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Lista 1 - Cálculo I - Prof Waldek Nobre 1. Calcule as derivadas das funções abaixo: a) f(r) = π r² b) f(x) = 14 – ½ x–2 c) f(x) = (3x 4 – 1)(2 – x3) d) f(t) = e) f(x) = 2e 3x² + 6x + 7 f) f(x) = log2 (3x² – cos x) g) f(x) = sen²x h) f(t) = e 2 cos 2t i) f(v) = j) f(x) = tg x. ² + 1) 2. Para as funções abaixo, pede-se, se possível: I. Seus intervalos de crescimento ou decrescimento; II. Seus extremos relativos; III. Seus pontos de inflexão a) f(x) = 13 23 xx b) f(x) = - x² + 2x + 4 c) f(x) = - + x² - 2x - 4 3. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função f(x) = x 3 + x + 3 no ponto de abscissa x0 = 0. R: Tangente: y = x + 3; Normal: y = -x + 3 4. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função f(x) = no ponto de abscissa x0 = 9. R: Tangente: y = x/6 + 9/6; Normal: y = -6x + 57 5. Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja p = 4 - 0,0002x, onde x é o número de unidades produzidas semanalmente e p reais é o preço de cada unidade. O número do custo total da produção de x unidades é 800 + 3x . Se o lucro semanal deve ser o maior possível, encontre o número de unidades que serão produzidas por semana, o preço de cada unidade e o lucro semanal. R: x = 2500, p = R$ 3,50, L = R$ 450,00. 6. Um fabricante produz objetos a R$ 20,00 cada. Estima-se que, se cada objeto for vendido por x reais os consumidores comprarão mensalmente (120 - x) objetos. Determine o preço com o qual o fabricante obterá maior lucro. R: x = 70 7. Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t³ – 10,5t² +30t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento? t = 15h e t =18h 8. Suponha que o custo total em reais , pela fabricação de q unidades de um certo produto, seja dado por C(q) = 3q² + q + 48 : a) Expresse o custo médio de fabricação por unidade do produto como função de q. R: Cm (q) = 3q + 1 + 48/q b) Para qual valor de q é menor o custo médio? R: q = 4 9. De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? R: 7,5 cm 10. Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de papelão de 1 m de largura e 2m de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicular os lados resultantes. Determine o tamanho do lado quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. (Use = 1,74). R: 21 cm 11. Determine a área máxima de um terreno retangular a ser cercada com o custo total de R$ 6.000,00. Vale ressaltar que devemos cercar de forma que podemos apenas gastar 2 reais por metro em lados opostos do terreno e 3 reais por metro nos outros lados opostos do terreno. R: 375.000 m² 12. Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: a) S(t) = 2t² + 10t - 1. Determine a velocidade no instante t = 3s. R: v = 22m/s b) S(t) = t³ + t² + 2t + 1. Determine a velocidade no instante t = 1s e aceleração em t = 2s. R: v = 7m/s; a = 14m/s² c) S(t) = sen t. Determine a velocidade no instante t = e aceleração em t = s. R: v = 0,5m/s; a = -0,5m/s² GABARITO 1) a) 2π r b) c)12x³(2 – x3)+(3x4 – 1)(-3x²) d) e) 12(x + 1)e3x² + 6x + 7 f) – g) sen 2x h) - 4.sen(2t).e 2 cos 2t i) j) sec²x.ln(x² + 1) + 2) a) Crescente: x< -2 ou x> 0; Decrescente: -2 < x< 0. Máximo (-2, 5); Mínimo (0, 1); Inflexão (-1, 3) b) sempre crescente; não possui máximo ou mínimo relativos, Inflexão: (1, ) c) sempre decrescente; não possui máximo ou mínimo relativos, Inflexão: (1, - ) 3) a) Crescente: x < 0 ou x > 4; Decrescente: 0 < x < 4 b) Para cima: x > 2; Para baixo: x < 2 c) Máximo: x = 0; Mínimo: x = 4; Inflexão: x = 2.
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