APOSTILA- TEORIA DE MEDIDAS E ERROS

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA
Teoria de Medidas e Erros
TEORIA DE MEDIDAS E ERROS
INTRODUÇÃO
O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação 
envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de 
medida etc.). Pretende-se aqui estudar esses erros e suas conseqüências, de modo a 
expressar os resultados de dados experimentais em termos que sejam 
compreensíveis a outras pessoas.
Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas 
uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais 
particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-
se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da 
grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor 
real.
MEDIDAS FÍSICAS
As medidas físicas podem ser classificadas em dois tipos, diretas e indiretas 
suas definições são especificadas a seguir.
Medidas diretas → São aquelas obtidas diretamente do instrumento de medida. 
Como exemplos podem ser citados: comprimento e tempo, sendo realizadas 
diretamente de trenas e cronômetros, respectivamente. Nesta categoria ainda temos: 
• Medida direta de uma única medida: Quando somente uma leitura é suficiente. 
Ex. Medida da largura de uma mesa. Basta medirmos uma única vez. 
• Medida direta de várias medidas: Quando é necessário medirmos várias vezes 
a mesma grandeza para minimizar a imprecisão na medida. Ex. tempo de 
queda de um corpo. Medimos várias vezes e tiramos à média.
Medidas indiretas → São aquelas obtidas a partir das medidas diretas, com o auxílio 
de equações. Por exemplo: a área de uma superfície, volume de um corpo ou a vazão 
de um rio ou canal.
ERRO EXPERIMENTAL
Conceitualmente, o erro experimental é a diferença entre o real valor de uma 
grandeza física (peso, área, velocidade...) e o respectivo valor dessa grandeza obtido 
através de medições experimentais.
Mesmo que o experimento seja realizado com o máximo de cuidado, há 
sempre fontes de erro que podem afetá-la. Os erros experimentais podem ser de três 
tipos: erros sistemáticos e erros aleatórios.
Erros Grosseiros
Ocorrem devido á falta de prática (imperícia) ou distração do operador. Como 
exemplos, podemos citar a escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc.. Devem 
ser evitados pela repetição cuidadosa das medições.
Erros Sistemáticos 
São causados por fontes identificáveis, e em princípio podem ser eliminados ou 
compensados. Estes erros fazem com que as medidas feitas estejam 
consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida. 
Decorre de uma imperfeição no equipamento de medição ou no procedimento de 
medição, pode ser devido a um equipamento não calibrado.
Erros aleatórios
Estes erros decorrem de fatores imprevisíveis. São flutuações, para cima ou 
para baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas 
esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos, afetando a 
precisão da medida. Decorre da limitação do equipamento ou do procedimento de 
medição, que impede que medidas exatas sejam tomadas. Nem sempre é possível 
identificar as fontes de erros aleatórios.
Precisão é quando, pressupõe-se que, se a mesma for repetida várias vezes a 
variação da mesma em relação ao valor médio medido é baixa. A acurácia está 
associada á ausência de erros sistemáticos, mantendo as medidas em torno do valor 
real. 
Portanto, quando o conjunto de medidas realizadas se afasta muito da média, a 
medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão (Figura 1 
(a, b)). Quando as mesmas estão mais concentradas em torno da média diz-se que a 
precisão da medida é alta (Figura 1 (c, d)), e os valores medidos tem uma distribuição 
de baixa dispersão.
a) Baixa precisão e 
baixa exatidão
b) Baixa precisão e alta 
exatidão
c) Alta precisão e baixa 
exatidão
d) Alta precisão e alta 
exatidão
Figura 1: Representação da precisão e exatidão em medidas experimentais
TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE MEDIDAS COM ERROS ALEATÓRIOS
Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas feitas, 
se forem realizadas muitas medições aproximadamente a metade das medidas feitas 
estará acima e metade estará abaixo do valor correto. Portanto, uma boa estimativa 
para o valor correto da grandeza será a média aritmética dos valores medidos:
Ao serem realizadas várias medições da mesma grandeza nas mesmas 
condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam 
distribuídos em torno da média. A dispersão do conjunto de medidas realizadas pode 
ser caracterizada através do desvio padrão, definido como:
Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que 
quando o desvio padrão é alto.
Quanto maior o número de medidas realizadas maior será a precisão, devido a 
compensação dos erros aleatórios. O erro padrão da média é definido como:
Observa-se através da equação que o erro padrão da média diminui com a raiz 
quadrada do número N de medições realizadas. Portanto, quanto maior o número de 
medições melhor é a determinação do valor médio.
O erro percentual ou relativo ao qual está submetida a medida, expresso em 
porcentagem, é obtido através da expressão:
PROPAGAÇÃO DE ERROS EM CÁLCULOS
Como anteriormente mencionado, algumas medidas são obtidas através de 
equações (medidas indiretas), com base em medições realizadas diretamente de 
equipamentos (medidas diretas). Portanto, junto com as medidas são carregados 
também os erros, tornando necessário o conhecimento de como o erro da medida 
original pode afetar a grandeza final.
