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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 1/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 1 RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA DDDOOOSSS MMMAAATTTEEERRRIIIAAAIIISSS III AAppoossttiillaa –– SSoolliicciittaaççããoo AAxxiiaall Índice SOLICITAÇÃO AXIAL .................................................................................................... 2 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ....................................................................................... 2 1.1. Hipóteses Simplificadoras: .............................................................................................. 2 1.2. Classificação dos Elementos Estruturais: ........................................................................ 3 1.3. Tipos de Carregamento: .................................................................................................. 4 1.4. Tipos de Apoio: ............................................................................................................... 5 1.5. Classificação dos Esforços: ............................................................................................. 5 1.6. Esforços Solicitantes: ...................................................................................................... 6 1.7. Grandezas Fundamentais: ............................................................................................... 6 1.8. Condições de Equilíbrio: ................................................................................................. 7 1.9. Visualização de Momento Fletor e Momento Torsor: .................................................. 10 2. SOLICITAÇÃO AXIAL .............................................................................................. 14 2.1. Definição: ...................................................................................................................... 14 2.2. Noções de Deformação: ................................................................................................ 14 2.3. Tensões: ......................................................................................................................... 17 2.4. Relação entre Tensão e Deformação (σ x ε): ............................................................... 18 2.5. Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo: ....................................................................... 24 2.6. Diagrama Tensão e Deformação (σ x ε): ..................................................................... 25 2.7. Tensão Admissível: ....................................................................................................... 29 2.8. Tensões e Deformações devidas a Variação de Temperatura: ...................................... 32 2.9. Problemas Estaticamente Indeterminados de Tração e Compressão: ........................... 35 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 2/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 2 SOLICITAÇÃO AXIAL 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS A Resistência dos Materiais é a ciência que estuda os materiais quanto à sua rigidez e resistência, quando de seu uso nas estruturas. Para dimensionarmos qualquer tipo de estrutura, não levamos em consideração somente a Mecânica, e sim, principalmente, a resistência do material a ser empregado. Mecânica → materiais rígidos (ideais) Resistência dos Materiais → materiais deformáveis (reais) Exemplo: vareta de bambu Hipóteses Simplificadoras real ideal Coeficiente de Segurança 1.1. Hipóteses Simplificadoras: a) Continuidade: os materiais serão considerados maciços, não se levando em consideração a descontinuidade da matéria. b) Homogeneidade: o material terá propriedades idênticas em todos os pontos, isto é, mesma constituição química e propriedades físicas em qualquer de seus pontos. