Probabilidade

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Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal
Disciplina: Estatística Básica - 2012.1 Aula 4
Professor: Carlos Sérgio
UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula)
1 Definição Clássica de Probabilidade
Dado um experimento aleatório, sendo Ω o seu espaço amostral, vamos admitir que
todos os elementos de Ω tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que Ω é um
conjunto equiprovável.
Define-se probabilidade de um evento A (A ⊂ Ω) ao número real P (A), tal que:
P (A) =
número de resultados favoráveis a A
número de resultados possíveis
=
n(A)
n(Ω)
2 Definição Axiomática de Probabilidade
Para um dado experimento, é necessário atribuir para cada eventoA no espaço amostral
Ω um número P (A) que indica a probabilidade de A ocorrer. Para satisfazer a definição
matemática de probabilidade, este número P (A) de satisfazer três axiomas específicos:
Axioma 1: Para qualquer evento A, P (A) ≥ 0.
Axioma 2: P (Ω) = 1.
Axioma 3: Para qualquer sequência finita de eventos disjuntos A1, A2, . . . , An
P
(
n⋃
i=1
Ai
)
=
n∑
i=1
P (Ai)
2.1 Propriedades
P.1 - P (φ) = 0
P.2 - Para qualquer sequência infinita de eventos disjuntos A1, A2, . . .
1
P
( ∞⋃
i=1
Ai
)
=
∞∑
i=1
P (Ai)
P.3 - Para qualquer evento A,
P (Ac) = 1− P (A)
P.4 - Para qualquer evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1.
P.5 - Se A ⊂ B, então P (A) ≤ P (B).
P.6 - Para qualquer evento dois eventos A e B
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
P.7 - Se os eventos A1, A2, . . . , An formam uma partição do espaço amostral, então:
n∑
i=1
P (Ai) = 1
Exemplo 1: Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos A = {soma dos
números igual a 9}, B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4} e C = {soma dos
números menor ou igual a 4}. Enumere os elementos de A, B, C, A∩B e A∩C. Obtenha
P (A ∪B) e P (A ∪ C)
Exemplo 2:Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P (A) = P (B) = P (C) = 1
4
,
P (A∩B) = P (C ∩B) = 0 e P (A∩C) = 1
8
. Calcule a probabilidade de que ao menos um
dos eventos A, B ou C ocorra.
Exemplo 3 Sendo P (A) = x, P (B) = y e P (A ∩ B) = z, calcular: a) P (Ac ∪ Bc), b)
P (Ac ∩Bc), c) P (Ac ∩B) e d) P (Ac ∪B)
Resolução:
a) P (Ac ∪Bc) = P (A ∩B)c = 1− P (A ∩B) = 1− z
b) P (Ac∩Bc) = P (A∪B)c = 1−P (A∪B) = 1−{P (A)+P (B)−P (A∩B)} = 1−x−y+z
c) P (Ac ∩B) = P (B − A) = P (B)− P (A ∩B) = y − z
d) P (Ac ∪B) = P (A)c + P (B)− P (Ac ∩B) = (1− x) + y − (y − z) = 1− x+ z
2
3 Eventos Independentes
Suponha que dois eventos A e B ocorram independentes um do outro no sentido que
a ocorrência ou não de um deles tenha nenhuma relação, e nenhuma influência na ocor-
rência ou na não ocorrencia do outro. Nessas condições
P (A ∩B) = P (A) · P (B)
Definição: Dois eventos são independentes se P (A ∩B) = P (A) · P (B).
Problema
Sejam A e B eventos tais que P (A) = 0, 2, P (B) = P , P (A ∪ B) = 0, 6. Calcular P
considerando A e B:
a) Mutuamente exclusivos;
b) independentes.
