Lista de exercicios

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Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor v = i + j + k.
		
	
	
	
	
	x=t; y=-t; z=-1+t
	
	
	x=-3+t; y=-4+t; z=-1+t
	
	
	x=3+t; y=-4+t; z=1-t
	
	
	x=3+t; y=-4+t; z=-1+t
	
	
	x=3+t; y=4+t; z=-1+t
	
	
		2.
		Determine a única resposta correta para:
(a) a derivada de r(t) =(1+t3)i+ te-tj+sen2tk
(b) o versor tangente T em t=0.
 
		
	
	
	
	
	(a) v(t)=-3t2i - (1 + t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=25j - 25k
	
	
	(a) v(t)=3t2i + (1 - t)e-tj +  2cos2tk
(b) T(0)=15j + 25k
 
	
	
	(a) v(t)=t2i + (1 + t)e-tj +  2cos2tk
(b) T(0)=-15j + 25k
	
	
	(a) v(t)= -3t2i + (1 - t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=15j - 25k
	
	
	(a) v(t)=3t2i + (1 - t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=15j - 25k
	
	
		3.
		Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
		
	
	
	
	
	r'(t)=v(t)=32i - j
	
	
	r'(t)=v(t)=15i - 3j
	
	
	r'(t)=v(t)=13i - 2j
	
	
	r'(t)=v(t)=14i + j
	
	
	r'(t)=v(t)=12i - j
	
	
		4.
		Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
		
	
	
	
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1+t ; y=2+5t
	
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	
	
		5.
		Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
		
	
	
	
	
	2senti + cost j - t2 k + C
	
	
	-cost j + t2 k + C
	
	
	πsenti - cost j + t2 k + C
	
	
	sent i - t2 k + C
	
	
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
	
		6.
		Uma partícula se move no espaço com uma aceleração dada por a(t)=4ti + 6tj + k. 
Determine a sua velocidade  em um instante qualquer t.
		
	
	
	
	
	v(t)=2t2i + 3t2j - tk + C
	
	
	v(t)=-2t2i + 3t2j + tk + C
	
	
	v(t)=2t2i + 3t2j + tk + C
	
	
	v(t)=2t2i - 3t2j + tk + C
	
	
	v(t)=2t2i + 3t2j - tk + C
	
	
		7.
		Calcule o versor tangente  T(0),se:
r(t)=costi + 3tj + 2sen2tk.
		
	
	
	
	
	T(0)=
	
	
	T(0)=<35,45>
	
	
	T(0)=<-35,45>
	
	
	T(0)=<-35,-45>
	
	
	T(0)=<35,-45>
	
	
		8.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
		
	
	
	
	
	6ti+j
	
	
	ti+2j
	
	
	6ti+2j
	
	
	6i+2j
	
	
	6ti -2j
		Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
	
	
	
	
	
	14
	
	
	9
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	2
	
	
		2.
		Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
	
	
	
	
	
	t(cost - sent)i - t(sent  + cost)j + k
	
	
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	
	
	(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1
	
	
	(sent - tcost)i + (sentcost)j - k
	
	
	(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k
	
	
		3.
		Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
	
	
	
	
	
	(e)
	
	
	(b)
	
	
	(c)
	
	
	(d)
	
	
	(a)
	
	
		4.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
	
	
	
	
	
	(1-cost,sent,0)
	
	
	(1-cost,0,0)
	
	
	(1-cost,sent,1)
	
	
	(1-sent,sent,0)
	
	
	(1 +cost,sent,0)
	
	
		5.
		Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
	
	
	
	
	
	i/2 + j/2
	
	
	2j
	
	
	2i + j
	
	
	2i + 2j
	
	
	2i
	
	
		6.
		Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
	
	
	
	
	
	11
	
	
	12
	
	
	-12
	
	
	- 11
	
	
	5
	
	
		7.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
	
	
	
	
	
	i - j - k
	
	
	i + j + k
	
	
	j - k
	
	
	- i + j - k
	
	
	i + j - k
	
	
		8.
		Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt,
qual a resposta correta?
	
	
	
	
	
	(cost)i+3tj
	
	
	(sent)i + t4j
	
	
	(cost)i-3tj
	
	
	-(sent)i-3tj
	
	
	(cost)i-(sent)j+3tk
	
	Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1
		
	
	
	
	
	y=(23)x+103
	
	
	y=-(23)x+133
	
	
	y=(23)x+133
	
	
	y=(23)x-133
	
	
	y=(13)x+133
		Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
		
	
	
	
	
	∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
		2.
		Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no plano.
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas:
1) (   ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula são   x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula.
 2) (   )  A velocidade é a derivada da posição,isto é:
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt
3) (   )  O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2.
4) (   )  A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja
a(t) = v'(t)= dv(t)dt
5) (   )  O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t.
6) (   )  r(t)é lisa se for contínua e nunca 0.
 