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 3/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 3 c) Isotropia: o material terá propriedades idênticas em todas as direções (Ex.: madeira). d) Superposição de Cargas: o efeito da ação conjunta em um só corpo é igual ao somatório dos efeitos das ações parciais. e) Princípio de Saint-Venant: é possível substituirmos um sistema de forças por outro, estaticamente equivalente, significando maior simplificação nos cálculos. 1.2. Classificação dos Elementos Estruturais: Peça ou Elemento Estrutural: é todo o sólido dotado de propriedades elásticas capaz de receber e transmitir cargas. A associação de elementos estruturais, convenientemente ligados, constitui uma estrutura, podendo ser estática ou dinâmica. Estática → torre de sustentação de linhas de transmissão. Dinâmica → conjunto biela-girabrequim da máquina a combustão interna. Os elementos estruturais podem ser classificados em elementos lineares, de superfícies e de volume. a) Lineares: � Vigas → tração, compressão, cisalhamento, flexão, torção e combinação; � Pilar ou coluna → compressão; � Arcos → solicitações iguais as das vigas; � Treliças → tração e compressão � Árvore → momento torsor; � Mola - lâmina → flexão; � Mola – helicoidal → torção � Escora; � Tirante. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 4/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 4 b) Superfícies: � Disco ou viga parede → cargas contidas nesse plano; � Placa → carga normal ao plano; � Casca ou membrana → cargas radiais ou longitudinais. c) Volume: � Bloco de fundação → predominantemente compressão. 1.3. Tipos de Carregamento: a) Carga concentrada: b) Carga distribuída: c) Carga momento: UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 5/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 5 1.4. Tipos de Apoio: a) 1º Gênero (apoio simples ou Charriot): Reação de apoio vertical. Apenas uma única reação de apoio. Símbolo: b) 2º Gênero (rótula): Reação de apoio vertical e horizontal. Duas reações de apoio. Símbolo: c) 3º Gênero (engaste): Reação de apoio vertical, horizontal e reação momento. Três reações de apoio. Símbolo: 1.5. Classificação dos Esforços: 1.5.1 – Tipos de Esforços: a) Exteriores: a.1) Ativos → dados (P1, P2, P3) (ação do vento, peso próprio, etc.) a.2) Reativos → nos apoios (da mecânica) UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 6/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 6 b) Interiores: b.1) Solicitantes → dependem do carregamento. Aparecem no interior da peça devido aos esforços exteriores b.2) Resistentes → dependem do material (tabelas, gráficos, etc.) Condição de estabilidade: Solicitantes ≤ Resistentes para todos os pontos 1.6. Esforços Solicitantes: Os esforços encontrados no interior de qualquer seção transversal de uma barra, chamados de esforços solicitantes, são produzidos pelos esforços externos que se propagam ao longo da barra. Os tipos de esforços solicitantes podem ser: a) Força normal → tem a direção do eixo da barra, podendo ser de tração ou compressão; b) Força cortante → tem a direção perpendicular ao eixo da barra; c) Momento fletor → atua no plano perpendicular a seção transversal; d) Momento torsor → atua no plano da seção transversal. 1.7. Grandezas Fundamentais: a) Força: São grandezas vetoriais caracterizadaspor direção, sentido e intensidade. F1 F2 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 7/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 7 b) Momento: é a tendência de girar em torno de um ponto. O giro é ocasionado por uma força. Mi = Fi x di 1.8. Condições de Equilíbrio: Consideremos um corpo elástico, sujeito a um grupo de ações exteriores, internamente em equilíbrio. Σ Pi =0 ; Σ Mi =0 A Mecânica Racional considerando-o como um corpo rígido, afirmaria estar ele em equilíbrio se o conjunto de ações exteriores fosse equivalente a zero, ou seja, em referência a um ponto qualquer do espaço. E isso era o bastante. Os corpos da natureza, entretanto, não são rígidos e sim deformáveis, isto é, submetidos a ações exteriores eles mudam de dimensões, pelo menos ligeiramente. Seccionemos o corpo segundo a