Matemática Aplicada Unidade IV

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MateMática Financeira
A notação para os elementos da Matemática Financeira varia para cada autor. Dessa forma, não 
é recomendável a memorização de uma só notação, nem sua adoção como padrão. Recomenda-se o 
aprendizado dos conceitos fundamentais da Matemática Financeira, independentemente da notação 
utilizada, de modo que qualquer problema possa ser resolvido.
7 conceitos básicos
• Custo: é o gasto relativo ao bem ou serviço utilizado na produção de outros bens e serviços, ou 
seja, são todos os gastos relativos à atividade de produção. 
• Custo fixo: é a parcela do custo que se mantém fixa quando a produção varia. É o caso, por 
exemplo, do aluguel. Esse será cobrado pelo mesmo valor, qualquer que seja o nível de produção, 
inclusive no caso de não se produzir nada. 
• Custo variável: são aqueles custos cujos valores se alteram em função do volume de produção da 
empresa. Por exemplo: matéria-prima consumida. Se não houver quantidade produzida, o custo 
variável será nulo. Os custos variáveis aumentam à medida que aumenta a produção. 
• Custo total: é o gasto total da empresa com fatores de produção. Compõe-se de custos variáveis 
e custos fixos. 
• Depreciação: é o custo decorrente do desgaste ou da obsolescência dos ativos imobilizados 
(máquinas, veículos, móveis, imóveis e instalações) da empresa. 
• Dumping: prática comercial que consiste em vender produtos a preços inferiores ao seu custo, 
com a finalidade de eliminar concorrentes e/ou ganhar mais participação no mercado. 
• Fluxo de caixa: o fluxo de caixa tem por objetivo principal a projeção das entradas e das saídas 
dos recursos financeiros da empresa, em um determinado período de tempo. 
• Lucro bruto: simplificadamente, nada mais é do que o resultado positivo deduzido das vendas 
os custos e despesas. Diferença entre a receita e o custo de produção, incluindo-se os gastos com 
insumos, energia e outras despesas, mais impostos e remuneração dos empregados. 
• Lucro líquido: equivale ao lucro bruto menos as deduções de imposto de renda e de outras taxas 
que a empresa tenha que pagar.
• Lucro operacional: o lucro operacional é igual às receitas totais das operações menos os 
respectivos custos totais. 
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MateMática aplicada
• Lucratividade: é a relação do valor do lucro com o montante de vendas, ou seja, divide-se o valor 
do lucro pelo volume de vendas.
• Margem bruta: é calculada pela subtração da receita total dos custos variáveis, sendo um dos 
melhores indicadores de produtividade. Se compararmos duas empresas de mesma atividade, 
aquela que tem maior margem bruta é a mais produtiva (seja por eficiência nos processos, ganho 
de escala, estrutura de custos etc.). 
• Margem líquida: é calculada pela subtração da receita total dos custos variáveis e custos fixos, 
sendo um indicativo de lucratividade. Se compararmos duas empresas de mesma atividade, aquela 
que tem maior margem líquida é a que apresenta melhor rentabilidade no negócio, incluindo-se 
aí a questão operacional, financeira e extraoperacional. 
• Margem operacional: é calculada pela divisão do lucro operacional pela receita líquida, sendo 
um bom indicador de eficiência operacional: se compararmos duas empresas de mesma atividade, 
aquela que tem maior margem operacional é a que apresenta melhores resultados para cada real 
vendido, tendo assim, custos operacionais mais reduzidos.
• Mark-up: é a margem da receita de vendas (faturamento) sobre os custos diretos de produção. 
Essa margem deve ser tal que permita à empresa cobrir os custos diretos (ou variáveis), os custos 
fixos e a parcela desejada de lucro da empresa. 
• Ponto de equilíbrio: significa a quantidade que equilibra a receita total com a soma dos custos 
e despesas relativos aos produtos vendidos.
• Receita bruta: é o preço unitário multiplicado pela quantidade vendida do bem.
• Receita líquida: é a receita bruta menos as devoluções de produtos e os impostos pagos pela 
empresa.
• Rentabilidade: é uma medida do retorno de um investimento. Calcula-se dividindo o lucro obtido 
pelo valor do investimento inicial. Pode-se dizer que a rentabilidade é a quantidade de dinheiro 
que o investidor ganha para cada quantia investida.
• Capital: é o valor aplicado por meio de alguma operação financeira. Também conhecido como: 
principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado. Em inglês, usa-se Present Value (indicado 
pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
• Juros: representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade produtiva. Os 
juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
• Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado.
• Juros compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de 
correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital 
inicial e passa a render juros também.
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— Importante: o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria 
das pessoas prefere o consumo imediato e está disposta a pagar um preço por isto. O tempo, o 
risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá 
ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
• Taxa de juros: a taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, 
para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, seguida da 
especificação do período de tempo a que se refere:
— 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano);
— 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre);
— outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual 
dividida por 100, sem o símbolo %:
– 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês);
– 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre).
• Taxa efetiva: a taxa efetiva pressupõe incidência de juros apenas uma única vez em cada período 
a que se refere a taxa, isto é, a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização, ou seja, a taxa efetiva é a taxa por período de capitalização. Quando 
o período de capitalização não é mencionado, fica subentendido que coincide com o período de 
tempo da taxa.
— Exemplos:
– 24% ao ano, capitalização anual ou 24% ao ano; 
– 10% ao mês, capitalização mensal ou 10% ao mês.
• Taxa nominal: a taxa nominal pressupõe incidência de juros mais de uma vez em cada período 
a que se refere a taxa, isto é, tal unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização. Quando uma taxa for enunciada dessa forma, para que seja aplicável 
às fórmulas com as quais trabalhamos, devemos primeiramente transformá-la em taxa efetiva, 
utilizando o critério da proporcionalidade, fazendo coincidir a unidade de tempo da taxa com a 
unidade de tempo do período de capitalização.
— Exemplos:
– 24% ao ano, capitalização mensal ou 2% ao mês; 
– 6% ao mês, capitalização diária ou 0,2% ao dia (1 mês com 30 dias).
• Taxas equivalentes: duas taxas são ditas equivalentes quando, embora referidas a unidades de 
tempo diferentes, se aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o 
mesmo valor.
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MateMática aplicada
• Notação adotada:
— taxa que queremos calcular → iq;
— taxa que temos → it;
— unidade da taxa que queremos calcular→ q;
— unidade da taxa que temos → t;
— cálculo da taxa equivalente: iq =(1 + it)
q
t
−1.
• Montante: é a soma do capital com os juros no final do prazo.
• Capitalização simples: o juro de qualquer período é constante, pois é sempre calculado sobre o 
capital inicial.
• Capitalização composta: o juro de cada período é calculado sobre o capital inicial mais os juros 
acumulados até o período anterior.
• Prazo: tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira.
 Lembrete
Uma equação é denominada de exponencial quando apresenta a 
incógnita no expoente. 
 observação
Há diversos tipos de equações exponenciais e, para resolver algumas 
delas, é preciso usar logaritmos. Como muitos problemas de juros compostos 
são resolvidos por meio de uma equação exponencial, você vai precisar do 
logaritmo para resolver essas situações.
7.1 Fator de formação do juro
O valor do juro é obtido aplicando-se a taxa de juros sobre um valor. A taxa é representada na forma 
percentual e o valor a que esse percentual incide pode ser o valor aplicado (inicial de um investimento), 
o valor original de uma prestação, ou seja, sobre qualquer valor.
Valor juro = valor aplicado x fator de juro
ou
VJ = VA • j
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Onde: 
Fator de juro = j = taxa de juros % = Taxa de juros
100
Exemplo: 
1) Uma determinada aplicação rende 5 % a.m. (ao mês), qual o valor do juro em um mês, para R$ 
10.000,00 aplicados?
Solução:
 VJ = (10.000,00) • (0,05) => VJ = R$ 500,00
Esse conceito pode ser aplicado para calcularmos o aumento de preço de um determinado produto. 
Basta usar o valor do aumento no lugar do VJ e o valor atual no lugar de VA.
2) Um comerciante deseja aumentar seus produtos em 4%. Qual o valor do aumento para um 
produto que custa R$ 500,00?
Solução:
Valor do aumento = 500,00 • 0,04 => Valor do aumento = R$ 20,00
A partir desse fator, podemos determinar o capital corrigido, que é o resultado da soma do valor 
inicial (valor aplicado) com o valor do juro.
Valor corrigido = valor aplicado + valor do juro
Sabemos que o valor do juro = valor aplicado x j. 
Então: valor corrigido = valor aplicado + valor aplicado x j.
Simplificando, temos valor corrigido = valor aplicado x (1 + j).
Usaremos a seguinte notação: FV = PV • (1 + j). 
Onde: FV (Future Value) = valor futuro = valor corrigido e PV (Present Value) = valor presente = valor 
aplicado. 
 observação
 
