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Provas de Introduc¸a˜o a` A´lgebra Manuel Ricou Departamento de Matema´tica Instituto Superior Te´cnico 19 de Janeiro de 2008 Conteu´do 1 Enunciados de Testes 3 1.1 1o Teste: 12/4/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 2o Teste: 18/5/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 3o Teste: 15/6/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 1o Teste: 5/4/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 2o Teste: 10/5/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 3o Teste: 12/6/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 1o Teste: 10/4/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8 2o Teste: 15/5/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.9 3o Teste: 7/6/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.10 1o Teste: 18/3/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.11 2o Teste: 29/4/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.12 3o Teste: 27/5/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.13 1o Teste: 30/3/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.14 2o Teste: 27/4/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.15 3o Teste: 25/5/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.16 1o Teste: 31/3/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.17 2o Teste: 28/4/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.18 3o Teste: 25/5/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.19 1o Teste: 27/3/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.20 2o Teste: 8/5/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.21 3o Teste: 5/6/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Enunciados de Exames 17 2.1 1o Exame: 1/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 2o Exame: 24/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 1o Exame: 4/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 2o Exame: 21/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 1o Exame: 9/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 2o Exame: 24/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 1o Exame: 1/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.8 2o Exame: 18/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.9 1o Exame: 7/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 i ii CONTEU´DO 2.10 2o Exame: 21/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Testes Resolvidos 29 3.1 1o Teste: 10/4/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 2o Teste: 15/5/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 3o Teste: 7/6/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 1o Teste: 18/3/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5 2o Teste: 29/4/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6 3o Teste: 27/5/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.7 1o Teste: 30/3/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.8 2o Teste: 27/4/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.9 3o Teste: 25/5/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.10 1o Teste: 31/3/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.11 2o Teste: 28/4/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.12 3o Teste: 25/5/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.13 1o Teste: 27/3/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.14 2o Teste: 8/5/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.15 3o Teste: 5/6/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4 Exames Resolvidos 77 4.1 1o Exame: 1/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 2o Exame: 24/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 1o Exame: 4/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4 2o Exame: 21/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5 1o Exame: 9/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6 2o Exame: 24/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.7 1o Exame: 1/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.8 2o Exame: 18/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9 1o Exame: 7/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.10 2o Exame: 21/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Cap´ıtulo 1 Enunciados de Testes 1.1 1o Teste: 12/4/2000 1. Considere a permutac¸a˜o ( 1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 5 6 7 8 2 4 ) em S8. Quais sa˜o as suas o´rbitas? Qual e´ a sua paridade? 2. Sejam G e H grupos. Demonstre as seguintes afirmac¸o˜es: a) Se f : G→ H e´ um homomorfismo de grupos, e I e´ a identidade de G, enta˜o f(I) e´ a identidade de H. b) Se A e B sa˜o subgrupos do grupo G, A ∩B e´ tambe´m subgrupo de G. 3. Seja A um anel com identidade I. Diga se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas com uma demon- strac¸a˜o ou um exemplo. a) Se B e´ subanel de A enta˜o B tem identidade I. b) A equac¸a˜o x2 = I tem no ma´ximo as soluc¸o˜es x = I e x = −I. 4. Sendo G = {1, i,−1,−i} o grupo formado pelas ra´ızes quartas da unidade, quais sa˜o os homomorfismos f : G → G? Quais sa˜o os automorfismos f : G→ G? Sugesta˜o: Determine f(i). 1.2 2o Teste: 18/5/2000 1. Seja d o ma´ximo divisor comum de 663 e 969. a) Determine uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o 969x+ 663y = d. b) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 969x + 663y = 0. (Ex- prima a soluc¸a˜o na forma (x, y) = k(a, b), k ∈ Z.) 3 4 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES c) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 969x+ 663y = d. 2. Os nu´meros 1.234.567 e 1.234.572 sa˜o primos entre si? Porqueˆ? 3. Seja n ∈ N. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas? a) Existe pelo menos um nu´mero primo p > n. b) Existem n naturais consecutivos que na˜o sa˜o primos. 4. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivo em A. a) Prove que N(A) = {nI : n ∈ N}. b) Mostre que N(A) e´ finito e tem m elementos se e so´ se m ∈ N e´ a menor soluc¸a˜o da equac¸a˜o nI = 0. Sugesta˜o: Considere o nu´cleo do homomorfismo f : Z→ A dado por f(n) = nI. 1.3 3o Teste: 15/6/2000 1. Considere o anel Z55. a) Quais sa˜o os divisores de zero neste anel? b) Resolva a equac¸a˜o x2 = 4 em Z55. c) Suponha que h : Z5 → Z55 e´ um homomorfismo de ane´is. Quais sa˜o os valores poss´ıveis para h(1)? 2. Suponha que o anel A e´ um anel com caracter´ıstica 0. Prove que: a) A tem um subanel isomorfo ao anel dos inteiros. b) Se A e´ um corpo, enta˜o A tem um subcorpo isomorfo ao corpo dos racionais. 3. Esta questa˜o refere-se a polino´mios com coeficientes em Z3. a) Determine todos os polino´mios irredut´ıveis da forma x2 + x+ a. b) Qual e´ o ma´ximo divisor comum de x4+1 e x4+2x3+2x2+x+1? c) Quantos elementos tem o quociente A = Z3[x]/ < x4 + 1 >? d) O elemento x4 + 2x3 + 2x2 + x+ 1 e´ invert´ıvel no anel A? 1.4 1o Teste: 5/4/2001 1. Considere as permutac¸o˜es pi = (3, 5, 9)(2, 4, 6)(1, 8, 7) e ρ = (2, 9)(1, 8) do grupo S9. a) Diga se cada uma destas partic¸o˜es e´ par ou ı´mpar. 1.5. 2o TESTE: 10/5/2001 5 b) Quais sa˜o as o´rbitas de piρ? 2. Sendo (G, ∗) um grupo, demonstre as seguintes afirmac¸o˜es: a) Se N e H sa˜o subgrupos de G enta˜o N∩H e´ um subgrupo de G. b) Se G e´ abeliano, qualquer subgrupo de G e´ normal. c) O elemento neutro de qualquer subgrupo deG e´ o elemento neutro de G. 3. Seja A um anel unita´rio, com identidade I 6= 0. a) Mostre que o produto de dois elementos invert´ıveis de A e´ um elemento invert´ıvel de A. b) Um subanel de A pode ter uma identidade distinta da identidade de A? Porqueˆ? c) Se A tem 3 elementos, podemos concluir que A e´ isomorfo a (Z3,+,×)? Porqueˆ? 1.5 2o Teste: 10/5/2001 1. Seja d o ma´ximo divisor comum de 2093 e 483. a) Determine uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2093x+483y = d. b) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 2093x+ 483y = 0. (Ex- prima a soluc¸a˜o na forma (x, y) = k(a, b), k ∈ Z.) c) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 2093x+ 483y = d. 2. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivo em A. Prove que N(A) = {nI : n ∈ N}. 3. Determine todos os naturais x que satisfazem simultaneamente as duas congrueˆncias x ≡ 2 (mod 17) e x ≡ 5 (mod 13). 4. Os nu´meros da forma Fn = 22 n +1, com n ≥ 0, dizem-se os “nu´meros de Fermat”. a) Demonstre que se Gn e´ o produto dos nu´meros de Fermat Fk, 0 ≤ k ≤ n, ou seja, se Gn = F0 × F1 × · · · × Fn, enta˜o Fn+1 = Gn + 2, para qualquer n ≥ 0. b) Prove que se n 6= m enta˜o Fn e Fm sa˜o primos entre si. 6 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES 1.6 3o Teste: 12/6/2001 1. Considere neste exerc´ıcio o anel Z216. a) Quantos subane´is tem o anel Z216? Quantos geradores tem este anel? b) Sendo f : Z216 → Z8 ⊕ Z27 um isomorfismo de ane´is, determine x ∈ Z216 tal que f(x) = (7, 21). 2. Seja h : Zn → Zm um homomorfismo. Demonstre as seguintes afirma- c¸o˜es: a) Se h e´ injectivo enta˜o n e´ um factor de m. b) Se h e´ sobrejectivo enta˜o n e´ mu´ltiplo de m. 3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z2[x], e I =< x3+x+1 >. a) Determine o inverso de x2 + 1 em A/I. b) Existem elementos na˜o-invert´ıveis no anel A/I? c) Os elementos do anel A/I podem ser representados na forma a+ bi+ cj, onde a, b, c ∈ Z2, i = x, e j = x2. Mostre que I2 = j, j2 = i+ j, e ij = 1 + i. d) Na notac¸a˜o da al´ınea anterior, quais sa˜o os factores irredut´ıveis do polino´mio x3 + x+ 1 no anel dos polino´mios com coeficientes em A/I? 1.7 1o Teste: 10/4/2002 1. Mostre que o grupo (Z4,+) na˜o e´ isomorfo ao grupo (Z2 ⊕ Z2,+). 