EA_grupos

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Estruturas Algébricas Mestrado Matemática
2013-1 UFRJ
Parte I - Grupos
Aula inaugural: teoria elementar das categorias.
Sumário
1 Grupos, morfismos 1
1.1 Grupos, subgrupos, ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Morfismos, subgrupos normais, grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Teoremas de isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Grupo de permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Ações de grupos, subgrupos de Sylow 6
2.1 Ações de grupos em conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Os teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Grupo derivado - grupos solúveis 9
3.1 Centro, grupo derivado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Séries subnormais e de composição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Grupos, morfismos
1.1 Grupos, subgrupos, ordem
Um grupo G ou (G, ∗) é um conjunto (não vazio) munido de uma operação ∗ associativa que admite
um elemento neutro ou identidade e pela qual todo elemento tem um simétrico ou inverso. Isso é:
∀x, y, z ∈ G, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
∃e ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x
∀x ∈ G, ∃x′ ∈ G, x ∗ x′ = x′ ∗ x = e
Se, além disso a operação é comutativa: ∀x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x, G é dito abeliano.
Em geral denotamos a operação como um produto ou uma soma quando é comutativa. Se verifica
facilmente que a identidade é única, é denotada e, 1 em notação multiplicativa ou 0 em notação aditiva;
o simétrico de x é também único, é denotado x−1 em notação multiplicativa ou −x em notação aditiva.
Um subgrupo H de G é um subconjunto que é ele próprio um grupo com a mesma operação de G,
denotamos H < G. Por exemplo, {e} e G são subgrupos de G, chamados subgrupos triviais.
Exercício 1.1.1 Se H é um subconjunto finito de um grupo G estável pela operação, mostre que
H é um subgrupo de G. Dê um contra-exemplo no caso infinito.
Exercício 1.1.2 Mostre que H < G se e só se (∀x, y ∈ H) : xy−1 ∈ H.
Exercício 1.1.3 (Teorema de Lagrange)
Seja G um grupo, H um subgrupo. Por x ∈ G, xH designa o conjunto {xh : h ∈ H}, são as classes
laterais (a esquerda) de H em G.
(a) Mostre que a relação x ∼ y ⇔ y ∈ xH é uma relação de equivalência.
1
(b) Mostre que as classes de equivalência são do tipo xH e estão em bijeção com H. O conjunto
quociente, isso é o conjunto das classes de equivalência denotado G/H. O seu cardinal chama-se
o índice de H em G, denotado [G : H].
(c) Sob qual condição temos xH = H? Quais classes de equivalência são subgrupos?
(d) Demostre o teorema de Lagrange: seja G finito, por H ≤ G então |H| é um divisor de |G|.
(e) Definimos igualmente as classes de equivalência à direita, do tipo Hx. Mostre que as classes à
direita são em bijeção com H e que o conjunto quociente é em bijeção com o conjunto das classes
à esquerda.
Exercício 1.1.4 Seja H um subgrupo de índice finito de G, e K um subgrupo de G contendo H.
Mostre que ele é de índice finito em G e que
[G : H] = [G : K][K : H]
Exercício 1.1.5 Seja G um grupo, S um subconjunto. Porque podemos falar do subgrupo gerado
por S? Denotamos-o < S >.
Um grupo é finitamente gerado quando G =< S > com S é finito, ele é dito monogêneo se é
gerado por um único elemento G =< x >, chamado de gerador. Nesse caso, G é abeliano e pode
ser infinito {. . . , x−1, 1, x, x2, x3, . . . } como (Z,+) ou cíclico quando finito {1, x, x2, . . . , xn−1} como
(Z/nZ,+) ou (Un,×).
A ordem
a
de um elemento x de um grupo G é o cardinal do subgrupo gerado por x, denotado |x|.
Se carateriza como o menor inteiro n > 0 tal que xn = 1. Quando tal n não existe, dizemos que x
tem ordem infinita.
a
Igualmente, ordem designa o cardinal de grupo finito.