As siglas são em inglês, pois é como encontramos na maioria das 
calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares.
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MateMática aplicada
Exemplo: 
1) Se uma determinada aplicação rende 5% a.m., quanto terá ao final de um mês quem aplicar R$ 
10.000,00?
Solução: 
FV = 10.000,00 • (1 + 0,05) => FV = R$ 10.500,00
Importante: da mesma forma, podemos aplicar esse conceito na variação dos preços dos produtos, 
isto é, no lugar de valor corrigido, obteremos o preço corrigido e, no lugar de valor atual, usaremos o 
preço atual.
2) Um comerciante deseja aumentar seus produtos em 4%. Qual o novo valor de um produto que 
custa atualmente R$ 500,00?
Solução: 
FV = 500,00 • (1 + 0,04) => FV = R$ 520,00
7.2 Juros simples
O juro simples é calculado somente sobre o capital, não havendo interferência dos juros passados 
em seu cálculo. 
O valor calculado a partir do juro simples é resultante da multiplicação do fator de juros pelo valor 
inicial e pelo número de períodos (n).
Isto é: VJ = PV • j • n, e como FV = PV + VJ, temos então:
FV = PV • (1 + j • n)
Exemplo: se uma determinada aplicação rende 5% a.m., qual o valor do juro em 4 meses para R$ 
10.000,00 aplicados, e qual o valor no futuro?
Solução: 
VJ = 10.000,00 • 0,05 • 4 => VJ = R$ 2.000,00
FV = 10.000,00 • (1 + 0,05 • 4) => FV = R$ 12.000,00
7.3 Juros compostos
O juro composto é calculado com base no capital e nos juros passados. Também é conhecido como 
juro capitalizado. Com juros compostos, no final de cada período, o juro é incorporado ao principal ou 
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capital, passando assim a também render juros no próximo período. Podemos deduzir a expressão da 
seguinte maneira:
No primeiro período: 
FV1 = PV + PV •. i = PV(1 + i)
No segundo período: 
FV2 = FV1 + FV1 • i = FV1(1 + i) = PV (1 + i)(1 + i) = PV(1 + i)²
No terceiro período: 
FV3 = FV2 + FV2• i = FV2(1 + i) = PV(1 + i)² • (1 + i) = PV(1 + i)³
No enésimo período, então, teremos: FV = PV (1 + i)n
Exemplo: 
1) Vamos imaginar um empréstimo de R$ 100.000,00 com uma taxa de 5% a.m. por 3 meses, com 
um único pagamento no final.
Tabela 9
Juros Simples Juros Composto
1º mês 105.000,00 105.000,00
2º mês 110.000,00 110.250,00
3º mês 115.000,00 115.762,50
De acordo com a definição, o juro simples é calculado somente sobre o capital, portanto, o valor 
devido é de R$ 115.000,00 => 100.000,00 • (1 + 0,05 •3).
Porém, no juro composto, o cálculo é feito sobre o saldo devedor:
• 1º mês => 100.000,00 •(1 + 0,05) = 105.000,00
• 2º mês => 105.000,00 •(1 + 0,05) = 110.250,00
• 3º mês => 110.250,00 •(1 + 0,05) = 115.762,50
Ou seja, 115.762,50 = 100.000,00 •1,05 •1,05 •1,05
 115.762,50 = 100.000,00 •(1,05)³
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Importante: para calcularmos somente o juro, é necessário que o capital seja desconsiderado. Temos 
a seguinte fórmula:
VJ = PV •[(1 + j)n - 1]
2) Se uma determinada aplicação rende 5% a.m., qual o valor do juro em 4 meses, para R$ 10.000,00 
aplicados, e qual o valor no futuro?
Solução:
 VJ = 10.000,00 •[(1 + 0,05)4 - 1] => VJ = R$ 2.155,06 e 
FV = 10.000,00 • (1 + 0,05)4 => FV = R$ 12.155,06
7.4 taxa de juros equivalentes
São aquelas que representam a mesma taxa em um determinado período. Quando tratamos com 
juros simples, denominamos a taxa de juros equivalente de taxas proporcionais e calculamos com a 
fórmula:
ip = i 
p
Onde: 
• ip = taxa proporcional procurada;
• i = é a taxa de juros dada.
p é o número de períodos de capitalização da taxa proporcional desejada, contidos na base de 
capitalização da taxa de juros dada.
Exemplo: 
1) 10% em 2 períodos com juros simples.
ip = 10% 
2
 = 0,10(2) = 20%
Em outras palavras, 20% em dois períodos equivale a 10% em um período. Para juros compostos, a 
fórmula de cálculo da taxa de juros equivalente é dada por: 
ieq = ( )1 1 1+ −ef
k
p
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Onde:
• ieq = taxa equivalente desejada num ano;
• ief = taxa efetiva dada contida num ano;
• k = número de períodos de capitalização da taxa efetiva dada;
• p = número de períodos de capitalização da taxa equivalente desejada. 
2) 10 % em 2 períodos com juros compostos.
ieq = ( ) ( , ) %1 1 1 1 0 10 1 21
2
1+ − = + − =ef
k
p
Em outras palavras, 21% em dois períodos equivalem a 10 % em um período.
 Lembrete
No mercado financeiro brasileiro as taxas equivalentes são calculadas 
no modo composto, enquanto que na maioria dos países são calculadas no 
modo simples.
7.5 Fluxo de caixa
O fluxo de caixa é a representação gráfica de lançamentos, que são as entradas e saídas. Representamos 
da seguinte maneira:
i = 2%
R$ 10.612,08
R$ 10.000,00
0
3
Figura 62
Nesse caso, o fluxo anterior representa, por exemplo, um empréstimo(entrada de dinheiro) no valor 
de R$ 10.000,00 e, após três períodos, foram pagos R$ 10.612,08 (saída de dinheiro), que representa 
capital mais juro com uma taxa de empréstimo de 2%.
As setas representam os fluxos de entrada e saída de capital, e usaremos a seguinte convenção:
• seta para baixo ⇨ saída de dinheiro (custos, desembolsos, despesas);
• seta para cima ⇨ entrada de dinheiro (benefícios, recebimentos, receitas).
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O fluxo de caixa em que existe apenas uma entrada e várias saídas, sendo que as saídas são do 
mesmo valor e com períodos consecutivos, é conhecido como série uniforme. O caso típico é o de 
empréstimo com pagamento mensal das parcelas. 
 
