MA João 15 08 SEI uni III (ms) (RF) BB(1)

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Unidade III 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
Prof. João Giardulli 
Ajuste de curvas 
 
 
 
 
 
O que é isso? 
Ajuste de curvas 
 É um método que consiste em encontrar uma curva que 
se ajuste a uma série de pontos. 
 Existem vários métodos para realizar esse ajuste, como 
o método dos mínimos quadrados, o método da máxima 
verossimilhança e o método do máximo coeficiente 
de correlação linear. 
Ajuste de curvas 
 Adrien-Marie Legendre 
(1752-1833) 
 Em 1806, aos 56 anos, publica os primeiros resultados 
sobre aproximação de curvas utilizando o Método 
dos Mínimos Quadrados. 
 
 
 
 
 
Do pintor Julien-Leopold Boilly 1820-Album de 73 portraits-charge 
 aquarellés des membres de I’Institut. 
Ajuste de curvas 
 Carl Friedrich Gauss 
(1777-1855) 
 Em 1796 descobre e justifica o Método dos Mínimos 
Quadrados, aos 19 anos. 
 
 
 
 
 
Extraído de http://www.gauss-goettingen.de/gauss_en.php?navid=2&supnavid=1 
em 13/8/2014, página da universidade onde lecionou Gauss. 
Ajuste de curvas 
 
Quantidade 
(q) 
Incidentes 
(i) 
1 164 
2 272 
3 348 
4 416 
5 500 
Fonte: autoria própria 
Ajuste de curvas 
Qual é o problema? 
 Encontrar uma reta que passe o mais próximo possível de 
todos os pontos dados. 
 
 
 
 
 
Ajuste de curvas 
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6
Fonte: autoria própria 
Ajuste de curvas 
Fonte: autoria própria 
Ajuste de curvas 
Fonte: autoria própria 
Ajuste de curvas 
 
 
 
 
Como funciona? 
Ajuste de curvas 
 Consideremos n pontos do ℝ2, não todos situados na 
mesma vertical, cujas coordenadas são: 
(x1,y1), (x2, y2), (x3, y3) ... (xn, yn). 
 O problema consiste em encontrar uma reta que se ajuste 
a esses pontos. 
 
Ajuste de curvas 
 
 
Fonte: página 57 do livro-texto 
Ajuste de curvas 
 Essa nuvem de pontos é conhecida como gráfico de 
dispersão. Há inúmeras maneiras de se encontrar a reta que 
mais se aproxima, inclusive usando uma régua, por exemplo. 
 Contudo, uma maneira simples e de qualidade é o método 
dos mínimos quadrados. 
Ajuste de curvas 
 A ideia básica desse método consiste em considerar o 
modelo mais simples de relacionar duas variáveis x e y. 
 A equação de uma reta dada pela sentença y = Ax + B tornará 
mínima a soma dos quadrados dos desvios: 
((d1)
2 + (d2)
2 + (d3)
2 + (d4)
2 + ... + (dn)
2), em que di = yi – (Axi + B). 
 Tal reta é chamada de reta de mínimos quadrados, 
cuja equação iremos determinar. 
Ajuste de curvas 
 Os dados a serem ajustados são os (xi, yi), de forma 
tal que a distância vertical di seja a menor possível. 
 A partir dessas distâncias, define-se que D é igual ao 
somatório do quadrado dessas diferenças, isto é: 
 D(A, B) = Σ (di)
2 = Σ(yi – (Axi + B))
2. 
 Portanto, temos que: D(A, B) = Σ(yi – Axi – B)
2 
Ajuste de curvas 
Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema: 
 D(A) = 2Σ(yi – Axi – B)(-xi) = 0 
 D(B) = 2Σ(yi – Axi – B)(-1) = 0 
 
Ajuste de curvas 
Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema: 
 D(A) = 2Σ(yi – Axi – B)(-xi) = 0 
 D(B) = 2Σ(yi – Axi – B)(-1) = 0 
Ou seja: 
 Σ(xiyi – (Axi)
2 - Bxi) = 0 ⇔ Σxiyi - AΣ(xi)
2 =Bxi 
 Σ(yi – Axi – B) = 0 ⇔ Σyi - AΣxi – nB = 0 
Ajuste de curvas 
A solução do sistema é: 
 
 
 
 
 O método dos mínimos quadrados consiste basicamente 
em obter-se a curva, dentro de uma família de curvas 
preestabelecidas, que minimiza esse desvio. 
Fonte: página 58 do livro-texto 
Ajuste de curvas 
Lembrete: 
 Quando usamos funções do primeiro grau para representar 
essas curvas, temos as retas e, no caso das funções 
quadráticas, temos as parábolas. 
 