Exercício 1.1.6 Seja G um grupo cíclico de ordem n.
(a) Determine todos os subgrupos de um grupo monogêneo infinito e logo de G (tem-se um subgrupo
cíclico de ordem d para cada inteiro d divisor de n). Em particular, todo subgrupo de um grupo
cíclico é cíclico.
(b) Mostre que os geradores de G =< x > são do tipo xk onde k é primo com n. Detalhe o caso
n = 12 e quando n é primo. Denotamos φ(n) o número de geradores do grupo cíclico de ordem
n; essa função chama-se de função de Euler.
(c) Calcule φ(p), φ(pα) (com p primo). O Teorema chinês do resto1 diz que φ é multiplicativa
φ(uv) = φ(u)φ(v) quando mdc(u, v) = 1, deduza φ(n) por n ∈ N.
(d) Agrupe os elementos de G em função da ordem e use (a) para demonstrar que:
∀x ∈ N∗,
∑
d|n
φ(d) = n
(e) Demonstre uma reciproca de (a) para concluir que um grupo finito de cardinal n é cíclico se e só
se por cada d divisor de n existe um único subgrupo de cardinal d. Deduza que todo subgrupo
finito (multiplicativo) de um corpo é cíclico.
Exercício 1.1.7
(a) Mostre que um grupo G tal que todo elemento ( 6= e) tem ordem 2 é abeliano.
(b) Mostre que todo grupo com p elementos, p primo é cíclico.
(c) Prove que existe dois grupos com quatro elementos, ambos abelianos. Aquele que não é cíclico
chama-se o grupo de Klein.
1
Sejam u e v dois inteiros primo entre si, então o grupo cíclico de ordem uv é isomorfo ao produto dos grupos cíclicos
de ordens u e v.
2
1.2 Morfismos, subgrupos normais, grupos quocientes
Um morfismo de grupos f é um mapa entre grupos G→ G′ respeitando as operações:
∀x, y ∈ G, f(xy) = f(x)f(y)
Em particular, f(e) = e′, f(x−1) = (f(x))−1 e por H < G, f(H) < f(G).
Chamamos de núcleo de f , denotado ker f , o conjunto dos antecedentes da identidade f−1({e}), é
obviamente um subgrupo de G. Um morfismo é injetor se e só se ker f = {e}. Se um morfismo é
bijetor, então f−1 é um morfismo. Os dois grupos são ditos isomorfos e escrevemos G ∼= G′. Um
isomorfismo de um grupo em ele mesmo é um automorfismo. O conjunto dos automorfismos de G
é um grupo pela operação de composição; denotado Aut(G).
Exercício 1.2.1 Mostre que x 7→ x2 de G em G é um morfismo se e só se G é abeliano. Quando
G é finito, sob qual condição é um automorfismo? (Repare que se G contem um elemento de ordem
2, então |G| é par por Lagrange).
Exercício 1.2.2 Seja g um elemento qualquer de G. Denotamos ig o mapa:
ig : G → G
x 7→ gxg−1
Mostre que ig é um automorfismo de G (chamado de automorfismo interno ou conjugação por g).
Mostre que o conjunto dos automorfismos internos Int(G) é um subgrupo de Aut(G).
Um subgrupo H de G é normal (ou distinguido) em G se é estável pelos automorfismos internos
∀g ∈ G : gHg−1 = H
Escrevemos então H C G.
No caso abeliano, todo subgrupo de G é normal. Os dois subgrupos triviais {e} e G são sempre
normais, quando são os únicos dizemos que G é um grupo simplesa.
Se H C G então o conjunto quociente G/H pode ser munido de uma estrutura de grupo compatível
com G, no sentido que a projeção G→ G/H definida por x 7→ xH seja um morfismo de grupos.
a
Os grupos simples são as �partículas elementares� que permitem, em grande parte, reconstruir todos os grupos (cf.
cap. 3.2). Os grupos simples finitos são todos conhecidos (mas a classificação completa é muito complicada...).
