Revisão para av2

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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Aula de revisão para a AV2
Prof. Lauro Boechat Batista
Aula 1 - S
Aula de revisão para a AV2.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Conteúdo Programático desta aula
Medidas de tendência central (média, moda e mediana) para dados isolados e agrupados.
Propriedades da média.
Medidas de dispersão ou de variabilidade (amplitude total, desvio médio absoluto, variância, desvio padrão e coeficiente de variação) para dados isolados e agrupados.
Propriedades da variância e do desvio padrão
Correlação linear simples
Gráficos
Resumo 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central
Média
Moda
Mediana
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central 
Mediana é o valor central de uma distribuição de dados ordenados.
Como determinar a mediana – os valores são colocados em ordem crescente ou decrescente e a mediana será exatamente o valor central para número ímpar de elementos.
Para número par de elementos, a mediana será obtida pela soma dos dois elementos centrais dividida por 2.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central 
Determinação da mediana para número par e ímpar de elementos:
Exemplo 1: 2, 3, 5, 6, 8, 8, 9 - a mediana (Md ou Mi) será 6, isto é, Mi = 6 (número ímpar de elementos)
Exemplo 2: 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 9 – a mediana (Md ou Mi) será Mi = (4 + 7)/2 = 11/2 = 5,5 (número par de elementos).
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central 
Moda é o valor da variável de maior ocorrência.
Distribuição amodal: 8, 5, 2, 4, 7, 3 (não existe valor que ocorre maior quantidade de vezes.
Distribuição unimodal: 2, 4, 5, 3, 2, 1, 3, 2 (Mo = 2)
Distribuição bimodal: 3, 5, 7, 7, 7, 3, 3, 5, 2, 1 (Mo = 3 e 7)
Distribuição trimodal: 1, 4, 4, 4, 1, 1, 5, 6, 7, 7, 5, 5 (Mo = 1, 4, e 5)
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central 
Média é denomina µ (mu) se for para a população e para a amostra é denominada (xis-barra).
Existem diversos tipos de média, como a aritmética, a geométrica e a harmônica.
No entanto, iremos trabalhar com a média aritmética que doravante a denominaremos de somente “média”
A média da amostra é dada por:
Esta média é denominada “média aritmética simples”, que é para dados apresentados sem frequências, ou seja, dados não agrupados.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central 
Propriedades da média
Sejam as amostras:
A: x1 = 8, x2 = 10 e x3 = 12. A = (8 + 10 + 12)/3 = 30/3 = 10.
B: x1 = 16, x2 = 20 e x3 = 24. A = (16 + 20 + 24)/3 = 60/3 = 20.
C: x1 = 4, x2 = 5 e x3 = 6. A = (4 + 5 + 6)/3 = 15/3 = 5.
D: x1 = 10, x2 = 12 e x3 = 14. A = (10 + 12 + 14)/3 = 36/3 = 12.
E: x1 = 6, x2 = 8 e x3 = 10. A = (6 + 8 + 10)/3 = 24/3 = 8.
A: = (-2) + (0) + (2) = 0
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central 
Propriedades da média
A soma dos desvios dos valores em relação à média é nula, isto é,
Somando-se a todos os valores uma constante, a média ficará somada desta constante.
Subtraindo-se de todos os valores uma constante, a média ficará subtraída desta constante.
Multiplicando-se todos os valores por uma constante, a média ficará multiplicada pela constante.
Dividindo-se todos os valores por uma constante, a média ficará dividida pela constante.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central 
Relação entre a média, a moda e a mediana
Média = mediana = moda distribuição simétrica
Média maior do que a moda distribuição assimétrica positiva
Média menor do que a moda distribuição assimétrica negativa 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de tendência central 
Dados isolados e agrupados
Consumo de latinhas de cerveja em uma amostra de 10 pessoas: 10, 5, 0, 0, 0, 20, 10, 0, 0, 5.
Representação simples: x1 = 10, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 20, x7 = 10, x8 = 0, x9 = 0, x10 = 5 
 = (10 + 5 + ...+ 5)/10 = 50/10 = 5 cervejas/pessoa.
Representação por frequências: x1 = 10, f1 = 2, x2 = 5, f2 = 2, x3 = 0, f3 = 5, x4 = 20, f4 = 1
 = = = 5 cervejas/pessoa. Neste caso, com frequências, a 
média é denominada “média aritmética ponderada”.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes.
Tabela 1. Número de filhos/família, em uma amostra de 50 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes.
Média = = = 2 filhos/família.
Moda = 2 filhos/família
Mediana = 2 filhos/família
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da média aritmética ponderada (Tabela 1)
 