 
 
 
 
 
Ajuste de curvas – exemplo 
 Um comerciante deseja obter uma equação de demanda para 
o seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada 
(y) se relaciona com o seu preço unitário (x) por meio de 
uma função do 1o grau y = ax + b. 
Para estimar essa reta, fixou os preços em vários níveis e 
observou a quantidade demandada, obtendo os dados a seguir: 
 
 
 
 Qual a equação da reta de mínimos quadrados? 
 
 
Fonte: página 59 do livro-texto 
Ajuste de curvas 
Solução: 
 Inicialmente, vamos escrever a seguinte tabela de dados: 
 
 
 
 
 
 Temos que n = 4 (quantidade de dados fornecidos). 
Fonte: página 59 do livro-texto 
Ajuste de curvas 
 Logo, A será dado por: 
 
Fonte: página 59 do livro-texto 
Ajuste de curvas 
 B será dado por: 
 
 
 
 
 Logo, a equação da reta procurada é: 
 
 
 
Fonte: página 59 do livro-texto 
Fonte: página 59 do livro-texto 
Interatividade 
Qual é o objetivo do Método de Mínimos Quadrados? 
a) Ajustar uma reta a uma nuvem de pontos. 
b) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que 
as distâncias destes pontos a esta curva sejam mínimas. 
c) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que 
os quadrados das distâncias destes pontos a esta 
curva sejam mínimos. 
d) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte 
que a soma dos quadrados das distâncias verticais 
destes pontos a esta curva seja mínima. 
e) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que 
os quadrados das distâncias destes pontos a esta 
curva sejam máximos. 
 
Tipos de ajustes de curvas 
 O tipo de ajuste mais simples é o ajuste linear ou 
regressão linear, que relaciona duas variáveis x e y. 
O modelo matemático usado e a equação de uma reta: 
 y = Ax + B, em que A e B são os parâmetros do modelo. 
 
 
 
 
 
 
Tipos de ajustes de curvas 
No caso em que precisamos relacionar uma variável dependente 
y com p variáveis independentes, o tipo de ajuste é chamado de 
ajuste linear múltiplo, representado por: 
 y = β0 + β1.x1 + β2.x2 + ... + βp.xp 
 Em que β0 , β1 , ..., βp são os parâmetros do modelo. 
 
Tipos de ajustes de curvas 
Quando o modelo usado para o ajuste da curva 
não é uma reta, e sim uma parábola, o tipo de ajuste 
que usamos e a regressão quadrática são dados por: 
 y = Ax2 + Bx + C em que A, B e C são os parâmetros do modelo. 
 
 
 
 
 
 
Tipos de ajustes de curvas 
Observações: 
 Qualquer que seja o tipo de ajuste, precisamos de métodos 
para calcular esses parâmetros e encontrar a solução. 
 Dependendo do caso, da quantidade de variáveis e 
parâmetros, o calculo não é tão simples e precisamos 
de recursos computacionais para resolver o problema. 
 
 
 
 
Tipos de ajustes de curvas 
Observações: 
 Existem diversos softwares com as fórmulas programadas, 
com os quais só precisamos fornecer os dados para obter os 
resultados. Entre eles, o mais popular é o Excel, da Microsoft. 
 
 
 
Regressão linear 
 Em análise estatística, o método que estuda a relação 
entre diversas variáveis quantitativas ou qualitativas, de modo 
que uma variável pode ser predita a partir de outra variável 
(ou outras variáveis), é conhecido como análise de regressão. 
 Não se quer apenas analisar a associação existente entre 
duas variáveis quantitativas (ou qualitativas), mas justificar 
a hipótese a respeito da provável relação de causa e 
efeito entre essas variáveis. 
A variável X depende da variável Y? 
 
