calculo numerico

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1. 
 
 
Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente 
relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de 
programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com 
relação a este contexto, NÃO podemos afirmar: 
 
 
 
A programação estruturada consegue através da decomposição de um 
problema melhorar a confiabilidade do mesmo. 
 
A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema 
em etapas ou estruturas hierárquicas. 
 
A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, 
com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos. 
 
A programação estruturada é uma forma de programação de computadores 
básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos 
procedimentos a serem executados. 
 
A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as 
mesmas contenham rotinas repetitivas. 
 
 
 
2. 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x
3
 - 9x + 3 
utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e 
x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3. 
 
 
 
0.25 
 
0.765625 
 
0,4 
 
1 
 
0, 375 
 
 
 
3. 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em 
torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. 
 
 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 
Gauss Jacobi 
 
Ponto fixo 
 
Gauss Jordan 
 
Newton Raphson 
 
Bisseção 
 
 
 
4. 
 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o 
que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado: 
 
 
 
Relativo 
 
Percentual 
 
Absoluto 
 
De modelo 
 
De truncamento 
 
 
 
5. 
 
 
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas 
de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou 
mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma 
rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas 
algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO 
PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
 
As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os 
"pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas. 
 
Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações 
sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra. 
 
Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de 
parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while". 
 
Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas 
ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes 
pela palavra inglesa "if". 
 
Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número 
indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela 
 palavra inglesa "until". 
 
 
 
6. 
 
 
Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, 
devemos ter x + y igual a: 
 
 
 
5 
 
9 
 
2 
 
10 
 
18 
 
 
 
7. 
 
 
Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x
3
-8x+1 possui pelo menos 
uma raiz real? 
 
 
 
(0, 0.5) 
 
(1, 1.5) 
 
(1.5, 2) 
 
(-0.5, 0) 
 
(0.5, 1) 
 
 
 
8. 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado 
de 25m2. Qual o erro absoluto associado? 
 
 
 
0,992 
 
0,2 m2 
 
1,008 m2 
 
99,8% 
 
0,2% 
 
 
 2 
 -3 
 -7 
 3 
 -11 
 
 
 
 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x
2
 - 1, calcule f(1/2). 
 
 - 4/3 
 - 0,4 
 4/3 
 3/4 
 - 3/4 
 
 
 
 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. 
Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu 
salário em função de x. 
 
 1000 
 50x 
 1000 + 50x 
 1000 + 0,05x 
 1000 - 0,05x 
 
 
 
 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 3 
 2 
 -7 
 -11 
 -3 
 
 
 
 
 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é 
definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R 
associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 Função exponencial. 
 Função quadrática. 
 Função linear. 
 Função logaritma. 
 Função afim. 
 
 
 
 
 
 
O número binário (10000111101)2
 
tem representação na base decimal igual a: 
 
 10860 
 1084 
 10085 
 1085 
 1086 
 
 
 
 
 
 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o 
comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de 
uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a 
descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com 
relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando 
números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR: 
 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre 
a angulação da reta. 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre 
o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação 
da reta. 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o 
ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre 
a angulação da reta. 
 
 
 
 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x
2
 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 17/16 
 2/16 
 - 2/16 
 9/8 
 16/17 
 
Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo 
procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de 
rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar: 
 
 A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a 
confiabilidade do mesmo. 
 A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou 
estruturas hierárquicas. 
 A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o 
objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos. 
 A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem 
como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados. 
 A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham 
rotinas repetitivas. 
 
 
 
 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x
3
 - 9x + 3 utilizando o Método da 
Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga 
o valor encontrado para x3. 
 
 0.25 
 0.765625 
 0,4 
 1 
 0, 375 
 
 
 
 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os 
expoentesnuméricos indicam a sequência de iteração. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 Gauss Jacobi 
 Ponto fixo 
 Gauss Jordan 
 Newton Raphson 
 Bisseção 
 
 
 
 
 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 
0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado: 
 
 Relativo 
 Percentual 
 Absoluto 
 De modelo 
 De truncamento 
 
 
 
 
 
 
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos 
matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado 
problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, 
sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO 
PODEMOS AFIRMAR: 
 
 As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os 
"pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas. 
 Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A 
saída de uma ação é a entrada de outra. 
 Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes 
determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while". 
 Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No 
pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if". 
 Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de 
vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until". 
 
 
 
 
 
 
Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y 
igual a: 
 
 5 
 9 
 2 
 10 
 18 
 
 
 
 
 
 
Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x
3
-8x+1 possui pelo menos uma raiz real? 
 
 (0, 0.5) 
 (1, 1.5) 
 (1.5, 2) 
 (-0.5, 0) 
 (0.5, 1) 
 
 
 
 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro 
absoluto associado? 
 
 0,992 
 0,2 m2 
 1,008 m2 
 99,8% 
 0,2% 
 
 
 
 -11 
 3 
 2 
 -3 
 -7 
 
 
 
 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x
2
 - 1, calcule f(1/2). 
 
 3/4 
 - 4/3 
 4/3 
 - 3/4 
 - 0,4 
 
 
 
 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x
2
 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 - 2/16 
 9/8 
 17/16 
 16/17 
 2/16 
 
 
 
 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. 
Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu 
salário em função de x. 
 
 1000 + 50x 
 1000 - 0,05x 
 50x 
 1000 + 0,05x 
 1000 
 
 
 
 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 -11 
 -3 
 2 
 -7 
 3 
 
 
 
 
 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é 
definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R 
associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 Função afim. 
 Função logaritma. 
 Função quadrática. 
 Função linear. 
 Função exponencial. 
 
 
 
 
 
 
O número binário (10000111101)2
 
tem representação na base decimal igual a: 
 
 1086 
 10085 
 1085 
 1084 
 10860 
 
 
 
 
 
 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o 
comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de 
uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a 
descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com 
relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando 
números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR: 
 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a 
angulação da reta. 
 O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da 
reta. 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o 
ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o 
ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a 
angulação da reta. 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções 
quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, 
determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 y=x
2
+x+1 
 y=2x+1 
 y=2x-1 
 y=x
3
+1 
 y=2x 
 
 
 
 
 
 
Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós 
representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no 
seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um 
valor qualquer. 
 
 1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
 
 
 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 x = -2 ; y = 3 
 x = - 2 ; y = -5 
 x = 9 ; y = 3 
 x = 5 ; y = -7 
 x = 2 ; y = -3 
 
 
 
 
 
 
A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas 
lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, 
financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser 
utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 Método de Newton-Raphson. 
 Método da falsa-posição. 
 Método da bisseção. 
 Método de Gauss-Jordan. 
 Método do ponto fixo. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação 
a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 Sempre são convergentes. 
 Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 
O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
 
 
 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 x1 = -20 ; x2 = 15 
 x1 = 10 ; x2 = -10 
 x1 = 18 ; x2 = 18 
 x1 = -10 ; x2 = 10 
 
 
 
 
 
 
Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 Utiliza o conceitode matriz quadrada. 
 Nenhuma das Anteriores. 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.