2. Seja H = {A ∈Mn(R) : det(A) = 1}. a) Mostre que H com o produto usual de matrizes e´ um grupo. b) Sendo G o grupo formado por todas as matrizes invert´ıveis, com a mesma operac¸a˜o, mostre que H e´ um subgrupo normal de G. 3. Sendo J e K ideais de um dado anel A, prove que L = {x + y : x ∈ J, y ∈ K} e´ um ideal de A. 4. Suponha que x e y pertencem a um anel A. a) Mostre que x2− y2 = (x− y)(x+ y) para quaisquer x, y ∈ A se e so´ se A e´ um anel abeliano. b) Supondo que A e´ abeliano e x2 = y2, temos necessariamente x = ±y? 1.8. 2o TESTE: 15/5/2002 7 5. Considere o grupo das ra´ızes-4 da unidade, G = {1, i,−1,−i}, com o produto usual de complexos, e o grupo (Z2,+). Quais sa˜o os homo- morfismos h : G → Z2? Sugesta˜o: Comece por recordar que o nu´cleo de h e´ um subgrupo de G. 1.8 2o Teste: 15/5/2002 1. Esta questa˜o refere-se ao anel dos inteiros Z. Seja J =< 24 > o conjunto dos mu´ltiplos de 24, e K =< 36 > o conjunto dos mu´ltiplos de 36. a) Qual e´ o menor elemento positivo de J ∩ K? Quais sa˜o os ele- mentos de J ∩K? b) Qual e´ o menor ideal de Z que conte´m os ideais J e K? 2. Mostre que os nu´meros 1.999.991 e 1.999.994 sa˜o primos entre si. 3. Ainda no anel dos inteiros, considere a equac¸a˜o 105x+ 154y = d. a) Qual e´ o menor natural d para o qual a equac¸a˜o acima tem soluc¸o˜es? Resolva a equac¸a˜o para esse natural d. b) O elemento 105 tem inverso no anel Z154? Quantos elementos tem < 105 >? c) O subanel < 105 > tem identidade? Caso afirmativo, qual e´ essa identidade? 4. Prove que se n e´ natural enta˜o n∑ k=1 k3 = n2(n+ 1)2 4 . 5. Sejam n,m ∈ N, D = mdc(n,m) e M = mmc(n,m). Prove que nm = DM . Sugesta˜o: Supondo que n = aD e m = bD, mostre que qualquer mu´ltiplo comum de n e m e´ mu´ltiplo de abD. 1.9 3o Teste: 7/6/2002 1. Considere p(x) = x4 + 2x3 + 2x+ 2 e q(x) = x4 + 1 em Z3[x]. a) Determine o ma´ximo divisor comum de p(x) e q(x). b) Qual e´ menor mu´ltiplo comum de p(x) e q(x)? 2. Mostre que ( ∑∞ n=0 x n)2 = (1 + 2x) ∑∞ n=0 x 3n em Z3[[x]]. 8 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES 3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z2[x], e I =< x2 + 1 >. a) Quantos elementos tem o anel A/I? b) Determine a tabuada da multiplicac¸a˜o em A/I. 4. Seja α ∈ R um nu´mero irracional alge´brico sobre Q. Seja ainda J o conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0. a) Mostre que J =< m(x) >, onde m(x) e´ mo´nico e irredut´ıvel em Q[x]. b) Prove que Q[α] e´ um corpo. c) Seja α = 3 √ 2. Mostre que m(x) = x3 − 2, e determine a, b, c ∈ Q tais que 1 1 + 3 √ 2 + 3 √ 4 = a+ b 3 √ 2 + c 3 √ 4. 1.10 1o Teste: 18/3/2003 1. Seja S1 = {z ∈ C : |z| = 1}. a) Mostre que S1 com o produto usual de complexos e´ um grupo. b) Sendo n ∈ N e Rn = {z ∈ C : zn = 1}, mostre que Rn e´ um subgrupo de S1. c) Seja R = ∪∞n=1Rn. R e´ igualmente um subgrupo de S1? 2. Determine todos os homomorfismos de grupo f : S3 → Z2. (S3 e´ o grupo das permutac¸o˜es em {1, 2, 3}, e Z2 o grupo aditivo com dois elementos). 3. Sejam A e B ane´is, e f : A→ B um homomorfismo de ane´is. a) Prove que f(O) = O∗, onde O e O∗ sa˜o os zeros de respectiva- mente A e B. b) Prove que f(−x) = −f(x) para qualquer x ∈ A. c) Se x e´ invert´ıvel em A, temos sempre f(x) invert´ıvel em B? d) Mostre que f(nx) = nf(x), para quaisquer n ∈ Z e x ∈ A. Sugesta˜o: Deve recordar a definic¸a˜o de na, para n ∈ Z e a ∈ G, onde G e´ um qualquer grupo aditivo. Para n > 0, deve proceder por induc¸a˜o. 1.11. 2o TESTE: 29/4/2003 9 1.11 2o Teste: 29/4/2003 1. a) Quantos divisores naturais tem 2.000? b) Quantos naturais 1 ≤ k ≤ 2.000 sa˜o primos relativamente a 2.000? 2. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 87x ≡ 3 (mod 6.000) em Z. 3. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2y = 108, onde x e y sa˜o inteiros. Sugesta˜o: Recorde o teorema fundamental da Aritme´tica. 4. Suponha que a, b e m sa˜o inteiros fixos. Prove que a) ax ≡ b (mod m) tem soluc¸o˜es inteiras x se e so´ se b e´ mu´ltiplo de mdc(a,m). b) ax ≡ 0 (mod m) tem soluc¸o˜es x 6≡ 0 (mod m) se e so´ se ax ≡ 1 (mod m) na˜o tem soluc¸o˜es (supondo m 6= 0). 5. Considere o ideal J =< 87 > em Z6000. a) Quantos elementos tem J? Quantos geradores tem J? b) J tem identidade? Se J tem identidade, qual e´ a sua identidade? 1.12 3o Teste: 27/5/2003 1. Considere os polino´mios p(x) = x3+25x2+10x−5 e q(x) = 1+x+x2 em Q[x]. a) Quais dos polino´mios p(x) e q(x) sa˜o irredut´ıveis em Q[x]? b) Determine a(x), b(x) ∈ Q[x] tais que 1 = a(x)(1 + x + x2) + b(x)(1 + x2). 2. Suponha que α ∈ R e´ um nu´mero irracional alge´brico sobre Q. Seja J =< m(x) > o conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0. a) Supondo que m(x) tem grau n, prove que o espac¸o vectorial Q[α] tem dimensa˜o n sobre o corpo Q. b) Prove que Q[α] e´ um corpo, e uma extensa˜o alge´brica de Q. 3. Suponha que p(x), q(x) ∈ Z[x]. Diga (com a correspondente justi- ficac¸a˜o!) se cada uma das seguintes afirmac¸o˜es e´ falsa ou verdadeira. a) Se p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x] enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x]. b) Se p(x) e q(x) sa˜o primitivos, enta˜o p(x)q(x) e´ primitivo. 10 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES 4. Suponha que G e H sa˜o grupos finitos, respectivamente com n e m elementos, e seja f : G→ H um homomorfismo de grupos. a) Prove que se f e´ injectivo enta˜o n e´ factor de m. b) O que pode concluir sobre f se n e m sa˜o primos entre si? 1.13 1o Teste: 30/3/2004 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, e (A,+,×) e´ um anel unita´rio. a) Qualquer subgrupo de G conte´m a identidade de G. b) Se H e K sa˜o subgrupos de G, e H e´ um subgrupo normal de G, enta˜o H ∩K e´ um subgrupo normal de K. c) Se B e´ um subanel de A, enta˜o B e´ tambe´m um anel unita´rio. d) Se x, y ∈ A, enta˜o (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2. e) Se a, b ∈ A e n ∈ Z enta˜o n(ab) = (na)b = a(nb). f) Se a ∈ A, a equac¸a˜o x2 = a2 tem um nu´mero finito de soluc¸o˜es emA. 2. Recorde que o grupo diedral Dn e´ o grupo de simetria do pol´ıgono regular de n lados, e tem 2n elementos (n reflexo˜es e n rotac¸o˜es). Designamos por R2 o grupo multiplicativo das ra´ızes quadradas da unidade. a) Seja f : Dn → R2 dada por f(σ) = { +1, se σ e´ uma rotac¸a˜o, −1, se σ e´ uma reflexa˜o. Mostre que f e´ um homomorfismo de grupos. Podemos concluir daqui que as rotac¸o˜es em Dn formam um subgrupo normal de Dn? b) Determine todos os subgrupos de D5. Quais destes subgrupos sa˜o normais? sugesta˜o: Pode ser conveniente verificar que qual- quer subgrupo que contenha uma rotac¸a˜o r 6= 1 conte´m todas as rotac¸o˜es em D5. 1.14 2o Teste: 27/4/2004 1. Esta questa˜o refere-se a equac¸o˜es ax ≡ b (mod 216), com a, b, x ∈ Z. a) Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o homoge´nea 10x ≡ 0 (mod 216). 1.15. 3o TESTE: 25/5/2004 11 b) Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 10x ≡ 6 (mod 216). c) Quantos naturais a ≤ 216 teˆm inverso (mod 216)? 2. Nesta questa˜o, A e´ um anel unita´rio, com identidade I 6= 0, e φ : Z→ A e´ o homomorfismo de ane´is dado por φ(n) = nI. a) Prove que φ(Z) e´ o menor subanel de A que conte´m I. b) Mostre que se A e´ ordenado e A+ = φ(N) enta˜o A e´ isomorfo a Z. sugesta˜o: Verifique primeiro que se A e´ ordenado enta˜o φ e´ injectiva, i.e., a caracter´ıstica de A so´ pode ser 0. 3. Designamos aqui por S(n) a soma dos divisores naturais de n ∈ N. a) Quantos naturais d ≤ 4.000 sa˜o divisores de 4.000? b) Determine S(4.000). c) Resolva a equac¸a˜o S(n) = 399 = 3 × 7 × 19. sugesta˜o: Quais podem ser os factores pk na decomposic¸a˜o de n em produto de poteˆncias de primos? 1.15 3o Teste: 25/5/2004 1. Este grupo refere-se ao anel A = Z1155. a) Determine uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o 60x = 15, com x ∈ Z1155. Quantas soluc¸o˜es tem esta equac¸a˜o? b) O subanel B =< 60 >⊂ A tem identidade? Em caso afirmativo, qual e´ essa identidade? 2. Neste grupo, p(x) ∈ Z3[x], e F e´ o anel das func¸o˜es f : Z3 → Z3. De- signamos por φ : Z3[x]→ F o homomorfismo de ane´is que transforma cada polino´mio na respectiva func¸a˜o polinomial, e g : Z3 → Z3 e´ a func¸a˜o dada por g(0) = g(1) = 2, e g(2) = 1. a) Determine p(x) tal que φ(p(x)) = g. b) Qual e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o φ(p(x)) = g? 3. Este grupo refere-se ao anel dos inteiros de Gauss Z[i]. a) Suponha que n,m ∈ Z, e p = n2+m2 e´ um inteiro primo. Mostre que n+mi e´ um elemento irredut´ıvel de Z[i]. b) Considere o inteiro de Gauss z = 15(2 + 3i)2. Quantos divisores de z existem em Z[i]? sugesta˜o: Como calcula o nu´mero de divisores k ∈ N de um dado n ∈ N? 4. Seja K um corpo e A = K [[x]] o anel das se´ries de poteˆncias com coeficientes em K. 12 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES a) Mostre que os elementos invert´ıveis de A sa˜o as se´ries da forma∑∞ n=0 anx n, com a0 6= 0. b) A e´ um d.i.p. e/ou um d.f.u.? 1.16 1o Teste: 31/3/2005 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, e (A,+,×) e´ um anel unita´rio. a) Qualquer subgrupo de G conte´m a identidade de G. b) Qualquer subanel unita´rio de A conte´m a identidade de A. c) Se x ∈ G e x2 = e, onde e e´ a identidade de G, enta˜o x = e. d) Se x ∈ A e x2 = 0 enta˜o x = 0. 2. O grupo GL(2,R) e´ formado pelas matrizes 2 × 2, invert´ıveis, com entradas em R, com o produto usual de matrizes. Para cada um dos seguintes exemplos, diga se H e´ um subgrupo de GL(2,R), e, caso afirmativo, se H e´ um subgrupo normal de GL(2,R). a) H = { [ a 0 0 b ] , ab 6= 0}. b) H = {M ∈ GL(2,R) : det(M) = 1}. 