Exercício 1.2.3 Prove essa última afirmação (observe que H C G se classes a esquerda e classes a
direita coincidem; ∀x ∈ G : xH = Hx).
Exercício 1.2.4 Mostre que subgrupos de índice 2 e núcleos de morfismos são sempre normais.
Explique a "equivalência" entre subgrupos normais e núcleos.
Exercício 1.2.5 Mostre que o Int(G) é subgrupo normal de Aut(G).
Exercício 1.2.6 Mostre que um grupo abeliano simples é isomorfo a Z/pZ onde p é primo.
Exercício 1.2.7 Suponhamos K ≤ H ≤ G, quais implicações são verdadeiras?K C G ⇒ K C H
K C H ⇒ K C G
K C H e H C G ⇒ K C G
Exercício 1.2.8 Seja f um morfismo de G em G′, que podemos dizer da imagem inversa (resp. da
imagem direita) de um subgrupo normal de G′ (resp. G)?
Exercício 1.2.9 (Teorema de correspondência de Noether)
Seja G um grupo e H C G. Mostre que o mapa K 7→ K/H é uma bijeção entre o conjunto dos
subgrupos K tais que H < K < G e o conjunto dos subgrupos de G/H. Prove que o mapa repseita
a normalidade. Faça um exemplo com Z/nZ e encontre de novo Ex. 1.1.5 (a).
3
1.3 Teoremas de isomorfismos
Exercício 1.3.1 (1° Teorema de isomorfismo)
Seja f : G → G′ um morfismo de grupos. Seja H C G, tal que H ⊂ ker f . Mostre que podemos
definir um morfismo f : G/H → G′ tal que f ◦ p = f , onde p é a projeção canônica de G em G/H
(Teorema de fatoração). Verifique que f : G/ker f → Im f é um isomorfismo (1° Teo. de isom.).
Exercício 1.3.2 Sejam G um grupo, H ≤ G, K ≤ G dois subgrupos. Definimos o conjunto
HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.
(a) Demonstre que HK é um subgrupo se e só se HK = KH.
(b) Qual é o cardinal de HK quando ambos subgrupos são finitos?
(c) Mostre que se H ∩K = {e}, então os elementos de HK têm uma escritura única como produto
hk.
(d) Seja G = Z/6Z e H =< 2 >, K =< 3 >. Verifique que G = HK e a unicidade da escritura.
Exercício 1.3.3 (2° Teorema de isomorfismo)
Sejam H e K dois subgrupos de G. Suponhamos K C G. Mostre que H ∩K C H e
H
H ∩K
∼= HK
K
Exercício 1.3.4 (3° Teorema de isomorfismo)
Sejam H e K dois subgrupos normais de G. Suponhamos K ⊂ H. Prove que H/K C G/K e
(G/K)
(H/K)
∼= G
H
Exercício 1.3.5 (Lema de Poincaré)
Suponhamos H ≤ G e K ≤ G ambos de índice finito. Demonstre que H ∩ K é de índice finito
provando:
[G : H ∩K] ≤ [G : H][G : K]
Dê um exemplo onde a desigualdade é estrita, um outro onde temos igualdade.
1.4 Grupo de permutações
Denotamos Sn o conjunto das bijeções de {1, 2, . . . , n} em ele mesmo; os seus elementos são também
chamados de permutações. O grupo de permutações se chama também o grupo simétrico. Os Sn
não são abelianos (n > 2).
Em geral denotamos
σ =
(
1 2 3 4
2 1 4 3
)
por designar a permutação σ(1) = 2, σ(2) = 1, σ(3) = 4, e σ(4) = 3. Um caso particular de permu-
tação são as permutações circulares ou r-ciclos, onde r ∈ {2, 3, . . . , n}, quando existe (i1, i2, . . . , ir)
inteiros distintos em {1, 2, . . . , n} tais que:
σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . . , σ(ir) = i1
todos demais inteiros sendo invariantes. Denotamos σ = (i1, i2, . . . , ir) ou (i1i2 . . . ir). Um 2-ciclo é
chamado de transposição. A composição de permutações será escrito como um produto e lido da
esquerda para a direita, desse modo, σ = (12)(34).