 
 
 
Regressão linear 
 A análise de regressão é usada com a finalidade de previsão. 
Nesse caso, queremos prever o valor da variável X em 
função da variávelY. 
 Outra finalidade é o de estimar o quanto a variável Y influencia 
ou modifica a variável X. 
 
 
Regressão linear 
 O caso mais simples de regressão é quando temos duas 
variáveis e a relação entre elas pode ser representada por 
uma linha reta, que chamamos de regressão linear simples 
ou ajuste linear simples. 
 
 
Fonte: página 60 do livro-texto 
Regressão linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b0 é o coeficiente linear, também chamado intercepto; 
é o valor que y assume quando x for zero. 
 Quando a região experimental inclui x = 0, então b0 
é o valor da média da distribuição de y em x = 0. 
Fonte: página 60 do livro-texto 
Regressão linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b1 é o coeficiente angular, expressa a taxa de mudança 
em y, isto é, a mudança em y quando ocorre a mudança 
de uma unidade em x. 
 Ele indica a mudança na média da distribuição de 
probabilidade de y por unidade de acréscimo em x. 
 
Página 60 da apostila 
Regressão linear 
 O ajuste linear múltiplo aplica-se nos casos em que y 
é uma função linear de duas ou mais variáveis lineares. 
 Nesse caso, procura-se calcular os valores de b0, b1, b2 ,b3, ... , 
bn, tais que a relação entre eles seja aproximada por uma 
expressão do tipo: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn. 
 
Regressão linear 
No caso do ajuste linear múltiplo, resolver o sistema de 
equações normais é resolver o sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: página 61 do livro-texto 
Regressão linear 
Exemplo: determinar a equação do tipo y = b0 + b1x1 + b2x2 
que melhor se ajusta a tabela a seguir: 
 
 
Solução: 
 
 
 
Logo: 
y = 4,2 + 3,4 x1 – 6,5 x2 
 
 
 
Fonte: página 61 do livro-texto 
Fonte: página 61 do livro-texto 
Fonte: página 61 do livro-texto 
Regressão linear 
Observações: 
 O caso do ajuste polinomial consiste em determinar um 
polinômio (que pode ser de qualquer grau). 
 Quando se trata de um polinômio do 2º grau, dizemos que o 
ajuste é uma regressão quadrática. 
 
Regressão linear 
 y = b0 + b1x
1 + b2x
2 + b3x
3 + ... + bnx
n 
Para resolver o ajuste polinomial, usamos o método do ajuste 
linear múltiplo, com a seguinte adaptação: 
 x1 = x1, x2 = x2, x3 = x3, ... , xn = xn 
 
Regressão linear 
Portanto, o sistema fica assim: 
 
Fonte: página 62 do livro-texto 
Regressão linear 
 Exemplo: ajustar os pontos da tabela a uma 
expressão do tipo y = b0 + b1x
1 + b2 x
2. 
 
 
Solução: 
 
 
Fonte: página 62 do livro-texto 
Fonte: página 62 do livro-texto 
Regressão linear 
 Exemplo: ajustar os pontos da tabela a uma 
expressão do tipo y = b0 + b1x + b2 x
2. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 y = -2,018 + 11,332x – 1,222x2 
Fonte: página 62 do livro-texto 
Fonte: página 62 do livro-texto 
Interatividade 
 Defina a equação da reta para a quantidade de incidentes 
ao longo dos meses de 2011 e estime a quantidade de 
chamados para o mês de agosto. 
 
 
Mês Quantidade 
1 1.017 
2 879 
3 1.135 
4 1.082 
5 975 
6 902 
7 1.037 
a) 1096 chamados. 
b) 996 chamados. 
c) 896 chamados. 
d) 796 chamados. 
e) 696 chamados. 
 
 
Fonte: autoria própria 
Medidas de dispersão 
 Medidas de dispersão são aquelas usadas para nos dizer 
o quanto os valores analisados estão distantes (dispersos) 
do valor real. A mais comum é a média. Na realidade, a 
média é uma medida de tendência central e o seu valor é 
calculado por meio da soma dos valores dados, dividida 
pelo número de dados. 
 
