AulaTeorica 6 Derivada

Prévia do material em texto

1 
 
 
Derivada 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
 
Prof. Victor Simões Barbosa 
2 
Conteúdos da Aula 
 Algumas regras de derivação; 
 Derivada da Função Composta; 
 Derivadas: Funções Elementares; 
 Derivadas: Funções Trigonométricas. 
 
 
3 
Regras de Derivação 
Proposição: (Derivada da função constante) 
Se 𝑐 é uma constante e 𝑓 𝑥 = 𝑐, para todo 𝑥, então 
.0)(' xf
Proposição: (Regra da potência) 
Se 𝑛 número inteiro positivo e 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, 
então 
.)( 1'  nxnxf
4 
Regras de Derivação 
 Exemplo 1: 
   
   
    


xh x xh
xg x xg
xf x xf
'
'
'
 então , Se (iii)
 então , Se (ii)
 então , Se (i)
10
5
415 55 x.x  11 11 .x910x
5 
Regras de derivação 
Na verdade a regra da potência pode ser generalizada para 
expoentes racionais, isto é: 
Proposição: 
Se 𝑓 𝑥 = 𝑥𝛼, onde 𝛼 é um número racional não nulo e 𝑥 ≠ 0, 
então 
 Exemplo 2: 
    ? então ,
1
 Se b) 5
5
  xf x
x
 xf '1' )(   xxf
 
6
615 555 
x
xxxf '  
    ? então , Se a) 2
3
 xfx xf '
  2
1
1
2
3
2
3
2
3
 xxxf ' 

6 
Regras de Derivação ).()( '' xfcxg Proposição: (Derivada do produto de uma constante por uma função) 
Sejam 𝑓 uma função, c uma constante e 𝑔 uma função 
definida por 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑓 𝑥 . Se 𝑓´ 𝑥 existe então 
 Exemplo 3: 
   
   

zgz zg
xfx xf
'
'
 então ,2 Se (ii)
 então ,8 Se (i)
7
2 xx 16)2(8 12  
617 14)7(2 zz  
7 
Regras de Derivação )()()( ''' xgxfxh Proposição: (Derivada de uma soma) 
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções e 𝑕 a função definida por 
𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 . Se 𝑓´(𝑥) e 𝑔´(𝑥) existem, então 
 Exemplo 4: 
  então ,583 Se (i) 4  xx xf
  812018)4(3 33  xxxf '
8 
Regras de Derivação )()()()()( ''' xgxfxgxfxh Proposição: (Derivada de um produto) Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções e 𝑕 a função definida por 
𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 . Se 𝑓´(𝑥) e 𝑔´(𝑥) existem, então 
 Exemplo 5: 
       243' 12 sendo Encontrar xxx xh xh 
        24233 .62412 xxxxxxxh' 
f(x) g(x) 
f´(x) g´(x) f(x) g(x) 
9 
Regras de Derivação  2
''
'
)(
)()()()(
)(
xg
xgxfxfxg
xh


Proposição: (Derivada de um quociente) 
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções e 𝑕 a função definida por 
𝑕 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
, onde 𝑔(𝑥) ≠ 0. Se 𝑓´(𝑥) e 𝑔´(𝑥) existem, 
então 
 Exemplo 6: 
   
35
32
 sendo Encontrar 
2
4
'



xx
x
 xh xh
 
       
 22
432
35
5232835



xx
xxxxx
xh'
f(x) 
g(x) g(x) f´(x) 
[g(x)]2 
f(x) g´(x) 
12 
0 (1) '  ycy
Derivadas: Propriedades Básicas 
1' (2)   xyxy '' (3) ucyucy  ''' (4) vuyvuy  ''' (5) uvvuyvuy  2
''
' (6)
v
vuuv
y
v
u
y


𝒖 = 𝒖 𝒙 e 𝒗 = 𝒗(𝒙) são 
funções deriváveis 
13 
Derivada da Função Composta 
 Proposição: (Regra da Cadeia) 
 Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 e 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 existem, então a 
função composta y = g[f(x)] tem derivada que é dada por: 
 
)()()(ou ''' xfugxy
dx
du
du
dy
dx
dy

14 
 
 Exemplo 7: 
 