3. Nesta questa˜o, G = {1, i,−1,−i} e´ o grupo multiplicativo das ra´ızes quartas da unidade, e Z2 = {0, 1} e´ o usual grupo aditivo com dois elementos. a) Determine todos os homomorfismos de grupo f : Z2 → G. b) Suponha que H e´ um grupo, e g : G → H e´ um homomorfismo sobrejectivo. Classifique o grupo H. 1.17 2o Teste: 28/4/2005 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. a) Todos os grupos na˜o abelianos com 8 elementos sa˜o isomorfos entre si. b) No grupo diedral Dn (grupo de simetria do pol´ıgono regular de n lados), as rotac¸o˜es formam um subgrupo normal de Dn. c) Se n,m ∈ N, mdc(n,m) = 1 e n|mk enta˜o n|k. 1.18. 3o TESTE: 25/5/2005 13 2. Neste grupo, x, y e z0 sa˜o nu´meros inteiros. a) Qual e´ o menor natural z0 para o qual a equac¸a˜o 2279x+731y = z0 tem soluc¸o˜es? b) Sendo z0 o natural determinado na al´ınea anterior, qual e´ o menor natural x que e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2279x+ 731y = z0? 3. Suponha que n 6= 4 e´ um natural, e mostre que n|(n− 1)! se e so´ se n na˜o e´ primo. sugesta˜o: Considere sucessivamente os casos (1) n e´ primo, (2) Existem 1 < k < m < n tais que n = mk, e (3) n = m2. 1.18 3o Teste: 25/5/2005 1. Esta questa˜o refere-se ao anel Z808. a) Quantos subane´is existem em Z808? Quantos elementos de Z808 sa˜o invert´ıveis? Quantos elementos de Z808 sa˜o divisores de zero? b) Quantos elementos tem o subanel < 303 >? Quais sa˜o os seus geradores? Qual e´ a sua identidade? 2. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. a) O polino´mio x3 + x2 + x+ 2 e´ irredut´ıvel em Z3[x]. b) A equac¸a˜o 1 = p(x)(x3+x2+x+2)+q(x)(x2+2x+2) tem soluc¸o˜es p(x), q(x) ∈ Z3[x], mas na˜o tem soluc¸o˜es p(x), q(x) ∈ Z5[x]. c) Exactamente um dos subane´is de Z808 e´ um corpo. 3. Recorde que, se p ∈ N e´ primo, enta˜o todos os elementos a ∈ Z∗p satisfazem ap−1 = 1. Recorde igualmente o Teorema do Resto. a) Quais sa˜o os factores irredut´ıveis do polino´mio xp−1−1 em Zp[x]? b) Use a factorizac¸a˜o acima para concluir que (p−1)! ≡ −1 mod p. 1.19 1o Teste: 27/3/2006 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, e (A,+,×) e´ um anel unita´rio. a) A equac¸a˜o x2 = x tem uma u´nica soluc¸a˜o em G, que e´ a identi- dade de G. 14 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES b) Se f : G→ G e´ um homomorfismo de grupos, enta˜o o nu´cleo de f e´ um subgrupo normal de G. c) Se B e´ um subanel de A, enta˜o B e´ tambe´m um ideal de A. d) Se f : A→ A e´ um homomorfismo de ane´is, enta˜o f(nx) = nf(x), para quaisquer x ∈ A e n ∈ N. e) Se a ∈ A, a equac¸a˜o x2 = a2 so´ tem as soluc¸o˜es x = ±a. 2. Designamos aqui por Rn = {z ∈ C : zn = 1} o grupo das ra´ızes-n da unidade com o produto usual de complexos. a) Mostre que se n e´ mu´ltiplo de m enta˜o Rm e´ subgrupo de Rn. b) O grupo R2 ⊕R4 e´ isomorfo a R8? c) Considere o homomorfismo de grupos f : R12 → C∗ dado por f(x) = x3. Qual e´ o nu´cleo de f e a imagem f(R12)? Quais sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = −1? 1.20 2o Teste: 8/5/2006 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta convenientemente. a) A equac¸a˜o 2491x+ 829y = 11 tem soluc¸o˜es x, y ∈ Z. b) A soma dos divisores de 100.000 e´ superior a 250.000. c) Qualquer anel ordenado A 6= {0} e´ infinito. d) O natural 21995 − 1 na˜o e´ primo. 2. Considere nesta questa˜o o anel A = Z75, e seja B o subanel de A com 15 elementos. a) Quais sa˜o os ideais de A? Quantos elementos tem cada um desses ideais? b) Quantos divisores de zero existem em A? Quantos elementos tem A∗? c) O anel B e´ isomorfo ao anel Z15? Quais sa˜o os geradores de B, i.e., quais sa˜o os elementos x ∈ B tais que B =< x >? d) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 = 1 em A. 1.21. 3o TESTE: 5/6/2006 15 3. Numa aplicac¸a˜o do algoritmo de criptografia RSA, sabe-se que a chave pu´blica e´ r = 49, e o mo´dulo e´ N = 10.403. Observandoque 10.403 e´ o produto dos primos 101× 103, qual e´ o valor da chave privada? 1.21 3o Teste: 5/6/2006 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. a) Existem polino´mios p(x) ∈ Z[x] que sa˜o irredut´ıveis em Q[x] e re- dut´ıveis em Z[x]. b) Se D e´ um domı´nio integral, enta˜o qualquer elemento x ∈ D que seja primo e´ irredut´ıvel. c) Os ane´is Q[ 3 √ 2] e Q[x]/ < x3 − 2 > sa˜o corpos, e sa˜o isomorfos. d) Se K e´ um corpo, e m(x) ∈ K[x] e´ um polino´mio irredut´ıvel com grau ≥ 2, existe um corpo L que e´ uma extensa˜o de K onde m(x) tem pelo menos uma ra´ız. 2. Observe que 845 = 5× 132. a) Quantos divisores tem 845 no anel dos inteiros de Gauss? b) Quais sa˜o os naturais n,m tais que 845 = n2 +m2? 3. Suponha que G e´ um grupo com 14 elementos, e recorde que G tem pelo menos um elemento de ordem 2. a) Mostre que G tem subgrupos H e K com |H| = 2 e |K| = 7. b) Mostre que G = HK. Teremos sempre G ' H ⊕ K? sugesta˜o: Observe que H ⊕K e´ comutativo. 16 CAPI´TULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES Cap´ıtulo 2 Enunciados de Exames 2.1 1o Exame: 1/7/2002 1. Neste grupo, G eH sa˜o grupos, e a identidade de G designa-se por I. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Se f : G→ H e´ um homomorfismo de grupos, f(I) e´ a identidade de H. b) Se f : G → H e´ um homomorfismo de grupos, o nu´cleo de f e´ um subgrupo normal de G. c) Se A e B sa˜o subgrupos de G enta˜o A ∩B e´ subgrupo de G. d) Se A e B sa˜o subgrupos de G enta˜o AB = BA se e so´ se AB e´ subgrupo de G. 2. Nesta questa˜o, A e´ um domı´nio integral com identidade 1 e zero 0, onde 1 6= 0. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Os elementos invert´ıveis de A formam um grupo. b) A identidade de qualquer subanel B 6= 0, se existir, e´ 1. c) Qualquer ideal de A e´ principal. d) Se J e´ um ideal maximal de A, enta˜o A/J e´ um corpo. 3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z900. a) Quantos subgrupos existem em Z900? Sendo n um qualquer divisor de 900, quantos destes subgrupos teˆm exactamente n elementos? b) Quantos elementos invert´ıveis existem no anel Z900? Quantos auto- morfismos do grupo Z900 existem? 17 18 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES c) Considere o homomorfismo de grupos f : Z900 → Z30 dado por f(x) = 24x. Determine o nu´cleo de f , e diga se f e´ sobrejectivo. d) Continuando a al´ınea anterior, resolva a equac¸a˜o f(x) = 18. 4. Nesta questa˜o, G e´ um grupo na˜o-abeliano com 6 elementos. a) Prove que nenhum elemento de G tem ordem 6, mas que existe pelo menos um elemento ε de G com ordem 3. Sugesta˜o: Mostre que, caso contra´rio, G seria abeliano. b) Sendo ε um elemento de G de ordem 3, e H = {1, ε, ε2} o subgrupo gerado por ε, mostre que H e´ normal em G. Sugesta˜o: Qual e´ o ı´ndice de H em G? c) Suponha que α 6∈ H, e mostre que α2 = 1. Sugesta˜o: No grupo quociente G/H, a ordem do elemento α e´ 2. Qual pode ser a ordem de α em G? d) Como αH = Hα, o produto αε so´ pode ser εα ou ε2α. Conclua que G e´ necessariamente isomorfo a S3. 2.2 2o Exame: 24/7/2002 1. Neste grupo, K ⊆ H sa˜o subgrupos do grupo G. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demon- strac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Se K e´ normal em G enta˜o K e´ normal em H. b) Se K e´ normal em H enta˜o K e´ normal em G. c) Se G e´ um grupo c´ıclico infinito enta˜o G e´ isomorfo a (Z,+). d) Se K e´ normal em G e x ∈ G, enta˜o a ordem de x em G/K e´ factor da ordem de x em G. 2. Nesta questa˜o, A e´ um domı´nio integral com identidade 1 e zero 0, onde 1 6= 0. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo. a) A caracter´ıstica de A e´ 0, ou um nu´mero primo p. b) O anel A[x] e´ tambe´m um domı´nio integral. c) Qualquer ideal em A[x] e´ principal. d) Existe um corpo K com um subanel isomorfo a A. 2.3. 1o EXAME: 4/7/2003 19 3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z36. a) Quantos subgrupos existem em Z36? Quantos geradores tem Z36? b) Suponha que B e´ um subanel de Z36, com identidade a, e n elementos. Mostre que a caracter´ıstica de B e´ um factor de 36, e que a ordem de qualquer elemento de B e´ um factor da caracter´ıstica de B. (sugesta˜o: se ma = 0, enta˜o mx = 0 para qualquer x ∈ B) c) Conclua que a caracter´ıstica de B e´ n, donde a e´ um gerador de B, e d = mdc(a, 36) = 36/n. d) Conclua finalmente que se B tem identidade a, enta˜o mdc(d, n) = 1. Determine todos os subane´is de Z36 com identidade, e calcule essas identidades. 4. Nesta questa˜o, G e H sa˜o grupos. a) Prove que se f : G → H e´ um homomorfismo injectivo, o nu´mero de elementos de G e´ factor do nu´mero de elementos de H. O que pode concluir se f e´ sobrejectivo? b) Se G e H sa˜o os grupos aditivos Zn e Zm, onde n e´ factor de m, existe sempre algum homomorfismo injectivo f : G → H? Se G = Z6 e H = Z24, quantos homomorfismos injectivos existem? c) Supondo que H = Z6, e f : G→ H e´ injectivo, classifique o grupo G. d) Supondo que G = Z6, e f : G→ H e´ sobrejectivo, classifique o grupo H. 2.3 1o Exame: 4/7/2003 1. Neste grupo, G e H sa˜o grupos, e N e´ um subgrupo de G. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Se f : G → H e´ um homomorfismo de grupos, f(G) e´ um subgrupo de H. b) Se f : G → H e´ um homomorfismo de grupos, f(xn) = f(x)n para qualquer n ∈ Z. c) Se f : G → H e´ um homomorfismo de grupos finitos, o nu´mero de elementos de f(G) e´ um divisor comum do nu´mero de elementos de G e do nu´mero de elementos de H. d) Se X = {xN : x ∈ G} e Y = {Ny : y ∈ G} enta˜o X e Y teˆm o mesmo cardinal. 20 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES 2. Nesta questa˜o, D e´ um domı´nio integral com identidade 1 e zero 0, onde 1 6= 0. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Qualquer subanel B de D tem identidade. b) Qualquer subgrupo de (D,+) e´ um subanel de D. c) Se D e´ finito enta˜o D contem um subanel B isomorfo a algum Zm. d) Se D e´ um d.f.u., a equac¸a˜o mdc(a, b) = ax+by tem soluc¸o˜es x, y ∈ D. 3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z833. a) Seja f : Z → Z833 o homomorfismo de grupos dado por f(n) = 357n. Quantos elementos tem a imagem f(Z)? Qual e´ o nu´cleo de f? b) Quais sa˜o os grupos Zm tais que h : Zm → Z833 dado por h(n) = 357n esta´ bem definido, e e´ um homomorfismo de grupos? Para que valor de m e´ que h e´ um isomorfismo? c) f(Z) e´ tambe´m um anel? E se e´ um anel, e´ isomorfo a um anel Zk? d) Quais dos seguintes ane´is sa˜o isomorfos entre si: Z1000, Z2 ⊕ Z500, Z4 ⊕ Z250, Z8 ⊕ Z125? 4. Nesta questa˜o, K e´ um corpo, m(x) ∈ K[x], A = K[x]/ < m(x) >, e pi : K[x]→ A e´ o usual homomorfismo de ane´is pi(p(x)) = p(x). a) Prove que os ideais de A sa˜o da forma pi(J), onde J e´ um ideal de K[x]. Conclua que A e´ um d.i.p., ou seja, todos os seus ideais sa˜o principais. b) Mostre que os ideais de A sa˜o da forma < d(x) >, onde d(x)|m(x) em K[x]. Sugesta˜o: Mostre que < p(x) >=< d(x) >, onde d(x) = mdc(p(x),m(x)) em K[x]. c) Supondo K = Z3, e m(x) = x3 + 2x, quantos elementos podem ter os ideais de A? Quantos ideais com n elementos existem, para cada poss´ıvel valor de n? Quantos elementos invert´ıveis existem em A? d) SupondoK = Z3, em(x) = x3+2x, o anel A e´ isomorfo a Z3⊕Z3⊕Z3? 2.4 2o Exame: 21/7/2003 1. Nesta questa˜o, G e H sa˜o grupos multiplicativos, e f : G → H e´ um homomorfismode grupos. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo. 2.4. 2o EXAME: 21/7/2003 21 a) f(x−1) = f(x)−1 para qualquer x ∈ G. b) O nu´cleo de f e´ um subgrupo normal de G. c) Se f e´ sobrejectivo, e G e´ finito, enta˜o |H| e´ factor de |G|. d) Se G e´ um grupo c´ıclico com n elementos, e k e´ factor de n, enta˜o existe pelo menos um elemento de G com ordem k. 2. Nesta questa˜o, p(x), q(x) ∈ Z[x] sa˜o polino´mios com coeficientes in- teiros. Para cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, mostre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira, com uma demonstrac¸a˜o, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Se p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x], enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x]. b) Se p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x], enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x]. c) Se q(x)|p(x) em Z[x], e p(x) e´ primitivo, enta˜o q(x) e´ primitivo. d) Se q(x)|p(x) em Q[x], enta˜o existe k ∈ Q tal que kq(x)|p(x) em Z[x]. 3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z300. a) Quantos subgrupos tem Z300? b) Quantos homomorfismos sobrejectivos de grupo h : Z600 → Z300 ex- istem? Quais destes homomorfismos sa˜o tambe´m homomorfismos de anel? c) Quantos homomorfismos de grupo f : Z600 → Z300 existem, tais que f(Z) tem 100 elementos? Prove que f(Z) e´ um anel isomorfo ao anel Z100. d) Quais dos seguintes grupos sa˜o isomorfos entre si: Z300, Z6 ⊕ Z50, Z100 ⊕ Z3, Z10 ⊕ Z30? 4. Nesta questa˜o, G e´ um grupo finito, e A e B sa˜o subgrupos de G. AB = {xy : x ∈ A e y ∈ B}. a) Prove que A ∩ B e´ um subgrupo de G. O conjunto AB e´ sempre um subgrupo de G? b) Prove que |AB||A ∩ B| = |A||B|. Sugesta˜o: Mostre que a func¸a˜o f : A/(A ∩ B) → G/B esta´ bem definida por f(x(A ∩ B)) = xB, e e´ injectiva. Mostre tambe´m que a unia˜o das classes em f(A/A ∩ B) e´ exactamente AB. c) Suponha que G e´ um grupo abeliano com 10 elementos. Prove que G tem necessariamente um elemento x com ordem 5, e um elemento y com ordem 2, e conclua que G e´ o grupo Z10. Sugesta˜o: Qual e´ a ordem de xy? 22 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES d) Mostre que, se G e´ um grupo na˜o-abeliano com 10 elementos, enta˜o G tem um elemento x com ordem 5, e se y 6∈< x > enta˜o y tem ordem 2. Conclua que xy = yx4, e portanto que existe apenas um grupo na˜o-abeliano com 10 elementos, que so´ pode ser D5. 2.5 1o Exame: 9/7/2004 1. Diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, G e H sa˜o grupos, f : G→ H e´ um homomorfismo de grupos, e N e´ o nu´cleo de f . a) Se e e´ a identidade de G, enta˜o f(e) e´ a identidade de H. b) Se K e´ um subgrupo de H, enta˜o f−1(K) e´ um subgrupo de G que conte´m N . c) Se todos os elementos de G teˆm ordem finita enta˜o G e´ finito. d) Se |G| = 15 e |H| = 25, enta˜o f(G) e´ um grupo c´ıclico. 2. Diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, A e B sa˜o ane´is, A e´ um domı´nio integral, f : A→ B e´ um homomorfismo sobrejectivo de ane´is, e N e´ o nu´cleo de f . a) N e´ um ideal de A. b) Se a e´ invert´ıvel em A, enta˜o f(a) e´ invert´ıvel em B. c) B e´ um domı´nio integral. d) Se B e´ um corpo, enta˜o N e´ um ideal ma´ximo de A. 3. Neste grupo, n designa a classe de equivaleˆncia do inteiro n em Z1800. a) Quantos subgrupos tem Z1800? Quais sa˜o os geradores do subgrupo gerado por 1300? b) Considere os grupos Z25⊕Z72, Z20⊕Z90, Z200⊕Z9, e Z40⊕Z45. Quais destes grupos sa˜o isomorfos entre si? c) Quantos homomorfismos de grupo f : Z1800 → Z1800 existem, com nu´cleo N(f) =< 1300 >? sugesta˜o: Determine primeiro f(Z1800). d) Supondo que g : Z → Z40 ⊕ Z45 e´ um homomorfismo de ane´is, classi- fique o anel g(Z). 4. Considere o anel Z3[x], e o polino´mio p(x) = x3+2x+1. Nesta questa˜o, quando m(x) ∈ Z3[x], designamos por m(x) a correspondente classe no anel quociente K = Z3[x]/ < p(x) >. 2.6. 2o EXAME: 24/7/2004 23 a) Qual e´ o inverso de x2 + 1 em K[x]? b) Mostre que K e´ um corpo, e uma extensa˜o alge´brica de Z3. K[x] e´ um d.f.u.? c) Decomponha p(x) em factores irredut´ıveis em K[x]. sugesta˜o: Para factorizar polino´mios quadra´ticos com coeficientes em K, pode “com- pletar o quadrado”. d) Seja α ∈ K, α 6∈ Z3. Prove que Z3(α) e´ isomorfo a K, e em particular α e´ ra´ız de um polino´mio irredut´ıvel do terceiro grau n(x) ∈ Z3[x]. 2.6 2o Exame: 24/7/2004 1. Diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, G e´ um grupo, e K e H sa˜o subgrupos de G. a) Se x, y ∈ G, enta˜o (xy)−1 = y−1x−1. b) Se K e´ subgrupo normal de G, enta˜o K ∩H e´ subgrupo normal de H. c) Os automorfismos de G formam um grupo, com a operac¸a˜o de com- posic¸a˜o. d) Se K e´ subgrupo normal de G, enta˜o existe um grupo L e um homo- morfismo de grupos f : G→ L tal que K e´ o nu´cleo de f . 2. Diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, A e B sa˜o ane´is unita´rios, e f : A→ B e´ um homomorfismo de ane´is. a) Se a e´ invert´ıvel em A, enta˜o f(a) e´ invert´ıvel em B. b) A imagem f(A) e´ um ideal de B. c) Se A = Z, enta˜o f(n) = nb, onde b2 = b. d) Se B e´ finito e tem mais de um elemento, enta˜o B tem um subanel isomorfo a algum Zm, onde m > 1. 3. Neste grupo, n designa a classe de equivaleˆncia do inteiro n em Z990. a) Quantos subgrupos tem Z990? Quantos destes sa˜o ane´is unita´rios? b) Quantos automorfismos de grupo f : Z990 → Z990 existem? c) Quantos ideais existem em Z15 ⊕Z66? Existem subane´is de Z15 ⊕Z66 que na˜o sa˜o ideais de Z15 ⊕ Z66? 24 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES d) Determine os homomorfismos de anel g : Z33 → Z990. 4. Considere o anel Z3[x], e o polino´mio p(x) = x3 + 2x2 + x + 2. Nesta questa˜o, quando m(x) ∈ Z3[x], designamos por m(x) a correspondente classe no anel quociente K = Z3[x]/ < p(x) >. a) O elemento x2 + x+ 1 tem inverso? b) Quais sa˜o os ideais de K? c) Quantos elementos invert´ıveis existem em K? d) Quais sa˜o os ideais I de K para os quais o anel quociente K/I e´ isomorfo a algum Zm? 2.7 1o Exame: 1/7/2005 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, com identidade 1. a) A equac¸a˜o x2 = x so´ tem uma soluc¸a˜o x ∈ G. b) Se H e K sa˜o subgrupos de G, enta˜o H ∪K e´ um subgrupo de G. c) Se G e´ finito e tem um nu´mero ı´mpar de elementos, enta˜o a equac¸a˜o x2 = 1 so´ tem a soluc¸a˜o x = 1. d) Se G e´ finito e tem um nu´mero par de elementos, enta˜o a equac¸a˜o x2 = 1 tem soluc¸o˜es x 6= 1. 2. Neste grupo, f : Z→ Z180 e´ dada por f(n) = 63n. a) Determine o nu´mero de subane´is, e de geradores, do anel Z180. b) Mostre que a func¸a˜o f e´ um homomorfismo de grupo. Qual e´ o nu´cleo de f? Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(n) = 9. c) Mostre que o grupo f(Z) e´ isomorfo a Zm, para um valor apropriado de m que deve calcular. Quais sa˜o os subgrupos de f(Z)? d) f sera´ tambe´m um homomorfismo de anel? Os ane´is Zm e f(Z) sa˜o isomorfos? 3. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, A e´ um anel abeliano unita´rio, com identidade I. a) Todos os subane´is de A sa˜o unita´rios. 2.8. 2o EXAME: 18/7/2005 25 b) Todos os subgrupos de (A,+) sa˜o igualmente subane´is. c) Se A e´ um corpo finito, enta˜o a sua caracter´ıstica e´ um nu´mero primo. d) Se A e´ finito, existe um subanel de A isomorfo a algum anel Zn. 4. Neste grupo, consideramos o anel quociente A = Z3[x]/J , onde J =< x3 + x2 + x+ 1 > . a) Quantoselementos existem no anel A? Quais sa˜o os elementos da forma < x+ a > que sa˜o invert´ıveis? b) Quais sa˜o os divisores de zero em A? c) Mostre que A e´ um domı´nio de ideais principais. d) Classifique os ane´is quociente da forma A/K, onde K e´ um ideal de A. 2.8 2o Exame: 18/7/2005 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, com identidade 1. a) A equac¸a˜o x3 = x so´ tem uma soluc¸a˜o x ∈ G. c) Se H e K sa˜o subgrupos normais de G e K ⊇ H, enta˜o K/H e´ um subgrupo normal de G/H. d) Se G tem 11 elementos enta˜o G ' Z11. 