 =
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da moda bruta (Tabela 1)
Moda bruta – a moda bruta é o ponto médio da classe modal.
Ponto médio da classe modal = (LI + LS)/2 = (1,62 + 1,68)/2
Ponto médio da classe modal = 3,30/2 = 1,65 m.
A moda bruta será igual a 1,65 m (Mo = 1,65 m).
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 1)
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
 = (40 – 10) = 30 e = (40 – 20) = 20
 LI = 1,62 e IC = 0,06 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 1)
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
Mo = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + .0,06 = 1,62 + 0,036
Mo = 1,656 m.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 1)
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC, onde:
LI é o limite inferior da classe de referência, é a frequência acumulada anterior à classe de referência, é a frequência simples da classe de referência, IC é o intervalo de classe e a classe de referência é a classe cuja frequência acumulada seja imediatamente superior ao valor 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalosde classes (Tabela 1)
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC
Md = 1,62 + ( ) . 0,06 = 1,62 + ( ) . 0,06 
Md = 1,62 + 0,7 . 0,06 = 1,62 + 0,042 = 1,662 m. 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Medidas de dispersão, variação ou de variabilidade
Amplitude total dos dados
Desvio médio absoluto
Variância
Desvio padrão
Coeficiente de variação
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de dispersão ou de variabilidade 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de dispersão ou de variabilidade 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais medidas de dispersão ou de variabilidade 
 
Existe uma relação entre a variância e o desvio padrão:
A variância é o desvio padrão ao quadrado e o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância.
Se o desvio padrão vale 5, então a variância vale 25; se o desvio padrão vale 10, então a variância vale 100.
Se a variância vale 16, então o desvio padrão vale 4; se a variância vale 9, então o desvio padrão vale 3.
Se a variância vale 25 kg2, então o desvio padrão vale 5 kg; se o desvio padrão vale 10 kg, então a variância vale 100 kg2.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da variância e do desvio padrão em população
POPULAÇÃO 
A variância em população é representada por 2 (sigma-dois) e o desvio padrão por  (sigma).
 2 = e o desvio padrão  é a raiz quadrada 
positiva da variância.
Seja a população: X1 = 5, X2 = 4, X3 = 8, X4 = 2 e X5 = 6. 
Determine a média, a variância e o desvio padrão.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da variância e do desvio padrão em população
POPULAÇÃO 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da variância e do desvio padrão em amostra
AMOSTRA 
A variância em amostra é representada por s2 (esse-dois) e o desvio padrão por s (esse).
 s2 = e o desvio padrão s é a raiz quadrada 
positiva da variância.
Seja a amostra: X1 = 5, X2 = 2, X3 = 8, X4 = 2 e X5 = 8. 
Determine a média, a variância e o desvio padrão.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da variância e do desvio padrão em amostra
AMOSTRA 
Cálculo da média:
 =
Cálculo da variância:
S2 = = [(5-5)2 + (2-5)2 + (8-5)2 + (2-5)2 + (8-5)2]/(5-1)
S2 = [(0)2 + (-3)2 + (3)2 + (-3)2 + (3)2] / 4 = 36/4 = 9.
Cálculo do desvio padrão:
S = = 3.
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Propriedades da variância e do desvio padrão
AMOSTRAS
Sejam as amostras:
A x1 = 10, x2 = 8 e x3 = 12. Então s2 = 4 e s = 2.
B x1 = 15, x2 = 13 e x3 = 17. Então s2 = 4 e s = 2.
C x1 = 5, x2 = 3 e x3 = 7. Então s2 = 4 e s = 2.
D x1 = 30, x2 = 24 e x3 = 36. Então s2 = 36 e s = 6.
E x1 = 5, x2 = 4 e x3 = 6. Então s2 = 1 e s = 1.
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Propriedades da variância e do desvio padrão
POPULAÇÃO/AMOSTRAS
Propriedades da variância e do desvio padrão:
somando-se ou subtraindo-se a todos os valores uma constante, a variância e o desvio padrão não se alteram;
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores por uma constante, a variância ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante enquanto que o desvio padrão ficará multiplicado ou dividido pela constante.
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Variabilidade absoluta (s – desvio padrão) e variabilidade relativa (CV (%) – coeficiente de variação)
Sejam as amostras:
 A B C D E
 s = 2 2 5 10 25
 = 10 20 50 100 500
CV = 20% 10% 10% 10% 5%
CV = CV(E) = 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da variância em uma Tabela de frequência para dados agrupados sem intervalos de classes.
Tabela 1. Quantidades de filhos por família
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da variância em uma Tabela de frequência para dados agrupados sem intervalos de classes.
Cálculo da média = 200/100 = 2.
 
Cálculo da variância s2 = 
s2 = 120 / (100 – 1) = 120 / 99 = 1,21. Então, s = (desvio padrão)
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da variância em uma tabela de frequências para dados agrupados com intervalo de classe.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da variância em uma Tabela de frequência para dados agrupados com intervalos de classes.
AMOSTRA
Cálculo da média = 165/100 = 1,65.
 
