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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA DEPARTAMENTO DE FÍSICA LABORATÓRIO DE FÍSICA Teoria de Medidas e Erros TEORIA DE MEDIDAS E ERROS INTRODUÇÃO O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.). Pretende-se aqui estudar esses erros e suas conseqüências, de modo a expressar os resultados de dados experimentais em termos que sejam compreensíveis a outras pessoas. Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve- se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. MEDIDAS FÍSICAS As medidas físicas podem ser classificadas em dois tipos, diretas e indiretas suas definições são especificadas a seguir. Medidas diretas → São aquelas obtidas diretamente do instrumento de medida. Como exemplos podem ser citados: comprimento e tempo, sendo realizadas diretamente de trenas e cronômetros, respectivamente. Nesta categoria ainda temos: • Medida direta de uma única medida: Quando somente uma leitura é suficiente. Ex. Medida da largura de uma mesa. Basta medirmos uma única vez. • Medida direta de várias medidas: Quando é necessário medirmos várias vezes a mesma grandeza para minimizar a imprecisão na medida. Ex. tempo de queda de um corpo. Medimos várias vezes e tiramos à média. Medidas indiretas → São aquelas obtidas a partir das medidas diretas, com o auxílio de equações. Por exemplo: a área de uma superfície, volume de um corpo ou a vazão de um rio ou canal. ERRO EXPERIMENTAL Conceitualmente, o erro experimental é a diferença entre o real valor de uma grandeza física (peso, área, velocidade...) e o respectivo valor dessa grandeza obtido através de medições experimentais. Mesmo que o experimento seja realizado com o máximo de cuidado, há sempre fontes de erro que podem afetá-la. Os erros experimentais podem ser de três tipos: erros sistemáticos e erros aleatórios. Erros Grosseiros Ocorrem devido á falta de prática (imperícia) ou distração do operador. Como exemplos, podemos citar a escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc.. Devem ser evitados pela repetição cuidadosa das medições. Erros Sistemáticos São causados por fontes identificáveis, e em princípio podem ser eliminados ou compensados. Estes erros fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida. Decorre de uma imperfeição no equipamento de medição ou no procedimento de medição, pode ser devido a um equipamento não calibrado. Erros aleatórios Estes erros decorrem de fatores imprevisíveis. São flutuações, para cima ou para baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos, afetando a precisão da medida. Decorre da limitação do equipamento ou do procedimento de medição, que impede que medidas exatas sejam tomadas. Nem sempre é possível identificar as fontes de erros aleatórios. Precisão é quando, pressupõe-se que, se a mesma for repetida várias vezes a variação da mesma em relação ao valor médio medido é baixa. A acurácia está associada á ausência de erros sistemáticos, mantendo as medidas em torno do valor real. Portanto, quando o conjunto de medidas realizadas se afasta muito da média, a medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão (Figura 1 (a, b)). Quando as mesmas estão mais concentradas em torno da média diz-se que a precisão da medida é alta (Figura 1 (c, d)), e os valores medidos tem uma distribuição de baixa dispersão. a) Baixa precisão e baixa exatidão b) Baixa precisão e alta exatidão c) Alta precisão e baixa exatidão d) Alta precisão e alta exatidão Figura 1: Representação da precisão e exatidão em medidas experimentais TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE MEDIDAS COM ERROS ALEATÓRIOS Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas feitas, se forem realizadas muitas medições aproximadamente a metade das medidas feitas estará acima e metade estará abaixo do valor correto. Portanto, uma boa estimativa para o valor correto da grandeza será a média aritmética dos valores medidos: Ao serem realizadas várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em torno da média. A dispersão do conjunto de medidas realizadas pode ser caracterizada através do desvio padrão, definido como: Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que quando o desvio padrão é