seção “S” indicada: UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 8/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 8 Corpo em equilíbrio: Σ Pi =0 ; Σ Pi =0 P1, P2, P3, P4 → esforços exteriores (ativos ou reativos) O corpo é separado em duas partes na seção “S”. As resultantes internas que equilibram na seção “S” as ações externas são: R → força resultante na seção S, referido ao centro de gravidade (CG) da seção transversal; G → momento resultante na seção S, referido ao centro de gravidade (CG) da seção transversal. - Ação da carga R: A força resultante pode ser decomposta como a seguir: R = N + Q1 + Q2 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 9/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 9 onde: N → componente força normal ao plano da seção transversal (pode ser tração ou compressão); Q1, Q2 → componente força no plano da seção transversal. É a força cortante. - Ação do momento G: O momento resultante pode ser decomposto como a seguir: G = T + M1 + M2 onde: T → componente momento normal ao plano da seção transversal. É o momento torsor (giro de uma seção em torno de um eixo perpendicular à seção); M1, M2 → componente momento no plano da seção transversal. É o momento fletor (giro de uma seção em torno de um eixo perpendicular à seção). UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 10/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 10 1.9. Visualização de Momento Fletor e Momento Torsor: Momentos atuantes em planos formadores de um triedro definido pelas direções Ox, Oy e Oz. Seja o momento M atuando em um plano P: O momento M pode ser decomposto segundo seções especiais, ortogonais entre si, nos momentos Mx, My e Mz. Mx → atua no plano y0z → Flexão My → atua no plano x0z → Flexão Mz → atua no plano z0z → Torção UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 11/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 11 Conclusão → o momento quando atuante em um plano que está contido no eixo longitudinal da peça causa uma flexão. O momento quando atuante em um plano perpendicular ao eixo causa uma torção. Exemplos: 1 – Determinar os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 assinaladas: Obs.: Dimensões em metros UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 12/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 12 Seção S1: Seção S2: Seção S3: N1 = 0 N2 = 0 N3_Y = 6 tf (tração) Q1_Y = -6 tf Q2 = - 6 tf Q3 = 0 M1_Z = -6 x 3 = -18 tf.m (flexão) M2_X = -6 x 1 = - 6 tf.m (flexão) M3 = 0 M1_X = T1 = -6 x 2 = -12 tf.m (torção) T2 = 0 T3 = 0 2 – Determinar os esforços solicitantes nas seções S1 e S2 assinaladas: Obs.: Dimensões em metros Seção S1: Seção S2: N1_Z = 5 tf (compressão) N2_X = 4 tf (tração) Q1_x = 4 tf Q2_y = -6 tf Q1_y = -6 tf Q2_z = 5 tf M1_X = - 6 x 1,5 = - 9 tf.m (plano y0z - flexão)M2_Y = - 5 x 7 = -35 tf.m (plano x0z - flexão) M1_Y = -4 x 1,5 = -6 tf.m (plano x0z - flexão) M2_Y = - 4 x 3 = -12 tf.m (plano x0z - flexão) T1 = 0 M2_Z = - 6 x 7 = -42 tf.m (plano x0y - flexão) M2_X = - 6 x 3 = -18 tf.m (plano y0z - torção) UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 13/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 13 3 – Determinar os esforços solicitantes nas seções indicadas: Obs.: Dimensões em metros Seção A-A: Seção B-B: Seção C-C: NA = 0 NB = 0 NC = P (tração) QA = P QB = P QC = 0 MA = -P x x MB = -P x a MC = 0 TA = -P x l TB = 0 TC = 0 4 – Determinar os esforços solicitantes nas seções indicadas: Obs.: Dimensões em metros UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 14/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 14 2. SOLICITAÇÃO AXIAL 2.1. Definição: Na seção transversal de uma barra, se o único esforço solicitante é a força normal, diz-se que a barra está submetida à tração ou a compressão (conforme o sentido da força normal). 