 
 
Medidas de dispersão 
 Em determinadas análises, a média não é suficiente, pois 
podemos ter dois grupos distintos com uma dispersão 
diferente e mesmo assim o valor da média ser igual. 
 
 
 
Medidas de dispersão 
Exemplo: 
Observe os dados nos grupos: 
 A = 3,3,3 
 B = 1,3,5 
 A média nos dois grupos é a mesma e igual a 3, mas a 
variação dos dados observados no grupo A é diferente 
da variação observada no grupo B. 
 
 
Medidas de dispersão 
 Nesse caso, além de usar a medida de tendência, é 
aconselhável usar medidas de dispersão para uma 
análise mais completa. As mais usadas são a 
variância e o desvio padrão. 
Medidas de dispersão 
Propriedades do desvio padrão 
 Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os 
valores de uma variável, o desvio padrão não se altera. 
 Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma 
variável por uma constante (diferente de zero), o desvio 
padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante. 
 
Interatividade 
Defina a variância e o desvio padrão para a quantidade 
de incidentes ao longo dos meses de 2011. 
 
 
Mês Quantidade 
1 1.017 
2 879 
3 1.135 
4 1.082 
5 975 
6 902 
7 1.037 
a) 8.562 e 2,16. 
b) 4,67 e 93. 
c) 8.562 e 93. 
d) 4,67 e 2,16. 
e) 7.027 e 84. 
 
 
 
Fonte: autoria própria 
Coeficiente de variação 
 O coeficiente de variação é usado para analisar e caracterizar 
a dispersão dos dados observados com relação ao seu valor 
médio, isto é, o coeficiente de variação é a razão entre o 
desvio padrão e a média dos dados observados. 
 CV = (desvio padrão / média) x 100 
Coeficiente de variação 
Exemplo: 
 Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um 
mesmo grupo de indivíduos: 
 
 
 
 Qual das medidas (estatura ou peso) 
possui maior homogeneidade? 
Fonte: página 64 do livro-texto 
Coeficiente de variação 
Solução: 
 Teremos de calcular o coeficiente de variação da estatura 
e o do peso. 
 O resultado menor será o de maior homogeneidade 
(menor dispersão ou variabilidade). 
 
Coeficiente de variação 
Solução: 
 
 
 
 
 Coeficiente de variação da estatura: 
(5 / 175 ) x 100 = 2,85% 
 
 Coeficiente de variação do peso: 
(2 / 68 ) x 100 = 2,94% 
Fonte: página 64 do livro-texto 
Coeficiente de variação 
Solução: 
 No caso, as estaturas apresentam menor grau de dispersão 
que os pesos. 
 
Correlação entre variáveis 
 Para analisar como os valores entre duas variáveis estão 
relacionados, podemos observar um diagrama de dispersão 
ou analisar os resultados por meio de uma equação. 
Correlação entre variáveis 
A partir da análise do diagrama de dispersão, podemos verificar 
se a correlação entre as duas variáveis é: 
 linear positiva: os pontos do diagrama têm como imagem uma 
reta ascendente; 
 linear negativa: os pontos têm como imagem uma reta 
descendente; 
 não linear: os pontos têm como imagem uma curva; 
 não há relação: os pontos não dão ideia de uma 
imagem definida. 
Coeficiente de correlação linear 
 Proposto por Karl Pearson, o coeficiente de correlação 
(ou “r de Pearson”) é usado para obter a medida da 
correlação linear. 
 Ele indica o grau de intensidade da correlação entre 
duas variáveis e o sentido dessa correlação, isto é, 
se a correlação é positiva ou negativa. 
Coeficiente de correlação linear 
É dado pela fórmula: 
 
 
 
 
 Em que: n = número de observações. 
 Os valores limites de r são -1 e +1. 
Fonte: página 65 do livro-texto 
Coeficiente de correlação linear 
Resumindo: 
 r = -1 (correlação linear negativa); 
 r = 0 (pontos não correlacionados); 
 r = +1 (correlação linear positiva). 
Coeficiente de correlação linear 
Exemplos: 
 
Fonte: página 65 do livro-texto 
Interatividade 
O Método dos Mínimos Quadrados é um processo de: 
a) estimação estatística.b) determinação exata das curvas. 
c) interpolação. 
d) aproximação de curvas. 
e) cálculo de erros. 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA!