Aula3 Regra da cadeia

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Regra da Cadeia 
 Como resolver diretamente problemas do 
tipo: 
 
 ou 
 
 ???? 
 
 
(2 )y sen x
2 1y x 
Teorema – Regra da Cadeia 
Se a função g for diferenciável em x e f for 
diferenciável em g(x) e a função h for a 
função definida por h(x) = f(g(x)), então h 
será diferenciável e: 
 
 
Na notação de Leibniz, se y=f(u) e u=g(x) 
forem funções diferenciáveis, então: 
      xgxgfxh ''' 
dy dy du
dx du dx
 
←Regra 19 
 Voltando ao caso anterior, temos: 
 
 
 
 
 
(2 )y sen x
2 1y x 
Regra da Potência Combinada 
com a Regra da Cadeia 
 Se m for qualquer número e u=g(x) for 
diferenciável, então 
 
 
 Alternativamente 
1 1( )m m m
d du
u mu mu Du
dx dx
  
←Regra 12 
1( ( ) ) [ ( )] '( )m m
d
g x m g x g x
dx

Exemplos: 
   
7
5 2 3f x x x  
 
5
2
1
2 3 1
y
x x

 
1) Determine f’(x), se 
2) Determine , se 
dy
dx
3) Determine y, se 
6(3 1) . (2 5)y x x  
Exemplos: 
9
2
( )
2 1
t
g t
t
 
  
 
4) Determine a derivada da função 
5) Determine y, se 
5 3 4(2 1) .( 1)y x x x   
 
log
ln
ln
u
a
Du
D
u a
Du
D u
u
   

lnu u
u u
D a a a Du
D e e Du
    
    
Podemos extender através da regra da cadeia uma 
generalização de derivada das funções logaritmícas e 
exponeciais (Regra de 14 a 18). 
 
 
 
2cot cos
sec sec
cos cos cot
D gu ec u Du
D u u tgu Du
D ecu ecu gu Du
  
  
   
  cosD senu u Du 
 cosD u senu Du  
  2secD tgu u Du 
Podemos extender através da regra da cadeia uma 
generalização de derivada das funções trigonométricas 
(Regra de 21 a 26). 
 
22 8) 3 x xa g x 
2) ln( 1)b y x 
 ) senxc h x e
3) 4d y tg x
1) Determine as derivadas das seguintes funções: 
   3) log 3 1e h x x 
5) log (4 )f y x senx 
 
2
) ln
1
x senx
g g x
x
 
  
 
) ( ) lnh f x x
) log(2 )i y senx 
1
) ln
2
x
j y
x
 
  
 
   452cos 2   xxxf
   4sec  xxg
   xxg 4cos
  tgxxg 
Derivadas das Funções 
trigonométricas Inversas 
   – 1
2
 
1
Du
D arc senu ou D sen u
u


   – 1
2
 cos cos
1
Du
D arc u ou D u
u
 

   
 
– 1
2
 
1
Du
D arc tgu ou D tg u
u


   – 12 cotg cotg1
Du
D arc u ou D u
u


   
 
– 1
2
 sec sec
1
Du
D arc u ou D u
u u


   – 1
2
 cossec cossec
1
Du
D arc u ou D u
u u


Exemplos: 
 Determine 
 
 Calcule 
 
 Determine 
, se ( 1)
dy
y arcsen x
dx
 
1, se sec ( )x
dy
y e
dx

2
2
1
, se 
1
dy x
y arctg
dx x
 
  
 
 D(senh u) = (cosh u). Du 
 D(cosh u) = (senh u). Du 
 D(tgh u) = (sech² u). Du 
 D(cotgh u) = ( – cosech² u). Du 
 D(sech u) = ( – sech u. tgh u). Du 
 D(cosech u) = ( – cossech u. cotgh u). Du 
Derivadas das Funções Hiperbólicas 
Exermplos: 
 Ache 
 
 
 Ache 
 
, se cosh
dy
y x
dx

, se ln(tgh )
dy
y x
dx