  . determinar ,)25( Dado 72
dx
dy
xx xfy 
 Resolução: 
25)(e)( 27  xxxuuugy
       52257527 626  xxxxu
dx
dy
 
dx
du
du
dy
dx
dy

15 
Derivada da Função Composta 
 Exemplo 8: Dada a função: 
 
dx
dy
xxx y determinar ,)()13( 2232 
 Resolução: Temos o produto de duas funções 
 
 
 Assim, 
𝑦′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔′ 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 
 Pela regra da cadeia temos: 
 
 
2232 )()(e)13()( xxxgxxf 
)21).((2)('
e 
6.)13(3)('
2
22
xxxxg
xxxf


16 
 Exemplo 8: Continuação resolução: 
 
𝑦′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔′ 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 
 
 Logo 
 
𝑦′ 𝑥 = 3𝑥2 + 1 3. 2 𝑥 − 𝑥2 1 − 2𝑥 
+3 3𝑥2 + 1 2. 6𝑥. 𝑥 − 𝑥2 2 
 
 = 2 3𝑥2 + 1 3 𝑥 − 𝑥2 1 − 2𝑥 
 + 18 3𝑥2 + 1 2 𝑥 − 𝑥2 2 
 
)21).((2)('
6.)13(3)('
2
22
xxxxg
xxxf


22
32
)()(
)13()(
xxxg
xxf


17 
Derivada da Função Composta 
 Exemplo 9: Calcule a derivada da função: 
 
3
1
2 


x
x
 y 
 Resolução: Temos o quociente de duas funções, logo, 
 
𝑦′ 𝑥 =
𝑔 𝑥 . 𝑓′ 𝑥 − 𝑓 𝑥 . 𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥 2
 
 onde, 
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3 
Logo: 
𝑦′ 𝑥 =
−3 − 𝑥
𝑥2 − 3 𝑥2 − 3
 
2
''
' 
v
vuuv
y
v
u
y


18 
  '1'0 Q (7) uuyuy   Derivada das Funções Elementares: Usando a Regra da Cadeia podemos deduzir as seguintes 
fórmulas:   ln1 ,0 (8) '' uaayaaay uu 
'' (9) ueyey uu 
e
u
u
yuy aa loglog (10)
'
' 
u
u
yuy
'
'ln (11) 
)0( ln (12) ''1'   uvuuuuvyuy vvv
𝒖 = 𝒖 𝒙 e 𝒗 = 𝒗(𝒙) são 
funções deriváveis 
19 
  257410553
23  xxxexfy
Exemplo 10: 
 Calcular a derivada da função 
 Solução: 
  2574105532' 23101109  xxxexxy
'' ueyey uu 
20 
Exemplo 11 
 Calcular a derivada da função 
 
𝑦 = log2(3𝑥
2 + 7𝑥 − 1) 
 Solução: Temos 𝑦 = log2 𝑢 , com u = 3𝑥
2 + 7𝑥 − 1 
 Portanto, 
𝑦′ =
𝑢′
𝑢
. log2 𝑒 
 Assim: 
𝑦′ =
6𝑥 + 7
3𝑥2 + 7𝑥 − 1
log2 𝑒 
e
u
u
yuy aa loglog
'
' 
21 
Derivadas: Funções Trigonométricas 
'' sen cos (14) uuyuy 
 sec tg (15) '2' uuyuy 
'2' cosec cotg (16) uuyuy 
'' tgsec sec (17) uuuyuy 
'' cotg cosec cosec (18) uuuyuy 
 cossen (13) '' uuyuy 
𝒖 = 𝒖 𝒙 função derivável 
22 
Exemplo 12 
 Calcular a derivada da função 
 
 
 
 Solução: 
  






x
xfy
1
cos
x
uuy
1
 , cos 
'). (' uuseny 
  2' 11 xxseny 







x
sen
x
y
1
 
1
2
'
'' sen cos uuyuy 
23 
Exemplo 13 
 Calcular a derivada da função 
 
 
 
 Solução: 
 
x
x
xf
 tg1
sec


 2 tg1
)1 tg(sec
)('
x
xx
xf


 '' tgsec sec uuuyuy  sec tg '2' uuyuy 
1 + tg2x = sec2x