AULA 02

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CÁLCULO IV
Professora online: PATRÍCIA REGINA DE ABREU LOPES
AULA 2: INTEGRAIS MÚLTIPLAS
OBJETIVOS DESTA AULA:
	Ao final desta aula, você será capaz de:
1- 	Reconhecer Mudança de Variáveis na Integral Dupla;
2- 	Resolver as primeiras integrais duplas com mudança de variável;
3- 	Reconhecer Integrais Triplas;
4- 	Reconhecer os tipos de regiões para Integral Tripla.
INTRODUÇÃO
	Nesta aula, aprenderemos mudança de variáveis na integral dupla, que tem como objetivo facilitar o cálculo de algumas integrais duplas que não são simples de se calcular diretamente. Este método tem como principio básico, as mudanças de variáveis que aprendemos, nas disciplinas de Cálculo, vistas anteriormente. Faremos um paralelo entre as disciplinas de cálculo estudadas anteriormente e continuaremos a trabalhar a interdisciplinaridade, isto é, no momento em que utilizarmos teorias aprendidas anteriormente para resolução das integrais duplas ou estender o conhecimento aprendido para chegarmos à resolução de integrais duplas estaremos colocando em prática a interdisciplinaridade. Continuaremos estendendo o conhecimento para integrais triplas, seus teoremas, suas propriedades, suas aplicações e seus tipos de regiões.
MUDANÇA DE ORDEM DE INTEGRAÇÃO
	Na aula passada aprendemos os tipos de regiões e vimos como resolver essas integrais, certo?
	Agora vamos continuar. 
	Mostraremos que algumas vezes é necessário mudar a ordem de integração para se resolver uma integral.
EXEMPLO
 
COMENTÁRIO:
	Observe que para a mudança de ordem de integração não afetar o resultado da integral, ela deve satisfazer as condições do Teorema de Fubine, ou seja, o integrando f(x, y) tem que ser uma função limitada na região de integração.
MUDANÇA DE VARIÁVEL NAS INTEGRAIS DUPLAS
	Nesta aula, iremos aprender mudança de variável em integrais múltiplas, mais especificamente integrais duplas. 
	Na disciplina de cálculo, apresentada anteriormente, aprendemos na integração de funções de uma variável, o método de substituição, agora iremos estender este conhecimento para integral dupla.
 COMENTÁRIO:
	Ainda será valido se: ou deixar de ser injetora em subconjuntos de W que possam ser descritos por um ponto ou pelo gráfico de uma função contínua ou por uma união finita de conjuntos destes dois tipos. 
 	A demonstração deste teorema pode ser visto no livro Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis.
	Fonte: PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Candida Ferreira: Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2005. c. Integrais Múltiplas, p. 173-196.
Agora vamos ver dois casos especiais de mudança de variáveis.
	O primeiro caso a ser estudado é o da Mudança de Variável Linear.
	Vamos lá?
	Mudança de Variável Linear
	Consideramos a transformação linear definida pelas equações: 
• x = au + bv;
• y = cu + dv.
EXEMPLO
	Antes de passarmos para o outro caso especial de mudança de variáveis, vamos ver um exemplo para entender melhor o conteúdo que acabamos de estudar.
	Integre 
	Onde D é a região definida por:
 y + x = 3; 
 y + x = 5; 
 y - x = 1; e 
 y - x = 3.
	Tomando: 
 u = x + y; e 
 v = y – x. 
u = x + y u - x = y substituindo em v = y - x
	Temos:
v = u - x – x, então: 
x = (u - v)/2. 
v = y - x v - y = - x y - v = x substituindo em u = x + y
	Temos: 
u = y - v + y então: 
u = 2y - v y = (u + v)/2.
	Portanto, temos: 
x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2. 
Jacobiano = 
	Escreveremos então a integral como:
	Para resolvermos a integral só falta delimitar a região de integração.
Se u = x + y então, u = 3 e u = 5. 
Se v = y - x então v = 1 e v = 3.
 ou .
	Para resolver vamos tomar:
	Geometricamente a região D se transforma conforme pode ser observado a seguir:
O SEGUNDO CASO A SER ESTUDADO É O DA MUDANÇA DE VARIÁVEL POLAR.
	Vejamos:
	Um ponto P com coordenadas retangulares (x, y) tem coordenadas polares (r, θ), onde r é à distância do ponto P à origem, e θ é o angulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P.
