ENEM Matemática - Curso Anglo - 9 Resoluções

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AULA 13 
1. De 4a + 2b + c = 0, temos a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = 0 e, portanto, 2 é uma raiz da equação ax2 + bx + c = 0.
De a + 2b+ 4c = 0, temos e, portanto, é uma raiz da equação ax2 + bx + c = 0.
Como a equação ax2 + bx + c = 0 possui somente duas raízes, temos que as raízes são 2 e e, assim, são núme-
ros recíprocos. (Alternativa C)
2. A raiz comum é –1. As outras raízes são e –2007, cujo produto é 1. (Alternativa B)
3. Se ∆ � 0, temos . Multiplicando o numerador e o denominador por , temos:
(Alternativa E)
1. Fatorando, temos (x – 37 – 13)(x – 37 + 13) = 0. Logo (x – 50)(x – 24) = 0. Assim, x = 50 ou x = 24. Portanto, a
maior raiz é 50. (Alternativa D)
2. Sendo y = x2 + x, temos . Logo y2 – y – 156 = 0 ∴ y = 13 ou y = –12.
Então x2 + x – 13 = 0 ou x2 + x + 12 = 0. A soma das raízes da equação x2 + x – 13 = 0 é –1 e a soma das raízes da
equação x2 + x + 12 = 0 é –1. Assim, a soma de todos os valores de x será –2. (Alternativa D)
3. Ao analisarmos o volume de água desde o início, temos:
• início: 0 litros
• primeira substituição: V litros
• segunda substituição: 
Do enunciado, temos 
Resolvendo a equação e observando que V � 0, temos V = 500. (Alternativa A)
4. Fatorando, temos (2x – 45 + x – 21)(2x – 45 – x + 21) = 0 ∴ (3x – 63)(x – 24) = 0.
Logo, x = 21 ou x = 24. A diferença é dada por 24 – 21 = 3. (Alternativa B)
V
V
V V V
V
− + = − − =⋅ ∴
2000
2000 1125 2
2000
875
2
.
V
V
V V− +⋅
2000
y
y
+ =1
156
CasaEm
x
b
a b
b b ac
a b
ac
a b
c
b
=
−( ) −  
− ±( ) =
− −
 
− ±


=
− ±


=
− ±
2 2 2 2
2
4
2
4
2
2
∆
∆ ∆ ∆∆
− ±b ∆x b
a
=
− ± ∆
2
−
1
2007
1
2
1
2
a b c⋅ ⋅



 + + =
1
2
1
2
0
2
ClasseEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
Resoluções
NÍVEL 2
www.cursoanglo.com.br
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática2008
5. Se as raízes são a e b, temos a + b = –a e a ⋅ b = b. Se b ≠ 0, temos a = 1 e b = –2.
Então a – b = 1 –(–2) = 3. (Alternativa D)
AULA 14
1. Somando as equações dadas, temos:
x(x + y + z) + y(x + y + z) + z(x + y + z) = 2005 + 2006 + 2007 ∴
(x + y + z)(x + y + z) = 6018 ∴ (x + y + z)2 = 6018 ∴
Se temos, das equações do sistema, 
Se temos, das equações do sistema, 
Assim, temos duas ternas de soluções. (Alternativa C)
2. Tem-se a = k(b + c), b = k(c + a) e c = k(a + b). Logo, (a + b + c) = 2k(a + b + c). Há dois casos: 
I) a + b + c ≠ 0; neste caso, (e a igualdade ocorre se e só se a = b = c ≠ 0);
II) a + b + c = 0. Neste caso, tem-se . Portanto, k pode assumir os valores ou –1.
(Alternativa C)
3. Sendo r e s as raízes da equação, temos 
Logo, r2 + s2 = b2 – 2c.
Assim, (Alternativa B)
1. Devemos ter c(c + 1) = 30; então c = 5. Agora, para a + b = 25, temos 24 soluções diferentes para o par (a, b). Daí,
a resposta correta seria 24. (Alternativa C)
2. Seja Então a = k ⋅ b e c = k ⋅ d. Logo, (Alternativa C)
3. A soma a + b é 1 se a = 0 e b = 1, ou seja, incompatível com o desenho. A soma é 2 se , também
incompatível. E a soma é 3 se ou , ambos incompatíveis.
Os casos em que a soma é 4 são: ou ou , todos incompatíveis.
Como todas as quatro primeiras alternativas são falsas, a alternativa (E) é a verdadeira.
De fato, a soma é 5 nos casos: ou ou ou , dos quais a possibilidade
a = 2 e b = 3 dá a fração (Alternativa E)
a
b
= ≅
2
3
0 67, .
a
b
=
4
1
1�
a
b
=
3
2
1�
a
b
=
2
3
1
2
�
a
b
=
1
4
1
2
�
a
b
= =
3
1
3
a
b
= =
2
2
1a
b
=
1
3
1
2
�
a
b
= =
2
1
2
a
b
=
1
2
a
b
= =
1
1
1
a
b
= 0,
a c
b d
kb kd
b d
k b d
b d
k
a
b
+
+
=
+
+
=
+( )
+
= = .k
a
b
c
d
= = .
CasaEm
 
