(20171030130129)Exercícios 3 Produto escalar e vetorial

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Exerc´ıcios Unidade 3 - GAAV - Vetores no plano e no espac¸o
Professora Luciana Franc¸a da Cunha Aguiar
Questa˜o 1. Conhecendo-se
→
u= (1, 2, 0),
→
v= (0, 1, 3) e
→
w= (−1, 3, 1) calcular os escalares m, n e p tal que
m.
→
u +n.
→
v +p.
→
w= (0, 0, 14). m = −1, n = 5, p = −1
Questa˜o 2. Determinar o vetor
→
x, tal que 5.
→
x=
→
u −2. →v , sendo →u= (−1, 4,−15) e →v= (−3, 2, 5).
→
x= (1, 0,−5)
Questa˜o 3. Dados A = (−1,−1, 0) e B = (3, 5, 0), calcular P tal que
→
AP=
2
3
→
AB. P =
(
5
3
, 3, 0
)
Questa˜o 4. Determinar o vetor ~x na equac¸a˜o 2.~x−3.~u+4.~v = −2. ~w+~x+3.~u, sendo: ~u = (−1, 4), ~v = (3, 2)
e ~w = (−4,−1). ~x = (−10, 18)
Questa˜o 5. Sabendo-se que
→
u e
→
v sa˜o perpendiculares tais que | →u | = 5 e | →v | = 12, calcular | →u + →v |
e | →u − →v |. 13 e 13
Questa˜o 6. Calcular os mo´dulos e o produto escalar dos vetores
→
u= (3, 4, 0) e
→
v= (1,−1,√7).
| →u | = 5, | →v | = 3,→u . →v= −1
Questa˜o 7. Determine m, sabendo que os vetores
→
u= (3,m, 1) e
→
v= (1,−√2,−1) sa˜o ortogonais.
m =
√
2
Questa˜o 8. Sendo
→
u= (1,−2, 1) e →v= (−1, 1), achar a medida do aˆngulo entre os vetores →u e →v . 150◦
Questa˜o 9. Provar que ABC e´ um triaˆngulo retaˆngulo sendo A = (3,−2, 8), B = (0, 0, 2) e C =
(−3,−5, 10).
Questa˜o 10. Achar o aˆngulo θ entre os vetores
→
u= (10,−5, 0) e →v= (1, 2, 3). θ = pi
2
Questa˜o 11. Os vetores
→
u= (a, 1, 0) e
→
v= (2,−1, 2) formam um aˆngulo de 45◦. Achar os valores de a.
−1 e −7
Questa˜o 12. Sa˜o ortogonais os vetores
→
u= (2, 4, 1) e
→
v= (1, 0,−2)? Sim
Questa˜o 13. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A = (0, 0, 0), B = (1,−2, 1) e C = (1, 1,−2). Pede-se o aˆngulo
interno ao ve´rtice A. 120◦
Questa˜o 14. Determinar a para que o aˆngulo entre os vetores
→
u= (1, a, 0) e
→
v= (0, 1, 0) seja de 45◦.
a = ±1
Questa˜o 15. Calcular o valor de m para que o vetor
→
u +
→
v seja ortogonal ao vetor
→
w − →u, onde
→
u= (2, 1,m),
→
v= (m+ 2,−5, 2) e →w= (2m, 8,m). −6 e 3
Questa˜o 16. Os pontos A = (2, 1, 2), B = (1, 2, z) e C = (−1, 0,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo
retaˆngulo, com aˆngulo reto em B. Calcular z. −1 e 2
Questa˜o 17. Calcular | →u + →v |, sabendo-se que | →u | = 4, | →v | = 6 e o aˆngulo entre →u e →v e´ 60◦.
2
√
19
Questa˜o 18. Sendo | →u | = 2, | →v | = 3, | →w | = 4, o aˆngulo entre →u e →v e´ 90◦ e o aˆngulo entre →v e →w e´
30◦, calcular:
(a) | →u + →v | √13 (b) (→u + →v ).(→u − →v ) −5 (c) | →u + →v + →w |
√
37 + 12
√
3 ou
√
21 + 12
√
3
Questa˜o 19. Sendo
→
u,
→
v e
→
w mutuamente ortogonais, demonstrar que:
(a) | →u + →v |2 = | →u |2 + | →v |2
(b) | →u + →v + →w |2 = | →u |2 + | →v |2 + | →w |2
Questa˜o 20. Sabendo-se que os vetores
→
u,
→
v e
→
w formam dois a dois aˆngulos de 60◦ e tais que | →u | =
4, | →v | = 2 e | →w | = 1. Achar o mo´dulo do vetor →s=→u + →v + →w. | →s | = √35
Questa˜o 21. Sabendo que
→
u= (1, 0, 0),
→
v= (0, 1, 0) e
→
w= (0, 0, 1). Efetuar:
(a) (
→
u × →w)× (→u × →v ) = − →u
(b) (
→
u × →w)× (→w × →v )× (→v × →v ) = →0
Questa˜o 22. Conhecidos
→
u= (2, 3, 1) e
→
v= (1,−1, 2), pede-se:
(a)
→
u × →v = (7,−3,−5)
(b)
→
v × →u = (−7, 3, 5)
(c) | →u × →v | = √83
(d) | →v × →u | = √83
Questa˜o 23. Determinar um vetor concomitantemente perpendicular aos vetores
→
u +
→
v e 2.
→
v − →u,
sendo
→
u= (1, 1, 0) e
→
v= (2, 0,−1). (−3, 3,−6)
Questa˜o 24. Sejam os vetores
→
u= (3,−2,−6),→v= (2,−1, 0) e →w= (1, 3, 4), achar:
(a)
→
u .