Resolução
a) P (A ∩B) = 0 como P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) vem 0, 6 = 0, 2 + p− 0
∴ P = 0, 4
b) P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0, 2 · P como P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
vem 0, 6 = 0, 2 + P − 0, 2P ∴ 0, 4 = 0, 8P logo, P = 0, 5
4 Probabilidade Condicional
SeA eB são dois eventos, a probabilidade deA ocorrer, depoisB ter acontecido, é rep-
resentada por P (A/B) (Probabilidade deA dadoB) e é denominada probabilidade condicional
de A, depois de B ter ocorrido.
É portanto natural definir-se a probabilidade condicional P (A/B) como a proporção
da probabilidade total P (B) que é representada pela probabilidade P (A ∩ B). Portanto,
tem-se a seguinte definição
P (A/B) =
P (A ∩B)
P (B)
, dado P (B) > 0
Se P (B) = 0 a P (A/B) não é definida
ou, equivalentemente
P (B/A) =
P (A ∩B)
P (A)
, dado P (A) > 0
3
Se P (A) = 0 a P (B/A) não é definida.
Tiramos da definição da probabilidade condicional o chamado TEOREMA DO PRO-
DUTO: Sejam A ⊂ Ω e B ⊂ Ω. Então, P (A ∩ B) = P (B) · P (A/B) ou P (A ∩ B) =
P (A) · P (B/A).
Exemplo: Um grupo de 86 pessoas está assim formado:
Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que seja:
a) Uma mulher que fez o curso de medicina ?
b) Uma pessoa que fez o curso de medicina ?
c) Um engenheiro dado que seja homem ?
d) Não ser médico dado que não seja homem ?
5 Probabilidade Total
Seja Ω o espaço amostral de um experimento, e considere K eventos A1, A2, . . . , Ak
em Ω tal que A1, A2, . . . , Ak sejam disjuntos e
⋃n
i=1Ai = Ω. Diz-se, então, que estes
eventos formam uma partição de Ω.
Se os eventos A1, A2, . . . , Ak formam uma partição de Ω, e B é qualquer outro evento
em Ω, então:
B = (A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B) ∪ . . . ∪ (Ak ∩B)
Como os K eventos do lado direito da equação anterior são disjuntos:
P (B) =
k∑
i=1
P (Aj ∩B)
Mas P (Aj ∩B) = P (Ai) · P (B/Aj) em que j = 1, 2, . . . , k. Então
P (B) =
k∑
i=1
P (Aj) · P (B/Aj)
Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém
4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também
ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
4
6 Teorema de Bayes
Sejam os eventos j = 1, 2, . . . , k que formam uma partição do espaço amostral Ω tal
que P (Aj) > 0 para todo j = 1, 2, . . . , k e sejaB qualquer evento tal que P (B) > 0. Então,
para i = 1, 2, . . . , k, temos:
P (Ai/B) =
P (Ai)P (B/Ai)∑k
i=1 P (Aj) · P (B/Aj)
(1)
Prova: Pela definição de probabilidade condicional,
P (Ai/B) =
P (Ai ∩B)
P (B)
O numerador da equação (1) é igual a P (Ai∩B) e o denominador é igual a P (B) (pela
fórmula para probabilidade total).
Exemplo: Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40
por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por
cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e
se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina
A? Da B? Da C?
5
Exercícios
1. Dez fichas numeradas de 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, nu-
meradas (X, Y ), são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a
probabilidade de que seja X + Y = 10?
2. Considere o conjunto de números inteiros {1, 2, 3, . . . , 19, 20}, e, por meio de um
sorteio aleatório, retire um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabil-
idade de o número sorteado ser o número 13?
3. A probabilidade de que o aluno A resolva determinado problema é 2/3 e a probabil-
idade de que o aluno B o resolva é 4/5. Se ambos tentarem independentemente a
resolução, qual a probabilidade de o problema ser resolvido?
4. Numa festa beneficente, foram vendidos 20 números, e serão sorteados dois prêmios.
Qual a probabilidade de uma pessoa que tenha adquirido quatro números ganhar os
dois prêmios?