Na série uniforme, a variável n representará o número de pagamentos e não o número de períodos.
PMT PMTPMT PMT
PV
0
2 n
j
n - 11
Figura 63
• PV = principal ou valor presente (Present Value);
• PMT = Pagamento (payment);
• j = juros;
• n = número de parcelas.
A taxa de um fluxo de caixa é representada com juro composto e faz com que o fluxo seja 
anulado, ou seja, o somatório dos pagamentos calculados no início do fluxo deve ser igual ao valor 
inicial.
Os valores dos pagamentos calculados no início do fluxo são obtidos por meio da aplicação da 
fórmula do juro composto:
FV = PV • (1 + j)n 
portanto PV = 
FV
j n( )1+
• para a 1ª prestação, temos: PV1 = 
PMT
j( )1 1+
;
• para a 2ª prestação, temos: PV2 = 
PMT
j( )1 2+
;
• para a 3ª prestação, temos: PV3 = 
PMT
j( )1 3+
;
• para a nª prestação, temos: PVn = 
PMT
j n( )1+
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E como o valor inicial deve ser igual ao somatório, então obtemos a seguinte fórmula para fluxos de 
caixa sem entrada:
PV
PMT
j
PMT
j
PMT
j
PMT
j
PV PMT
j
n= +
+
+
+
+
+ +
+
=
+
( ) ( ) ( )
...
( )
( )
1 1 1 1
1
1 2 3