→
v = 8
(b) | →u × →v | = √181
(c)
→
u × →v . →w = −38
(d) (
→
u × →v )× →w = (−51, 25,−6)
(e)
→
u ×(→v × →w) = (−62, 3,−32)
Questa˜o 25. Considerando os vetores
→
u= (1, 2, 3),
→
v= (−1, 1, 2),→a= (2,−4, 3) e →b= (2,−1, 0), calcular:
(a) (
→
u × →v ).(→a × →b ) = −9
(b) (
→
u × →v )× (→a × →b ) = (−48, 3, 21)
Questa˜o 26. Dados os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (−1, 1, 2), assinale a alternativa em que os vetores sa˜o
simultaneamente ortogonais a ~u e ~v. (2, -2, 2) ou (-2, 2, -2)
Questa˜o 27. Dados os pontos A(3,−3, 3), B(2,−1, 2) e C(0, 1, 3), determinar o aˆngulo interno do
triaˆngulo ABC em relac¸a˜o ao ve´rtice B. aproximadamente 133◦
Questa˜o 28. Considere o triaˆngulo de ve´rtices A(1, 1, 1), B(3,−3,−k) e C(−2, 4, 3). Para quais valores
de k esse triaˆngulo sera´ retaˆngulo em A? k = −10
Questa˜o 29. Sendo A(2,−5, 3) e B(7, 3,−1) ve´rtices consecutivos de um paralelogramo ABCD e
M(4,−3, 3) o ponto de intersec¸a˜o das diagonais, determinar os ve´rtices C e D. C(6,−1, 3) e
D(1,−9, 7)
Questa˜o 30. Dados os pontos A = (3,m, 0) e B = (8, 2m− 1,m), determinar m de modo que |
−→
AB | =√
30. m = -1 ou 2
Questa˜o 31. Encontre os aˆngulos ente os vetores ~u = (3, 3, 0) e ~v = (2, 1,−2). arccos(√2/2)
Questa˜o 32. Dados os vetores ~a = (3, 4, 2) e ~b = (2, 1, 1). obter um vetor de mo´dulo 2 que seja ao mesmo
tempo ortogonal aos vetores −~b e ~a+~b.
(
4√
30
, 2√
30
, −10√
30
)
ou
(
−4√
30
, −2√
30
, 10√
30
)
Questa˜o 33. Determinar o valor de c para que os vetores ~u = (6, 4, 2) e ~v = (1,−1, c+1) sejam ortogonais.
c=-2
Questa˜o 34. Na figura a seguir esta˜o desenhados dois vetores ~x e ~y. Esses vetores representam desloca-
mentos sucessivos de um corpo. Qual e´ o mo´dulo do vetor igual a ~x+ ~y? 5 cm
Questa˜o 35. Dados os vetores ~a = (2, 1, 1) e ~b = (3, 0, 2), determine ~c = ~a×2.~b e |~c|. ~c = (4,−2,−6)
e |~c| = √56
Questa˜o 36. Considere a figura abaixo. Determine o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do vetor ~C = ~B × ~A
sabendo que ~A = (2, 0, 1), ~B = (3, 1, 1) e θ = 30◦ Mo´dulo:
√
6; Sentido: Positivo para x, Negativo
para y, Negativo para z; Direc¸a˜o: Perpendicular ao plano que ~B e ~A determinam
Questa˜o 37. Calcule o produto misto N = ~a . ~b× ~c para ~a = (2, 2, 2), ~b = (1, 2, 2) e ~c = (1, 2, 3). 2
Questa˜o 38. Determine o aˆngulo entre os vetores ~a = (2̂i, 0ĵ, 1k̂) e ~b = (1̂i, 0ĵ, 2k̂). θ = arccos(4/5)
Questa˜o 39. Qual a origem do vetor ~u = (−1, 3), sabendo que sua extremidade esta´ em (3, 1). (4,−2)
Questa˜o 40. Qual o valor de x para que os pontos A(1,−3, 0), B(x, 1, 4) e C(−x,−4,−2) sejam colinea-
res? −3
Questa˜o 41. Obter o ponto P do eixo das cotas (Oz) cuja distaˆncia ao ponto A(−2, 0, 3) seja igual a 2.
P (0, 0, 3)
Questa˜o 42. Determine o versor ~u do vetor ~v = (4, 2,−4). ~u = (2/3, 1/3,−2/3)
Questa˜o 43. Considere A = (−1, 1, 2), B = (0, 1, 3) e C = (−1, 2, 8) e encontre a a´rea do paralelogramo
de lados
−→
AB e
−→
AC.
√
38
Questa˜o 44. Sejam ~u =
(√
m, 1,
1
2
)
e ~v =
(√
m,
1
2
, 1
)
. Determine m, sabendo que o cosseno do aˆngulo
entre ~u e ~v vale
1
3
. −7
8
Questa˜o 45. Considere os vetores ~u = (2,−1, 3) e ~v = (2,−1, 1) e determine um vetor ortogonal a ~u e a
~v ao mesmo tempo. Este vetor e´ unita´rio? Se na˜o for, calcule seu versor.
Na˜o.
(√
20
10
,
√
20
5
, 0
)
ou
(
−
√
20
10
,−
√
20
5
, 0
)
Questa˜o 46. Dados os vetores ~u = (1, 1,−1) e ~v = (2,−1, 1), determine o vetor ~w tal que este seja
ortogonal a ~b = (2, 0, 0) e, ale´m disso, ~u = ~w × ~v. ~w = (0, 1/2, 1/2)