2.2. Noções de Deformação: Todos os sólidos não rígidos quando submetidos à ação de forças exteriores se deformam. Tipos de deformações: a) Deformação linear → associado com a mudança de dimensões da peça. Longitudinal: l l∆=ε onde: ε = deformação unitária longitudinal (adimensional) Transversal: b b a a ∆=∆='ε UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 15/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 15 Relação entre ε e ε’: Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor e seu comprimento cresce. A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (µ). εµε ε εµ ×−=⇒== '' axialdeformação lateraldeformação onde: µ = coeficiente de Poisson (adimensional) Obs.: o sinal negativo (-µ) indica que houve um encurtamento Thomas Young – cientista inglês (1773-1829) Valores do coeficiente de Poisson para alguns materiais: Aço = 0,3 Alumínio = 0,34 Concreto = 0,15 Madeira = 0,05 Cobre = 0,32 Níquel = 0,31 b) Deformação superficial (εs) → associado com a mudança de dimensões da peça. ( ) ( ){ } = × ×−∆×∆+∆×+∆×+×= × ×−∆−×∆+= − =∆= ba babaabbaba ba babbaa S SS Si S i if Sε '.2'' εεε =+=∆+∆= × ∆×+ × ∆×= × ∆×+∆× = a a b b ba ab ba ba ba abba Mas: ε’ = -µ x ε Logo: εµε ××−=∆= 2 Si S S UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 16/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 16 c) Deformação volumétrica (εv) → associado com a mudança de volume da peça εµε ××−=∆= )21( V V V d) Deformação angular (γ) → associado com a mudança da forma da peça γ → distorção angular (deformação de cisalhamento) Exemplo: Para calcularmos a deformação na barra, devemos primeiro determinar os esforços interiores que está acontecendo ao longo de toda a barra. Para tanto, traçamos o diagramade esforço normal (DEN). Exemplo: UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 17/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 17 2.3. Tensões: Definição: Tensão é a razão entre uma força e a área de uma superfície plana. Tensão normal: σ = FN / S Tensão tangencial: τ = FT / S A tensão normal poderá ser de tração ou compressão. Imaginemos a figura abaixo: Seccionando a barra perpendicularmente ao eixo através de uma seção S, verificaremos que a solicitação se distribui uniformemente ao longo desta seção: UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 18/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 18 S → seção reta constituída dor uma infinidade de seções elementares dS; N → esforço resultante de um sistema formado por uma infinidade de forças elementares dN uniformemente distribuídas ao longo de toda a superfície da seção. Logo: ⇒= ∫ ∫ dS dN σ S N=σ 2.4. Relação entre Tensão e Deformação (σσσσ x εεεε): Do ensaio de tração, verificamos que até certo limite para valores das tensões σ, é possível estabelecermos uma lei linear definida pela equação: σσσσ = E x εεεε (Lei de Hooke) onde: E = constante de proporcionalidade Lei de Hooke: “Até um certo limite, as tensões induzidas nos corpos são proporcionais as deformações que experimentam” pp p p tgtg εθσ ε σ θ ×=⇒= Robert Hooke – Matemático inglês (1635 – 1703) Para qualquer valor de σ ≤ σp, é válida a relação: σ = tg θ x ε Substituindo na equação que define a Lei de Hooke, teremos: tg θ x ε = E x ε → E = tg θ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 19/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 19 Logo, E é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão x deformação (reta OP) que define o comportamento elástico do material, definindo então, a propriedade física chamada de módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young. O módulo de elasticidade longitudinal é a tensão dividida pelo alongamento relativo (E = σ / ε). O modulo de elasticidade longitudinal representa a relação entre dois comprimentos, e possui valores diferentes para cada tipo de material ; onde: ε ε ε ε → é adimensional Calculando o valor do deslocamento (alongamento ou encurtamento) ∆l da barra: σ = E x ε ε = ∆l / l SE lN l × ×=∆ σ = N / S Valores do Módulo de Elasticidade Longitudinal de alguns materiais: Aço = 2,1 x 106 kgf/cm2 Madeira = 1,0 x 105 kgf/cm2 Concreto = 2,0 x 105 kgf/cm2 Alumínio = 6,8 x 105 kgf/cm2 Cobre = 1,0 x 106 kgf/cm2 Latão comum = 6,5 x 105 kgf/cm2 Exercícios: 1) Uma barra de aço