r s r s r rs s
b
b c
c
b b c b bc3 3 2 2 2 2 3
1
2
1
3 3+ = +( ) − +  = − −( )





 − −



 = −
  = − .
r s r s rs
b c2 2 2
2
2
1
2
1
+ = +( ) − = − −( )



 − .
1
2 
a
b c
b
c a
c
a b+( ) = +( ) = +( ) = −1
 
k =
1
2
x y e z= − = − = −
2005
6018
2006
6018
2007
6018
, .x y z+ + = − 6018,
x y e z= = =
2005
6018
2006
6018
2007
6018
, .x y z+ + = 6018,
x y z+ + = ± 6018.
ClasseEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
4. Sejam H, M e C as quantidades de homens, mulheres e crianças, respectivamente. Temos e .
Logo, Logo, a razão entre o número de adultos e crianças é
(Alternativa D)
AULA 15
1. Sabendo que 
e
Sendo O, B e M inteiros, a única possibilidade é O = 4, M = 6 e 
Assim, O + B + M = 4 + 10 + 6 = 20. (Alternativa B)
2. Como e x é inteiro positivo,
⇔ 4x2 – 4x + 1 = 4x2 – y
⇔ y = 4x – 1
A única alternativa que contém um número da forma 4x – 1 é a alternativa C. (Alternativa C)
3. Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo, temos que o volume é dado por V = a ⋅ b ⋅ c. Ainda, a ⋅ b = 6, b ⋅ c = 12
e a ⋅ c = 8. Multiplicando as equações membro a membro, temos a2 ⋅ b2 ⋅ c2 = 6 ⋅ 12 ⋅ 8 ∴ (abc)2 = 576 ∴
V2 = 576 ∴ V = 24. (Alternativa D)
1. a(b + c) – b(a + c) = c(a – b), que é máximo quando c é máximo (ou seja, igual a 10) e b – a é máximo (ou seja, b = 10
e a = 1). Portanto, o produto máximo é 10 × (10 – 1) = 90. (Alternativa D)
2. (Alternativa B)
x
y
y
x
x y x y
x y
x y
xy
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2 5
2
25
4
+ + =
  +   +
=
+
 
( ) =
( )
( ) = .
CasaEm
⇔ − = −2 1 2
1
4
2x x y
⇔ + − + − + − =x y x y x y x y
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
x y x y x y x y+ − − = ⇔ + − −





 =
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2( )
x y x y+ −
1
2
1
2
�
B = =
×
240
4 6
10.
O B M O
O
O O ou O+ = ⇔ + = − + = = =× ⇔ ⇔64
240
64 640 240 0 4 602 .
O B M
M
M M M M ou M× × ⇔ ⇔= ⇔ + = − + = = =46
240
46 46 240 0 6 402
O B M O B
M
B M
O
× × × ⇔ ×= ⇔ = =240
240 240
,
ClasseEm
 
H M
C
H
C
M
C
+( )
= + = + =8
16
3
40
3
.H
C
H
M
M
C
= =⋅
16
3
.
M
C
= 8
H
M
=
2
3
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
3. Sendo HJ = a, EJ = b, FJ = c e GJ = d, temos que a área pedida é a ⋅ b e e ainda a ⋅ d = 5, b ⋅ c = 8 e c ⋅ d = 10.
Temos:
a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = a ⋅ b ⋅ c ⋅ d
a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = a ⋅ d ⋅ b ⋅ c
a ⋅ b ⋅ 10 = 5 ⋅ 8
a ⋅ b = 4
Logo, a área é 4.
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008