Parabolas-CDI

Prévia do material em texto

1
Revisão de Pré-Cálculo
PÁRABOLAS 
Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni
 Departamento de Matemática, FEG, UNESP
Lc. Ismael Soares Madureira Júnior
 
Guaratinguetá, SP, Março, 2018
Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.
2
EQUAÇÃO DA PARÁBOLA – EIXO // OY
y  =  a x²  +  b x  +   c   
Coeficiente a está relacionado a concavidade da parábola
      côncava para cima côncava para baixo
3
PARÁBOLA - CONCAVIDADE
Quanto maior o valor do |a|  mais fechada é a parábola 
Exemplos
y = 5 x²
y = 2 x² 
y = x² 
y = ½ x²
y = 1/5 x²       
4
PARÁBOLAS COM EIXO EM OY
Termo linear ausente (b =0):  y  =  a x²  +   c   
Coeficiente c é a interseção da parábola com o eixo y  (x=0)
Exemplos
y =  x²  + 2
y =  x²  + 1
y =  x² 
y =  x² – 1 
y =  x² – 2
Parábolas relacionadas entre si por translação vertical.
5
PARÁBOLAS COM EIXO // OY
y  =  a x²  +  b x  +   c   
Coeficiente b está relacionado a posição do eixo da 
parábola, localizado sobre a vertical  x = ­ b/(2.a).
Exemplo  y = x² – 2x – 3 
A parábola tem simetria
de reflexão em torno 
do seu eixo.            
6
VÉRTICE DA PARÁBOLA
O vértice é o ponto de retorno da parábola.
A coordenada horizontal  xv = ­ b/2a  é a média das raízes.
A coordenada vertical yv  é obtida                                            y v = a x v
2
+ b xv + c .
7
PARÁBOLAS E O DISCRIMINANTE
           
 y = a x² + b x + c,          = b² – 4 a c
Os gráficos para a < 0 são uma reflexão no eixo x dos gráficos 
acima. 
8
INTERIOR E EXTERIOR DA PARÁBOLA
Região Interior da parábola (a > 0):  y >  a x² + b x + c
Região Exterior da parábola (a > 0):  y <  a x² + b x + c
       
