APRESENTACAO DA AULA 14

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Aula 14: Cônicas – parábola
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 14: PARÁBOLA
Cônicas: parábola
parábola
1
PRÓXIMOS 
PASSOS
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
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Cônicas: parábola
Considere:
• o plano cartesiano xy;
• uma reta d;
• um ponto fixo F não pertencente a reta. 
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Cônicas: parábola
Considere:
• o plano cartesiano xy;
• uma reta d;
• um ponto fixo F não pertencente a reta;
• o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola. 
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Cônicas: parábola
Considere:
• o plano cartesiano xy;
• uma reta d;
• um ponto fixo F não pertencente a reta;
• o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola;
• F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta 
perpendicular a d que passa por F e o 
vértice V é o ponto da parábola que cruza o 
eixo.
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Cônicas: parábola
Considere:
• o plano cartesiano xy;
• uma reta d;
• um ponto fixo F não pertencente a reta;
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola; 
• F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta 
perpendicular a d que passa por F e o 
vértice é o ponto da parábola que cruza o 
eixo. 
• Note que:
• d(V,F)=d(V,A)
• PP’ é perpendicular a d
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Cônicas: parábola
Considere:
• o plano cartesiano xy;
• uma reta d;
• um ponto fixo F não pertencente a reta;
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola;
• F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta 
perpendicular a d que passa por F e o vértice é 
o ponto da parábola que cruza o eixo. 
• Note que:
• d(V,F)=d(V,A)
• PP’ é perpendicular a d
Vamos ver como se constrói a parábola?
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Cônicas: parábola
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AULA 14: PARÁBOLA
Cônicas: parábola
Considere:
• o plano cartesiano xy;
• uma reta d;
• um ponto fixo F não pertencente a reta. 
• o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola; 
• F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta 
perpendicular a d que passa por F e o vértice é 
o ponto da parábola que cruza o eixo. 
• Note que:
• d(V,F)=d(V,A)
• PP’ é perpendicular a d
Vamos construir a equação da parábola?
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Cônicas: parábola
Considere:
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola. 
• Pela definição P só pertence à parábola se:
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι PFΙ = Ι PP’Ι 
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Cônicas: parábola
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y)
• Pela definição P só pertence à parábola se:
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
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Cônicas: parábola
Dispensando a raiz 
quadrada dos dois lados...
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y)
• Pela definição P só pertence à parábola se:
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
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Cônicas: parábola
Desenvolvendo 
dos dois lados...
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y)
• Pela definição P só pertence à parábola se:
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
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Cônicas: parábola
Equação reduzida da parábola
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y)
• Pela definição P só pertence à parábola se:
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
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Cônicas: parábola
 Da equação x²=2py observa-se que 2py sempre será positivo ou nulo, pois é igual a x²≥0.
 Portanto, os sinais de p e y são sempre iguais (para dar positivo).
 Se p>0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
 Se p<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
p
p
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Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y)
• Pela definição P só pertence à parábola se:
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
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Cônicas: parábola
analogamente
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y)
• Pela definição P só pertence à parábola se:
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
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Cônicas: parábola
Da mesma forma do caso anterior:
se p>0, a parábola terá concavidade voltada para a direita. 
se p<0, a parábola terá concavidade voltada para a esquerda.
y
x
o
x
y
ox  0
p  0
x  0
p  0
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Parábola com vértice fora da origem e eixo vertical
P(x’, y’) coordenadas em relação aos eixos X’VY’
P(x, y) coordenadas em relação ao eixos XOY
O gráfico nos mostra que x’ = x – h e y’ = y – k 
Equação da parábola em relação aos eixos X’VY’ 
 
 x’² = 2py’
Equação da parábola em relação aos eixos XOY 
 
(x-h)²=2p (y-k)
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Cônicas: parábola
Parábola com vértice fora da origem e eixo horizontal
De modo análogo:
(y – k)² = 2p (x – h)
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Cônicas: parábola
Cônicas: circunferência (círculo)
Dicas, textos, vídeos e cursos:
 
O uso do GeoGebra poderá ajudá-lo(a) muito na manipulação das cônicas.
www.geogebra.org  
Assuntos da próxima aula:
1. Hipérbole.
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