Lista de exercícios cálculo 2

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UNESA - 1a Lista de Exercícios - Cálculo II - Prof. Waldek Nobre 
1) Encontre a equação polar correspondente a 
equação cartesiana dada por 3y = x². 
 
2) Um competidor em sua asa-delta realiza uma 
espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen 
t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. 
Para o intervalo de tempo [0, 4π], encontre o módulo 
da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
3) Determine ∫[(cos t)i + (4t3)j] dt. 
 
4) Um aluno encontrou todas as derivadas parciais de 
segunda ordem da função: F(x,y) = xy3 + 5xy2 + 2x + 1, 
chegando aos seguintes resultados: 
fx= y
3 + 5y2 + 2 fxx = 1 
fxy = 3y
2 + 10y fy = 3xy
2 + 10 xy 
fyx = 3y
2 + 10y fyy = 6xy+ 10x 
Na sua opinião ele acertou todas? Caso tenha 
encontrado algum erro mostre a resposta certa. 
 
5) Determine o vetor gradiente da função 
f(x, y, z) = x² + y² - 2z² + z.ln x, no ponto (1, 1, 1). 
 
6) O vetor de posição de um objeto se movendo em 
um plano é dado por r(t) = t³ i + t² j. Determine a 
velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
7) Calcule a integral definida: 
 
 
 
(t + 1)k] dt. 
 
8) Calcule a derivada parcial de segunda ordem da 
função: f(x,y) = 2.x² + y². 
 
9) Dado f(t) = (e3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t). 
 
10) Duas aeronaves viajam pelo espaço com 
trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k e r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
b) as aeronaves colidem no instante t=2. 
c) as aeronaves colidem no instante t=5. 
d) as aeronaves colidem no instante t=3. 
e) as trajetórias não se interceptam. 
 
11) A circunferência x² + y² = 9 em coordenadas 
polares é dada por: 
12) Dadas as expressões paramétricas: x=e-2t e y=6e4t. 
Determine a função na forma y = f(x). 
 
13) Considere a função f(x, y) = (x³ + y³) . sen(x). 
Determine fx.. 
 
14) Calcule a velocidade da curva r(t) = (cos t, sen t, t). 
 
15) Encontre ∂y/∂x para y² - x² - sen (x.y) = o usando 
derivação implícita. 
 
16) Se r(t)= 2 cos t i + sen t j + 2t k, calcule ∫r(t)dt. 
 
17) Encontre dw/dt se: w = x.y + z, x = cos t t, y = sen t 
e z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
 
18) Determine a equação do plano tangente à 
superfície z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
19) Considere r(t)=(et sen2t)i+(et cos2t)j+(2et)k o 
vetor posição de uma partícula que se move ao longo 
de uma curva num instante t. Encontre o cosseno do 
ângulo entre os vetores aceleração e velocidade 
quando t=0. 
 
20) Considerando a função f(x,y) = 3x³.y5, 
simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de 
f(x,y) em função de x e em função de y, 
respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, 
respectivamente. 
 
Gabarito: 
1) r =3 tg θ . sec θ 2) 3 
3) (sen t)i + t4j 4) um erro: fxx=0 
5) 3i + 2j - 4k. 6) 3t² i + 2t j. 
7) 0,25 i + 7 j + 1,5 k 
8) fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2. 
9) e3t (3 sen t + cos t) i + 3 j. 
10) c 11) r = 3 
12) y = 6/x² 
13) 3x².sen(x) + (x³ + y³).cos(x) 
14) (-sen t, cost,1) 
15) (2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
16) 2.sen t i - cos t j + t² k + C 
17) 2 18) z=-8x+12y -14 
19)25/87 20) 0 e 0.