	As coordenadas retangulares e polares do ponto P estão relacionadas por:
MUDANÇA DE VARIÁVEL POLAR
EXEMPLO
	Antes de continuar com seus estudos, veja um exemplo para entender melhor o conteúdo que acabamos de estudar.
	Resolva a integral 
	Onde D é a região definido por: y2 + x2 = 1 e o eixo x.
	Geometricamente y2 + x2 = 1 é representado pela figura:
EXEMPLO
	Calcule a integral 
	Onde D é o círculo de centro na origem e raio 2.
INTEGRAL TRIPLA
	Você sabia que com o mesmo raciocínio que fizemos em integral dupla, podemos definir integrais triplas através de somas de Riemann?
	Para isto tomemos uma função de três variáveis f(x, y, z).
	Mas afinal, como podemos definir a soma de Rienann?
	Acertou se você respondeu:
DEFINIÇÃO
NOTAÇÃO
ALGUMAS EXTENSÕES DO CONHECIMENTO DE INTEGRAL DUPLA PARA INTEGRAL TRIPLA
	Agora faremos algumas extensões do conhecimento de integral dupla para integral tripla.
1 -	As propriedades de integrais estudadas anteriormente continuam válidas para integrais triplas.
2 -	O teorema que definimos na aula anterior: 
Teorema: Toda função contínua definida em um retângulo R é integrável sobre R.
	Será estendido para:
Teorema: Toda função w = f(x, y, z) contínua em R é integrável sobre R.
3 -	Funções limitadas cujos conjuntos de descontinuidade podem ser descritos como união finita de gráficos de funções continuas são integráveis.
4 -	TEOREMA DE FUBINE
	Observe que podemos fazer seis integrais iteradas para funções de três variáveis, quando trocamos a ordem de resolução da integral o diferencial da variável independente muda junto, ou seja, o dx esta amarrado ao limite a < x < b, e dy está amarrado a c < y < d, e dz está amarrado a p < z < q.
	Além disto, ainda será válida a afirmação de que se f é descontínua apenas em uma região finita de gráficos de funções contínuas.
5 -	TIPO DE REGIÕES
	Classifica-se o tipo de região se pudermos descrever por:
	Neste caso escreveremos:
	Lembre-se: z = f1 e z = f2
	Classifica-se o tipo de região se pudermos descrever por:
	Neste caso escrevemos:
	Lembre-se: y = e y = 
	Classifica-se o tipo de região se pudermos descrever por:
	Neste caso escrevemos:
	Lembre-se: x = h1 e x = h2
ALGUMAS APLICAÇÕES:
1ª - 	Se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) em W, então a integral estará representando o volume de W.
2ª - 	Se f(x, y, z) é a função que fornece a densidade, isto é, representa a massa por unidade de volume em cada ponto (x, y, z) em W, então a massa de W é dada pela integral tripla.
	A seguir veremos um exemplo.
EXEMPLO
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Professora aula teletransmitida: ANA LUCIA DE SOUSA Tempo: 51min 50seg
AULA 2: INTEGRAIS MÚLTIPLAS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Integral Dupla
Mudança da ordem de integração
Mudança de Variável nas Integrais Duplas
Casos especiais de mudança de variáveis
Integral Tripla
Algumas Aplicações:
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
OBJETIVOS DA AULA: 
Apresentar Mudança de Variáveis na Integral Dupla;
Resolver as primeiras integrais duplas com mudança de variável;
Conhecer as Integrais Triplas;
Apresentar os tipos de regiões para Integral Tripla.
AULA 2
	Calcule a área da região D, por integral dupla, entre as curvas y = x2 e x = y2. 
MUDANÇA DA ORDEM DE INTEGRAÇÃO
	Destacamos na aula anterior os tipos de regiões e vimos como resolver essas integrais com a mudança. Agora vamos continuar.
	Algumas vezes é necessário mudar a ordem de integração para se resolver uma integral.
	Vejamos um exemplo.
	A região de integração inicialmente seria x = y e x = 1, y = 0, y = 1:
	A mudança de ordem de integração não afete o resultado da integral, ela deve satisfazer as condições do teorema de Fubine.
  MUDANÇA DE VARIÁVEL NAS INTEGRAIS DUPLAS
	Veja que na integração das funções de uma variável, realizamos também amudança de variável ou substituição. Nesse caso ela é representada por: 
	Onde a = g(c) e b = g(d)
	Para as integrais duplas o procedimento será o mesmo, isto é, buscamos através da mudança de variável uma função mais fácil de ser integrada.
 	Através da mudança de variáveis
x = x(u, v)
y = y(u, v)
	a integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada em outra integral dupla sobre uma região W do plano uv.