alto. Quanto maior o número de medidas realizadas maior será a precisão, devido a compensação dos erros aleatórios. O erro padrão da média é definido como: Observa-se através da equação que o erro padrão da média diminui com a raiz quadrada do número N de medições realizadas. Portanto, quanto maior o número de medições melhor é a determinação do valor médio. O erro percentual ou relativo ao qual está submetida a medida, expresso em porcentagem, é obtido através da expressão: PROPAGAÇÃO DE ERROS EM CÁLCULOS Como anteriormente mencionado, algumas medidas são obtidas através de equações (medidas indiretas), com base em medições realizadas diretamente de equipamentos (medidas diretas). Portanto, junto com as medidas são carregados também os erros, tornando necessário o conhecimento de como o erro da medida original pode afetar a grandeza final. Consideremos que a grandeza a V ser determinada esteja relacionada com outras duas ou mais, através da relação: V= f ( x̄±Δ x , ȳ±Δ y , ...) onde f é uma relação conhecida de x̄±Δ x , ȳ±Δ y , ... . Um método usualmente aplicado e que nos dá o valor de ∆V imediatamente em termos de ∆x ,∆y,... é baseado na aplicação de resultados do cálculo diferencial. dV (x , y ,...)=∂V ∂ x dx+ ∂V ∂ y dy+ ... Para uma função, o erro total, devido a diferentes variáveis, é sempre ADITIVO, ou seja, Δ V (x , y , ...)=∣∂V ∂ x Δ x∣+∣∂V ∂ y Δ y∣+ ... Na verdade, usando a análise estatística, a expressão correta para ∆V é: (Δ V )2=(Δ V x ) 2+ (Δ V y) 2+ (Δ V z) 2+ ... (1) onde Δ V x= ∂V ∂ x Δ x ;Δ V y= ∂V ∂ y Δ y ; etc. apresentaremos aqui os resultados mais utilizados neste curso. Adição: V=( x̄±Δ x)+ ( ȳ±Δ y ) , V±Δ V=( x̄+ ȳ )±√(Δ x )2+ (Δ y )2 (2) Subtração: V=( x̄±Δ x)−( ȳ±Δ y ) , V±Δ V=( x̄− ȳ )±(√(Δ x)2+ (Δ y)2) (3) Multiplicação: V±Δ V=( x̄±Δ x) .( ȳ±Δ y )=( x̄ . ȳ )±(√( y.Δ x)2+ (x.Δ y )2) ou seja Δ V=√(Δ x)2+ (Δ y )2 ; Δ VV =√( Δ xx )2+ ( Δ yy )2 . (4) Divisão: V±Δ V= ( x̄±Δ x) ( ȳ±Δ y ) =( x̄ . ȳ )±√( ȳΔ x) ²+ ( x̄.Δ y) ² / ȳ2 ou seja, Δ V=√( ȳΔ x) ²+ ( x̄.Δ y) ² / ȳ2 ; Δ V V =√( Δ xx )2+ ( Δ yy )2 . (5) Combinação linear: V±Δ V=a( x̄±Δ x )+ b( ȳ±Δ y)=(a x̄+ b ȳ)±(√(aΔ x)2+ (bΔ y)2) . (6) Potências: V=axα . yβ : Δ V=V.√(α Δ xx̄ )2+ (β Δ yȳ )2 . (7) Obs: Quando o erro aleatório calculado for nulo (seja em medidas diretas ou indiretas), o resultado da medida deve ser seu valor médio juntamente com o erro do aparelho, que serão menor erro possível cometido na medida. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Para representarmos uma medida usamos algarismos. Além de utilizarmos algarismos que temos certeza de estarem corretos,admite-se o uso de apenas um algarismo duvidoso. O número de algarismos significativos está diretamente ligado à precisão da medida, ou seja, quanto mais precisa a medida maior é o numero de algarismos significativos. Exemplo: Se o resultado de uma medida é 3,24 cm, os algarismos 3 e 2 são corretos e o algarismo 4 é o duvidoso não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4. Observações importantes em relação aos algarismos significativos: 1. A presença de vírgula (casas decimais) no valor de uma medida não é considerada ao se tratar da identificação de algarismos significativos. Por exemplo, uma medida de 7,45 cm possui duas casas decimais, mas três algarismos significativos. 2. Não é algarismo significativo o zero a esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. 3. Zero a direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. 4. É significativo o zero situado entre algarismos significativos. 5. Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer por exemplo, que 5; 5,0; 5,00 e 5,000 são iguais. Entretanto, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm; 5,0 cm; 5,00 cm e 5,000 cm são diferentes, pois a precisão de cada uma delas é diferente. 6. Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utiliza-se a seguinte regra: - quando a direita do último algarismo significativo for menor a 5 este é abandonado; - quando a direita do último algarismo significativo for maior ou igual a 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior. 7. Operações com algarismos significativos: - Soma e subtração: Primeiro devemos reduzir todos os termos à mesma unidade. Após deve-se observar qual o termo que possui o menor número de casas decimais. Este deve ser mantido e os demais devem ser arredondados para o mesmo número de casas decimais. Após deve ser realizada a soma. L̄=∑ LnN =2,24m - Produto e divisão: A regra é dar ao resultado da operação o mesmo número de algarismos significativos do fator que tiver o menor número dos mesmos. Portanto, a operação deve ser realizada da forma em que são apresentados e o arredondamento é realizado no resultado. 8. Algarismos significativos em medidas de erro: se o erro da medida esta na casa dos décimos, por exemplo, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos centésimos e milésimos. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Determinar o desvio avaliado nos seguintes casos: a) régua milimetrada: 0,5 mm b) régua com escala graduada em centímetros: 0,5 cm c) balança com precisão de 0,1 g: 0,05 g d) cronômetro com precisão de 0,2 s: 0,1 s e) amperímetro com escala graduada em 0, 2, 4, 6, 8, 10 ampères ( A ): 1 A f) dinamômetro com escala graduada de 5 em 5 newtons ( N ): 3N g) voltímetro com fundo de escala de 10 volts dividida em 20 partes: 0,3 V 2) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamente, em termos de algarismos significativos. (a) (b) (c) (d) (e) m 32,75 g 72,19 cm 4,189 g 12314 m 82372 h ∆m 0,25 g 2,3 cm 0,0219 g 276 m 28 h (a) (32,8 ± 0,3) g (b) (72 ± 2) cm (c) (4,19 ± 0,02) g (d) (123x102 ± 3x102) m (e) (8237x101 ± 3x101) h 3) Numa experiência, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes (N = 5 ), forneceu a tabela: n 1 2 3 4 5 Ln (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27 a) Encontrar o valor médio: b) Encontrar o desvio médio: n 1 2 3 4 5 Ln (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27 Ln−L̄ (m) -0,03 0,02 0,00 -0,02 0,03 Δ s=√(Δ x )2+(Δ y )2=√0,022+0,52=0,50 Δ f=√( ȳ⋅Δ x)2+( x̄⋅Δ y )2=√(1,4⋅0,03)2+(2,14⋅0,1)2=0,2181 (Ln−L̄) ² (m2) 9.10-4 4.10-4 0 4.10-4 9.10-4 com Δ L=√∑ (Ln−L̄)2N−1 =0,02 m. c) Escrever o resultado final em termos de algarismos significativos: L=( L̄±Δ L)=(2,24±0,02) m. 4) Efetuar as seguintes operações: a) (231,03 ± 0,02) – (12,8 ± 0,5) = Seja x = (231,03 ± 0,02) , y = (12,8 ± 0,5) s = s(x,y) = x – y= s̄ ± Δ s Logo s̄ = 231,03 – 12,8 = 218,23 → s = (218,2 ± 0,5) (resultado com mesmo número de casas decimais que o fator com o menor número delas, ou seja y, com uma casa decimal) b) [(2,14 ± 0,03) kg/(1,4 ± 0,1) m3] = Seja x = (2,14 ± 0,03) kg, y = (1,4 ± 0,1) m3 f = f(x,y) = x/y = f̄ ± Δ f Logo f̄= 2,14 1,4 =1,52857 → f = (1,5 ± 0,1) kg/m3 (resultado com mesmo número de algarismos significativos que o fator com o menor número deles, ou seja y, com dois algarismos significativos) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0- Usando a relação (1), encontre as expressões (2)-(7) para o erro e o erro relativo de funções básicas de x e y. 1- Verifique quantos algarismos significativos apresentam os números abaixo: a) 0,003055 b) 1,0003436 c) 0,0069000 d) 162,32x106 2- Aproxime os números acima para 3 algarismos significativos. 3- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos significativos: a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m b) 0,052 cm /1,112 s c) 10,56 m - 36 cm 4- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos significativos: a) (2,5±0,6)cm + (7,06 ± 0,07)cm b) (0,42±0,04)g / (0:7 ± 0,3)cm c) (0,7381±0,0004)cm * (1,82 ± 0,07)cm d) (4,450±0,003)m - (0,456 ± 0,006)m 5- As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 8 vezes e os resultados estão colocados na tabela abaixo. Usando estes dados e levando em conta os algarismos significativos, determine: a) os valores médios da massa, comprimento e largura da folha. b) os erros absolutos das medidas da massa, comprimento e largura da folha. c) o desvio padrão das medidas da massa, comprimento e largura da folha. d) o erro relativo das medidas da massa, comprimento e largura da folha. 6-Utilizando os resultados do exercício 5 e a teoria de propagação de erros, determine: (a) a área da folha e seu respectivo erro. (b) densidade superficial da folha e seu respectivo erro. 7- Compare o valor obtido no item 6b com a densidade superficial escrita no pacote de papel. (75 g/m2).
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