de diâmetro igual a 25 mm (1”) é tracionada por uma força de 10 tf. O comprimento inicial da barra é de 4,50 m. Determinar a tensão que atua na barra e seu alongamento total (∆l). Dado: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 σσσσ = E x εεεε UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 20 2) Calcular o alongamento total (∆l) de uma barra de 2 m de comprimento e 6 cm2 (3 cm x 2 cm) de seção reta, submetida a uma tração de 6 tf. Determinar também a tensão atuante e a variação do comprimento transversal de 3 cm (∆a). Dados: E = 2 x 106 kgf/cm2 µ = 0,25 3) Para a peça de madeira mostrada na figura, determinar o deslocamento da extremidade. Dado: E = 1,0 x 105 kgf/cm2. 4) Encontrar o deslocamento da extremidade das peças mostradas na figura. 4.1) Dado: E = constante = 2,1 x 106 kgf/cm2 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 21/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 21 4.2) Dado: E = constante = 2 x 106 kgf/cm2 4.3) Dado: E = constante = 210 kN/mm2 5) A haste da figura é constituída por alumínio (E = 70 GPa). Pede-se calcular os deslocamentos nos pontos “B”, “C” e “D”, as tensões normais ao longo da barra e o traçado dos diagramas de esforços normais, tensões normais e de deslocamento. Obs.: 1 GPa = 1 kN/mm2 = 1 x 106 kN/m2 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 22/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 22 6) O suporte cilíndrico é constituído por um núcleo de cobre e externamente de aço, e suporta uma carga de 7300 kgf. Determinar a parcela de carga que é resistida por cada material, a deformação do suporte e as tensões. Dados: Eaço = 2,1 x 10 6 kgf/cm2 Ecobre = 1,0 x 10 6 kgf/cm2 P = 7300 kgf 7) O sistema mostrado é constituído pela barra 1, de alumínio (E = 6,8 x 105 kgf/cm2), e pela barra 2, de aço (E = 2,1 x 106 kgf/cm2). Qual deverá ser a área da barra 2 para que a trave permaneça na horizontal ? Obs.: desprezar o peso próprio das peças. Dado: Área da barra 1 = 5 cm2 8) Qual deve ser o valor da força N aplicada na barra de aço para que esta se encoste ao suporte inferior ? Dado: 2,1 x 106 kgf/cm2. Diâmetro = 25 mm. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 23/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 23 Exercícios adicionais: Obs.: 1 MPa = 10 kgf/cm2 = 0,10 kgf/mm2 = 0,1 kN/cm2 = 0,001 kN/mm2 1 GPa = 10000 kgf/cm2 = 100 kgf/mm2 = 100 kN/cm2 = 1 kN/mm2 a) A barra circular representada na figura, é de aço, possui d = 20 mm e comprimento L = 0,8 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 10 kN. Pede-se que determine para a barra: - A tensão normal atuante σ; Dados: Eaço = 210 GPa - O alongamento ∆L; υaço = 0,30 - A deformação longitudinal ε; - A deformação transversal ε'. Gabarito: σ = 31,8 N/mm2 = 31,8 MPa ; ∆L = 0,12 mm ; ε = 0,00015 ; ε’ = 0,000045 b) A figura dada, representa duas barras de aço soldadas na seção B-B. A carga de tração que atua na peça é 4,5 kN. A seção 1 da peça possui d1 = 15 mm e comprimento L1 = 0,6 m, sendo que a seção 2 possui d2 = 25 mm e L2 = 0,9 m. Desprezando o efeito do peso próprio do material, pede-se que determine para as seções 1 e 2: - A tensão normal atuante (σ1 e σ2); Dados: Eaço = 210 GPa - O alongamento (∆L1 e ∆L2); υaço = 0,30 - A deformação longitudinal (ε1 e ε2); - A deformação transversal (ε'1 e ε’). Gabarito: σ1 = 25,5 N/mm2 = 25,5 MPa ; σ2 = 9,2 N/mm2 = 9,2 MPa ∆L1 = 0,073 mm ; ∆L2 = 0,39 mm ; ; ∆LTOTAL = 0,112 mm ε1 = 0,000121 ; ε2 = 0,00065 ; ε1’ = 0,0000363 ; ε2’ = 0,000195 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 24/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 24 2.5. Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo: Em um plano não ortogonal ao eixo da barra, a força axial poderá ocasionar, concomitantemente, tensão normal ao plano inclinado e de cisalhamento. Seja a figura abaixo onde o plano oblíquo faz um ângulo θ em relação ao eixo da barra. A força P foi decomposta nas componentes normal F e tangencial V. Temos que: F = P x cos θ e V = P x sen θ Como sabemos que a tensão será a força por unidade de área, neste caso a área Aθ, poderemos então escrever a tensão normal e cisalhante sendo: θθ τσ A V A F == Sabemos que: cos θ = a / h e AO = h x b Logo: b a AO ×= θcos Substituindo ficaremos: θσθσ θ θσθσ 2 2 cos coscos coscos ×=→ × ×=→ × ×=→×= OO A P ba P b a P A P θθτθθτ θ θτθτ coscos cos ××=→ × ××=→ × ×=→×= sen A P ba senP b a senP A senP OO Exercício: UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 25/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 25 1) A barra engastada, de seção retangular 30 x 40 mm, está submetida a uma força de 200 N aplicada na extremidade. Calcular as tensões atuantes no plano das seções “1-1” e “2-2”. 2.6. Diagrama Tensão e Deformação (σσσσ x εεεε): A ação de uma força sobre um corpo altera sua forma induzindo uma deformação (alongamento) ao corpo. A relação entre a tensão e a deformação, para um determinado tipo de material, é determinada através do ensaio de tração. Utilizamos um corpo de prova, geralmente uma barra com seção transversal circular, colocando-a em uma máquina de teste à tração. À medida que aumentamos a carga, a força atuante e os alongamentos resultantes são medidos e registrados em gráfico. Para podermos comparar os resultados, devemos trabalhar com o gráfico σ x ε. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 26/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 26 1 Cilindro e êmbolo 5 Corpo de prova para compressão 2 Bomba hidráulica ( medidor de vazão) 6 Mesa (chassi) fixa 3 Mesa (chassi) móvel 7 Manômetro (medidor de pressão) 4 Corpo de prova para tração 8 Fluido hidráulico Referência: Universidade Federal Fluminense – RJ Tipos de gráficos: a) Gráfico característico para material dúctil: UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 27/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 27 Trecho OA → Reta – Trecho elástico (deformações proporcionais às tensões – Lei de Hooke) σ = E x ε onde: E = tg θ σ em A → σp = limite de proporcionalidade Trecho OB → até B somente deformações elásticas. A partir daí surgem deformações plásticas. Em B inicia-se a estricção no corpo de prova. σ em B → σe = limite elástico ou limite de elasticidade Na prática: σp ~ σe Trecho CD → patamar de escoamento σ em C → limite de escoamento superior σ em D → limite de escoamento inferior σf = tensão de fluência (ou escoamento) A partir de C uma deformação considerável começa a surgir sem que, no entanto, haja um aumento apreciável na força de tração. Trecho DE → encruamento A partir de D, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento de carga, acrescentando um acréscimo de tensão para um aumento da deformação, atingindo um valor máximo ou tensão máxima no ponto E. σ em E → limite de resistência → Tensão de ruptura ou tensão máxima do material A carga total que a barra suporta diminui depois de atingir a tensão máxima, porém, tal diminuição decorre da redução da área e não por perda da resistência do material. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 28/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 28 b) Gráfico característico para material frágil: Trecho OP → Reta – Trecho elástico (deformações proporcionais às tensões – Lei de Hooke). Trecho OL → Região elástica do material. O corpo de prova retorna ao seu comprimento original caso o ensaio de tração seja interrompido. σ em E → A tensão máxima corresponde ao limite de elasticidade do material. A tensão de escoamento convencional correspondente a uma deformação de ε = 0,002 %. Podemos então classificar os materiais quanto ao tipo de ruptura em dois grupos: a) Materiais dúcteis → apresentam patamares de escoamento e admitem grandes deformações residuais sem destruir-se. Exemplo: aço doce, cobre, alumínio, ouro b) Materiais frágeis → não apresentam patamar de escoamento e podem romper-se com pequenas deformações. Materiais frágeis não obedecem a Lei de Hooke. Exemplo: ferro fundido, pedra, vidro, concreto, aço de alto carbono, cerâmica UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 29/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 29 2.7. Tensão Admissível: Ao projetar uma estrutura, é necessário assegurar-se que, nas condições de serviço, ela atingirá o objetivo para o qual foi calculada. Do ponto de vista de capacidade de carga, a tensão máxima na estrutura é, normalmente, mantida abaixo do limite de proporcionalidade, porque somente até aí, não haverá deformação permanente, caso as cargas sejam aplicadas e depois removidas. Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança escolhendo-se uma tensão admissível, ou tensão de projeto, abaixo do limite de proporcionalidade. Além disso, poderemos ainda ter: Cargas atuantes diferentes das cargas reais; O material pode ser impuro ou ser defeituoso. Por isso, devemos limitar as tensões admissíveis a valor seguro. Então: η σσ lim=adm onde: η = coeficiente de segurança ou fator de segurança De um modo geral: σlim = σesc → para materiais dúcteis σlim = σrup → para materiais frágeis UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 30/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 30 Exercícios: 1) Uma barra redonda feita de aço ASTM A 36 (σe = 2530 kgf/cm2) deve suportar uma força de 12 tf. Qual deverá ser o seu diâmetro adotando-se um coeficiente de segurança igual a 1,65. 2) Qual deve ser a área de uma coluna de madeira de 3 metros de altura que suporta uma carga de 32 tf, se seu encurtamento máximo não deve exceder a 1,6 mm. Dados: σrup = 200 kgf/cm2 ; E = 1,0 x 105 kgf/cm2 ; η =2 Calcular: A = ? 3) Uma barra redonda de aço, com comprimento inicial de 5,80 metros, é tracionada ficando com 5,81 metros. Sabendo-se que a tensão de escoamento desse aço vale 5000 kgf/cm2 e que o coeficiente de segurança mínimo admitido é 1,5, verificar a sua segurança. Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 4) As barras 1 e 2, de seção circular, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 10 tf. Calcular os diâmetros das barras, sabendo-se que as características dos materiais estão relacionadas na tabela abaixo. Barra Material σesc (kgf/cm2) η ( 1 ) Cobre 720 1,5 ( 2 ) Bronze 1710 3,0 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 31/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 31 5) Determinar o valor máximo de P de tal forma que o alongamento total da barra não ultrapasse a 0,18 cm, nem as tensões ultrapassem os valores admissíveis, sabendo-se que: Peça Material σadm_T,C (kgf/cm2) E (kgf/cm2) A (cm2) 1 Bronze 1250 8 x 105 5 2 Alumínio 850 6,8 x 105 7 3 Aço 1400 2,1 x 106 3,5 6) Determinar a carga admissível para a barra com furos, sabendo-se que a tensão de escoamento do aço vale 2400 kgf/cm2, usando-se η = 1,6. Dados: Diâmetro dos furos = 30 mm ; Espessura da barra = 5 mm UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 32/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 32 7) O suporte de madeira possui uma seção reta de 30 x 30 cm e está apoiado em uma base de concreto. Determinar o valor de P se a tensãoadminssível da madeira é de 120 kgf/cm2 e a do concreto é de 60 kgf/cm2. Quais as dimensões da base quadrada “a” se a tensão admissível do terreno vale 4 kgf/cm2. Dados: σadm_mad = 120 kgf/cm2 ; σadm_conc = 60 kgf/cm2 ; σadm_ter = 4 kgf/cm2 8) A barra de aço, de seção circular, engastada na extremidade superior, está submetida a carregamento conforme mostrado na figura. Determinar o diâmetro da barra, o alongamento na extremidade e os diagramas DEN, DTN e DD. Dados: σesc = 5000 kgf/cm2 ; η = 2 ; E = 2,1 x 106 kgf/cm2 2.8. Tensões e Deformações devidas a Variação de Temperatura: ∆l = α x l x ∆T onde: α → coeficiente de dilatação linear. Unidade: (1 / ºC) ou ºC-1 Dividindo toda a equação por l, temos: T l Tl l l ∆×=⇒∆××=∆ αεα onde: ε → deformação térmica UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 33/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 33 Se a barra for livre não aparecerão tensões internas. Se a barra tiver extremidades presas, surge uma força que “impede” a mudança de seu comprimento. ⇒ × × =∆××⇒ × × = SE lR Tl SE lR TT αδ TSERT ∆×××= α Sabendo-se que S RT=σ , teremos então: TE ∆××= ασ Exercício: 1) Um arame de aço (E = 2,1 x 106 kgf/cm2 ; α = 1,0 x 10-5 ºC-1) foi esticado e preso nas duas extremidades a uma temperatura de 90 ºC. Qual a tensão que surge no arame quando resfria para 20 ºC ? 