03 Resolução de sistemas lineares Apresentação (1)

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03 - Resolução de sistemas lineares
Cálculo Numérico
Rodrigo Câmara
5 de julho de 2017
Universidade Federal Rural do Semi-árido
Objetivo da aula
• Apresentar o conceito de sistema linear e solução de sistema
linear.
• Fazer uma rápida revisão de Álgebra Linear;
• Apresentar algumas aplicações de sistemas lineares;
• Movitar quanto ao uso de métodos numéricos e apresentar os
principais métodos.
• Em conjunto com a aula anterior, apresentar as principais fontes
de erros computacionais, para formar no aluno a confiabilidade
de cálculos feitos em máquinas;
Este objetivo será alcançado por meio dos seguintes objetivos
secundários:
• Definição de sistema de ponto flutuante normalizado;
• Apresentação dos erros críticos de overflow e underflow;
• Discussão sobre erro de arredondamento;
• Definição de erro absoluto e erro relativo.
1
O que é sistema linear?
Equação linear
Definição 3.1
Uma equação linear nas variáveis x1, x2, ..., xn é uma equação da
forma
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b,
onde os números reais
• a1, ...,an são chamados coeficientes e
• b é chamado termo independente.
2
Equação linear
Exemplo 3.1
São equações lineares:
x+ 3y = 7,
y = 12x+ 3z+ 1,
a− 2b− 3c+ d = 7.
Exemplo 3.2
Não são equações lineares:
x+ 3√y = 5,
3x+ 2y− x+ xz = 4,
y = sin(x),
x2 + y = 5.
3
Equação linear
Uma solução de uma equação linear é uma matriz-coluna
S =

s1
s2
...
sn

tal que a equação é satisfeita quando substituimos x1 por s1, ..., xn
por sn.
4
Equação linear
Exemplo 3.3
Verifique se
[
1 5
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
Exemplo 3.4
Verifique se
[
1 4
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
Exemplo 3.5
Verifique se
[
7 0
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
5
Equação linear
Exemplo 3.3
Verifique se
[
1 5
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
Exemplo 3.4
Verifique se
[
1 4
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
Exemplo 3.5
Verifique se
[
7 0
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
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Equação linear
Exemplo 3.3
Verifique se
[
1 5
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
Exemplo 3.4
Verifique se
[
1 4
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
Exemplo 3.5
Verifique se
[
7 0
]t é solução da equação linear
2x1 + 3x2 = 14.
5
Sistema linear
Um sistema linear é uma coleção finita de equações lineares.
Exemplo 3.6
É um sistema linear {
4x1 − x2 + 3x3 = −1
3x1 + x2 + 9x3 = −4
.
Uma matriz-coluna S =
[
s1 . . . sn
]t é solução do sistema linear se
for solução de todas as equações lineares.
6
Sistema linear
Um sistema linear é uma coleção finita de equações lineares.
Exemplo 3.6
É um sistema linear {
4x1 − x2 + 3x3 = −1
3x1 + x2 + 9x3 = −4
.
Uma matriz-coluna S =
[
s1 . . . sn
]t é solução do sistema linear se
for solução de todas as equações lineares.
6
Sistema linear
Um sistema linear pode ter
• Uma única solução,
• Infinitas soluções,
• Nenhuma solução.
Estudaremos sistemas lineares que possuem única solução.
7
Sistema linear
Um sistema linear pode ter
• Uma única solução,
• Infinitas soluções,
• Nenhuma solução.
Estudaremos sistemas lineares que possuem única solução.
7
Sistema linear
Definição 3.2
Dizemos que dois sistemas são equivalentes se possuem as mesmas
soluções.
Exemplo 3.7
Os sistemas
{
x+ y = 3
2x+ 3y = 8 e
{
x+ y = 3
x+ 2y = 5 são equivalentes pois[
1
2
]
é solução de ambos.
8
Solução de sistemas lineares
Operações fundamentais
Ao se aplicar estas operações, o novo sistema será equivalente ao
anterior.
1. Trocar linhas de posição.{
x+ y = 3
2x+ 3y = 8
2. Multiplicar uma linha por um número diferente de 0.{
x+ y = 3
2x+ 3y = 8
3. Somar uma linha a um múltiplo da outra{
x+ y = 3
2x+ 3y = 8
9
Matrizes
Podemos representar um sistema linear como matrizes.
Forma equação matricial{
x+ y = 3
2x+ 3y = 8 →
Forma matriz aumentada{
x+ y = 3
2x+ 3y = 8 →
10
Algumas aplicações
Circuitos elétricos
Em circuitos elétricos, a relação entre diferença de potencial V (volts,
V); a resistência do aparelho R (omhs, Ω) e o fluxo de corrente i
(ampéres, A) é dada pela Lei de Ohm,
V = R ∗ i.
Utilizamos a lei dos nós e a lei das malhas de Kirchhoff para
modelar a relação entre essas grandezas em um circuito.
Exemplo 3.8
11
Circuitos elétricos
Considere que os parâmetros do circuito são dados na tabela 1.
Tabela 1: Parâmetros do circuito
R1 R2 R3 R4 R5 V
4ω 2ω 10ω 5ω 8ω 100volts
As correntes do circuito podem ser determinadas por meio do
sistema linear 
i0 = i1 + i2
i1 + i3 = i4
i2 = i3 + i5
−100+ 4i1 + 5i4 = 0
10i3 − 4i1 + 2i2 = 0
−5i4 − 10i3 + 8i5 = 0
.
12
Cálculo de densidades
Exemplo 3.9 (Estudo da densidade de materiais)
Considere
m1A a massa do material
A na proveta 1,
v1A o volume do material
A na proveta 1,
ρA a densidade do
material A e
M1 a massa total dos
materiais da proveta
1.
13
Cálculo de densidades
As densidades dos materiais A,B, C e D podem ser calculadas por
meio do sistema linear
v1A ∗ ρA + v1B ∗ ρB + v1C ∗ ρC + v1D ∗ ρD = M1
v2A ∗ ρA + v2B ∗ ρB + v2C ∗ ρC + v2D ∗ ρD = M2
v3A ∗ ρA + v3B ∗ ρB + v3C ∗ ρC + v3D ∗ ρD = M3
v4A ∗ ρA + v4B ∗ ρB + v4C ∗ ρC + v4D ∗ ρD = M4
.
14
Treliças
Exemplo 3.10 (Estruturas treliçadas)
Figura 1: Ponte Newton Navarro.
15
Treliças
Figura 2: Torre de transmissão.
Figura 3: Estrutura de teto.
16
Treliças
Chamando sin(450) = α e cos(450) = α, temos o sistema linear
AX = b, onde
17
Treliças
Exemplo 3.11 (Ponte treliçada de 10 nós)
Sabe-se que “em equilíbrio, o somatório das forças é nulo”.
Nó 2: ∑ fx = − cos(450)f1 + f4 + cos(450)f5 = 0.
∑ fy = − sin(450)f1 − f3 − sin(450)f5 = 0.
18
Treliças
Exemplo 3.11 (Ponte treliçada de 10 nós)
Sabe-se que “em equilíbrio, o somatório das forças é nulo”.
Nó 2: ∑ fx = − cos(450)f1 + f4 + cos(450)f5 = 0.∑ fy = − sin(450)f1 − f3 − sin(450)f5 = 0.
18
Métodos para encontrar solução
Métodos para encontrar solução
19
Métodos para encontrar solução
Principais métodos diretos Principais métodos iterativos
20
Método de Cramer
Método de Cramer
Muito utilizado no ensino médio. Bom para sistemas pequenos.
Exemplo 3.12
Resolva o sistema 
x+ 2y+ z = 8
2x− y− z = 3
3x+ y− z = 2
Pelo método de Cramer, a solução é dada por
x = DxD , y =
Dy
D , z =
Dz
D ,
onde D é o determinante de
1 2 12 −1 1
3 1 −1
,
Dx = det
8 2 13 −1 1
2 1 −1
 , Dy = det
1 8 12 3 1
3 2 −1
 e Dz = det
1 2 82 −1 3
3 1 2