Exercício 1.4.1 Descreve os grupos S1, S2, S3.
4
Exercício 1.4.2 Verifique que a única permutação que comuta com todos demais é a identidade
quando n ≥ 3. (Dica: procure apenas os elementos que comutam com as transposições.)
Exercício 1.4.3 (Decomposição em ciclos)
(a) Demonstre que um r-ciclo é de ordem r.
(b) Chamamos suporte de um r-ciclo c o conjunto dos inteiros {i1, i2, . . . , ir}. Mostre que dois ciclos
com suportes disjuntos comutam.
(c) Demonstre que qualquer permutação se escreve de forma única como produto de ciclos a suporte
disjuntos.
(d) Um exemplo, seja σ a permutação de {1, 2, . . . , n} definida por σ(i) = n + 1 − i. Determine sua
composição em ciclos.
A decomposição em ciclo de uma permutação define naturalemente uma partição de n correspondendo
às ordem dos ciclos ordenados (e.g. do maoir até o menor � incluindo os ciclos triviais). Essa última
é codificável, por exemplo, num diagrama de Young: se σ = (72156)(38) ∈ S8 a partição de n
correspondente é 8 = 5 + 2 + 1 e o diagrama de Young:
O diagrama de Young carateriza o tipo de uma permutação.
Exercício 1.4.4 Demonstre que o r-ciclo c = (i1i2 . . . ir) é composto de r−1 transposições. Deduza
que Sn é gerado pelas transposições.
As transposições geram Sn mas não é a única possibilidade.
Exercício 1.4.5 Mostre que Sn é gerado por cada um dos seguintes conjuntos:
ˆ as transposições (1, i)
ˆ as transposições (i, i+ 1)
ˆ o ciclo (1, 2 . . . , n) e a transposição (1, 2)
Exercício 1.4.6 (Assinatura)
(a) Mostre que:
(ab)(ax1x2 . . . xkby1y2 . . . yl) = (ax1x2 . . . xk)(by1y2 . . . yl)
(ab)(ax1x2 . . . xk)(by1y2 . . . yl) = (ax1x2 . . . xkby1y2 . . . yl)
(b) Definimos a função sinal (ou assinatura) de Sn em {−1, 1} por:
ε(σ) = (−1)n−k
onde k é o número de ciclos (a suportes disjuntos) acrescentado do número de pontos fixos de σ.2
Mostre que ε é um morfismo.
(c) Quando o sinal é 1 dizemos que a permutação é par, ímpar senão. Qual é a paridade de um r-ciclo?
Como determinar a paridade conhecendo a decomposição em ciclos? Caraterize as permutações
pares pelo tipo.
(d) Chamamos de grupo alternado o conjunto das permutações pares; é o núcleo da assinatura e
assim um subgrupo distinguido de índice 2 de Sn. Denotamos-lo An. Mostre que é gerado pelos
3-ciclos (por n > 2).
(e) Demonstre que An é também gerado pelos 3-ciclos do tipo (1, 2, i).
2
Esse número k se chama número de órbitas de σ: é o número de órbitas da ação de < σ > sobre {1, . . . , n} (ver
capítulo seguinte).
5
2 Ações de grupos, subgrupos de Sylow
2.1 Ações de grupos em conjuntos
Uma ação de um grupo G num conjunto X é uma operação externa.
Isso é um mapa:
ϕ : G×X → X
(g, x) 7→ g.x
verificando :
∀g, g′ ∈ G, ∀x ∈ X, g′.(g.x) = (g′g).x
∀x ∈ X, e.x = x
Exercício 2.1.1 Mostre que essa noção é equivalente a dar-se um homomorfismo Φ : G → SX ,
onde SX é grupo simétrico de X (i.e. SX = {f : X → X; f é bijeção}).