2. As questo˜es seguintes referem-se a grupos ou ane´is Zn. Os homomorfismos e isomorfismos referidos sa˜o de grupo, excepto quando a sua natureza e´ referida explicitamente. a) Determine o nu´mero de subgrupos, e de geradores, do grupo Z495. b) Existe algum homomorfismo injectivo f : Z495 → Z595? Existe algum homomorfismo sobrejectivo f : Z495 → Z395? Quantos homomorfismos f : Z495 → Z295 existem? c) Quais dos seguintes grupos sa˜o isomorfos entre si? Z3 ⊕ Z165,Z9 ⊕ Z55,Z99 ⊕ Z5,Z15 ⊕ Z33. d) Determine todos os homomorfismos injectivos de anel f : Z495 → Z990. Quantos homomorfismos sobrejectivos de anel f : Z495 → Zn existem? 26 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES 3. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Neste grupo, D e´ um domı´nio integral. a) Se C e´ um subanel unita´rio de D com mais de um elemento, enta˜o C conte´m a identidade de D. b) Se D e´ um domı´nio de ideais principais, enta˜o D[x] e´ um domı´nio de ideais principais. c) Se os u´nicos ideais de D sa˜o os triviais ({0}, e D), enta˜o D e´ um corpo. d) Se D e´ um domı´nio de ideais principais, enta˜o qualquer elemento irre- dut´ıvel em D e´ primo em D. 4. Este grupo diz respeito ao anel dos inteiros de Gauss Z[i]. a) Dado o natural n > 1, se a equac¸a˜o n = x2+y2 tem soluc¸o˜es x, y ∈ N, e´ poss´ıvel que n seja primo em Z[i]? b) Se o natural n e´ primo em Z, e a equac¸a˜o n = x2+y2 na˜o tem soluc¸o˜es x, y ∈ N, e´ poss´ıvel que n seja redut´ıvel em Z[i]? c) Quantos divisores de 1105 existem em Z[i]? Determine todas as soluc¸o˜es naturais da equac¸a˜o x2 + y2 = 1105. (Nota: 13 e´ factor de 1105.) d) Quais sa˜o os naturais n para os quais o anel quociente Z[i]/ < n > e´ um corpo? 2.9 1o Exame: 7/7/2006 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo. a) Qualquer subgrupo de G conte´m a identidade de G. b) Se H e K sa˜o subgrupos de G, enta˜o H ∪K e´ um subgrupo de G. c) Se G tem 17 elementos, enta˜o G ' Z17. d) Os grupos Z4 ⊕ Z18 e Z6 ⊕ Z12 sa˜o isomorfos. 2. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (A,+,×) e´ um anel unita´rio, com identidade 1. a) Qualquer subanel unita´rio de A com mais de um elemento conte´m a identidade de A. 2.10. 2o EXAME: 21/7/2006 27 b) Qualquer subgrupo de (A,+) e´ um subanel de (A,+,×). c) O anel Q[x]/ < x3 − 1 > tem exactamente 4 ideais. d) O anel Z[i]/ < 37 > e´ um corpo. 3. Considere o anel Z1325. a) Quantos geradores e quantos divisores de zero existem em Z1325? b) Quais sa˜o os homomorfismos de grupo φ : Z505 → Z1325? c) Quais sa˜o os subane´is de Z1325 que sa˜o corpos? d) Determine os homomorfismos de anel ϕ : Z→ Z1325. 4. Suponha que G e´ um grupo com 2p elementos, onde p 6= 2 e´ um nu´mero primo. Recorde que G tem pelo menos um elemento α com ordem 2. a) Prove que G conte´m pelo menos um elemento ε de ordem p b) Prove que x ∈ G tem ordem p se e so´ se x ∈ H =< ε >= {1, ε, ε2, · · · , εp−1} e x 6= 1. c) Os elementos de G sa˜o da forma x = αnεm, com 0 ≤ n < 2, e 0 ≤ m < p. Qual e´ a ordem de cada um destes elementos? sugesta˜o: a resposta depende de G ser abeliano ou na˜o, portanto os dois casos devem ser analisados separadamente. d) Suponha que G na˜o e´ abeliano e φ : G → N e´ um homomorfismo so- brejectivo. Classifique o grupo N . sugesta˜o: quais sa˜o os subgrupos normais de G? 2.10 2o Exame: 21/7/2006 1. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (G, ∗) e´ um grupo, com identidade 1, e H e K sa˜o subgrupos de G. a) Se x, y ∈ G enta˜o (xy)−1 = y−1x−1. b) H ∩K e´ um subgrupo de G. c) Se |G| = 100, a equac¸a˜o x7 = 1 so´ tem uma soluc¸a˜o x ∈ G. d) Se |G| = 15 e G e´ abeliano enta˜o G ' Z15. 28 CAPI´TULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES 2. Diga, em cada caso, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstrac¸a˜o, ou um contra-exemplo. Nesta questa˜o, (D,+,×) e´ um domı´nio integral, com identidade 1. a) Qualquer subanel unita´rio de D com mais de um elemento conte´m a identidade de D. b) Qualquer subanel de D e´ um ideal de D. c) Se os ideais de D sa˜o apenas os triviais ({0} e D) enta˜o D e´ um corpo. d) SeD e´ um d.f.u., enta˜o todos os seus elementos irredut´ıveis sa˜o primos. 3. Considere o anel Z775. a) Quantos subane´is tem Z775? Quantos divisores de zero existem em Z775? b) Z775 tem um subanel B com 155 elementos. Quantos geradores tem o subanel B? c) Resolva a equac¸a˜o x2 = 0, com x ∈ Z775. d) Quantos homomorfismos de grupo ϕ : Z775 → D31 existem? (Recorde que D31 e´ o grupo diedral formado pelas simetrias do pol´ıgono regular de 31 lados.) 4. Considere o anelK = Z5[x]/ < p(x) >, onde p(x) = x3+2x2+2x+1. Note que p(4) = 0. a) Determine o nu´mero de elementos do anel K, e verifique que K na˜o e´ um corpo. b) Mostre que os ideais de K sa˜o da forma <α(x)><p(x)> , onde α(x)|p(x). c) Quantos ideais existem em K? Quantos subgrupos existem em K? d) Sendo a(x) e b(x) factores irredut´ıveis de p(x), mostre que K ' Z5[x] < a(x) > ⊕ Z5[x] < b(x) > . sugesta˜o: Determine um homomorfismo de ane´is apropriado φ : Z5[x]→ Z5[x] < a(x) > ⊕ Z5[x] < b(x) > Cap´ıtulo 3 Testes Resolvidos 3.1 1o Teste: 10/4/2002 1. Mostre que o grupo (Z4,+) na˜o e´ isomorfo ao grupo (Z2 ⊕ Z2,+). resoluc¸a˜o: Suponha-se que f : Z4 → Z2 ⊕ Z2 e´ um homomorfismo de grupos. Vamos verificar que f na˜o pode ser injectiva, ou seja, f na˜o pode ser um isomorfismo, porque a tabuada de Z2 ⊕ Z2 so´ tem o elemento neutro na diagonal principal, o que na˜o e´ o caso da tabuada de Z4. Temos f(0) = (0, 0), porque qualquer homomorfismo transforma a identidade do grupo de partida na identidade do grupo de chegada. Em Z4 temos 1 + 1 = 2 6= 0, e em Z2 ⊕ Z2 temos x + x = (0, 0) para todos os elementos x ∈ Z2 ⊕ Z2. Notamos que f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = (0, 0) = f(0). Portanto f na˜o e´ injectivo, e f na˜o e´ um isomorfismo. 2. Seja H = {A ∈Mn(R) : det(A) = 1}. a) Mostre que H com o produto usual de matrizes e´ um grupo. resoluc¸a˜o: Sabemos da A´lgebra Linear que o produto de ma- trizes e´ associativo, e tem identidade (a matriz identidade I). • Temos det(I) = 1, e portanto I ∈ H, e H 6= ∅. • Sendo A,B ∈ H, temos det(AB) = det(A) det(B) = 1× 1 = 1⇒ AB ∈ H, ou seja, H e´ fechado em relac¸a˜o ao produto. • Se A ∈ H enta˜o A e´ invert´ıvel, porque det(A) = 1 6= 0, e det(A−1) = 1/det(A) = 1, ou seja, A ∈ H ⇒ A−1 ∈ H. Podemos assim concluir que H e´ um grupo com o produto usual de matrizes. 29 30 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS b) Sendo G o grupo formado por todas as matrizes invert´ıveis, com a mesma operac¸a˜o, mostre que H e´ um subgrupo normal de G. resoluc¸a˜o: Sabemos da al´ınea anterior que H e´ um subgrupo de G (porque H e´ um grupo, esta´ contido em G, e as operac¸o˜es em H e G sa˜o a mesma). Temosapenas que verificar que A ∈ H e B ∈ G ⇒ B−1AB ∈ H, o que resulta de det(B−1AB) = det(B−1) det(A) det(B) = det(B−1) det(B) = 1. 3. Sendo J e K ideais de um dado anel A, prove que L = {x + y : x ∈ J, y ∈ K} e´ um ideal de A. resoluc¸a˜o: Temos que verificar que L e´ um subanel de A, que e´ ale´m disso fechado em relac¸a˜o ao produto por elementos de A. Mais exactamente, temos que mostrar que: • L 6= ∅, • b, b′ ∈ L⇒ b− b′ ∈ L (L e´ fechado em relac¸a˜o a` diferenc¸a) • b ∈ L e a ∈ A ⇒ ab, ba ∈ L (L e´ fechado em relac¸a˜o ao produto por a ∈ A) Seja 0 o zero do anel A. Enta˜o 0 = 0 + 0 ∈ L, porque 0 ∈ J e 0 ∈ K(qualquer subgrupo de (A,+) conte´m o respectivo elemento neutro), e portanto L 6= ∅. Se b, b′ ∈ L enta˜o b = x+ y e b′ = x′ + y′, onde x, x′ ∈ J e y, y′ ∈ K. Temos b − b′ = (x + y) − (x′ + y′) = (x−x′)+ (y− y′). Como J e K sa˜o subane´is, sa˜o fechados em relac¸a˜o a` diferenc¸a, e portanto x− x′ ∈ J e y− y′ ∈ K, i.e., b− b′ ∈ L. Temos ab = a(x + y) = ax + ay, e ba = (x + y)a = xa + ya. Como J e K sa˜o ideais, sa˜o fechados em relac¸a˜o ao produto por elementos de A, e ax, xa ∈ J , e ay, ya ∈ K. Segue-se que ab, ba ∈ L. 4. Suponha que x e y pertencem a um anel A. a) Mostre que x2− y2 = (x− y)(x+ y) para quaisquer x, y ∈ A se e so´ se A e´ um anel abeliano. resoluc¸a˜o: (x−y)(x+y) = (x−y)x+(x−y)y = x2−yx+xy−y2. E´ portanto evidente que (x− y)(x+ y) = x2 − y2 ⇔ −yx+ xy = 0⇔ yx = xy. b) Supondo que A e´ abeliano e x2 = y2, temos necessariamente x = ±y? resoluc¸a˜o: Na˜o. Eis alguns contra-exemplos, como: (basta indicar um, bem entendido!) • O anel Z4, tomando x = 0 e y = 2, donde x2 = y2 = 0, mas −2 = 2 6= 0. 3.2. 2o TESTE: 15/5/2002 31 • A soma directa R ⊕ R, ou (o que e´ basicamente o mesmo exemplo) as matrizes 2× 2 diagonais, com a soma e produto de matrizes. • As func¸o˜es f : R → R com a soma e produto usuais de func¸o˜es tomando, por exemplo, f(x) = 1 para qualquer x, e g(x) = 1 para x ≥ 0, e g(x) = −1 para x < 0. 5. Considere o grupo das ra´ızes-4 da unidade, G = {1, i,−1,−i}, com o produto usual de complexos, e o grupo (Z2,+). Quais sa˜o os homo- morfismos h : G → Z2? Sugesta˜o: Comece por recordar que o nu´cleo de h e´ um subgrupo de G. resoluc¸a˜o: G tem apenas 3 subgrupos, a saber: o pro´prio G, o subgrupo trivial {1}, e {1,−1}. Portanto teremos N(h) = G, ou N(h) = {1}, ou N(h) = {1,−1}. • Se N(h) = G, temos h(x) = 0 para qualquer x ∈ G, e h e´ um homomorfismo de grupos. • Se N(h) = {1} enta˜o h e´ injectiva, o que e´ imposs´ıvel, porque G tem 4 elementos, e Z2 tem apenas 2 elementos. • Se N(h) = {1,−1}, enta˜o h(1) = h(−1) = 0, e h(i) 6= 0, h(−i) 6= 0. Claro que neste caso teremos necessariamente h(i) = h(−i) = 1. A equac¸a˜o h(xy) = h(x) + h(y) e´ va´lida quando ◦ x = ±1, y = ±1: porque se reduz a 0 = 0 + 0. ◦ x = ±i, y = ±i: porque a equac¸a˜o reduz-se a 0 = 1 + 1. ◦ x = ±1, y = ±i, ou x = ±i, y = ±1: porque a equac¸a˜o se reduz a 1 = 0 + 1, ou 1 = 1 + 0. 