Revisão Matemática para Topografia - Arquitetura Uninove - Prof. Luciano

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TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO 
 
 
ARQUITETURA E URBANISMO 1 
Revisão Matemática para Topografia 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo - Teorema de Pitágoras: 
“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos catetos”. 
 
Exemplo: 
Essa relação nos mostra, por exemplo, que em um triângulo retângulo, cujos lados medem 5 
unidades, 4 unidades e 3 unidades, a área do quadrado construído sobre o maior lado (hipotenusa) é 
igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados (catetos). Essa relação 
é conhecida como Teorema de Pitágoras. 
Se construirmos quadrados sobre os lados desse triângulo e considerarmos cada 
“quadradinho” (menor) como 1 unidade de área, conforme figura abaixo: 
 
Assim, o quadrado da medida da hipotenusa (25) é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos catetos (16) + (9), confirmando o Teorema de Pitágoras. 
Em outras palavras, a hipotenusa em forma de quadrado é igual à soma dos catetos também, 
em forma de quadrados. 
hipotenusa 
cateto 
cateto 
a2 = b2 + c2 
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ARQUITETURA E URBANISMO 2 
Outras Relações Métricas no Triângulo Retângulo: 
Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de 
seus elementos: 
 
a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto 
sobre a hipotenusa. 
b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. 
c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
Exemplo: 
No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas a, b, c, e h indicadas. 
 
 
Onde: 
b, c: catetos; 
h: altura relativa à hipotenusa; 
a: hipotenusa; 
m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. 
b2 = a . n c2 = a . m 
b . c = a . h 
h2 = m . n 
b
2
 = an 
b
2
 = 5 . 3,2 
b
2
 = 16 
b = 16 
b = 4 cm 
a = 1,8 + 3,2 
a = 5 cm 
c
2
 = am 
c
2
 = 5 . 1,8 
c
2
 = 9 
c = 9 
c = 3 cm 
h
2
 = mn 
h
2
 = 1,8 . 3,2 
h
2
 = 5,76 
h = 76,5 
h = 2,4 cm 
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ARQUITETURA E URBANISMO 3 
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo: 
Consideremos o triângulo retângulo ABC indicado, a seguir: 
 
 
Seno: 
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. 
Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: 
sen α = 
BC
AB
 = 
hipotenusa da medida
)( alfa a oposto cateto do medida α
 → sen α = 
a
c
 
sen β = 
BC
AC
 = 
hipotenusa da medida
)( beta a oposto cateto do medida β
 → sen β = 
a
b
 
Cosseno: 
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa. 
Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: 
cos α = 
BC
AC
 = 
hipotenusa da medida
)( alfa a adjacente cateto do medida α
 → cos α = 
a
b
 
cos β = 
BC
AB
 = 
hipotenusa da medida
)( beta a adjacente cateto do medida β
 → cos β = 
a
c
 
Tangente: 
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo. 
Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: 
tan α = 
AC
AB
 = 
)( alfa a adjacente cateto do medida
)( alfa a oposto cateto do medida
α
α
 → tan α = 
b
c
 
tan β = 
AB
AC
 = 
)( beta a adjacente cateto do medida
)( beta a oposto cateto do medida
β
β
 → tan β = 
c
b
 
Podemos ainda, dizer que: 
O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento. Ou seja, conforme visto 
acima, sen α = cos β e sen β = cos α. 
hipotenusa 
cateto 
cateto 
BC: hipotenusa; 
 BC = a 
AC: cateto oposto a beta (β); 
 cateto adjacente a alfa (α); 
 AC = b 
AB: cateto oposto a alfa (α); 
 cateto adjacente a beta (β); 
 AB = c 
α + β = 90º 
A soma dos ângulos internos de 
um triângulo qualquer é sempre 
180° 
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ARQUITETURA E URBANISMO 4 
Exemplos: 
Em um triângulo retângulo um dos ângulos agudos mede 52º e sua hipotenusa mede 10cm. 
Determine as medidas dos dois catetos desse triângulo. 
 
Um avião levanta vôo em (B) e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A 
que altura estará e qual a distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por uma igreja 
(A) situada a 2km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26 e tan 15º = 0,27) 
 
Determinar a inclinação e o comprimento (L) de uma rampa para interligar dois pisos - 
subsolo (cota 100) e térreo (cota 105), conforme representado abaixo: 
 
 
 
 
 
A inclinação é igual a tangente e é dada em % 
Portanto: 0,083 . 100 = 8,3% de inclinação. 
100 
105 
60 m 
L 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 
tan α = 
60
5
 
tan α = 0,083 
tan
-1
 0,083 = 4,74° 
 
L
2
 = 5
2
 + 60
2
 
L
2
 = 25 + 3600 
L
2
 = 3625 
L = 3625 
L = 60,21 m 
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ARQUITETURA E URBANISMO 5 
Determinar a altura de um telhado com inclinação de 20% e seu comprimento (L): 
 
 
 
 
 
Um agrimensor quer determinar a largura 
de um rio. Como não pode efetuar diretamente 
essa medida, ele procede da seguinte maneira: 
1º) do ponto (A), situado numa das margens, ele 
avista o topo (D), de um morro na margem oposta, 
sob um ângulo de 60º com a horizontal; 
2º) afastando-se 12m, em linha reta, até o ponto 
(B), ele observa o topo do morro segundo um 
ângulo de 53º com a horizontal. 
Com estes dados, que medida, em metros, ele 
achou para a largura do rio? 
E qual a altura do morro? 
 