A noção de ação de grupo é uma geometrização da noção de grupo. De fato todo grupo age pelo menos
em ele-mesmo, por exemplo: por translação (a equerda): g, x ∈ G, g.x := gx ou por conjugação
(ou automorfismo interno): g, x ∈ G, g.x := gxg−1.
Exercício 2.1.2 (Teorema de Cayley)
Utilize a ação de G em ele mesmo por translação a esquerda para demonstrar que todo grupo finito
é isomorfo a um grupo de permutações (i.e. um subgrupo de Sn).
Algumas definições:
1. Se x ∈ X, a órbita de x, denotada OG(x) (ou G.x) é definida por:
OG(x) = {y ∈ X : ∃g ∈ G, y = g.x}
2. Se x ∈ X, o estabilizador de x, que denotaremos Gx é definido por:
Gx = {g ∈ G : g.x = x}
3. O núcleo da ação é o conjunto dos elementos de G tais que para todos x de X, g.x = x.
Obviamente é o núcleo de Φ. Uma ação é dita fiel quando o núcleo é trivial (nesse caso, G é
isomorfo a um subgrupo de SX).
Exercício 2.1.3
(a) Mostre que Gx < G.
(b) Como descrever o núcleo de uma ação por meio dos estabilizadores?
(c) Mostre que se a ação não é fiel, podemos contudo definir uma ação fiel de G/ ker Φ em X.
(d) Descreva os estabilizadores e as órbitas de x ∈ G pela ação de G em si mesmo por conjugação.
Os primeiros são os centralizadores ZG(x) e as segundas as classes de conjugação [x].
Exercício 2.1.4 (Formula das classes) Seja G um grupo finito que age em X conjunto.
(a) Mostre que |OG(x)| = [G : Gx].
(b) Suponhamos X finito. Considere X/G o conjunto das órbitas ou quociente da ação (é o
quociente de X pela relação x ∼ y ⇔ y ∈ OG(x)). Designamos por Ω um sistema completo de
representante, Ω é dito transversal. Demonstre:
|X| =
∑
x∈Ω
[G : Gx]
6
Exercício 2.1.5 (Teorema de Cauchy)
Prove que se G é um grupo finito de cardinal n e se p é um fator primo de n, então existe um elemento
de ordem p em G. Por isso, introduza o subconjunto
E = {(x1, x2, . . . , xp) : x1x2 . . . , xp = 1}
e passe as seguinte etapas:
(a) Mostre que Z/pZ age naturalmente em E, e que cada órbita tem 1 ou p elementos. Caraterize as
órbitas de um elemento.
(b) Calcule o cardinal de E e deduza o resultado usando a formula das classes.
Exercício 2.1.6 (Formula de Burnside)
Seja G um grupo finito agindo num conjunto finito X. Denotamos Xg o conjunto dos pontos fixos de
g (i.e. os x taisque g.x = x). Mostre que:
|X/G| = 1|G|
∑
g∈G
|Xg|
(Dica: enumere o conjunto das duplas (g, x) onde g.x = x de dois maneiras distintas.)
Em particular, seG age transitivamente em X, então a media do número de pontos fixos dos elementos
de G é igual a 1.
Exercício 2.1.7 Um exemplo de aplicação: uma roda de loteria é dividida em n setores; cada um
é colorido por uma cor escolhida dentro de p cores distintas. Qual é o número de roda de loterias
possíveis (não distinguimos colorações que se deduzem uma da outra por rotação da roda)?
(A formula a obter é:
1
n
∑
d|n
φ(
n
d
)pd
onde φ é a função de Euler.)
Um grupo finito é um p-grupo (p primo) quando o seu cardinal é uma potência de p. O seguinte
exercício mostre que todo p-grupo simples é abeliano, e então isomorfo a Z/pZ (ex. 1.2.5).