3.2 2o Teste: 15/5/2002 1. Esta questa˜o refere-se ao anel dos inteiros Z. Seja J =< 24 > o conjunto dos mu´ltiplos de 24, e K =< 36 > o conjunto dos mu´ltiplos de 36. a) Qual e´ o menor elemento positivo de J ∩ K? Quais sa˜o os ele- mentos de J ∩K? resoluc¸a˜o: J ∩K e´ o conjunto dos mu´ltiplos comuns a 24 e 36. O seu menor elemento positivo e´ o menor mu´ltiplo comum de 24 e 36, i.e., 72. Os seus elementos sa˜o os mu´ltiplos de 72. b) Qual e´ o menor ideal de Z que conte´m os ideais J e K? resoluc¸a˜o: Qualquer ideal que contenha J conte´m 24, e e´ por isso gerado por um divisor de 24. Analogamente, se um ideal conte´m K enta˜o e´ gerado por um divisor de 36. Concluimos que 32 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS um ideal que contenha J e K e´ gerado por um divisor comum de 24 e 36. Esse ideal sera´ tanto menor quanto maior for esse divisor comum. Portanto o menor ideal que conte´m J e K e´ gerado pelo ma´ximo divisor comum de 24 e 36,ou seja, e´ o conjunto dos mu´ltiplos de 12. 2. Mostre que os nu´meros 1.999.991 e 1.999.994 sa˜o primos entre si. resoluc¸a˜o: Seja d o ma´ximo divisor comum de 1.999.991 e 1.999.994. Sabemos que a diferenc¸a 1.999.994− 1.999.991 = 3 e´ mu´ltiplo de d, e portanto d so´ pode ser 1 ou 3. E´ evidente que 1.999.991 ≡ 2 (mod 3), portanto d na˜o e´ 3, e estes nu´meros sa˜o primos entre si. 3. Ainda no anel dos inteiros, considere a equac¸a˜o 105x+ 154y = d. a) Qual e´ o menor natural d para o qual a equac¸a˜o acima tem soluc¸o˜es? Resolva a equac¸a˜o para esse natural d. resoluc¸a˜o: O menor natural d e´ o mdc(105, 154). Aplicando o algoritmo de Euclides, temos: n m q r y1 x1 y2 x2 154 105 1 49 1 0 0 1 105 49 2 7 0 1 1 −1 49 7 7 0 1 −1 −2 3 Conclu´ımos que d = 7, e que x = 3 e y = −2 e´ uma soluc¸a˜o particular de 105x+ 154y = 7. Para calcular a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homo´genea correspon- dente, que e´ 105x+154y = 0, dividimos por 7, donde 15x+22y = 0, ou 15x = −22y. Como 15 e 22 sa˜o primos entre si, temos 15x = −22y ⇒ 22|x⇒ x = 22k ⇒ y = −15k. A soluc¸a˜o geral de 105x+ 154y = 7 e´ assim x = 3 + 22k, y = −2− 15k, k ∈ Z. b) O elemento 105 tem inverso no anel Z154? Quantos elementos tem < 105 >? resoluc¸a˜o: Na˜o, porque 105 na˜o e´ primo relativamente a 154. Como mdc(105, 154) = 7, temos < 105 >=< 7 >, que tem 154/7 = 22 elementos. c) O subanel < 105 > tem identidade? Caso afirmativo, qual e´ essa identidade? resoluc¸a˜o: Temos < 105 >=< 7 >. Sendo x a identidade deste subanel, temos 3.2. 2o TESTE: 15/5/2002 33 • x ∈< 7 >, i.e., x ≡ 0 (mod 7), ou x = 7k, e • x2 = x, i.e., x(x− 1) ≡ 0 (mod 154). Como 154 = 7× 22, e 7 e 22 sa˜o primos entre si, o sistema x ≡ 0 (mod 7), e x ≡ 1 (mod 22) tem soluc¸a˜o, e essa soluc¸a˜o satisfaz x(x−1) ≡ 0 (mod 154). Neste caso, x e´ primo relativamente a 22, porque x ≡ 1 (mod 22), e portanto mdc(x, 154) = 7k = 7. Em particular, < x >=< 7 >, e todos os elementos do subanel < 7 > sa˜o da forma kx. Como kx× x = k × x2 = kx, e´ claro que x e´ a identidade de < 7 >. Para calcular x, notamos que • x ≡ 1 (mod 22)⇔ x = 1 + 22y, donde • x ≡ 0 (mod 7)⇔ 1 + 22y ≡ 0 (mod 7). Temos 1 + 22y ≡ 0 (mod 7)⇔ y ≡ −1 (mod 7)⇔ y = −1 + 7k. Segue-se que x = 1+22(−1+7k) = −21+154k, e x = −21 = 133. 4. Prove que se n e´ natural enta˜o n∑ k=1 k3 = n2(n+ 1)2 4 . resoluc¸a˜o: Demonstramos por induc¸a˜o a afirmac¸a˜o P (n) = “ n∑ k=1 k3 = n2(n+ 1)2 4 ”. A afirmac¸a˜o P (1) e´ verdadeira, porque 1∑ k=1 k3 = 1, e 12(1 + 1)2 4 = 1. Supondo P (n) verdadeira, temos n+1∑ k=1 k3 = n∑ k=1 k3 + (n+ 1)3 = n2(n+ 1)2 4 + (n+ 1)3 = = ( n2(n+ 1)2 + 4(n+ 1)3 ) 4 = (n+ 1)2(n2 + 4(n+ 1)) 4 = = (n+ 1)2(n2 + 4n+ 4) 4 = (n+ 1)2(n+ 2)2 4 . A igualdade ∑n+1 k=1 k 3 = (n+1) 2(n+2)2 4 e´ P (n+ 1). 34 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS 5. Sejam n,m ∈ N, D = mdc(n,m) e M = mmc(n,m). Prove que nm = DM . Sugesta˜o: Supondo que n = aD e m = bD, mostre que qualquer mu´ltiplo comum de n e m e´ mu´ltiplo de abD. resoluc¸a˜o: Notamos que • abD = nb = ma e´ mu´ltiplo comum de n e m. • (abD)D = (aD)(bD) = nm. Provamos que abD = M e´ o menor mu´ltiplo comum, donde DM = nm, mostrando que qualquer mu´ltiplo comum e´ mu´ltiplo de abd. Como D = nx + my = aDx + bDy, temos 1 = ax + by e portanto mdc(a, b) = 1, ou seja, a e b sa˜o primos entre si. Seja agora k = ns = aDs um mu´ltiplo de n. Se k e´ igualmente mu´ltiplo de m temos k = mt = bDt, e portanto aDs = bDt, ou as = bt. a e´ assim factor de bt, e como a e´ primo relativamente a b, a e´ factor de t. Logo t = au, e k = bDt = bDau e´ mu´ltiplo de abD. 3.3 3o Teste: 7/6/2002 1. Considere p(x) = x4 + 2x3 + 2x+ 2 e q(x) = x4 + 1 em Z3[x]. a) Determine o ma´ximo divisor comum de p(x) e q(x). resoluc¸a˜o: m(x) n(x) q(x) r(x) x4 + 2x3 + 2x+ 2 x4 + 1 1 2x3 + 2x+ 1 x4 + 1 2x3 + 2x+ 1 2x 2x2 + x+ 1 2x3 + 2x+ 1 2x2 + x+ 1x+ 1 0 Temos portanto que mdc = 2(2x2 + x+ 1) = x2 + 2x+ 2. b) Qual e´ menor mu´ltiplo comum de p(x) e q(x)? resoluc¸a˜o: mmc = p(x)q(x) mdc = (x4 + 2x3 + 2x+ 2)(x4 + 1) x2 + 2x+ 2 = =(x2 + 1)(x4 + 1) = x6 + x4 + x2 + 1. 2. Mostre que ( ∑∞ n=0 x n)2 = (1 + 2x) ∑∞ n=0 x 3n em Z3[[x]]. resoluc¸a˜o: Sabemos que ∞∑ n=0 cnx n = ( ∞∑ n=0 anx n )( ∞∑ n=0 bnx n ) ⇐⇒ cn = n∑ k=0 akbn−k. 3.3. 3o TESTE: 7/6/2002 35 No caso presente, temos ∞∑ n=0 cnx n = ( ∞∑ n=0 xn )2 , i.e., an = bn = 1, e cn = n∑ k=0 1 = n+ 1. Como cn ∈ Z3, temos: • n ≡ 0 (mod 3)⇒ n+ 1 ≡ 1 (mod 3)⇒ cn = 1. • n ≡ 1 (mod 3)⇒ n+ 1 ≡ 2 (mod 3)⇒ cn = 2. • n ≡ 2 (mod 3)⇒ n+ 1 ≡ 0 (mod 3)⇒ cn = 0. Portanto, c3n = 1, c3n+1 = 2, e c3n+2 = 0. Conclu´ımos que( ∞∑ n=0 xn )2 = ∞∑ n=0 cnx n = ∞∑ n=0 c3nx 3n + ∞∑ n=0 c3n+1x 3n+1 = = ∞∑ n=0 x3n + ∞∑ n=0 2x3n+1 = ∞∑ n=0 x3n + 2x ∞∑ n=0 x3n = =(1 + 2x) ∞∑ n=0 x3n. 3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z2[x], e I =< x2 + 1 >. a) Quantos elementos tem o anel A/I? resoluc¸a˜o: Dado p(x) ∈ Z2[x], temos p(x) = q(x)(x2+1)+r(x), onde r(x) = a + bx, e portanto p(x) = a+ bx. Como a, b ∈ Z2, existem 2× 2 = 4 elementos em A/I. b) Determine a tabuada da multiplicac¸a˜o em A/I. resoluc¸a˜o: Os seguintes ca´lculos sa˜o imediatos: • x2 + 1 = 0, donde x2 = −1 = 1. • (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1 = x2 + 1 = 0. • x× (x+ 1) = x2 + x = 1 + x = x+ 1. A tabuada da multiplicac¸a˜o e´ assim: 0 1 x x+ 1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x+ 1 x 0 x 1 x+ 1 x+ 1 0 x+ 1 x+ 1 0 4. Seja α ∈ R um nu´mero irracional alge´brico sobre Q. Seja ainda J o conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0. 36 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS a) Mostre que J =< m(x) >, onde m(x) e´ mo´nico e irredut´ıvel em Q[x]. resoluc¸a˜o: Seja f : Q[x] → R dada por f(p(x)) = p(α). f e´ um homomorfismo de ane´is com nu´cleo J , e por isso J e´ um ideal de Q[x]. Como qualquer ideal em Q[x] e´ principal, temos J =< m(x) >, e podemos supor que m(x) e´ mo´nico, porque Q e´ um corpo. Para provar que m(x) e´ irredut´ıvel, suponha-se que m(x) = s(x)t(x). Temos enta˜o 0 = m(α) = s(α)t(α), donde s(α) = 0 ou t(α) = 0. Supomos sem perda de generalidade que s(α) = 0. Notamos que: • s(α) = 0⇐⇒ s(x) ∈ J ⇐⇒ s(x) = m(x)r(x). Temos assimm(x) = s(x)t(x) = m(x)r(x)t(x), donde 1 = r(x)t(x), e t(x) e´ invert´ıvel. Portanto m(x) so´ tem factorizac¸o˜es triviais, i.e., m(x) e´ irredut´ıvel. b) Prove que Q[α] e´ um corpo. resoluc¸a˜o: Sendo f : Q[x] → R o homomorfismo f(p(x)) = p(α) referido acima, f(Q[x]) = Q[α] e´ um subanel de R. Temos apenas que provar que os elementos p(α) 6= 0 em Q[α] teˆm inverso multiplicativo tambe´m em Q[α]. Para isso, note-se que se p(α) 6= 0 enta˜o p(x) 6∈ J , e portanto m(x) na˜o e´ factor de p(x). Como m(x) e´ irredut´ıvel, segue-se que mdc(p(x),m(x)) = 1. Existem polino´mios s(x), t(x) ∈ Q[x] tais que p(x)s(x) +m(x)t(x) = 1, donde p(α)s(α) +m(α)t(α) = p(α)s(α) = 1. Por outras palavras, p(α)−1 = s(α) ∈ Q[α]. c) Seja α = 3 √ 2. Mostre que m(x) = x3 − 2, e determine a, b, c ∈ Q tais que 1 1 + 3 √ 2 + 3 √ 4 = a+ b 3 √ 2 + c 3 √ 4. resoluc¸a˜o: Sendo J o conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(a) = 0, temos como vimos que J =< m(x) >, e e´ evidente que x3 − 2 ∈ J , donde m(x) e´ factor de x3 − 2. O polino´mio x3−2 e´ irredut´ıvel, pelo crite´rio de Eisenstein (com p = 2), e por isso m(x) = 1 ou x3 − 2. So´ podemos ter m(x) = x3 − 2, porque J 6= Q[x]. 1 + 3 √ 2 + 3 √ 4 = p(α), onde p(x) = 1 + x + x2. Como vimos na al´ınea anterior, o inverso de p(α) calcula-se resolvendo a equac¸a˜o 3.4. 1o TESTE: 18/3/2003 37 p(x)s(x) +m(x)t(x) = 1, o que pode fazer-se usando o algoritmo de Euclides. O 1o passo deste algoritmo revela que x3 − 2 = (x− 1)(1 + x+ x2)− 1, e por isso 1 = (x−1)(1+x+x2)+(−1)(x3−2), i.e., s(x) = x−1. Conclu´ımos que: 1 1 + 3 √ 2 + 3 √ 4 = s( 3 √ 2) = 3 √ 2− 1, i.e., a = −1, b = 1, c = 0. 