5. Em um certo locus podem ocorrer dois alelos: C e D. Admitamos que os possíveis
genótipos têm as seguintes probabilidades:
P (CC) = 0, 46; P (CD) = 0, 31; P (DD) = 0, 23.
Qual é a probabilidade de que um genótipo contenha:
a) o alelo C?
b) o alelo D?
6. Um lote é formado por 10 animais sadios, quatro com problemas menores e dois
com problemas graves. Todos os animais são numerados e é feita a escolha de um
animal ao acaso. Ache a probabilidade de que:
a) ele não tenha problemas;
b) ele não tenha problemas graves;
c) ele ou seja sadio ou tenha problemas graves.
7. Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4
verdes. Qual a probabilidade de que ambas
a) sejam verdes?
b) sejam da mesma cor?
8. uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se 3 bolas (uma
após a outra). Achar a probabilidade de que:
a) nunhuma seja vermelha
b) exatamente uma seja vermelha
c) todas sejam da mesma cor.6
9. As probabilidades de 3 jogadores, A, B, C, marcarem um gol quando cobram um
pênalti são 2
3
, 4
5
e 7
10
, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a
probabilidade de que pelo menos um marque um gol?
10. Numa população composta por 200 animais de duas raçasX e Y , os animais podem
ser fecundos e não fecundos. Vinte por cento dos animais da raça X são fecundos;
trinta por cento dos animais da raça Y sao nao fecundos e setenta e cinco por cento
dos animais são da raça X. Escolhe-se um animal ao acaso. Determine a probabili-
dade desse animal:
a) ser da raça Y dado que é fecundo;
b) ser não fecundo dado que é da raça Y .
11. Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é propor-
cional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que
o ponto 2). Calcular:
(a) a probabilidade de sair 5, dado que o ponto que saiu é ímpar;
(b) a probabilidade de tirar um número par, dado que saiu um número maior que 3.
12. Demonstre que, se A e B forem eventos independentes, também o serão A e B, A
e B, A e B.
13. A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolas
brancas e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na
urna 2. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade
de que esta bola seja branca?
14. Uma indústria produz determinado tipo de peça em três máquinas M1,M2 e M3.
A Máquina M1 produz 40% das peças, enquanto M2 e M3 produzem 30% cada
uma. As porcentagens de peças defeituosas produzidas por essas máquinas são
respectivamente iguais a 1%, 4% e 3%. Se uma peça é selecionada aleatóriamente
da produção total, qual é a probabilidade dessa peça ser defeituosa?
15. A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8
azuis. Joga-se uma moeda honesta. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da
urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída.
Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento? (3
4
)
16. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 de altura.
60% dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais
de 1,75 m. Qual a probabilidade de que seja homem? ( 8
11
= 0, 7272)
17. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam
empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de:
a) A ganhar todas a três; (1
8
)
b) duas partidas terminarem empatadas; ( 5
72
)
c) A e B ganharem alternadamente. ( 5
36
)
7
18. Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro,
86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema.
Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
a) não tenha acertado nenhum problema? ( 37
124
)
b) tenha acertado apenas o segundo problema? ( 21
124
)
19. São retiradas, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a
probabilidade de que as duas sejam de ouros? ( 1
16
)
20. Um lote de certo tipo de peças é formado de 9 peças boas, 2 com pequenos defeitos
e uma com defeito grave. Uma dessas peças é escolhida ao acaso. Determine a
probabilidade de que a peça escolhida:
a) não tenha defeito; (3
4
)
b) não tenha defeito grave. (11
12
)
21. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se
a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0, 6, enquanto a probabilidade da
ocorrência de A for igual a 0, 4, determine a probabilidade da ocorrência de B.
22. As probabilidades de que dois eventos independentes ocorram são p e q, respectiva-
mente. Qual a probabilidade:
a) de nenhum desses eventos ocorra?
b) de que pelo menos um desses eventos ocorra?
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