Exercício 2.1.8 Seja G um grupo, ele age em si mesmo por automorfismo interno.
(a) Se x ∈ Z(G) (o centro de G, ver (1) no cap.3.), qual é a órbita de x?
(b) Mostre que:
|G| = |Z(G)|+
∑
x∈Ω
[G : Gx]
onde Ω é uma transversal pelo conjunto das órbitas não reduzidas a um ponto.
(c) Deduza que um p-grupo tem um centro não trivial e conclua quando o grupo é simples.
Exercício 2.1.9 (Diagramas de Young e classes de conjugações de Sn). Mostre que os
diagramas de Young codificam as classes de conjugação de Sn. Isso é, duas permutações Sn são
conjugadas se e só se elas são do mesmo tipo.
Exercício 2.1.10 Seja σ ∈ An≥2. Denotamos [σ]An a classe de conjugação de σ em An e [σ]Sn a
classe de conjugação de σ em Sn.
(a) Mostre que [σ]An = [σ]Sn ou [σ]Sn se decompõe em duas classes em An de ordem
1
2
|[σ]Sn |
dependendo se ZSn(σ) não é ou é subconjunto de An.
(b) Deduza que a classe de conjugação de σ ∈ Sn se decompõe em An se e só se seu tipo consiste em
números impares disjuntos.
7
2.2 Os teoremas de Sylow
Por G finito, |G| = pkm com p é primo e p - m; um p-Sylow é um subgrupo de G de ordem pk.
Exercício 2.2.1 Seja G um grupo de ordem pkm onde p é primo e mdc(p,m) = 1.
(a) Chamamos χ o conjunto dos subconjuntos de G tendo pk elementos. Assim, G age em χ por
translação a esquerda (g.X = gX). Calcule o cardinal de χ e demonstre que existe ao menos uma
órbita cujo cardinal não é divisível por p.
(b) Seja A uma tal órbita, GX o estabilizador de um elemento X de A. Demostre que GX é um
p-Sylow de G. Deduza o primeiro teorema de Sylow: todo grupo finito cuja ordem é divisível
por p contem um p-Sylow.
(c) Trocamos de ação. Seja S um p-Sylow de G, e H um p-subgrupo de G. Fazendo agir H em G/S
por translação a esquerda, demostre que H é incluído num conjugado de S. Em particular, todos
os p-Sylow de G são conjugados a S. Isso é o segundo teorema de Sylow.
(d) Deduza que se um grupo admite somente um p-Sylow, esse último é normal emG, e reciprocamente
se G contem um p-Sylow normal, ele é o único p-Sylow de G.
(e) Seja Np o número de p-Sylow de G, use a ação por conjugação de S nos p-Sylow por demonstrar:
Np ≡ 1 mod (p) e Np|m
Isso é o terceiro teorema de Sylow.
2.3 Aplicações
Exercício 2.3.1
1. Determine os p-Sylow de Z/nZ, de Z/6Z× Z/12Z, e de Dn (começa pelo caso p = 2).
2. Procure os 2-Sylow de S4 e de S5.
Exercício 2.3.2 Usando o terceiro teorema de Sylow, demonstre que não existe grupo simples
tendo 30, 42 ou 105 elementos.
Exercício 2.3.3 (Estudo do grupo A5)
Esse grupo é constituído das permutações pares de 5 elementos. Enumere os diagramas de Young
para determinar que A5 contem (além da identidade):
ˆ 15 elementos de ordem 2 (as duplas transposições)
ˆ 20 elementos de ordem 3 (os 3-ciclos)
ˆ 24 elementos de ordem 5 (os 5-ciclos)
Utilize o exercício 2.1 para demostrar os seguintes itens:
(a) Os 3-ciclos formem uma classe de conjugação em A5. Estude igualmente as duplas transposições.