nn
nj j
−
+
1
1( ) 
No caso de um financiamento com entrada, o fluxo de caixa ficaria assim:
PMTPMT PMTPMT PMT
PV
0
2 n
j
n - 11
Figura 64
• para a 1ª prestação, temos: PV0 = 
PMT
j( )1 0+
;
• para a 2ª prestação, temos: PV1 = 
PMT
j( )1 1+
;
• para a 3ª prestação, temos: PV2 = 
PMT
j( )1 2+
;
• para a nª prestação, temos: PVn-1 = 
PMT
j n( )1 1+ −
.
E como o valor inicial deve ser igual ao somatório, então obtemos a seguinte fórmula para fluxos de 
caixa com entrada:
PV
PMT
j
PMT
j
PMT
j
PMT
j
PMT
jn n
=
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+−( ) ( ) ( )
...
( ) ( )1 1 1 1 10 1 2 1
PPV PMT
j
j j
n
n=
+ −
+ −


( )
( )
1 1
1 1
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Exemplo:
1) Considerando i = 4%, vamos analisar os seguintes fluxos de caixa:
a) 
 PMT PMT PMT PMT PMT
1.500,00
0
2 3 4 51
Figura 65
b) 
PMTPMT PMT PMT PMT PMT
1.839,00
0
2 3 4 51
Figura 66
Queremos saber qual o valor das prestações em ambos os casos, em que estamos financiando 
R$ 1.500,00. No caso (a) é sem entrada, mas no caso (b) temos uma entrada de R$ 336,94. 
Aplicaremos as fórmulas:
a) PV PMT
j
j j
n
n=
+ −
+ −


( )
( )
1 1
1 1
 ⇨ PMT PV
j
j
n
n=
+
+ −

( )
( )
1 1
1 1
 
 PMT = 1.500,00 • ( , ) ,
( , )
1 0 04 0 04
1 0 04
5
5 1
+
+ −
 ⇨ PMT = 336,94 
b) PV = PMT • 
( )
( )
1 1
1 1
+ −
+ −
j
j j
n
n

 ⇨ PMT = PV • 
( )
( )
1
1 1
1+
+ −
−j j
j
n
n

 PMT = 1.836,94 • 
( , ) ,
( , )
1 0 04 0 04
1 0 04
6 1
6 1
+
+
−
−

 ⇨ PMT = 336,94 
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Conclusão: não há diferença entre financiar R$ 1.500,00 sem entrada ou financiar R$ 1.836,94 com 
entrada de R$ 336,94. Nesse caso, notamos que os fluxos são iguais.
 observação
Quando não há entrada, o número de pagamentos é igual ao número 
de períodos do fluxo e, no caso de haver entrada, o número de pagamentos 
é maior que o número de períodos do fluxo.
 
No caso em que a soma das parcelas representadas no futuro seja igual ao valor futuro, teremos o 
seguinte fluxo de caixa:
PMT PMT PMTPMT
FV
0 2
nj
n - 11
Figura 67
E para calcular esse fluxo de caixa sem entrada faremos:
• para a 1ª parcela: prestação_1 = PMT • (1 + j)n;
• para a 2ª parcela: prestação_2 = PMT • (1 + j)n-1;
• para a nª parcela: prestação_n = PMT • (1 + j).
Então, a somatória das parcelas ficará:
FV = PMT • (1+j) + PMT • (1 + j)2 + PMT • (1 + j)3+ ... + PMT • (1 + j)n
FV PMT
j j
j
n
=
+ − ++

