenting the Fourier series and the Fourier transform. The main objective of this work is the introductory study of the Fourier Series and the Fourier Transform, obtaining as a result an acquisition of basic and solid knowledge about this theory, The Fourier Series, representing many periodic functions. A series representation is quite advantageous when approaching function values, for example, when a function has a complicated formula, difficult to calculate with accuracy.
In the mathematical field of harmonic analysis, a Fourier transform has very close relations with a Fourier series. It is also closely related to a discrete-time Fourier transform (DTFT) and a discrete Fourier transform (DFT).
A Fourier transform can be applied for discrete time as for time-consuming periodic tests using the Dirac delta formalism. In fact, a series of Fourier, a DTFT and a DFT can be derived in a continuous Fourier transform. They are, from the theoretical point of view, the particular cases of the Fourier transform.
Key words: Fourier transform, Fourier series, Fourier applications.
SÉRIES DE FOURIER
A serie de Fourier nada mais é que o conceito de somar uma quantidade infinita de números reais ou complexos. Segundo as idéias originais de Arquimedes, Ele provavelmente foi o primeiro a divisar um método (que chamou de exaustão) o qual é possível atribuir significado numérico (convergência) a essas somas. Através deste método o mesmo obteve uma aproximação muito precisa do número π, entre outros feitos notáveis. A idéia de representar funções por meio de séries surgiu na Índia por volta do século XIV, período no qual foram concebidas as técnicas precursoras para tratar do que hoje é conhecido como Séries de Potências. 
Alguns outros tipos de série também foram demostradas por Taylor e Maclaurin, Exemplos particulares, ensinadas em cursos regulares de Cálculo de limite de séries polinomiais
O Primeiro a estudar sistematicamente tais séries, passamos a chamá-las Séries de Fourier foi Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Outros pesquisadores, como Euler, D'Alembert e Bernoulli já haviam se deparado com esse conceito mas não haviam chegado a desenvolvê- lo no mesmo grau de profundidade e abrangência obtidos por Fourier. 
A definição das Séries de Fourier expressa essas séries como somas infinitas de exponenciais complexas, tem um tratamento moderno conforme definição a seguir:
Definição 1 - Seja x um número real. Chama-se exponencial complexa de x o número complexo
É possível entender que as exponenciais complexas são funções periódicas de período igual a 2π. A m de utilizá-las para modelar funções com outros períodos, por exemplo, igual a P, basta notar que e^i2πnt/P são funções periódicas de período P para todo n ∈ Z.
Definição 2 - . Seja f : R → C uma função periódica, com período P, P > 0, se 
 
P é chamado período fundamental, se P for o menor real positivo possível. Portanto, F = 1 P é denida como frequência fundamental. Suponhamos que
Definição 3. Se uma função f tem período P, então os coecientes de Fourier
de f são definidos por: 
 
SÉRIES DE FOURIER DE FUNÇÕES REAIS
Seja f seja uma função real, então os coecientes de Fourier de f no intervalo [0, P] são dados por
 
Podemos também escrever a Série de Fourier de f numa forma real, da seguinte maneira
 
SÉRIES EM SENOS E SÉRIES EM COSSENOS
As séries em senos e séries em cossenos como casos especiais interessantes das Séries de Fourier, tornando evidentes certos aspectos de simetria como paridade par ou ímpar.
Uma função f é chamada ímpar no intervalo [−L, L] se f(−t) = −f(t) para cada valor de t. Uma função é chamada par no intervalo [−L, L] se f(−t) = f(t) para cada valor de t.
Sabemos do Cálculo que se uma função f for ímpar no intervalo [−L, L], logo
 
e se f é uma função par no intervalo [−L, L], então
 
CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER
Com relação aos aspectos de convergência das Séries de Fourier encontramos o Fenômeno de Gibb's e a Convergência Uniforme. O Fenômeno de Gibb revela os erros que vão se acumulando em torno dos pontos de descontinuidade, ou seja, uma das características das Séries de Fourier é a de que os erros de aproximação tendem a se acumular nos extremos. A Convergência Uniforme ocorre quando as somas parciais tendem uniformemente sobre algum intervalo de uma função.
Nas Figuras de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 temos exemplos da ocorrência do Fenômeno de Gibb's.
Figura 1 - A função g(t) = t periodificada 
Figura 2 - Primeira harmônica da função g(t) = t
Figura 3 - Soma das duas primeiras harmônicas da função g(t) = t
Figura 4 - Soma das quatro primeiras harmônicas da função g(t) = t 
Figura 5 - Soma das oito primeiras harmônicas da função g(t) = t 
Figura 6 - Soma das 16 primeiras harmônicas da função g(t) = t 
 Seja f uma função contínua com período P, com derivada f 0 contínua por partes. Então a soma parcial das Séries de Fourier para f converge uniformemente para f sobre toda reta real. Em particular temos
 