	Isto significa que as equações x = x(u, v) e y = y(u, v) definem uma transformação. Na transformação fazemos uma correspondência entre os pontos, ou seja, (u, v) do plano uv com os pontos (x, y) do plano xy. 
	Portanto, a região W do plano uv é aplicada sobre a região D do plano xy. 
 	Também podemos retornar de D para W pela transformação inversa.
u = u(x, y)
v = v(x, y)
u e v com derivadas parciais contínuas.
	A partir do que foi dito podemos definir
OBSERVAÇÕES:
TEOREMA
	Considere uma aplicação definida por (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) onde x, y são funções de classe C1 num subconjunto aberto U ⊂2. Seja W um subconjunto limitado e fechado contido em U tal que:
 é injetora em W
	Ainda será válido se: ou deixar de ser injetora em subconjuntos de W que possam ser descritos por um ponto ou pelo gráfico de uma função contínua ou por uma união finita de conjuntos destes dois tipos.
Podemos interpretar o jacobiano como sendo uma medida de quanto à transformação x = x(u, v) e y = y(u, v) modifica a área de uma região.
EXEMPLO
	Considere a seguinte integral dupla: 
	Onde D representa a região limitada pelas retas x – y = 0, x – y = 1, y = 2x e y = 2x – 4.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA REGIÃO D 
x – y = 0, x – y = 1, y = 2x e y = 2x – 4.
	Agora vamos fazer u = x – y e v = 2x.
	Seja y = x – u e x = v/2 (1)
x – y = 0, mas x – y = u. Logo, u = 0.
x – y = 1, mas x – y = u. Logo, u = 1.
y = 2x, mas podemos substituir (1) nessa equação do seguinte modo:
x – u = 2(v/2), logo, v = - 2u
y = 2x – 4, então x – u = 2(v/2) - 4. Logo, v = - 2u + 8
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA REGIÃO W
u = 0, u = 1, v = - 2u e v = - 2u + 8.
	Agora vamos calcular o jacobiano de x e y em relação às variáveis u e v.
	Sabemos que
u = x – y → y = -u + v/2
v = 2x → x = v/2
	Agora vamos usar o modelo definido anteriormente:
CASOS ESPECIAIS DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS
Mudança de Variável Linear
	Seja g uma transformação linear definida pelas equações: x = au + bv e y = cu + dv, onde a, b, c e d são constantes reais. 
	O determinante do Jacobiano desta transformação é dado por:
	Se o determinante do jacobiano é diferente de zero, então o sistema pode ser resolvido para u e v em termos de x e y. Portanto é injetora em 2 e podemos escrever:
EXEMPLO
	Seja a integral dupla 
	Onde D é a região definida por: y + x = 3, y + x = 5, y - x = 1 e y - x = 3.
	Considere: u = x + y e v = y - x
u = x + y y = u - x substituindo em v = y - x temos v = u - x - x então x = (u - v)/2.
v = y - x v - y = - x y - v = x substituindo em u = x + y temos u = y - v + y então u = 2y - v y = (u + v)/2.
	Portanto, x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2.
	Considerando x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2, calculamos o determinante do jacobiano.
	
	Escreveremos então a integral como: 
	Para resolvermos a integral precisamos delimitar a região de integração.
	Veja os gráficos das regiões. 
Mudança de Variável Polar
	As equações x = rcosϴ e y = rsenϴ, nos dão as coordenadas cartesianas de um dado ponto em termos de suas coordenadas polares. Neste caso, temos uma transformação que leva pontos (r, ϴ) do plano rϴ a pontos (x, y) do plano xy.
EXEMPLOS
INTEGRAIS TRIPLAS
Teorema: Toda função w = f(x, y, z) contínua em R é integrável sobre R.
Funções limitadas cujos conjuntos de descontinuidade podem ser descritos como união finita de gráficos de funções continuas são integráveis.
Teorema de Fubine
Se z= f(x, y, z) é contínua em R = {(x, y, z) | a < x < b, c < y < d, p < z < q}, então a integral tripla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja:
APLICAÇÕES
EXEMPLO
NESTA AULA, VOCÊ:
Aprendeu mudança de variáveis nas integrais duplas; 
Verificou a importância da interdisciplinaridade;
Utilizou o conhecimento dos cálculos anteriores;
Resolveu integrais duplas com mudança de variável; 
Acrescentou ao seu conhecimento as integrais triplas.
Verificou como o Teorema de Fubine continua valendo para integrais triplas.