Consideremos que a grandeza a V ser determinada esteja relacionada com 
outras duas ou mais, através da relação:
V= f ( x̄±Δ x , ȳ±Δ y , ...)
onde f é uma relação conhecida de x̄±Δ x , ȳ±Δ y , ... . 
Um método usualmente aplicado e que nos dá o valor de ∆V imediatamente em 
termos de ∆x ,∆y,... é baseado na aplicação de resultados do cálculo diferencial. 
dV (x , y ,...)=∂V
∂ x
dx+ ∂V
∂ y
dy+ ...
Para uma função, o erro total, devido a diferentes variáveis, é sempre ADITIVO, ou 
seja,
 Δ V (x , y , ...)=∣∂V
∂ x
Δ x∣+∣∂V
∂ y
Δ y∣+ ...
Na verdade, usando a análise estatística, a expressão correta para ∆V é:
(Δ V )2=(Δ V x )
2+ (Δ V y)
2+ (Δ V z)
2+ ... (1)
onde Δ V x=
∂V
∂ x
Δ x ;Δ V y=
∂V
∂ y
Δ y ; etc.
apresentaremos aqui os resultados mais utilizados neste curso.
Adição:
V=( x̄±Δ x)+ ( ȳ±Δ y ) ,
V±Δ V=( x̄+ ȳ )±√(Δ x )2+ (Δ y )2 (2)
Subtração:
V=( x̄±Δ x)−( ȳ±Δ y ) ,
V±Δ V=( x̄− ȳ )±(√(Δ x)2+ (Δ y)2) (3)
Multiplicação:
V±Δ V=( x̄±Δ x) .( ȳ±Δ y )=( x̄ . ȳ )±(√( y.Δ x)2+ (x.Δ y )2)
ou seja Δ V=√(Δ x)2+ (Δ y )2 ; Δ VV =√( Δ xx )2+ ( Δ yy )2 . (4)
Divisão:
V±Δ V= ( x̄±Δ x)
( ȳ±Δ y )
=( x̄ . ȳ )±√( ȳΔ x) ²+ ( x̄.Δ y) ² / ȳ2
 ou seja, Δ V=√( ȳΔ x) ²+ ( x̄.Δ y) ² / ȳ2 ; Δ V
V
=√( Δ xx )2+ ( Δ yy )2 . (5)
Combinação linear:
V±Δ V=a( x̄±Δ x )+ b( ȳ±Δ y)=(a x̄+ b ȳ)±(√(aΔ x)2+ (bΔ y)2) . (6)
Potências:
V=axα . yβ : Δ V=V.√(α Δ xx̄ )2+ (β Δ yȳ )2 . (7)
Obs: Quando o erro aleatório calculado for nulo (seja em medidas diretas ou 
indiretas), o resultado da medida deve ser seu valor médio juntamente com o erro do 
aparelho, que serão menor erro possível cometido na medida.
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que 
seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Para representarmos 
uma medida usamos algarismos. Além de utilizarmos algarismos que temos certeza 
de estarem corretos,admite-se o uso de apenas um algarismo duvidoso. O número de 
algarismos significativos está diretamente ligado à precisão da medida, ou seja, 
quanto mais precisa a medida maior é o numero de algarismos significativos.
Exemplo: Se o resultado de uma medida é 3,24 cm, os algarismos 3 e 2 são 
corretos e o algarismo 4 é o duvidoso não tendo sentido físico escrever qualquer 
algarismo após o 4.
Observações importantes em relação aos algarismos significativos:
1. A presença de vírgula (casas decimais) no valor de uma medida não é 
considerada ao se tratar da identificação de algarismos significativos. Por exemplo, 
uma medida de 7,45 cm possui duas casas decimais, mas três algarismos 
significativos.
2. Não é algarismo significativo o zero a esquerda do primeiro algarismo significativo 
diferente de zero.
3. Zero a direita de algarismo significativo também é algarismo significativo.
4. É significativo o zero situado entre algarismos significativos.
5. Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer por exemplo, que 5; 
5,0; 5,00 e 5,000 são iguais. Entretanto, ao lidarmos com resultados de medidas 
devemos sempre lembrar que 5 cm; 5,0 cm; 5,00 cm e 5,000 cm são diferentes, 
pois a precisão de cada uma delas é diferente.
6. Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, 
utiliza-se a seguinte regra: 
- quando a direita do último algarismo significativo for menor a 5 este é 
abandonado; 
- quando a direita do último algarismo significativo for maior ou igual a 5, 
somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior.
7. Operações com algarismos significativos:
- Soma e subtração: Primeiro devemos reduzir todos os termos à mesma 
unidade. Após deve-se observar qual o termo que possui o menor número de 
casas decimais. Este deve ser mantido e os demais devem ser arredondados 
para o mesmo número de casas decimais. Após deve ser realizada a soma.