 
 
Uma pessoa observa que em um determinado horário um edifício projeta uma sombra no 
chão, cuja distância da base do edifício e o final da sombra são 88 m e o ângulo formado nesse 
ponto, entre o chão e o topo do edifício, 35°. Determine a altura do edifício: 
20m 
L 
h 
inclinação = 20% = 
100
20
 = 0,20 
inclinação = tangente = 0,20 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 
0,20 = 
10
h
 
h = 0,20 . 10 
h = 2 m 
L
2
 = 2
2
 + 10
2
 ⇒ L2 = 4 + 100 ⇒ L = 104 
L = 10,2 m 
A altura do morro é: y = 1,73 . x ⇒ y = 1,73 . 39,9 ⇒ y = 69,03m 
35° 
88 m 
h = ? 
tan α = 
..
..
adjcat
opocat
 ⇒ tan 35° = 
88
h
 ⇒ 
0,700 = 
88
h
 ⇒ h = 0,700 . 88 ⇒ h = 61,6 m 
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ARQUITETURA E URBANISMO 6 
Relações trigonométricas num triângulo qualquer: 
Lei dos senos: 
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. 
 
Exemplo: 
Um barco de pescadores (A) emite um sinal de socorro que é recebido por dois 
radioamadores, (B) e (C), distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos CBA ˆ e BCA ˆ medem, 
respectivamente, 64º e 50º, determine qual radioamador se encontra mais próximo do barco e a qual 
distância ele está do barco. 
 
Lei dos cossenos: 
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados 
das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo 
cosseno do ângulo formado por eles. 
 
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ARQUITETURA E URBANISMO 7 
Exemplo: 
Calcule a distância dos pontos A e B, entre os quais há uma montanha, sabendo que suas distâncias a 
um ponto fixo M são de 300 m e 380 m, respectivamente. A medida do ângulo BMA ˆ é igual a 47°. 
 
 
Área de um triângulo qualquer: 
A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois de seus 
lados pelo seno do ângulo formado por esses lados. 
Consideremos dois casos: 
1. O triângulo ABC da figura ao lado é acutângulo. 
Sabemos que a área (A) é dada por: 
A = 
2
h . a
 (I) 
Do triângulo retângulo AHC: 
sen γ = 
b
h
 ⇒ h = b . sen γ (II) 
Substituindo (II) em (I), temos: 
A = 
2
)sen . (b . a γ
 ⇒ A = 
2
sen . b . a γ
 
2. O triângulo ABC da figura abaixo é obtusângulo. 
Sabemos que a área A é dada por: 
A = 
2
h . a
 (I) 
Do triângulo retângulo AHC, vem: 
sen (180° - γ) = 
b
h
 ⇒ h = b . sen γ (II) 
 sen γ 
Substituindo (I) em (II), temos: 
A = 
2
)sen . (b . a γ
 ⇒ A = 
2
sen . b . a γ
 
c
2
 = a
2
 + b
2 
 - 2 . a . b . cos α 
c
2
 = 300
2
 + 380
2 
 - 2 . 300 . 380 . cos 47° 
c
2
 = 90000 + 144400
 
 - 228000 . 0,68 
c
2
 = 234400
 
 - 155040 
c
2
 = 79360 
c = 79360 
c = 281,71 m 
c = ? a = 300 m 
b = 380 m 
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ARQUITETURA E URBANISMO 8 
Se fizéssemos os cálculos anteriores em função de sen α ou sen β, chegaríamos à mesma 
conclusão: 
A = 
2
sen . c . b α
 e A = 
2
sen . c . a β
 
Exemplo: 
Num triângulo ABC, dois lados medem 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo de 60°. 
Calcule a área do triângulo ABC. 
 