( ) ( )1 11
Da mesma, teremos o fluxo de caixa com entrada:
PMT PMT PMTPMT
FV
0 2 n
j
n - 11
Figura 68
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MateMática aplicada
Portanto, a fórmula para o fluxo de caixa com entrada será:
FV PMT
j
j
n
=
+ −

( )1 1
2) Uma loja vende um determinado produto por R$10.000,00 à vista. Pode-se parcelar em até 4 
vezes mensais e consecutivas. Quais os valores das parcelas com e sem entrada, considerando que a taxa 
de juros cobrada é de 5 % a.m.?
Solução:
Sem entrada:
• 1º pagamento ⇨ PMT = 10.000,00 • 
( , ) ,
( , )
1 0 05 0 05
1 0 05 1
1
1
+
+ −

 ⇨ PMT = R$ 10.500,00
• 2º pagamento ⇨ PMT = 10.000,00 • 
( , ) ,
( , )
1 0 05 0 05
1 0 05 1
2
2
+
+ −

 ⇨ PMT = R$ 5.378,05
• 3º pagamento ⇨ PMT = 10.000,00 • 
( , ) ,
( , )
1 0 05 0 05
1 0 05 1
3
3
+
+ −

 ⇨ PMT = R$ 3.672,09
• 4º pagamento ⇨ PMT = 10.000,00 • 
( , ) ,
( , )
1 0 05 0 05
1 0 05 1
4
4
+
+ −

 ⇨ PMT = R$ 2.820,12
Com entrada:
• 1º pagamento ⇨ PMT = 10.000,00 • 
( , ) ,
( , )
1 0 05 0 05
1 0 05 1
1 1
1
+
+ −
−

 ⇨ PMT = R$ 10.000,00
• 2º pagamento ⇨ PMT = 10.000,00 • 
( , ) ,
( , )
1 0 05 0 05
1 0 05 1
2 1
2
+
+ −
−

 ⇨ PMT = R$ 5.121,95
• 3º pagamento ⇨ PMT = 10.000,00 • 
( , ) ,
( , )
1 0 05 0 05
1 0 05 1
3 1
3
+
+ −
−

 ⇨ PMT = R$ 3.497,22
• 4º pagamento ⇨ PMT = 10.000,00 • 
( , ) ,
( , )
1 0 05 0 05
1 0 05 1
4 1
4
+
+ −
−