3.4 1o Teste: 18/3/2003 1. Seja S1 = {z ∈ C : |z| = 1}. a) Mostre que S1 com o produto usual de complexos e´ um grupo. resoluc¸a˜o: Temos a mostrar que: • S1 e´ na˜o-vazio: E´ evidente que 1 ∈ S1. • S1 e´ fechado em relac¸a˜o ao produto usual de complexos: z, w ∈ S1 ⇒ |z| = |w| = 1⇒ |zw| = |z||w| = 1, i.e., zw ∈ S1. • O produto de complexos e´ associativo, como sabemos. • Existe identidade para o produto em S1: Porque 1 ∈ S1. • Todos os elementos de S1 teˆm inverso em S1: Se z ∈ S1 temos |z| = 1, portanto z 6= 0, e z e´ invert´ıvel nos complexos. Por outro lado, temos novamente |zz−1| = |z||z−1| = 1, e como |z| = 1, temos |z−1| = 1, ou seja, z−1 ∈ S1. Conclu´ımos assim que S1 e´ um grupo. b) Sendo n ∈ N e Rn = {z ∈ C : zn = 1}, mostre que Rn e´ um subgrupo de S1. resoluc¸a˜o: E´ evidente que Rn ⊆ S1, porque zn = 1⇒ |zn| = 1 = |z|n ⇒ |z| = 1. Observamos apenas que • Rn 6= ∅: porque 1 ∈ Rn, qualquer que seja n. • Se z, w ∈ Rn enta˜o zw−1 ∈ Rn: Se z, w ∈ Rn enta˜o zn = wn = 1, e portanto( zw−1 )n = zn (wn)−1 = 1⇒ zw−1 ∈ Rn. 38 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS c) Seja R = ∪∞n=1Rn. R e´ igualmente um subgrupo de S1? resoluc¸a˜o: E´ evidente (em particular da al´ınea anterior) que R e´ na˜o-vazio, e que R ⊆ S1. Para mostrar que se z, w ∈ R enta˜o zw−1 ∈ R, note-se que existem n,m ∈ N tais que z ∈ Rn, w ∈ Rm, i.e., tais que zn = wm = 1. Neste caso,( zw−1 )nm = (zn)m (wm)−n = 1⇒ zw−1 ∈ Rnm ⊂ R. 2. Determine todos os homomorfismos de grupo f : S3 → Z2. (S3 e´ o grupo das permutac¸o˜es em {1, 2, 3}, e Z2 o grupo aditivo com dois elementos). resoluc¸a˜o: Sendo f : S3 → Z2 um homomorfismo de grupo, o seu nu´cleo N(f) e´ um subgrupo normal de S3. Os u´nicos subgrupos nor- mais de S3 sa˜o o pro´prio S3, o grupo alternado A3 e o subgrupo trivial K = {1}. Notamos que: (1) Se N(f) = S3, enta˜o f(x) = 0 para qualquer x ∈ S3, e f e´ um homomorfismo. (2) Na˜o podemos ter N(f) = K, porque sena˜o f seria injectiva, o que e´ imposs´ıvel, porque S3 tem 6 elementos e Z2 tem 2 elementos. (3) Se N(f) = A3, enta˜o f(x) = 0 para qualquer x ∈ A3, e so´ podemos ter f(x) = 1 para x 6∈ A3. Neste caso f e´ igualmente um homomorfismo (f(x) e´ a paridade da permutac¸a˜o x). Conclu´ımos que existem apenas dois homomorfismos f : S3 → Z2, que sa˜o os indicados acima em (1) e (3). 3. Sejam A e B ane´is, e f : A→ B um homomorfismo de ane´is. a) Prove que f(O) = O∗, onde O e O∗ sa˜o os zeros de respectiva- mente A e B. resoluc¸a˜o: f(O) =f(O+O), porque O e´ o elemento neutro da soma em A, =f(O) + f(O), porque f e´ um homomorfismo de ane´is. Segue-se da lei do corte no grupo aditivo (B,+) que f(O) = O∗. b) Prove que f(−x) = −f(x) para qualquer x ∈ A. resoluc¸a˜o: f(x) + f(−x) =f(x+ (−x)), porque f e´ um homomorfismo. =f(O) = O∗, de acordo com a al´ınea anterior. =f(x) + [−f(x)], por definic¸a˜o de [−f(x)]. Como f(x) + f(−x) = f(x) + [−f(x)], segue-se mais uma vez da lei do corte no grupo aditivo (B,+) que f(−x) = [−f(x)]. 3.4. 1o TESTE: 18/3/2003 39 c) Se x e´ invert´ıvel em A, temos sempre f(x) invert´ıvel em B? resoluc¸a˜o: Na˜o. Considere-se f : R→M2(R), dada por f(x) = [ x 0 0 0 ] . Sabemos que x e´ invert´ıvel em R se e so´ se x 6= 0, mas e´ evidente que a imagem f(x) nunca e´ invert´ıvel em M2(R). d) Mostre que f(nx) = nf(x), para quaisquer n ∈ Z e x ∈ A. Sugesta˜o: Deve recordar a definic¸a˜o de na, para n ∈ Z e a ∈ G, onde G e´ um qualquer grupo aditivo. Para n > 0, deve proceder por induc¸a˜o. resoluc¸a˜o: Sendo n ∈ Z e a ∈ G, onde G e´ um qualquer grupo aditivo (com elemento neutro O), definimos na como se segue: 1) n = 1 : na = 1a = a, 2) n > 1 : na = (n− 1)a+ a, 3) n = 0 : na = 0a = O, e 4) n < 0 : na = (−n)(−a). Provamos primeiro que f(nx) = nf(x), para n ≥ 1, e por induc¸a˜o. n = 1: temos de 1) que1x = x⇒ f(1x) = f(x) = 1f(x). n > 1: A hipo´tese de induc¸a˜o e´ f((n−1)x) = (n−1)f(x). Temos f(nx) =f((n− 1)x+ x), (ponto 2) da definic¸a˜o acima com a = x), =f((n− 1)x) + f(x), porque f e´ um homomorfismo, =(n− 1)f(x) + f(x), pela hipo´tese de induc¸a˜o, e =nf(x), (ponto 2) da definic¸a˜o acima com a = f(x)). n = 0: 0f(x) =O∗, (ponto 3) da definic¸a˜o acima com a = f(x) ∈ B), =f(O), pela al´ınea a) desta questa˜o, =f(0x), (ponto 3) da definic¸a˜o acima com a = x ∈ A). n < 0: pode ser verificado como se segue: f(nx) =f((−n)(−x)), (ponto 4) da definic¸a˜o acima com a = x), =(−n)f(−x), como prova´mos acima para −n > 0, =(−n)[−f(x)], conforme vimos na al´ınea b), e =nf(x), (ponto 4) da definic¸a˜o acima com a = f(x)). 40 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS 3.5 2o Teste: 29/4/2003 1. a) Quantos divisores naturais tem 2.000? resoluc¸a˜o: 2.000 = 2×(10)3 = 2×(2×5)3 = 24×53. Portanto, o natural k e´ divisor de 2.000 se e so´ se k = 2n3m, onde 0 ≤ n ≤ 4 e 0 ≤ m ≤ 3. Existem 5 valores para n, e 4 valores para m. Conclu´ımos que 2.000 tem 5× 4 = 20 divisores naturais. b) Quantos naturais 1 ≤ k ≤ 2.000 sa˜o primos relativamente a 2.000? resoluc¸a˜o: Os u´nicos factores primos de 2.000 sa˜o 2 e 5. Por- tanto, os naturais 1 ≤ k ≤ 2.000 que sa˜o primos relativamente a 2.000 sa˜o os que na˜o sa˜o mu´ltiplos de 2 nem de 5. De 1 ate´ 2.000 temos: • O conjuntoA = {1 ≤ k ≤ 2.000 : 2|k}, formado pelos mu´ltiplos de 2, tem 2.000/2 = 1.000 elementos, ou seja, #(A) = 1.000. • O conjuntoB = {1 ≤ k ≤ 2.000 : 5|k}, formado pelos mu´ltiplos de 5, tem 2.000/5 = 400 elementos, #(B) = 400. • O conjunto A ∩ B, formado pelos mu´ltiplos comuns de 2 e de 5, contem os mu´ltiplos de mmc(2, 5) = 10. Portanto #(A ∩B) = 2.000/10 = 200. • Os naturais que sa˜o mu´ltiplos de 2 e/ou 5 formam o conjunto A ∪ B. Temos #(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B) = 1.000 + 400− 200 = 1.200. • Finalmente, os naturais k ≤ 2.000 que sa˜o primos relativa- mente a 2.000 sa˜o os que na˜o pertencem ao conjunto A ∪B. Existem portanto 2.000− 1.200 = 800. 2. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 87x ≡ 3 (mod 6.000) em Z. resoluc¸a˜o: Para calcular d = mdc(87, 6.000), e uma soluc¸a˜o par- ticular da equac¸a˜o na˜o-homoge´nea 87x ≡ d (mod 6.000), usamos o algoritmo de Euclides. m n r q x y x′ y′ 6.000 87 84 68 1 0 0 1 87 84 3 1 0 1 1 −68 84 3 0 1 −68 −1 69 Conclu´ımos que d = 3, portanto a equac¸a˜o inicial tem soluc¸o˜es, e sabemos ainda que (6.000)(−1) + (87)(69) = 3. Portanto x = 69 e´ soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homoge´nea em causa. Passamos a calcular a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homoge´nea 87x ≡ 0 (mod 6.000). Temos enta˜o 87x + 6.000y = 0. Dividindo por d = 3 3.5. 2o TESTE: 29/4/2003 41 obtemos 29x+2.000y = 0, ou 29x = −2.000y. Como 29 e´ primo e na˜o e´ factor de 2.000 e´ claro que y e´ mu´ltiplo de 29, i.e., y = 29z, donde 29x = −2.000(29z), ou x = −2.000z, que e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homoge´nea em causa. A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o na˜o-homoge´nea inicial e´ portanto x = 69− 2.000z, que podemos tambe´m escrever na forma x = 69+2.000z, ja´ que z e´ arbitra´rio, ou ainda na forma x ≡ 69 (mod 2.000). 3. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2y = 108, onde x e y sa˜o inteiros. Sugesta˜o: Recorde o teorema fundamental da Aritme´tica. resoluc¸a˜o: Deve ser claro que y > 0, e que o sinal de x e´ irrelevante. Notamos que 108 = 22 × 33. Os factores primos de x e y sa˜o factores primos de 108, por razo˜es evidentes, e portanto so´ podem ser 2 e/ou 3, i.e., x = ±2n3m e y = 2k3j , onde n, m, k e j sa˜o inteiros na˜o-negativos. Conclu´ımos que x2y = (2n3m)2 (2k3j) = 22n+k32m+j = 22 × 33. Pelo teorema fundamental da Aritme´tica, temos 2n+k = 2 e 2m+j = 3. Como as inco´gnitas n, m, k e j sa˜o inteiros na˜o-negativos: • 2n+ k = 2⇔ (n = 0 e k = 2) ou (n = 1ek = 0) • 2m+ j = 3⇔ (m = 0 e j = 3) ou (m = 1ej = 1) As diferentes soluc¸o˜es apresentam-se na tabela seguinte: n k m j x y 0 2 0 3 ±1 108 0 2 1 1 ±3 12 1 0 0 3 ±2 27 1 0 1 1 ±6 3 4. Suponha que a, b e m sa˜o inteiros fixos. Prove que a) ax ≡ b (mod m) tem soluc¸o˜es inteiras x se e so´ se b e´ mu´ltiplo de mdc(a,m). resoluc¸a˜o: As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes: (1) ax ≡ b (mod m) tem soluc¸a˜o x, (2) Existe um inteiro x tal que m|(b− ax), (3) b ∈ K = {ax+my : x, y ∈ Z}. Basta notar que (1) ⇔ (2) por definic¸a˜o de congrueˆncia mo´dulo m, e (2) ⇔ (3) por razo˜es o´bvias. O conjunto K e´ um ideal dos inteiros contendo a e m, porque: 42 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS • a = a× 1 +m× 0 ∈ K e m = a× 0 +m× 1 ∈ K, • K 6= ∅, porque a,m ∈ K, • (ax+my)− (ax′+my′) = a(x−x′)+m(y− y′) ∈ K, i.e., K e´ fechado em relac¸a˜o a` diferenc¸a, e • (ax + my)z = a(xz) + m(yz) ∈ K, i.e., K e´ fechado em relac¸a˜o ao produto por inteiros arbitra´rios. Para provar que K e´ o conjunto dos mu´ltiplos de d = mdc(a,m), consideramos primeiro o caso “especial” a = m = 0. Neste caso, K = {ax+my : x, y ∈ Z} = {0} = {dz : z ∈ Z}, com d = 0, e 0 e´ o ma´ximo (e u´nico) divisor comum de a e m. Supomos agora que a 6= 0 ou m 6= 0. K contem naturais, porque contem pelo menos um elemento na˜o-nulo. Seja d o menor natural em K, que existe pelo princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o, e note-se que {dz : z ∈ Z} ⊆ K, porque K e´ um ideal, e d ∈ K. Sendo m um qualquer elemento de K, temos m = dq + r, onde q e r sa˜o inteiros, e 0 ≤ r < d, pelo usual algoritmo da divisa˜o. Como r = m − dq ∈ K (K e´ um ideal!) e r < d, conclu´ımos que r na˜o pode ser positivo, i.e., r = 0, e m e´ mu´ltiplo de d, i.e., K = {dz : z ∈ Z}. Para mostrar que d = mdc(a,m), notamos que • d|a e d|m, porque a,m ∈ K = {dz : z ∈ Z}, i.e., d e´ um divisor comum de a e m. • d = ax+my, porque d ∈ K = {ax+my : x, y ∈ Z}. Se k e´ um qualquer divisor natural comum a a e m, enta˜o a = dx′ e m = ky′, donde d = ax+my = (kx′)x+(ky′)y = k(xx′+ yy′), e k|d e k ≤ d. Por outras palavras, d e´ mu´ltiplo de qualquer divisor comum de a e de m, e portanto d = mdc(a,m). b) ax ≡ 0 (mod m) tem soluc¸o˜es x 6≡ 0 (mod m) se e so´ se ax ≡ 1 (mod m) na˜o tem soluc¸o˜es (supondo m 6= 0). resoluc¸a˜o: Consideramos enta˜o as afirmac¸o˜es: (1) ax ≡ 0 (mod m) tem soluc¸o˜es x 6≡ 0 (mod m). (2) ax ≡ 1 (mod m) na˜o tem soluc¸o˜es. A implicac¸a˜o “(1) ⇒ (2)” e´ va´lida para qualquer m, mesmo m = 0. Se ax ≡ 1 (mod m) tem alguma soluc¸a˜o b, enta˜o ab = ba ≡ 1 (mod m), e ax ≡ 0 (mod m) ⇒ bax ≡ 0 (mod m) ⇒ x ≡ 0 (mod m). Para provar a implicac¸a˜o “(2) ⇒ (1)”, supomos que ax ≡ 1 (mod m) na˜o tem soluc¸o˜es. Pelo resultado anterior, d = mdc(a,m) na˜o e´ factor de 1, i.e., d = 0 ou d > 1. Mas se m 6= 0 enta˜o 3.6. 