Aula5 Taxas relacionadas

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Taxas Relacionadas
Introdução
 Estudo no qual se tenta achar a taxa segundo a qual certa
quantidade está variando em relação a outras
quantidades, cujas taxas de variação são conhecidas.
 Exemplo1
Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e são
ligadas pela equação:
Se quando x= 2 e y = -1, determine
3 22 5 16x y x  
4
dx
dt

dy
dt
Problema 1
Está sendo bombeado ar para dentro
de um balão esférico, e seu volume
cresce a uma taxa de 100 cm3/s.
Quão rápido o raio do balão está
crescendo quando o diâmetro é 50
cm?
scm /
25
1

Estratégia
 Leia cuidadosamente o problema;
 Se possível faça um diagrama;
 Determine a notação, atribuindo os símbolos para todas
as grandezas que são funções do tempo;
 Expresse a informação dada e a taxa requerida em
termos de derivadas;
 Escreva uma equação que relacione as variáveis do
problema;
 Use a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da
equação em relação a t;
 Substitua as informações dadas e resolva.
Problema 1
Está sendo bombeado ar para dentro
de um balão esférico, e seu volume
cresce a uma taxa de 100 cm3/s.
Quão rápido o raio do balão está
crescendo quando o diâmetro é 50
cm?
scm /
25
1

Problema 2
Uma escada com 10 metros de
comprimento está apoiada em uma
parede vertical. Se a base da escada
desliza, afastando-se da parede a uma
taxa de 1 m/s, quão rápido o topo da
escada está escorregando para baixo
na parede quando a base da escada
está a 6 metros da parede?
m/ s
3
4
Problema 3
Se uma bola de neve derrete de
forma que sua área de superfície
decresce a uma taxa de 1 cm2/min,
encontre a taxa segundo a qual o
diâmetro decresce quando o
diâmetro está a 10 cm.
min/
20
1
cm


Problema 4
 Suponha que um óleo derramado
através da ruptura do tanque de um
navio, se espalha em forma circular, cujo
raio cresce um uma taxa constante de 2
pés/s. Com que velocidade a área de
derramamento está crescendo quando
o raio dele for 60 pés?
240 /pés s
Problema 5
Um tanque de água tem a forma de um
cone circular invertido com base de raio
2 m e altura igual a 4 m. Se a água está
sendo bombeada dentro do tanque a
uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa
na qual o nível da água estará sendo
elevado quando a água estiver a 3 m de
profundidade.
min/
9
8
m

Problema 6
O carro A está indo ruma ao oeste a 50
mi/h e o carro B está indo ao norte a
60mi/h. Ambos estão dirigindo para a
intersecção de duas estradas. A que taxa os
carros estão se aproximando um do outro
quando o carro A está a 0,3mi e o carro B
a 0,4mi da intersecção?
78 /mi h
Problema 7
Um homem anda ao longo de um caminho
reto a uma velocidade de 4 pés/s. Um
holofote localizado no chão a 20 pés do
caminho focaliza o homem. A que taxa o
holofote está girando quando o homem
está a 15 pés do ponto do caminho mais
próximo da luz?
0,128 /rad s