Revisão Matemática para Topografia - Arquitetura Uninove - Prof. Luciano

TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO 
 
 
ARQUITETURA E URBANISMO 1 
Revisão Matemática para Topografia 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo - Teorema de Pitágoras: 
“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos catetos”. 
 
Exemplo: 
Essa relação nos mostra, por exemplo, que em um triângulo retângulo, cujos lados medem 5 
unidades, 4 unidades e 3 unidades, a área do quadrado construído sobre o maior lado (hipotenusa) é 
igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados (catetos). Essa relação 
é conhecida como Teorema de Pitágoras. 
Se construirmos quadrados sobre os lados desse triângulo e considerarmos cada 
“quadradinho” (menor) como 1 unidade de área, conforme figura abaixo: 
 
Assim, o quadrado da medida da hipotenusa (25) é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos catetos (16) + (9), confirmando o Teorema de Pitágoras. 
Em outras palavras, a hipotenusa em forma de quadrado é igual à soma dos catetos também, 
em forma de quadrados. 
hipotenusa 
cateto 
cateto 
a2 = b2 + c2 
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Outras Relações Métricas no Triângulo Retângulo: 
Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de 
seus elementos: 
 
a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto 
sobre a hipotenusa. 
b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. 
c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
Exemplo: 
No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas a, b, c, e h indicadas. 
 
 
Onde: 
b, c: catetos; 
h: altura relativa à hipotenusa; 
a: hipotenusa; 
m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. 
b2 = a . n c2 = a . m 
b . c = a . h 
h2 = m . n 
b
2
 = an 
b
2
 = 5 . 3,2 
b
2
 = 16 
b = 16 
b = 4 cm 
a = 1,8 + 3,2 
a = 5 cm 
c
2
 = am 
c
2
 = 5 . 1,8 
c
2
 = 9 
c = 9 
c = 3 cm 
h
2
 = mn 
h
2
 = 1,8 . 3,2 
h
2
 = 5,76 
h = 76,5 
h = 2,4 cm 
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Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo: 
Consideremos o triângulo retângulo ABC indicado, a seguir: 
 
 
Seno: 
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. 
Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: 
sen α = 
BC
AB
 = 
hipotenusa da medida
)( alfa a oposto cateto do medida α
 → sen α = 
a
c
 
sen β = 
BC
AC
 = 
hipotenusa da medida
)( beta a oposto cateto do medida β
 → sen β = 
a
b
 
Cosseno: 
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa. 
Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: 
cos α = 
BC
AC
 = 
hipotenusa da medida
)( alfa a adjacente cateto do medida α
 → cos α = 
a
b
 
cos β = 
BC
AB
 = 
hipotenusa da medida
)( beta a adjacente cateto do medida β
 → cos β = 
a
c
 
Tangente: 
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo. 
Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: 
tan α = 
AC
AB
 = 
)( alfa a adjacente cateto do medida
)( alfa a oposto cateto do medida
α
α
 → tan α = 
b
c
 
tan β = 
AB
AC
 = 
)( beta a adjacente cateto do medida
)( beta a oposto cateto do medida
β
β
 → tan β = 
c
b
 
Podemos ainda, dizer que: 
O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento. Ou seja, conforme visto 
acima, sen α = cos β e sen β = cos α. 
hipotenusa 
cateto 
cateto 
BC: hipotenusa; 
 BC = a 
AC: cateto oposto a beta (β); 
 cateto adjacente a alfa (α); 
 AC = b 
AB: cateto oposto a alfa (α); 
 cateto adjacente a beta (β); 
 AB = c 
α + β = 90º 
A soma dos ângulos internos de 
um triângulo qualquer é sempre 
180° 
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Exemplos: 
Em um triângulo retângulo um dos ângulos agudos mede 52º e sua hipotenusa mede 10cm. 
Determine as medidas dos dois catetos desse triângulo. 
 
Um avião levanta vôo em (B) e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A 
que altura estará e qual a distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por uma igreja 
(A) situada a 2km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26 e tan 15º = 0,27) 
 
Determinar a inclinação e o comprimento (L) de uma rampa para interligar dois pisos - 
subsolo (cota 100) e térreo (cota 105), conforme representado abaixo: 
 
 
 
 
 
A inclinação é igual a tangente e é dada em % 
Portanto: 0,083 . 100 = 8,3% de inclinação. 
100 
105 
60 m 
L 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 
tan α = 
60
5
 
tan α = 0,083 
tan
-1
 0,083 = 4,74° 
 
L
2
 = 5
2
 + 60
2
 
L
2
 = 25 + 3600 
L
2
 = 3625 
L = 3625 
L = 60,21 m 
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Determinar a altura de um telhado com inclinação de 20% e seu comprimento (L): 
 
 
 
 
 
Um agrimensor quer determinar a largura 
de um rio. Como não pode efetuar diretamente 
essa medida, ele procede da seguinte maneira: 
1º) do ponto (A), situado numa das margens, ele 
avista o topo (D), de um morro na margem oposta, 
sob um ângulo de 60º com a horizontal; 
2º) afastando-se 12m, em linha reta, até o ponto 
(B), ele observa o topo do morro segundo um 
ângulo de 53º com a horizontal. 
Com estes dados, que medida, em metros, ele 
achou para a largura do rio? 
E qual a altura do morro? 
 
 
 
Uma pessoa observa que em um determinado horário um edifício projeta uma sombra no 
chão, cuja distância da base do edifício e o final da sombra são 88 m e o ângulo formado nesse 
ponto, entre o chão e o topo do edifício, 35°. Determine a altura do edifício: 
20m 
L 
h 
inclinação = 20% = 
100
20
 = 0,20 
inclinação = tangente = 0,20 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 
0,20 = 
10
h
 
h = 0,20 . 10 
h = 2 m 
L
2
 = 2
2
 + 10
2
 ⇒ L2 = 4 + 100 ⇒ L = 104 
L = 10,2 m 
A altura do morro é: y = 1,73 . x ⇒ y = 1,73 . 39,9 ⇒ y = 69,03m 
35° 
88 m 
h = ? 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 ⇒ tan 35° = 
88
h
 ⇒ 
0,700 = 
88
h
 ⇒ h = 0,700 . 88 ⇒ h = 61,6 m 
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