L̄=∑ LnN =2,24m
- Produto e divisão: A regra é dar ao resultado da operação o mesmo número 
de algarismos significativos do fator que tiver o menor número dos 
mesmos. Portanto, a operação deve ser realizada da forma em que são 
apresentados e o arredondamento é realizado no resultado. 
8. Algarismos significativos em medidas de erro: se o erro da medida esta na casa 
dos décimos, por exemplo, não faz sentido fornecer os algarismos 
correspondentes aos centésimos e milésimos.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Determinar o desvio avaliado nos seguintes casos:
a) régua milimetrada: 0,5 mm
b) régua com escala graduada em centímetros: 0,5 cm
c) balança com precisão de 0,1 g: 0,05 g
d) cronômetro com precisão de 0,2 s: 0,1 s
e) amperímetro com escala graduada em 0, 2, 4, 6, 8, 10 ampères ( A ): 1 A
f) dinamômetro com escala graduada de 5 em 5 newtons ( N ): 3N
g) voltímetro com fundo de escala de 10 volts dividida em 20 partes: 0,3 V
2) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamente, 
em termos de algarismos significativos.
(a) (b) (c) (d) (e)
m 32,75 g 72,19 cm 4,189 g 12314 m 82372 h
∆m 0,25 g 2,3 cm 0,0219 g 276 m 28 h
(a) (32,8 ± 0,3) g (b) (72 ± 2) cm (c) (4,19 ± 0,02) g
(d) (123x102 ± 3x102) m (e) (8237x101 ± 3x101) h
3) Numa experiência, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes (N = 5 ), 
forneceu a tabela:
n 1 2 3 4 5
Ln (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27
a) Encontrar o valor médio: 
b) Encontrar o desvio médio: 
n 1 2 3 4 5
Ln (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27
Ln−L̄ (m) -0,03 0,02 0,00 -0,02 0,03
Δ s=√(Δ x )2+(Δ y )2=√0,022+0,52=0,50
Δ f=√( ȳ⋅Δ x)2+( x̄⋅Δ y )2=√(1,4⋅0,03)2+(2,14⋅0,1)2=0,2181
(Ln−L̄) ² (m2) 9.10-4 4.10-4 0 4.10-4 9.10-4
com Δ L=√∑ (Ln−L̄)2N−1 =0,02 m.
c) Escrever o resultado final em termos de algarismos significativos: 
L=( L̄±Δ L)=(2,24±0,02) m.
4) Efetuar as seguintes operações:
a) (231,03 ± 0,02) – (12,8 ± 0,5) = 
Seja x = (231,03 ± 0,02) , y = (12,8 ± 0,5)
s = s(x,y) = x – y= s̄ ± Δ s
Logo s̄ = 231,03 – 12,8 = 218,23
→ s = (218,2 ± 0,5) (resultado com mesmo número de casas 
decimais que o fator com o menor número delas, ou seja y, com 
uma casa decimal)
b) [(2,14 ± 0,03) kg/(1,4 ± 0,1) m3] =
Seja x = (2,14 ± 0,03) kg, y = (1,4 ± 0,1) m3
f = f(x,y) = x/y = f̄ ± Δ f
Logo f̄=
2,14
1,4
=1,52857
 
→ f = (1,5 ± 0,1) kg/m3 (resultado com mesmo número de 
algarismos significativos que o fator com o menor número deles, ou seja y, com dois 
algarismos significativos)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
0- Usando a relação (1), encontre as expressões (2)-(7) para o erro e o erro relativo de 
funções básicas de x e y.
1- Verifique quantos algarismos significativos apresentam os números abaixo:
a) 0,003055 b) 1,0003436 c) 0,0069000 d) 162,32x106
2- Aproxime os números acima para 3 algarismos significativos.
3- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos significativos:
a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m 
b) 0,052 cm /1,112 s 
c) 10,56 m - 36 cm
4- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos significativos:
a) (2,5±0,6)cm + (7,06 ± 0,07)cm 
b) (0,42±0,04)g / (0:7 ± 0,3)cm
c) (0,7381±0,0004)cm * (1,82 ± 0,07)cm
d) (4,450±0,003)m - (0,456 ± 0,006)m
5- As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 8 vezes e 
os resultados estão colocados na tabela abaixo. Usando estes dados e levando em 
conta os algarismos significativos, determine:
a) os valores médios da massa, comprimento e largura da folha.
b) os erros absolutos das medidas da massa, comprimento e largura da folha.
c) o desvio padrão das medidas da massa, comprimento e largura da folha.
d) o erro relativo das medidas da massa, comprimento e largura da folha.
6-Utilizando os resultados do exercício 5 e a teoria de propagação de erros, determine:
(a) a área da folha e seu respectivo erro.
(b) densidade superficial da folha e seu respectivo erro.
7- Compare o valor obtido no item 6b com a densidade superficial escrita no pacote de papel. 
(75 g/m2).