9
PARÁBOLAS – Geometria Euclidiana
A Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de 
um ponto dado (foco) e de uma reta dada (diretriz).
         A reta perpendicular a diretriz passando pelo foco é o eixo da parábola.           
O vértice é o ponto sobre o eixo a meia distância entre o foco e a diretriz.
10
PARÁBOLAS – DIREÇÃO DO EIXO 
● Escolhendo o eixo x paralelo a diretriz (portanto, o eixo y é paralelo 
ao eixo da parábola)  pode­se mostrar que a equação da parábola é        
                         y = a.x² + bx + c.
● Escolhendo a diretriz paralela ao eixo y, o eixo x será paralelo ao eixo 
da parábola. A equação da parábola se torna   x  =  a y²  +  b y  +  c.
Exemplo:
x  =  y²  –  6y  +  5.
11
PARÁBOLAS – EIXO NA HORIZONTAL
Equação da parábola (linear em x, quadrática em y).
 x  =  a y²  +  b y  +  c.
● Se a > 0, côncava para a direita;   se a < 0, côncava para a 
esquerda.
● Raízes reais da equação  ay²  +  by  +  c  = 0  fornecem os 
pontos de interseção da parábola com o eixo y  (x = 0).
● Vértice localizado em (xv, yv) = ( ­ /4a ,  ­ b/2a).
12
PARÁBOLAS – PROPRIEDADE DE REFLEXÃO
Raio incidente paralelo ao eixo da parábola 
é refletido passando pelo foco.
Sentido inverso:  raios que saem do foco são refletidos na parábola de tal 
forma que se tornam paralelos ao eixo da parábola.
13
TANGENTE À PARÁBOLA 
Reta tangente a parábola em um ponto P é a reta no exterior 
da parábola e que intersecciona a parábola apenas em P.
A reta tangente à parábola em P é a bissetriz das retas PF (F é o foco) e PD (D é o 
ponto no pé da perpendicular à diretriz que passa por P).
14
PARÁBOLA – FUNÇÃO QUADRÁTICA
f(x)  =  a x²  +  b x  + c. 
Considere a > 0 (gráfico é côncavo para cima), então a 
função f é decrescente para  x < xv e crescente para x > xv.
Observe que em um ponto no 
intervalo em que a função é 
crescente (decrescente),              
a reta tangente tem inclinação 
positiva (negativa). 
No vértice, a tangente é 
horizontal (inclinação nula). 
Para a > 0, o vértice é um ponto  
de mínimo da função.
15
APLICAÇÕES EM FÍSICA
Movimento em uma Dimensão
Aceleração a = constante 
Velocidade em função do tempo 
v(t) = v0 + a t
Posição em função do tempo
s(t) = s0 + v0 t + ½ a t²
Valores iniciais (em t=0)
s0 = s(0) = posição inicial
v0 = v(0) = velocidade inicial 
16
EXERCÍCIOS 1 e 2 
1) Para cada item abaixo, determine: (i) a concavidade, 
(ii) o discriminante, (iii) as raízes reais, (iv) o eixo e 
(v) o vértice da parábola. Faça um esboço do gráfico 
a) y = 2 – x². b) y = x² – x.
c) y = x² – 2x – 2. d) y = x² – 4x + 4. 
e) y = x² + x + 1. e) x = y² – 4.
f) x = – y² + y + 1.
2) Para cada item abaixo, determine os pontos de 
interseção das duas curvas e faça um esboço. 
a) y = x² e y = 4 – x². b) y = x² e y = x - x².
c) y = x² e y = x + 1. d) y = x² e y = 2x – 1.
17
EXERCÍCIOS 3 e 4 
3) Uma função é definida por partes conforme 
mostrado a seguir
Determine o valor da constante c para que a função seja 
contínua em x = 1, isto é, para que o gráfico de f à esquerda 
de x = 1 encontre (no ponto x = 1) o gráfico de f à direita.
4) Faça um esboço das curvas e destaque a região 
limitada definida por elas.
a) y  x – x² e y  0.
b) y  x², y + x  2 e x  0.
f (x) = 4 x , se x≤1,
x ² + 2 x + c , se x≥1
18
EXERCÍCIOS – Aplicações em Física
Nos problemas abaixo, especifique qual escolha você fez para a 
origem e a orientação do eixo vertical (eixo ao longo do qual a 
partícula se movimenta). 
F1) Queda livre a partir do repouso. Uma partícula 
cai de uma altura h. Determine o tempo de queda. 
F2) Lançamento vertical a partir do chão. Uma 
partícula é lançada para cima com velocidade 
inicial v0. Determine
a) a altura máxima atingida pelo corpo. Qual a 
condição que resolve este problema?
b) o tempo de subida e o tempo de vôo.
c) a velocidade com que o corpo atinge o solo.
19
EXERCÍCIOS – Aplicações em Física
F3) Use as equações de movimento com 
aceleração constante mostradas nestes slides 
para demonstrar a seguinte equação
v² = v0² + 2a(s - s0)
20
EXERCÍCIOS - Otimização 
O1) Problema Isoperimétrico. Dentre todos os 
retângulos com perímetro igual a 20, determine a 
dimensão (altura e comprimento) do retângulo de 
maior área. 
O2) Preço ótimo. Ao preço de R$15,00 um 
vendedor ambulante pode vender 500 unidades de 
uma certa mercadoria que custa R7,00 cada 
unidade. O vendedor estima que para cada dez 
centavo que ele abaixa no preço, a quantidade 
vendida pode aumentar de 25. Que preço de venda 
maximizará o lucro?
21
EXERCÍCIOS - Otimização 
O3) Ao meio dia, o barco A está a 50 km ao norte do barco B, 
se movendo para o sul a 16km/h. O barco B está indo para 
oeste a 12km/h. Ambos os barcos se movem a velocidade 
constante. 
a) Mostre que a distância entre eles em função do tempo é 
dada pela fórmula abaixo
Dica: escolha a posição inicial do barco B na origem, o eixo y ao 
longo da direção Norte-Sul e o eixo x na direção Leste-Oeste. 
b) Determine para qual instante de tempo a distância é 
mínima. Dica: use o fato que a função raiz quadrada é crescente e 
seu mínimo é atingido quando seu argumento é mínimo.
s (t ) = √400 t 2 − 1600 t + 2500 .
22
REFERÊNCIAS
● Thomas, 11a edição, Apêndice B2.
Leitura opcional
– Tangentes e Derivadas, cap 2, seção 7.
– Problemas de Otimização, cap 4, seção 5.
● Simmons, cap. 1, seção 5.
● Halliday, Física, vol. 1, 10a edição.
– Capítulo 2.
23
WOLFRAM ALPHA 
Comandos com saída (resposta) gráfica
● Plot s = 400 t^2 – 1600 t + 2500
● Solve y > x² – 2x – 3
● Tangent Line to y = x^2 at x = sqrt(2)
24
GEOGEBRA 
● Para exibir o gráfico de s = 400 t^2 – 1600 t + 2500,
– na janela de álgebra escreva a equação, o gráfico será exibido na 
janela gráfica.
● Para exibir o interior da parábola y = x^2 – 2x – 3,
– na janela de álgebra escreva a desigualdade, o programa irá 
sombrear a região na janela gráfica.
● Para exibir a reta tangente ao gráfico de y = x² no ponto (2, 2)
– Insira a equação e o ponto, 
– No menu de retas, escolha reta tangente,
● Selecione o ponto e depois o gráfico.
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24