Área das principais figuras planas: 
 
 
A = 
2
sen . c . b α
 
A = 
2
60sen . 10 . 6 °
 
A = 25,98 cm
2
 
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ARQUITETURA E URBANISMO 9 
EXERCÍCIOS: 
1. Calcule a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no 
triângulo retângulo de catetos 7,5m e 10m. (a=12,5m; h=6m; m=4,5m; n=8m) 
2. No triângulo ABC, representado ao lado, sabendo-se 
que c = 7m e h = 5,6m, calcule a, b, m e n: (a≈11,67m; 
b=9,33m; m=4,20m; n≈7,47m) 
3. Encontre a medida da altura de um trapézio retângulo 
sabendo que suas bases e o lado oblíquo medem, 
respectivamente, 10m, 15m e 13m. (h=12m) 
4. Encontre os valores de x e y em cada caso: 
 
(x=5m; y=12m) (x=3m; y=5m) (x=17m; y=8m) 
5. Durante um treinamento, dois maratonistas partem de uma mesma cidade em direção reta; 
um em sentido leste e outro em sentido norte. Determine a distância que os separa após 2h, 
sabendo que as velocidades dos atletas são de 20 km/h e 25 km/h, respectivamente. (d=64km) 
6. Examine o triângulo retângulo da figura abaixo e calcule o valor destas razões: 
 
7. Determine o valor de seno, cosseno e tangente de α e de β no triângulo 
PQR, representado ao lado. (senα=0,923; cosα=0,385; tanα=2,4; senβ=0,385; 
cosβ=0,923; tanβ=0,417) 
8. No triangulo retângulo ABC abaixo, calcule os valores de a e c. (a=10cm; c=8,66cm) 
 
9. Num campeonato de asa-delta, um 
participante se encontra a uma altura de 
160m e vê o ponto de chegada a um 
ângulo de 60°, conforme figura ao lado. 
Calcule a componente horizontal (x) da 
distância aproximada em que ele está 
desse ponto de chegada. (x≈276,8m) 
a) sen α (0,60) 
b) cos α (0,80) 
c) tan α (0,75) 
d) sen β (0,80) 
e) cos β (0,60) 
f) tan β (1,33) 
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ARQUITETURA E URBANISMO 10 
10. Num triângulo retângulo ABC, cos Bˆ = 
13
5
. Determine o valor da tan Cˆ . (0,4167) 
11. Calcule Bˆ e Cˆ no triângulo da figura ao lado. 
12. Uma pessoa de 1,64m de altura observa o topo 
de uma árvore sob um ângulo de 30° com a 
horizontal. Conhecendo a distância de 6m do 
observador até a árvore, calcule a altura da 
árvore. (5,10m) 
13. Do alto da torre de uma plataforma marítima 
de petróleo de 45m de altura, o ângulo de 
depressão em relação à proa de um barco é de 
60°. A que distância o barco está da 
plataforma? (≈25,97m) 
 
 
 
 
14. Na construção de um telhado foram usadas 
telhas francesas e o “caimento” do telhado é 
de 36,4%. Sabendo-se que o plano inclinado do 
telhado tem 6m e que até a laje a casa tem 
3m de altura, determine a que altura está o 
ponto mais alto do telhado. (≈5,05m) 
 
15. Na figura ao lado, determine o valor de AB. (75) 
16. Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação ao plano 
horizontal, onde apresenta 30m de comprimento e 4m de 
elevação. Determine a inclinação e o ângulo (α) dessa 
rampa. (i= 13,45%; α=7,66°) 
17. De um ponto A, no solo, visam-se a base B e o topo C de um 
bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob 
ângulos de 30° e 45°, respectivamente. Se o bastão mede 
4m de comprimento, a altura da colina é igual à? (≈5,46m) 
18. Um coqueiro tem 6m de altura e seu topo é visto 
dos pontos A e B, sob ângulos de 45° e 30°, como 
representa a figura ao lado. Se esses pontos estão 
alinhados com a base do coqueiro, quantos metros 
aproximadamente A dista de B? (≈16,4m) 
(B=30°; C=60°) 
50 
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ARQUITETURA E URBANISMO 11 
19. Num levantamento topográfico, o 
topógrafo precisa determinar a 
altura de uma montanha. Instalado 
o aparelho (teodolito) num ponto 
situado em terreno plano, o topo da 
montanha é vista sob um ângulo de 
44°. Afastando-se o aparelho mais 
120m do ponto inicial, seu topo 
passa a ser visto sob um ângulo de 
39°. Desprezando-se a altura do aparelho, qual a altura da montanha? (≈602m) 
20. Para medir a altura de um poste, foi usada uma vassoura de 1,5m, verificando-seque, no 
momento em que ambos estavam em posição vertical em relação ao terreno, a vassoura 
projetava uma sombra de 2m e o poste, de 16m. Qual a altura do poste? (12m) 
21. Um rio de largura igual a 60m, cuja velocidade da 
correnteza é Vx = 8,65m/s, é atravessado por um 
barco, de velocidade Vy = 5m/s, perpendicular às 
margens do rio, conforme a figura abaixo. 
Determine: 
a) a velocidade resultante Vr; (≈10m/s) 
b) ângulo α do movimento em relação à perpendicular da correnteza; (α=60°) 
c) a distância CB do ponto de chegada em relação ao ponto onde o barco chegaria caso não 
houvesse correnteza. (≈103,8m) 
22. Para medir a largura AC de um rio, um 
homem usou o seguinte procedimento: 
marcou um ponto B de onde podia ver na 
margem oposta o coqueiro C, de modo que 
o ângulo CBA ˆ fosse de 60°; determinou o 
ponto D no prolongamento de CA de 
forma que o ângulo DBC ˆ fosse de 90°. 
Medindo AD = 40m, calculou a largura do 
rio. Determine essa largura. (≈120m) 
23. De dois observatórios, localizados em dois pontos x e y da 
superfície da Terra, é possível enxergar um balão 
meteorológico (B), sob ângulos de 45° e 60°, conforme é 
mostrado na figura ao lado. Desprezando-se a curvatura da 
Terra e sabendo-se que 30km separam x e y, qual a altura 
do balão? (≈19m) 
 