Este Teorema revela é que as funções que satisfazem as condições dadas são iguais as Séries de Fourier.
	Outro aspecto de convergência das Séries de Fourier é a Convergência Pontual. Para analisar a convergência pontual de uma Série de Fourier considera-se um valor pontual de t, (t é constante), vericando o limite das somas parciais de tal série. A convergência pontual ocorre quando as derivadas laterais são iguais e a função é contínua. Nesta parte do trabalho, analisaremos o limite das somas parciais das Séries de Fourier em qualquer ponto.
	Seja f uma função com período P, desenvolvida em uma série de exponencias complexas dada por:
			
TRANSFORMADA DE FOURIER 
Em matemática, a transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações diretamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar.A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier, compõe uma função temporal (um sinal) em frequências, tal como uma corda de um instrumento musical pode ser expressa como a amplitude (ou volume) das suas notas constituintes. A transformada de Fourier de uma função temporal é uma função de valor complexo da frequência, cujo valor absoluto representa a soma das frequências presente na função original e cujo argumento complexo é a fase de deslocamento da base sinusoidal naquela frequência. Ela pode ser vista, inclusive, como um caso particular da transformada Z.
 A Transformada de Fourier refere-se à Transformada de Fourier para funções contínuas, e esta por sua vez detecta frequências e representa qualquer função integrável f(t) como a soma de exponenciais complexas com frequência angular ω e amplitude complexa F(f)(ω):
A função f(ω) carrega toda informação da função f, pois F possui inversa, F −1 . A Transformada de Fourier da função f de domínio temporal passa para o domínio de frequência. A Transformada de Fourier apresenta várias operações geralmente calculadas em funções, por exemplo: combinações lineares, diferenciação, translação, dilatação, multiplicação por polinômios e convolução.
Pode-se provar que [10], de fato, F(F-¹ (F)) = F e F-¹ (F(f)) = f, ou seja, F e F-¹ são inversas uma da outra.
Uma função f : R → R é absolutamente integrável sobre um intervalo real [a, b] se	
 
Da mesma forma podemos definir uma função f : R → R como sendo absolutamente integrável sobre a reta R se
			
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA CONTÍNUA DE FOURIER
Propriedade 1 - (Linearidade) Sejam f, g : R → C funções absolutamente integráveis e 16 2. Transformada Contínua de Fourier a, b ∈ R, então
		
Prova 
Propriedade 2 - (Transformada de Fourier de uma Translação) Seja f : R −→ C uma função absolutamente integrável, então
 
onde a > 0 e indica o valor da translação, o quanto a função foi transladada. Reciprocamente,
		