2) Calcular as tensões na barra de aço da figura, se a temperatura passou de 35 ºC para 15 ºC. Dados: αaço = 1,2 x 10 -5 ºC-1 ; E = 2,1 x 106 kgf/cm2 3) Calcular ∆T na barra abaixo para que σ1 seja igual a zero. Dados: α1 = α2 = 1,25 x 10 -5 ºC-1 E1 = E2 = 2,0 x 10 6 kgf/cm2 S1 = S2 = 2 cm 2 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 34/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 34 4) Calcular as reações nas paredes da barra abaixo: Dados: α1 = α2 = 12 x 10 -6 ºC-1 ∆T = +100º E1 = E2 = 2,0 x 10 6 kgf/cm2 S1 = 4 cm 2 ; S2 = 2 cm 2 5) Calcular as tensões que aparecem nos trilhos de aço no verão, quanto t = 30 ºC, se eles foram colocados no inverno, quando t = -30 ºC. Dados: α = 1,25 x 10-5 ºC-1 E = 2,1 x 106 kgf/cm2 6) Calcular as tensões nos trilhos do item anterior se entre eles fosse deixada uma folga de 6 mm a cada 10 metros. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 35/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 35 7) O sistema de barra foi montado a uma temperatura ambiente de 20 ºC. Determinar o valor e o tipo das tensões quando a temperatura é elevada para 40 º C. Desprezar o peso da viga rígida ABC. Dados: A1 = A3 = 3 cm 2 ; A2 = 2 cm 2 l = 80 cm E = 2,1 x 106 kgf/cm2 ; α = 1,0 x 10-5 ºC-1 2.9. Problemas Estaticamente Indeterminados de Tração e Compressão: Existem muitos casos onde os esforços não podem ser determinados somente com as equações de equilíbrio. Esses problemas se chamam hiperestáticos ou estaticamente indeterminados. Seja, por exemplo, a barra mostrada: Das equações de equilíbrio vem: Σ M = 0 → 0 = 0 Σ H = 0 → 0 = 0 Σ V = 0 → RA + RB - P = 0 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 36/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 36 Para resolver o problema, precisamos de mais 1 equação, por exemplo, uma equação de deformação: δB = 0 Vamos determinar a expressão de δB: O encurtamento total de uma parte é igual ao alongamento total da outra. →=×−×=⇒= × × − × × = 00 bRaR EA BR EA aR BAB BA B δδ → As forças RA e RB são inversamente proporcionais às distâncias entre seus pontos de aplicação e à seção transversal carregada. Como: RA = P – RB e a = l - b Substituindo agora na equação δB, teremos: (P – RB) x (l – b) - RB x b = 0 P x l – P x b – RB x l + RB x b – RB x b = 0 → P x l – P x b – RB x l = 0 → → P x l – P x b = RB x l → P x (l – b) = RB x l → RB = (P x a) / l Logo: RA = P – RB ( ) l bP Ral l P R l a PR l aP PR AAAA ×=⇒−×=⇒ −×=⇒×−= 1 Exercícios: 1) Determinar a tensão máxima que ocorre na barra bi-engastada da figura: UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 37/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 37 Dados: A1 = 5 cm 2 ; A2 = 3 cm 2 ; A3 = 4 cm 2 ; E = constante 2) A barra AD é rígida e indeformável, podendo girar em torno de D. Calcular: - Forças nas barras 1 e 2; - Força vertical no pino; - Rotação da peça AD. Dados: barra 1 = barra 2: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 ; S = 20 cm2 ; l = 4 m 3) A barra AC é rígida e indeformável. Determinar o maior valor possível para a força P. Dados Característicos das Barras Barra 1 Barra 2 E1 = 2,1 x 10 6 kgf/cm2 E2 = 2,1 x 10 6 kgf/cm2 S1 = 4 cm 2 S2 = 4 cm 2 σ1_adm_T = 400 kgf/cm2 σ2_adm_T = 400 kgf/cm2 σ1_adm_T = 400 kgf/cm2 σ2_adm_T = 400 kgf/cm2 l1 = 100 cm L2 = 100 cm UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 38/38 Solicitação Axial Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 38 4) A viga AC está rotulada no apoio B e presa nas barras 1 e 2 e suporta uma carga uniformemente distribuída no trecho BC de 750 kgf/m. Calcular as forças atuantes nas barras 1 e 2 e os deslocamentos dos pontos A e C. Dados: barra 1: E1 = 1,0 x 10 5 kgf/cm2 ; S1 = 5 cm 2 barra 2: E2 = E1 ; S2 = 8 cm 2
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