24. Para construir uma ponte sobre o 
rio, conforme figura ao lado, um 
engenheiro fez as seguintes 
medidas: segmento AB = 30m, ângulo 
CAB ˆ = 105° e ângulo ABC ˆ = 30°. Com 
base nas medidas levantadas, 
determine o comprimento AC da ponte. 
(≈21,2m) 
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ARQUITETURA E URBANISMO 12 
25. Um observador está no ponto A e quer saber a distância 
entre A e P, que é o ponto onde se localiza uma árvore do 
outro lado de um rio, conforme figura ao lado. O 
observador se locomove de A para B, de onde pode ver 
também o ponto P. Qual a distância de A a P, sabendo-se 
que a distância de A a B é de 2km, a medida do ângulo 
PAB ˆ é igual a 120° e a medida do ângulo PBA ˆ é igual a 
45°? (≈5,46 km) 
 
26. Uma ponte deve ser construída sobre o rio, unindo os pontos A 
e B, como ilustrado na figura ao lado. Para calcular o 
comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em 
que B está e, medem-se os ângulos ABC ˆ = 57° e BCA ˆ = 59°. 
Sabendo-se que BC mede 30m, indique a distância AB. (≈28,6m) 
27. A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do 
rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o 
ângulo formado pelas direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60°. Se a ideia é 
bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de tubulação serão 
necessários? (70m) 
28. Os pontos A, B e C indicados na figura representam 
três cidades. Um ônibus percorre em linha reta 
32km para ir de A até B, e 45km de B até C. Se o 
ônibus pudesse ir em linha reta de A até C, quantos 
kilômetros a menos ele percorreria nessa viagem? (4,5 km) 
29. Considere que, na figura ao lado, tem-se 
a planificação do quadro de uma 
bicicleta e as medidas indicadas estão 
em centímetros. Qual a distância BD? 
(40cm) 
30. Dois terrenos, T1 e T2, têm frentes 
para a rua R e fundos para a rua S, como 
mostra a figura abaixo. O lado BC do terreno mede 30m e é paralelo ao lado DE do terreno 
T2. A frente AC do terreno T1 mede 50 m e o fundo BD do terreno T2 mede 35m. 
Determine: 
a) as medidas do fundo AB do terreno T1; (70m) 
b) as medidas da frente CE do terreno T2; (25m) 
c) as medidas do lado DE do terreno T2. (45m) 
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ARQUITETURA E URBANISMO 13 
31. O terreno ABCDE representado pela figura abaixo está a venda por R$1360,00 o metro 
quadrado. Qual o valor total do terreno? (R$ 2.200.724,80) 
 
32. Calcule a medida do ângulo Cˆ no triângulo ABC, cuja área vale 159,54m2. (80°) 
33. Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e 2,80m de altura, as portas e janelas 
ocupam uma área de 4m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 
10% a mais de metragem a ladrilhar. Qual a metragem de ladrilhos que se deve comprar? 
(26,40 m2) 
34. Um quarto possui 7m de comprimento, 3m de largura e 3m de altura, tendo uma porta de 1m 
por 2m e uma janela quadrada de 1 de lado. Deseja-se pintar as quatro paredes internas e o 
teto do quarto, excetuando-se a janela, a porta e o chão. 
a) qual a área a ser pintada? (104 m2) 
b) se um litro de tinta é suficiente para pintar 3m2, quantas latas serão gastas nessa 
pintura? (34,66 litros) 
35. As bases de um trapézio medem 100m e 28m. Se a medida de cada um dos outros lados é 
60m, qual a área desse trapézio? (3072 m2) 
 
Bibliografia: 
Santos, Luciano F. Notas de aula de Topografia. Curso Técnico em Construção Civil. Faculdades 
Oswaldo Cruz. São Paulo. 
18 m 18 m 
23,14 m 
C 
A B