(b) Se H C A5 contem um elemento de ordem 5, então ele os contem todos. (Dica: segundo teorema
de Sylow).
(c) A5 é simples (Dica: um subgrupo normal é reunião de classes de conjugações).
8
O seguinte exercício mostre que o grupo alternado é simples por n > 5. Os casos n = 2, 3, 4 se tratam
facilmente: n = 2, o grupo alternado é trivial; n = 3, o grupo alternado é de ordem 3, ele é simples;
por n = 4, o grupo alternado contem um subgrupo normal, o grupo das duplas transposições.
Exercício 2.3.4 (Simplicidade do grupo alternado (caso geral))
Suponhamos n ≥ 5 e seja H C An. Pegue τ ∈ H, τ 6= id.
(a) Se σ é uma permutação qualquer de An, mostre que στσ
−1τ−1 pertence a H.
(b) Tomando i tal que τ(i) = j, j 6= i, e usando k distinto de i, j, τ(j), construa um 3-ciclo σ, tal que
στσ−1τ−1 deixa fixo pelo menos n− 5 elementos.
(c) A partir do exercício anterior e das duas questões acima, verifique que H deve conter um 3-ciclo
e deduza o resultado.
Exercício 2.3.5 Re-demonstre o teorema de Cauchy usando o teorema de Sylow.
3 Grupo derivado - grupos solúveis
3.1 Centro, grupo derivado
Existem várias maneiras de medir a não-comutatividade de um grupo G. Como visto anteriormente,
podemos utilizar o centro de G, conjunto dos elementos de G que comutam com todos demais:
Z(G) = {z ∈ G : ∀x ∈ G, xz = zx} (1)
Maior ele é, mais próximo é G de ser um grupo comutativo.
É também possível introduzir o chamado grupo derivado assim definido: denotamos [x, y] = xyx−1y−1,
o comutador de x e y. O grupo derivado de G é o grupo gerado pelos comutadores denotado G′
ou D(G). Menor ele é, mais próximo é G de ser um grupo comutativo.
Exercício 3.1.1 Mostre que Z(G) C G e queG/Z(G) ∼= Int(G). DetermineG/Z(G) porG = Dn
e G = Sn.
Exercício 3.1.2 Por G um grupo, define Z1 = Z(G).
(a) Mostre que podemos definir um subgrupo Z2 de G por:
Z2/Z1 = Z(G/Z1)
e que o grupo é normal, e mesmo característico em G. Como iterar essa construção?
(b) Exemplifique no caso de um grupo diedral G = Dn.
(c) Verifique que Z2 pode ser definido por: a ∈ Z2 ⇔ ∀b ∈ G, [a, b] ∈ Z1.
Exercício 3.1.3 Mostre que D(G) C G. Dizemos que um subgrupo é característico em G se ele
é estável por todos os automorfismos de G. D(G) é característico em G?
Exercício 3.1.4 G′ designa o grupo derivado de G.
(a) Mostre que Gab := G/G
′
é abeliano, é o abelianizado de G.
(b) Seja H C G, mostre que G/H é comutativo sse H ⊇ G′.
(c) Mostre que se G′ ≤ H ≤ G então H C G.
(d) Demonstre que todo morfismo f de G num grupo abeliano A se fatora pelo abelianizado (pro-
priedade universal do abelianizado).
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3.2 Séries subnormais e de composição
Uma série subnormal deG é uma sequencia crescente finita de estritas inclusões de subgrupos (Hi)i:
{e} = H0 ( H1 ( H2 ( · · · ( Hn = G
tal que Hi é normal em Hi+1 (se Hi C G a série é dita normal). Um rafinamento de uma série
subnormal (Hi)i é uma série (Ki)i da qual a sequencia (Hi)i é uma subsequencia. O comprimento
maximo de uma série subnormal é uma medida de quanto G é distante de ser simples.a
Uma série de composição (ou série de Jordan-Hölder) é uma série subnormal
{e} = H0 C H1 C · · · C Hn = G
onde todos os fatores Hi+1/Hi são simples.
a
Se G é simples, a única série subnormal é G ⊇ {e}.