 ⇨ PMT = R$ 2.685,83
8 Usando a caLcULadora HP 12c
Comandos na HP12C para determinação de PV (Valor Presente), FV (Valor Futuro), i (taxa de juros) e 
n (número de períodos). Consideremos a seguinte simbologia:
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Quadro 1
i taxa de juros por período
n número de períodos
P capital inicial , valor atual ou valor presente
S capital no final do período n ou valor futuro
R pagamentos periódicos
 observação
• P é indicado pela tecla PV, que significa Present Value (valor presente);
• S é indicado pela tecla FV, que significa Future Value (valor futuro);
• R é indicado pela tecla PMT, que significa Payment (pagamento).
 Lembrete
Para calcular os pagamentos periódicos efetuados no início, você precisa 
teclar g begin, pois as calculadoras estão normalmente no estado end.
8.1 cálculo de FV 
Digite o valor presente PV e depois tecle CHS.
O CHS (abreviatura de change signal) muda o sinalpara armazenar o valor de PV (Present Value) - 
dinheiro pago, conforme convenção.
• tecle PV;
• digite 0;
• tecle PMT;
• digite a taxa i (em %; ex.: i = 12% , digite 12);
• tecle i;
• digite o número de períodos n;
• tecle n;
• tecle FV.
Resposta no visor: o valor futuro procurado.
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MateMática aplicada
8.2 cálculo de PV
• entre com o valor de FV;
• CHS ......FV;
• 0;
• PMT;
• entre com o valor de n;
• tecle n;
• entre com o valor de i;
• tecle i;
• tecle PV.
8.3 cálculo de n
• entre com o valor de PV;
• CHS ......PV;
• 0;
• PMT;
• entre com o valor de FV;
• tecle FV;
• entre com o valor de i;
• tecle i;
• tecle n.
8.4 cálculo de i
• entre com o valor de PV;
• CHS PV;
• 0;
• PMT;
• entre com o valor de FV;
• tecle FV;
• entre com o valor de n;
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• tecle n;
• tecle i.
 observação
a) Antes de usar a HP12C, teclar f clear reg para limpar os registradores, 
ou teclar f clear fin para limpar os registradores financeiros sem 
limpar o visor.
b) Para alterar o número de casa decimal, tecle f seguido de um número. 
Por exemplo, o comando f4, fará a calculadora para exibir no visor 4 
casas decimais.
8.5 cálculo de juros simples
• entre com o número de dias n;
• entre com a taxa anual i;
• entre com o valor principal CHS PV;
• tecle f INT: obtém-se os juros;
• tecle + para obter o montante.
 Lembrete
Na HP12C, para o cálculo de juros simples, o período deve ser expresso 
em dias, e a taxa de juros deve ser a taxa anual.
8.6 cálculo de porcentagens
A calculadora HP12C possui três teclas para resolução de problemas de cálculo de porcentagem:
• ∆ %
• %T
• %
Para calcular x% de N:
• digite o número N;
• tecle enter;
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MateMática aplicada
• digite o número x;
• pressione a tecla %.
Para achar a diferença percentual entre dois números M (número base) e N:
• digite o número base M;
• tecle enter;
• digite o outro número;
• pressione a tecla ∆ %.
Uso da tecla%T:
Permite calcular qual percentual um número representa em relação a outro.
Exemplo: 
Suponha que uma fábrica vendeu no mês passado $3,92 milhões na Região Sudeste do Brasil, $2,36 
milhões na Região Sul e $1,67 milhões nas outras regiões do Brasil. Qual o percentual sobre o total de 
vendas corresponde às outras regiões?
Usando a HP 12C, teremos:
• 3,92;
• ENTER;
• 2,36 +;
• 1,67 +;
• 1,67;
• %T.
Aparecerá no visor o número 21,00, que corresponde ao percentual de 21,00%.
 saiba mais
MLODINOW, L. O andar do bêbado: como o acaso determina nossas 
vidas. Rio de janeiro: Editora Jorge Zahar, 2008. 
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 saiba mais
Na internet, você encontra diversos emuladores da calculadora HP-
12C, além de emuladores para iPhone. Além disso, existem diversos guias e 
tutoriais. Para obter mais aplicações da calculadora, consulte o livro Manual 
de aplicações financeiras HP- 12C, do autor José Dutra Vieira Sobrinho, pela 
Editora Atlas.
 resumo
Finalmente, nesta unidade você aprendeu os conceitos fundamentais 
da matemática financeira e suas aplicações mais básicas, como 
cálculo dos juros simples e composto. Como gestor de TI, você usará 
esses conceitos aqui apresentados para calcular o custo e planejar 
o pagamento a prazo, quando contratar serviços de terceiros, por 
exemplo. 
 
Caso você não possua uma calculadora científica ou financeira, 
atualmente é possível encontrar emuladores na internet e até aplicativos 
para smartphones. 
 exercícios
Questão 1 (ATE/SEFAZ/MT-2001). Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo 
prazo. O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é aplicado 
a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. A taxa média mensal de aplicação 
destes capitais é de:
a) 3,0%
b) 2,7%
c) 2,5%
d) 2,4%
e) 2,0%
Resposta correta: alternativa B.
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MateMática aplicada
Análise das alternativas:
A presente questão versa sobre taxa média. Sendo assim, temos que:
Partimos do princípio de que J = C.i.n e que J = 1, onde J = juros, C = capital ou principal ou valor 
presente, i = taxa unitária e n = número de períodos.
Podemos utilizar o mesmo raciocínio quando possuímos diversos capitais aplicados a diversas taxas 
em diversos períodos. Assim, a taxa média (im) é obtida pelo somatório dos juros dividido pelo somatório 
dos produtos do capital com o tempo.
i
C in
Cnm
Σ . .
.
Como o prazo de aplicação é único, atribuímos a ele o valor 1. Então:
i im m=
+ +
+ +
⇒ =
3000 0 03 2000 0 04 5000 0 02
3000 1 2000 1 5000 1
27. , . , . ,
. . .
00
10000
0 027 2 7⇒ = ⇒ =i im m, , %
Logo, a taxa média mensal de aplicação destes capitais é de 2,7%.
Sendo assim,
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2 (FUVEST/2007). Uma fazenda estende-se por dois municípios A e B. A parte da fazenda 
que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área 
desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre 
a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a:
A) 
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E) 
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Resolução desta questão na plataforma.
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MateMática aplicada
REFERêNCIAS
Audiovisuais
Gênio indomável. Título original: Good Will Hunting. Dir.: Gus Van Sant. EUA: 1997.
O cubo. Título original: Cube. Dir.: Vincenzo Natali. EUA: 1997.
O homem que mudou o jogo. Título original: Moneyball. Dir. Bennett Miller. EUA: 2011.
Uma mente brilhante. Título original: A beautiful mind. Dir. Ron Howard. EUA: 2001.
Textuais
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 1994.
BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2ª ed. São Paulo: Harbra, 1987.
BOYLER, C. B. História da matemática, Tradução de Elza F. Gomide, 2ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 
2009. 
BUCCHI, P. Matemática 2º grau, 1ª ed, São Paulo: Moderna, 1992.
CREPALDI, S. A. Curso básico de contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 1999.
CURY, M. V. Q. Finanças corporativas, 1ª ed. Rio de Janeiro: FGV Management – Cursos de Educação 
Continuada, 2008.
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R., GIOVANNI JR., J. R. Matemática 2º grau – orientação para o 
professor. São Paulo: FTD, 1988. 
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas,1999.
MLODINOW, L. O andar do bêbado – como o acaso determina nossas vidas. Rio de Janeiro: Editora 
Jorge Zahar, 2009. 
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Métodos quantitativos para economistas e 
administradores.In: Cálculo – funções de várias variáveis. São Paulo: Atual, 1982.
NAGLE, T. T. Estratégia e táticas de preços: um guia para decisões lucrativas. 3ª ed. São Paulo: 
Pretince-Hall, 2003.
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; MONKEN e SILVA, L. H. Cálculo numérico - características matemáticas 
e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Prentice-Hall, 2003.
92
TAHAN, M. As maravilhas da matemática; 2ª ed. Rio de Janeiro: Bloch Editores, 1973.
TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística básica. 2º ed. São Paulo: Atlas, 1995.
VERGARA, S. C. Projetos e relatórios de pesquisa em administração. São Paulo: Atlas, 2000, 1999.
Sites
<http://www.matematica.br/>
<http://www.prandiano.com.br/html/fr_inici.htm>
<http://www.mathworks.com/academia/student_version/>
Exercícios
Unidade I – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA. Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemática. Questão 20 
(adaptada). Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.
pdf>. Acesso em: 8 mai. 2012.
Unidade I – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA. Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2011: caderno azul. Questão 152 (adaptada). 
Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2011/07_AZUL_GAB.pdf>. 
Acesso em: 8 mai. 2012.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA. Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemática. Questão 11. 
Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. Acesso 
em: 8 mai. 2012.
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA. Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2007: caderno amarelo. Questão 7. Disponível em: 
<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2007/2007_amarela.pdf>. Acesso em: 8 
mai. 2012.
Unidade IV – Questão 1: SECRETARIA DA FAZENDA DO ESTADO DO MATO GROSSO. Concurso público 
para agente tributário estadual 2001: prova A. Questão 31. Disponível em: <http://www.pciconcursos.
com.br/provas/sefaz>. Acesso em: 8 mai. 2012.
Unidade IV – Questão 2: FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR. Prova primeira fase 2007: 
caderno V. Questão 31. Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2007/provas/p1f2007v.pdf>. Acesso 
em: 8 mai. 2012.
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000