3o TESTE: 27/5/2003 43 d > 1, e m = nd, onde 1 ≤ n < m. Temos igualmente a = kd, e portanto tomando x = n ≡ /0 (mod m)), e´ claro que ax = (kd)n = k(nd) = km ≡ 0 (mod m). Por outras palavras, ax ≡ 0 (mod m) tem a soluc¸a˜o x = n 6≡ 0 (mod m). 5. Considere o ideal J =< 87 > em Z6000. a) Quantos elementos tem J? Quantos geradores tem J? resoluc¸a˜o: Vimos na questa˜o 2 que mdc(87, 6.000) = 3, e por- tanto J =< 87 >=< 3 >, que tem 6.000/3 = 2.000 elementos, correspondendo a todos os mu´ltiplos de 3 ate´ 6.000. Os geradores de J sa˜o as soluc¸o˜es de mdc(x, 6.000) = 3, com 1 ≤ x ≤ 6.000. Para os contar, basta notar que x = 3k, onde 1 ≤ k ≤ 2.000, e mdc(3k, 6.000) = 3. Como mdc(3k, 6.000) = 3mdc(k, 2.000), e´ claro que mdc(k, 2.000) = 1. Portanto, os gera- dores de J correspondem aos naturais k ate´ 2.000 que sa˜o primos relativamente a 2.000. Tal como calculado na questa˜o 1, J tem 800 geradores. b) J tem identidade? Se J tem identidade, qual e´ a sua identidade? resoluc¸a˜o: Se x e´ identidade de J , enta˜o temos x ≡ 0 (mod 3), porque x ∈ J . Temos igualmente x2 = x, ou x(x − 1) = 0, ou seja, x(x− 1) ≡ 0 (mod 6.000). Como x ≡ 0 (mod 3), i.e., como x e´ mu´ltiplo de 3, para que x(x− 1) seja mu´ltiplo de 6.000 basta que (x − 1)seja mu´ltiplo de 2.000, i.e., basta que x − 1 ≡ 0 (mod 2.000), o que tambe´m podemos escrever na forma x ≡ 1 (mod 2.000). Segue-se do Teorema Chineˆs do Resto que x ≡ 0 (mod 3) e x ≡ 1 (mod 2.000) teˆm uma soluc¸a˜o u´nica (mod 6.000), porque 3 e 2.000 sa˜o primos entre si. Se x e´ soluc¸a˜o enta˜o x e´ um gerador de J (porque x e´ primo relativamente a 2.000, de acordo com a segunda equac¸a˜o). Como qualquer elemento y de J e´ da forma y = nx, temos xy = yx = nx× x = n× x2 = nx = y. Portanto x e´ identidade de J . Para calcular a identidade de J , notamos que x ≡ 1 (mod 2.000)⇔ x = 1 + 2.000y, e x ≡ 0 (mod 3) ⇔ 1 + 2.000y ≡ 0 (mod 3) ⇔ −y ≡ −1 (mod 3)⇔ y ≡ 1 (mod 3). Portanto y = 1+ 3z, e x = 1+2.000(1+3z) = 2.001+6.000z, i.e, x ≡ 2.001 (mod 6.000)⇔ x = 2.001. 3.6 3o Teste: 27/5/2003 1. Considere os polino´mios p(x) = x3+25x2+10x−5 e q(x) = 1+x+x2 em Q[x]. 44 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS a) Quais dos polino´mios p(x) e q(x) sa˜o irredut´ıveis em Q[x]? resoluc¸a˜o: O polino´mio p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x] de acordo com o crite´rio de Eisenstein, que se aplica aqui com o primo 5. De acordo com o Lema de Gauss, e´ igualmente irredut´ıvel em Q[x], porque e´ um polino´mio mo´nico. O polino´mio q(x) e´ irredut´ıvel em R[x] porque tem discriminante d = −3 < 0. E´ por isso evidentemente irredut´ıvel em Q[x]. b) Determine a(x), b(x) ∈ Q[x] tais que 1 = a(x)(1 + x + x2) + b(x)(1 + x2). resoluc¸a˜o: Como vimos, o polino´mio 1 + x + x2 e´ irredut´ıvel. E´ evidente que 1+x2 na˜o e´ mu´ltiplo de 1+x+x2, e portanto so´ podemos ter mdc(1+x+x2, 1+x2) = 1. A equac¸a˜o apresentada tem por isso soluc¸a˜o, e podemos calcular uma das suas soluc¸o˜es usando o algoritmo de Euclides. r q a(x) b(x) c(x) d(x) 1 + x+ x2 1 + x2 x 1 1 0 0 1 1 + x2 x 1 x 0 1 1 −1 x 1 0 x 1 −1 −x 1 + x Temos portanto 1 = (−x)(1 + x + x2) + (1 + x)(1 + x2), i.e., a(x) = −x e b(x) = 1 + x. 2. Suponha que α ∈ R e´ um nu´mero irracional alge´brico sobre Q. Seja J =< m(x) > o conjunto dos polino´mios p(x) ∈ Q[x] tais que p(α) = 0. a) Supondo que m(x) tem grau n, prove que o espac¸o vectorial Q[α] tem dimensa˜o n sobre o corpo Q. resoluc¸a˜o: Q[α] = {p(α) : p(x) ∈ Q[x]}. De acordo com o al- goritmo de divisa˜o, p(x) = q(x)m(x)+r(x), onde o grau de r(x) e´ < n. E´ evidente que p(α) = r(α), e sendo r(x) = r0+ r1x+ · · ·+ rn−1xn−1, temos p(α) = r(α) = r0 + r1α + · · · + rn−1αn−1. Por outras palavras, o conjunto B = { 1, α, · · · , αn−1} gera o espac¸o vectorial Q[α] sobre Q. B e´ um conjunto linearmente independente: se r0 + r1α + · · · + rn−1αn−1 = 0 com rk ∈ Q enta˜o r(α) = 0, onde r(x) = r0+r1x+ · · · + rn−1xn−1 ∈ Q[x]. Temos portanto que r(x) e´ mu´ltiplo de m(x), e como o grau de m(x) e´ maior que o de r(x) so´ podemos ter r(x) = 0, ou seja, r0 = r1 = · · · = rn−1 = 0. Conclu´ımos que B e´ uma base de Q[α] sobre Q, e portanto Q[α] tem dimensa˜o n. b) Prove que Q[α] e´ um corpo, e uma extensa˜o alge´brica de Q. 3.6. 3o TESTE: 27/5/2003 45 resoluc¸a˜o: Mostramos primeiro que m(x) e´ um polino´mio irre- dut´ıvel. Para isso, supomos que m(x) = a(x)b(x). Como m(α) = a(α)b(α) = 0, temos a(α) = 0 ou b(α) = 0. Supondo sem perda de generalidade que a(α) = 0, conclu´ımos que a(x) ∈< m(x) >, i.e., m(x)|a(x). Como e´ evidente que a(x)|m(x), os polino´mios m(x) e a(x) sa˜o associados, e b(x) e´ invert´ıvel. Portanto m(x) e´ irredut´ıvel. E´ evidente que podemos supor m(x) mo´nico. Seja p(x) ∈ Q[x]. Supondo p(α) 6= 0, temos a provar que existe q(x) ∈ Q[x] tal que 1 = q(α)p(α), donde podemos concluir que q(α) ∈ Q[α] e´ o inverso de p(α). Como d(x) = mdc(p(x),m(x)) e´ factor de m(x), e m(x) e´ irre- dut´ıvel, e´ claro que d(x) = 1 ou d(x) = m(x). Se p(α) 6= 0, enta˜o p(x) 6∈< m(x) >, i.e., m(x) na˜o e´ factor de p(x), e portanto d(x) 6= m(x). Neste caso so´ podemos ter d(x) = 1, e existem polino´mios q(x), n(x) ∈ Q[x] tais que 1 = q(x)p(x) + n(x)m(x). Conclu´ımos que 1 = q(α)p(α), e q(α) e´ o inverso de p(α), com q(α) ∈ Q[α]. Como os elementos na˜o-nulos do anel Q[α] teˆm inverso em Q[α], conclu´ımos que Q[α] e´ um corpo. Seja b ∈ Q[α]. Para provar que b e´ alge´brico sobre Q, considere- se o conjunto C = { 1, b, b2, · · · , bn}. Se C tem menos de n + 1 elementos, e´ evidente que existem 0 ≤ k < m ≤ n tais que bk = bm, e b e´ raiz do polino´mio p(x) = xm − xk ∈ Q[x], e e´ por isso alge´brico. Caso contra´rio C e´ um conjunto com mais de n elementos num espac¸o vectorial de dimensa˜o n sobre Q, e e´ por isso linearmente dependente sobre Q. Existem portanto constantes racionais rk ∈ Q (com 0 ≤ k ≤ n) na˜o todas nulas tais que r0 + r1b + · · · + rnbn = 0. Por outras palavras, r(x) = r0+ r1x+ · · ·+ rnxn ∈ Q[x] e´ um polino´mio na˜o-nulo, e r(b) = 0, ou seja, b e´ alge´brico. 3. Suponha que p(x), q(x) ∈ Z[x]. Diga (com a correspondente justi- ficac¸a˜o!) se cada uma das seguintes afirmac¸o˜es e´ falsa ou verdadeira. a) Se p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x] enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel em Z[x]. resoluc¸a˜o: FALSO. O polino´mio p(x) = 2x + 4 e´ irredut´ıvel em Q[x], mas na˜o em Z[x], porque p(x) = 2(x+2). (O polino´mio constante a(x) = 2 e´ invert´ıvel em Q[x], mas na˜o o e´ em Z[x]. Portanto a factorizac¸a˜o indicada e´ trivial em Q[x], mas na˜o e´ trivial em Z[x].) b) Se p(x) e q(x) sa˜o primitivos, enta˜o p(x)q(x) e´ primitivo. resoluc¸a˜o: VERDADEIRO. Seja m(x) = p(x)q(x). Desig- namos os coeficientes dos polino´mios m(x), p(x) e q(x) por re- spectivamente mi, pi, qi. Recordamos que o conteu´do de um 46 CAPI´TULO 3. TESTES RESOLVIDOS polino´mio e´ o ma´ximo divisor comum dos seus coeficientes, e portanto qualquer divisor do conteu´do e´ divisor de todos os seus coeficientes. Um polino´mio em Z[x] e´ primitivo se o seu conteu´do e´ 1. Vamos provar que o conteu´do de m(x) na˜o tem qualquer factor primo, e portanto so´ pode ser 1. Seja a um qualquer nu´mero primo. Como p(x) e´ primitivo, a na˜o e´ factor do conteu´do de p(x), e portanto existem coeficientes de p(x) que na˜o sa˜o mu´ltiplos de a. Seja s o menor ı´ndice i para o qual a na˜o e´ factor de pi. Analogamente, e como q(x) e´ tambe´m primitivo, seja r o menor ı´ndice i para o qual a na˜o e´ factor de qi. Como m(x) = p(x)q(x), e tomando k = s+ r, temos: mk = k∑ i=0 piqk−i = s−1∑ i=0 piqk−i + psqr + k∑ i=s+1 piqk−i. (A primeira soma a` direita e´ vazia se s = 0, e a u´ltima e´-o se r = 0, mas este facto e´ irrelevante para o nosso argumento, como veremos). A primeira soma a` direita, se na˜o for vazia, e´ um mu´ltiplo de a, porque pi e´ mu´ltiplo de a quando i < s. A u´ltima soma a` direita, se na˜o for vazia, e´ um mu´ltiplo de a, porque qi e´ mu´ltiplo de a quando i < r, e se i > s enta˜o k− i = s+ r− i < r. Como o termo restante e´ psqr, que na˜o e´ mu´ltiplo de a, conclu´ımos que mk na˜o e´ mu´ltiplo de a. Portanto a na˜o e´ factor do conteu´do de m(x), e como a e´ arbitra´rio m(x) e´ primitivo. 4. Suponha que G e H sa˜o grupos finitos, respectivamente com n e m elementos, e seja f : G→ H um homomorfismo de grupos. a) Prove que se f e´ injectivo enta˜o n e´ factor de m. resoluc¸a˜o: Se f e´ injectivo enta˜o f(G) tem n elementos. Como f(G) e´ um subgrupo de H, e H tem m elementos, conclu´ımos do teorema de Lagrange que n|m. b) O que pode concluir sobre f se n e m sa˜o primos entre si? resoluc¸a˜o: Sabemos como dissemos acima que f(G) e´ um sub- grupo de H, e portanto o nu´mero de elementos de f(G) e´ divisor de m. Seja N o nu´cleo de f , e recorde-se a identidade: (no de elementos de G) = (no de elementos de N)(no de elementos de f(G)) Segue-se desta equac¸a˜o que o nu´mero de elementos de f(G) e´ tambe´m factor do nu´mero de elementos de G, ale´m de ser factor do nu´mero de elementos de H. O u´nico divisor comum de n e m e´ 1, e portanto f(G) so´ pode ter 1 elemento. Por outras palavras, f so´ pode ser o homomorfismo “trivial”, que transforma todos os elementos de G na identidade de H.
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