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Método de Cramer
Muito utilizado no ensino médio. Bom para sistemas pequenos.
Exemplo 3.12
Resolva o sistema 
x+ 2y+ z = 8
2x− y− z = 3
3x+ y− z = 2
Pelo método de Cramer, a solução é dada por
x = DxD , y =
Dy
D , z =
Dz
D ,
onde D é o determinante de
1 2 12 −1 1
3 1 −1
,
Dx = det
8 2 13 −1 1
2 1 −1
 , Dy = det
1 8 12 3 1
3 2 −1
 e Dz = det
1 2 82 −1 3
3 1 2

21
Método de Cramer
...mas é péssimo para sistemas maiores!
Por exemplo, para resolver
um sistema 20× 20 são necessárias 21 ∗ 20! ∗ 19 contas.
Figura 4: Um dedicado pesquisador aguardando o término dos cálculos de
um sistema 20× 20.
22
Método de Cramer
...mas é péssimo para sistemas maiores! Por exemplo, para resolver
um sistema 20× 20 são necessárias 21 ∗ 20! ∗ 19 contas.
Figura 4: Um dedicado pesquisador aguardando o término dos cálculos de
um sistema 20× 20.
22
Método de Cramer
...mas é péssimo para sistemas maiores! Por exemplo, para resolver
um sistema 20× 20são necessárias 21 ∗ 20! ∗ 19 contas.
Figura 4: Um dedicado pesquisador aguardando o término dos cálculos de
um sistema 20× 20.
22
Métodos de resolução de
sistemas triangulares
Por que estudar resolução de sistemas triangulares?
Dois motivos:
1. Resolver sistemas triangulares é muito fácil.
2. Os métodos diretos que veremos envolvem técnicas para
transformar o SL em um SL triangular.
23
Resolução de sistema triangular
Exemplo 3.13
Resolva o sistema linear
2x1 = 6
4x1 + x2 = 11
2x1 + 5x1 + x3 = 1
.
24
Resolução de sistema triangular
Caso geral 
l11x1 = b1
l21x1 + l22x2 = b2
l31x1 + l32x2 + l33x3 = b3
...
ln1x1 + ln2x2 + ...+ lnnxn = bn
.
Primeiro calcule x1:
x1 = b1l11 .
Para i ∈ {2, 3, ...,n}, calcule xi:
xi = (bi − li1x1 + li2x2 + ...+ lii−1xi−1aii .
25
Resolução de sistema triangular
Esforço computacional para resolver um sistema triangular n× n:
n2 operações.
Exemplo 3.14
Quanto tempo um computador, que faz 10 milhões de operações por
segundo, leva para resolver um sistema triangular 20× 20?
26
Perguntas?
26
Exercícios
Exercícios
Exercício Q.2.1.1.
27
	O que é sistema linear?
	Algumas aplicações
	Métodos para encontrar solução
	Método de Cramer
	Métodos de resolução de sistemas triangulares