Prova 
		
Propriedade 3 - (Transformada de Fourier de uma Dilatação) Seja f : R −→ C uma função absolutamente integrável, e a 6= 0, então
A TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Transformada Contínua de Fourier é aplicável a funções definidas na reta. No entanto, muitas aplicações requerem reduzir o domínio a um determinado intervalo. Por exemplo, para um engenheiro não importa muito o comportamento de uma função (sinal) em instantes de tempo anteriores à criação do equipamento e posteriores a sua destruição. Ademais, as tecnologias digitais muito empregadas hoje em dia requerem a discretização das funções, reduzindo-as a uma lista nita de números (amostras).
Um resultado importante da Teoria da Informação chamado Teorema da Amostragem arma que, sob certas condições, essas aproximações podem de fato ser exatas se a taxa de amostragem for sucientemente grande. Não vamos enunciar esse Teorema que realiza a análise de sequências periódicas ou funções, sendo assim representada a partir da análise de Fourier por meio de uma combinação linear de exponenciais complexas, ou seja, é realizada uma amostragem da função. A Transformada Discreta de Fourier(DFT) fornece uma aproximação para os coecientes de Fourier. As Séries de Fourier podem ser discretizadas resultando na DFT. Abaixo faremos a derivação da DFT a partir da discretização das Séries de Fourier.
A TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
A Transformada Rápida de Fourier é um método muito eciente que reordena os cálculos dos coecientes de uma Transformada Discreta de Fourier (DFT). Trata-se de um algoritmo, que realiza uma avaliação da DFT com o menor esforço computacional, ao invés de realizar o cálculo da DFT diretamente pela denição. A FFT é uma técnica que possibilita avaliar a DFT de forma mais rápida e econômica, sendo uma das maiores contribuições para a análise numérica já realizada. Considere a DFT de N pontos
TEOREMA DA CONVOLUÇÃO
 o processo de convolução no domínio espacial é equivalente à multiplicação no domínio de frequência, resultado este que estabelece não apenas uma metodologia para a implementação da convolução como também uma compreensão sobre como dois sinais interagem uns com os outros, sob convolução, como produzir um terceiro sinal.
Teorema da Convolução em uma dimensão Considere duas funções f e g. Sejam f ∗ g a convolução dada pelas duas funções e F a Transformada de Fourier. Sejam F(f) e F(g) as Transformadas de Fourier das funções f e g respectivamente. Então F(f ∗ g) = F(f) · F(g)
FILTROS 
Os filtros são processos que tem por nalidade salientar determinados aspectos em imagens digitais ou reduzir ruídos. Esses ruídos podem ter sido introduzidos na imagem durante o processo de aquisição da imagem ou durante o processo de quantização e digitalização, ou então pelo excesso de compressão da imagem, ou mesmo por problemas na transmissão. Os conceitos matemáticos a respeito desses processos serão melhor denidos mais adiante. Os ltros são classicados como passa-baixa, passa-banda ou passa-alta, dependendo da frequência dos detalhes eliminados ou mantidos na imagem.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ÓPTICA
Utiliza-se a OTF para representar uma imagem de forma detalhada, relacionando-a com o objeto e com defeitos introduzidos no sistema óptico. Este sistema é responsável pela formação da imagem óptica no plano focal. Sua contribuição na degradação ocorre devido aos movimentos da câmera causados por distúrbios externos, por exemplo, vibrações e imperfeições. Esta degradação provoca um efeito de ltro passa-baixa nas duas direções.
PROCESSO DE DECONVOLUÇÃO
O processo de deconvolução consiste basicamente em tentar desfazer o que o processo de convolução realizou. Por exemplo, o borramento que se observa em uma fotograa fora de foco pode ser descrito por meio da convolução, logo, é possível obter uma imagem nítida a partir de imagem borrada por meio da deconvolução, desde que o PSF seja conhecido a priori ou possa ser estimado a partir da própria imagem borrada.
PROCESSAMENTO DE IMAGEM
O interesse em métodos de processamento digital de imagens surgiu da necessidade de melhorar a qualidade da informação de uma imagem para a interpretação humana. As técnicas para este melhoramento evoluíram em meados dos anos 60 com o advento de computadores digitais. Exemplo disso, são as imagens transmitidas da Lua pela sonda Ranger 7, em 1964, que foram processadas por um computador com a nalidade de corrigir os vários tipos de distorções apresentadas. Assim, as técnicas de processamento utilizadas nesse período serviram de base para a restauração de imagens de outros programas. Essas técnicas permitem a análise de uma cena em várias regiões do espectro eletromagnético, além da integração de vários tipos de dados, tornando possível a manipulação de sinais multidimensionais.
DIGITALIZAÇÃO DE IMAGENS
 a percepção de uma imagem é dada pelo resultado de estímulos luminosos produzidos por um suporte bidimensional, é necessário estabelecer um universo matemático no qual seja possível denir diversos modelos abstratos de uma imagem. Em seguida, criase um universo de representação no qual haja uma representação discreta desses modelos, com o objetivo de obter uma codicação da imagem no computador.
IMAGEM CONTÍNUA
A imagem contínua e discreta refere-se à discretização do domínio da função imagem. Assim, para codificar uma imagem no computador é necessário trabalhar com modelos de imagem onde a função imagem i assume valores em um subconjunto discreto do espaço de cor C. Portanto, quando observamos uma fotografiaa ou uma cena real, recebemos de cada ponto do espaço um impulso luminoso que associa uma informação de cor a esse ponto. Assim, um modelo matemático natural para descrever uma imagem é o de uma função definida em uma superfície bidimensional, tomando valores em um espaço de cor.
APLICAÇÕES
As técnicas de processamento de sinais e imagens estão se aprimorando a todo momento, da mesma forma que as diversas aplicações realizadas, como o processamento de imagens médicas, o aperfeiçoamento deimagens de satélites, ou mesmo o trabalho com fotografias e impressões. Neste capítulo, trataremos a respeito de algumas aplicações presentes na área de processamento digital de imagens. Veremos a realização de operações com a Transformada de Fourier e também com a Transformada Inversa, a utilização de ltros na otimização de imagens, o processo de detecção de bordas, a aplicação do processo de luminância, de borramento e também a restauração de imagens.
Figura 7 - Representação da Imagem Real
Figura 8 - Filtro Butterworth Passa-Baixa
Figura 9 - Filtro Gaussiana Passa-Baixa
Figura 9 - Filtro Butterworth Passa-Alta
Figura 10 - Filtro Gaussiana Passa-Alta
Figura 11 - Representação do filtro Butterworth Passa-Baixa
Figura 12 - Representação do filtro Butterworth Passa-Alta
Detecção de Bordas
Figura 13 - Imagem Original / Detecção de Bordas
Borramento de uma Imagem
Figura 14 - Imagem Real Colorida / Imagem Borrada por uma gaussiana
Luminância
Figura 15 - Imagem Original Colorida/Luminância da imagem
REFERENCIAS 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%B5es_entre_a_s%C3%A9rie_e_a_transformada_de_Fourier
Acessado em 26.09.2017
https://www.dm.ufscar.br/dm/index.php/component/attachments/download/48
Acessado em 01.10.2017
 Walker, J. S., Fast Fourier Transforms, 2nd Ed., CRC Press, 1996.
 Walker, J. S., Fourier Analysis, Oxford University Press, Oxford, 1988.
http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/TransformadaDeFourier.pdf 
Acessado em 02.10.2017