Cálculo da variância s2 = 
s2 = 0,432 / (100 – 1) = 0,432 / 99 = 0,0044. 
Então, s = (desvio padrão)
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Correlação linear simples 
Diagrama de dispersão
Determinação do coeficiente de correlação linear simples
Interpretação do coeficiente de correlação linear simples
 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Correlação linear simples e regressão linear simples 
Idade
peso
altura
Variável independente (x)
Variável dependente (y)
Variável dependente (y)
correlação
regressão
regressão
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Diagrama de dispersão 
Coeficiente de correlação nulo ou próximo de zero.
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Gráf9
		5
		4.5
		5.5
		3
		7
		2.1
		7.5
		1.8
		8.6
		1
		8.3
		2.2
		8
		3
		7
		3
		6
		5
		5
		5.6
		6.1
		5.6
		4
		5.2
		4.7
		6.1
Plan1
		0		5
		1		4.5
		1		5.5
		2		3
		2		7
		3		2.1
		3		7.5
		4		1.8
		4		8.6
		5		1
		5		8.3
		6		2.2
		6		8
		7		3
		7		7
		8		3
		8		6
		9		5
		4.1		5
		4.2		5.6
		4.8		6.1
		5.3		5.6
		3		4
		2		5.2
		6.3		4.7
		6.4		6.1
Plan1
		
Plan2
		
Plan3
		
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Coeficiente de correlação linear simples - classificação e variação 
r coeficiente de correlação linear simples de Pearson
Campo de variação: -1 ≤ r ≤ 1. Se r = 0 (correlação linear nula)
r = 1 (correlação linear perfeita positiva)
r = -1 (correlação linear perfeita negativa)
0 < r < 0,3 correlação linear muito fraca e positiva
-0,3 < r < 0 correlação linear muito fraca e negativa
0,3 ≤ r 0,6 correlação linear fraca e positiva
-0,6 < r ≤ -0,3 correlação linear fraca e negativa
0,6 ≤ r < 1 correlação linear forte e positiva
-1 ≤ r ≤ -0,6 correlação linear forte e negativaAula 1 - S
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Coeficiente de correlação linear simples - classificação e variação 
r coeficiente de correlação linear simples de Pearson
Campo de variação: -1 ≤ r ≤ 1. Se r = 0 (correlação linear nula)
Valor de r positivo – ambas as variáveis têm o mesmo sentido:
var. 1 var. 2 var. 1 var. 2
 
 ou
Valor de r negativo – as variáveis têm sentidos contrários.
Var. 1 var. 2 var. 1 var. 2 
 ou 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Coeficiente de correlação linear simples – fórmula para a sua determinação.
 
Sejam os pares de variáveis dependentes. Determine r:
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Coeficiente de correlação linear simples – fórmula para a sua determinação.
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação do coeficiente de correlação linear simples de Pearson
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Gráficos
Formas de apresentação de uma pesquisa
Apresentação oral, escrita, figuras, slides, banner, filmes, figuras, fotografias, multimídia, tabelas e gráficos
Principais tipos de gráficos: cartogramas, pictogramas e diagramas 
Aplicação e interpretação dos gráficos 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais tipos de gráficos
Cartogramas – gráficos que apresentam informações utilizando mapas. Por exemplo, as condições do tempo no Brasil.
Pictogramas – gráficos que utilizam imagens representativas dos temas abordados nas pesquisas efetuadas.
Diagramas – gráficos que utilizam o sistema cartesiano para a sua confecção.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Principais diagramas
 Gráficos em barras horizontais
 Gráficos em barras verticais (colunas)
 Gráficos em setores (pizzas)
 Gráficos em linhas 
 Histogramas
 Polígonos de frequências
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Gráficos em séries conjugadas 
Gráfico 1. Doentes em uma determinada cidade, em função dos anos.
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Gráf11
		100		80		80		150
		130		82		75		200
		150		79		60		300
Aids
Câncer
Síflilis
Tuberculose
Plan1
		1,50 a 1,56		550
		1,56 a 1,62		630
		1,62 a 1,68		870
		1,68 a 1,74		710
		1,74 a 1,80		620
		
		
				2000		2005		2010
		Aids		100		130		150
		Câncer		80		82		79
		Síflilis		80		75		60
		Tuberculose		150		200		300
Plan1
		
Aids
Câncer
Síflilis
Tuberculose
Plan2
		
Plan3
		
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Resumo
Medidas de tendência central (média, moda e mediana) para dados isolados e agrupados.
Propriedades da média.
Medidas de dispersão ou de variabilidade (amplitude total, desvio médio absoluto, variância, desvio padrão e coeficiente de variação) para dados isolados e agrupados.
Propriedades da variância e do desvio padrão
Correlação linear simples
Gráficos
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