Exercício 3.2.1 Mostre que todo grupo finito tem uma serie de composição (poderemos rafinar
uma série subnormal). Prove que Z não tem série de composição.
Exercício 3.2.2 Descreve as séries de composição de Sn.
Exercício 3.2.3 Seja G um p-grupo de ordem pn (faremos uso do exercício 2.1.7).
(a) Demonstre que se H é um subgrupo próprio de G então, ou H é normal em G, ou existe um
conjugado de H incluído no normalizador de H em G. Dica: utilize a ação por automorfismos
internos de H em seus conjugados.
(b) Deduza que todo subgrupo maximal de G é normal em G de índice p.
(c) Demonstre que G admite subgrupos normais de ordem pi por cada 1 ≤ i ≤ n. Dica: raciocina
por recursão usando um elemento de ordem p do centro (não trivial).
(d) Deduza que todo subgrupo H de G inicia uma série normal H = H0 C H1 C · · · C Hn = G com
[Hi+1: Hi] = p.
Exercício 3.2.4 (Lema da borboleta)
Sejam duas pares de subgrupos de G, H1 C H2 e K1 C K2. Demonstre que:
H1(H2 ∩K1) C H1(H2 ∩K2) e K1(K2 ∩H1) C K1(K2 ∩H2)
e que os grupos quocientes são isomorfos ao grupo
(H2 ∩K2)/(H1 ∩K2)(H2 ∩K1)
Será útil fazer um esquema da organização dos grupos intervindo nesse lema e daí entender porque se
chama o lema da borboleta.
Duas séries subnormais são equivalentes se elas têm o mesmo comprimento e os mesmos fatores (a
menos isomorfismo).
Exercício 3.2.5 (Teoremas de Schreier e de Jordan-Hölder)
(a) Utilize o lema da borboleta para demonstrar que duas séries subnormais têm rafinamentos equiva-
lentes. Isso é o teorema de Schreier. Deduza que o comprimento maximo de uma série subnormal
é bem definido e que as séries de composição são as séries subnormal de comprimento maximo.
(b) Deduza que todas séries de composições de um grupo são equivalentes. Esse resultado é o teorema
de Jordan-Hölder, ele diz que (as classes de isomorfismo de) os fatores de uma série de composição
dependem apenas do grupo. Eles são os fatores de composição de G.
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3.3 Grupos solúveis
Um grupo é solúvel quando seus fatores de composição são abelianos.
Exercício 3.3.1 Mostre que um grupo simples não comutativo não é solúvel.
Exercício 3.3.2 Examine a solubilidade dos grupos Sn.
Os seguintes resultados serão útil no estudo de solubilidade por radicais na teoria de Galois.
Exercício 3.3.3 Demonstre que um grupoG finito é solúvel se e só se ele contem uma série cíclica,
isso é uma série subnormal
{e} = H0 C H1 C · · · C Hn = G
com os fatores Hi+1/Hi cíclicos. Mostre que podemos requerer que os fatores tenham ordem primos.
Exercício 3.3.4 Denotamos G(i) a sequencia dos grupos derivados sucessivos de G:
G(0) = G, G(i+1) = (G(i))′
é a série derivada de G.
(a) Mostre que a sequencia é decrescente e que G é solúvel se e só se existe n tal que G(n) = {e}.
(b) Verifique que subgrupos e grupos quocientes de grupos solúveis são solúveis.
(c) Prove a reciproca: seja H C G, então G é solúvel se e só se H e G/H são solúveis.
Referências
[1] P. Aluffi. Algebra: Chapter 0. AMS Graduate Studies in Mathematics (Vol. 104), 2009.
[2] J. Delcourt. Théorie des groupes. Dunod, 2007.
[3] A. Gonçalves. Introdução à àlgebra. IMPA, 1979.
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