		
	
	
	
	
	1) (V)            2)(F)               3) (F)                4)(V)                  5) (F)                         6) (V)
	
	
	1) (V)          2)(V)             3) (V)                    4)(V)                  5) (V)                  6) (F)
	
	
	1) (V)                2)(F)               3) (V)                     4)(V)                 5) (V)                         6) (V) 
	
	
	1) (V)                  2)(F)                  3) (V)                        4) (V)                       5) (V)                6) (F)
	
	
	1) (V)                       2)(V)                     3) (F)                   4)) (V)                     5)(V)         6) (F)
	
	
		3.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x - 3y)
	
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
		4.
		Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
		
	
	
	
	
	(t,et,(2+t)et)
	
	
	(2,et,(1+t)et)
	
	
	(2t,et,(1+t)et)
	
	
	(t,et,(1+t)et)
	
	
	(2t,et,(1 - t)et)
	
	
		5.Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2).
		
	
	
	
	
	z=8x - 10y -30
	
	
	z=-8x+12y -14        
	
	
	z=8x-12y+18       
	
	
	 z=-8x+10y-10      
	
	
	z=-8x+12y-18     
		Calcule e indique a única resposta correta para a integral I=∫02∫0π2xsenydydx.
	
	
	
	
	
	-2
	
	
	2π
	
	
	π2
	
	
	2
	
	
	nenhuma das opções de respostas
	
	
		2.
		Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k
	
	
	
	
	
	(-sen t)i - (cos t)j
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j - k
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j + k
	
	
	(-sen t - cos t)i + (cos t)j
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
	
	
	
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 6
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 8
	
	
	203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
	
	
	203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24
	
	
	203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24
	
	
		2.
		Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
	
	
	
	
	
	0
	
	
	π
	
	
	π+senx
	
	
	cos(2π)-sen(π)
	
	
	2π
	
	
		3.
		
	
	
	
	
	
	16/3 u.v
	
	
	10 u.v
	
	
	9/2 u.v
	
	
	18 u.v
	
	
	24/5 u.v
	
	
		4.
		Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é dada por:
 
	
	
	
	
	
	e2
	
	
	12(e-1)
	
	
	0
	
	
	e
	
	
	e-1
	
	
		5.
		Deseja-se pintar a estrutura externa lateral de um monumento em forma de um paraboloide que pode ser descrita pela equação z=x2 + y2, situada na região do espaço de coordenadas cartesianas(x, y, z) dada pela condição z≤9 . Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada.
 A quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral dupla
	
	
	
	
	
	6∫0π2∫-33(1+4r2)rdrdθ= 
	
	
	 4∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy
	
	
	6∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy
	
	
	 4∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ=
	
	
	6∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ=
	
	
		6.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	
	35/4
	
	
	35/6
	
	
	35/3
	
	
	35/2
	
	
	7
	
	
		7.
		Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz
	
	
	
	
	
	2-2z
	
	
	0
	
	
	1-z
	
	
	2
	
	
	1
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	
	
	π2
	
	
	2π2
	
	
	3π2
	
	
	2π3
	
	
	2π
	
	
		2.
		Considere uma função  de três variáveis z=f(x,y,z).
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ;  v=1  ; x=u2 +v2   e   y=u.v.                 
	
	
	
	
	
	 2   
	
	
	0 
	
	
	   -1
	
	
	1   
	
	
	 -2  
	
	
		3.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	
	4
	
	
	4 * (14)^(1/2)
	
	
	2 * (14)^(1/2)
		Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla. .
	
	
	
	
	
	52 u.a.
	
	
	12 u.a.
	
	
	72 u.a.
	
	
	32u.a.
	
	
	92u.a.
	
	
		2.
		Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z).
	
	
	
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z
	
	
	6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2)
	
	
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) +
	
	
	9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2)
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z
		Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	
	e7
	
	
	7e
	
	
	e-1
	
	
	 7e-7
	
	
	7
	
	
		2.
		Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
	
	
	
	
	
	16
	
	
	2
	
	
	10
	
	
	1
	
	
	20
	
	
		3.
		Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	1/2
	
	
	1
	
	
	5/6
	
	
	9/2
 
		Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2
	
	
	
	
	
	2
	
	
	π2
	
	
	8π2
	
	
	82
	
	
	8π3
	
	
		2.
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	
	
	
	1,2,4
	
	
	1,3,5
	
	
	1,2,3
	
	
	1,3,4
	
	
	1,2,5
	
	
		3.
		Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e  y=1-x.
 
	
	
	
	
	
	0
	
	
	15
	
	
	13
	
	
	14
	
	
	12
	
	
		4.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx
	
	
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	-10
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
		5.
		Quando uma curva  r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k ,  a≤t≤b  passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de  f ao longo da curva são dados pela função composta  f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de  t=a a t=b, calcula-se  a integral de linha de   f(x,y,z)   ao longo da curva.
Portanto   ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt          onde   ds=|v(t)|dt
Calcule  a integral de linha    ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada por    r(t)=(sent)i+(cost)j+tK    0≤t≤1.  .
 
	
	
	
	
	
	423
	
	
	233
	
	
	2
	
	
	324
	
	
	1
	
	
		6.
		Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa  r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,  a≤t≤b é dada pela fórmula
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt ,
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2.
	
	
	
	
	
	 49u.c.
	
	
	14u.c.
	
	
	 28u.c.
	
	
	 21u.c.
	
	
	7u.c.
	
	
		7.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0
	
	
	
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	1