Álgebra Linear - P2 - Profa. Cynthia Segatto - UFRGS

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UFRGS - DMPA
MAT01355 - ÁLGEBRA LINEAR - PROVA 2 - turma A1 - 15/12/2016
Nome:
Cartão da UFRGS:
• MANTENHA O CADERNO DE QUESTÕES GRAMPEADO
• NÃO É PERMITIDO USO DE CALCULADORAS OU TELEFONES CELULARES
( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
.
1. Entre as alternativas abaixo qual contém um vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
(−2, 3, 6)?
(a) (1, 0, 0) (b) (−1/9, 1/3, 1/3) (c) (−2/7, 3/7, 6/7) (d) (−2/49, 3/49, 6/49) (e) (−1, 3, 3)
2. Quais das opções abaixo contém os autovetores da matriz A =
(
4 −2
3 −1
)
:
(a)
{(
2
3
)
,
(
1
1
)}
(b)
{(
4
3
)
,
(−2
1
)}
(c)
{(
5
6
)
,
(
1
0
)}
(d)
{(
0
1
)
,
(
1
6
)}
(e)
{(−1
1
)
,
(
7
9
)}
3. Se A é diagonalizável por matriz ortogonal, isto é A = QDQT onde Q é uma matriz ortogonal, então:
(a) A é inversível (b) A é singular (c) A3 é diagonalizável por matriz ortogonal
(d)A é uma matriz ortogonal (e) NRA
4. Seja A =
 a2 0 acab 0 bc
ac 0 c2
, onde a, b e c são reais não nulos. Assim A possui:
(a) A possui 3 autovalores não nulos
(b) A possui dois autovalores complexos e um real
(c) A possui dois autovalores nulos
(d) A possui exatamente um autovalor nulo
(e) A não possui autovetores reais
5. Considere A =
1 1 11 1 1
1 1 1
. Os autovalores de A são:
(a) 0,3,1 (b) 1,2 ,3 (c)3,0,0 (d) 0 e um par de autovalores complexos (e) NRA
6. Considere A =
 3 1 −6−6 −2 2
0 0 1
 e D =
1 0 00 0 0
0 0 1
. São verdadeiras as afirmações:
(i) A possui autovalores complexos (ii) A matriz A é diagonalizável (iii) A é similar à matriz D
(a) VVV (b) FVV (c)FFV (d) VVF (e) NRA
7. Sejam A e B duas matrizes quadradas similares isto é existe P inversível tal que A = PBP−1. Assim é
correto afirmar:
(a) B é inversível (b) A e B possuem os mesmos autovetores (c) A e B São diagonalizáveis
(d) A7 é similar a B7 (e) Nenhuma das alternativas acima
8. Sejam A e B matrizes n× n tal que AB = 0, assim podemos afirmar:
(a) A = 0 ou B = 0
(b) Se A é inversível então B = 0
(c) A e B possuem λ = 0 como único autovalor
(d) BA = 0
(e) Nenhuma das alternativas acima
9. O número de autovetores Linearmente Independentes da matriz A =

1 3 0 0
0 1 0 0
0 0 4 0
0 0 1 4
 é:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
10. Em uma fatoração QR de uma matriz An×n (quadrada) podemos afirmar:
(a) R é uma matriz ortogonal
(b) RQ = A
(c) Q é uma matriz ortogonal
(d) QTQ = A
(e) Q é uma matriz triangular
11. Considere o sistema
 x + 2y = 1y = 1
x + y = 1
. Sua solução de mínimos quadrados é dada por:
(a) x = 1, y = 0 (b)x = 0, y = 2/3 (c)x = 1, y = 1 (d)x = 3/2, y = 1/2 (e)x = 2, y = 1/3
12. Em quais das opções abaixo, podemos garantir que a equação Ax = 0 possui somente a solução trivial?
(I) A é uma matriz com todos os autovalores postivos.
(II) A é uma matriz com todos os autovalores distintos.
(III) λ = 0 é um autovalor de A.
(IV) A é uma matriz 3× 3 com autovalores λ = 1, multiplicidade 1, e λ = 2, multiplicidade 2.
(a) II e III (b) I, II e III (c) I, III e IV (d) I e IV (e) II, III e IV (f) II e IV
13. Sejam S = Span

10
0
 ,
11
1
 e v =
10
2
. Encontre a projeção ortogonal de v sobre S.
(a)
11
1
 (b)
20
0
 (c)
 13/2
3/2
 (d)
12
2
 (e)
01
0

14. Qual a distância de v = (0, 1, 0) de S = Span{(0, 1, 1), (1, 0, 0)}
(a) 1 (b) 12 (c)
√
3
2 (d)
1
3 (e)
√
2
2
15. Qual conjunto abaixo forma base ortogonal para o espaço coluna de A =
 1 −1 2 −3−1 1 −3 2
2 −2 5 −5

(a)

10
0
 ,
01
0
 (b)

10
0
 ,
01
0
 ,
00
1
 (c)

10
0
 ,
21
0
 (d)

 1−1
2
 ,
 2−3
5
 (e)

 1−1
2
 ,
11
0

16. Quais dos seguintes conjuntos formam uma base ortogonal para R3?
I β1 = {(−1, 4, 3), (5, 2, 1), (3,−4,−7)}
II β2 = {(1,−2, 1), (0, 1, 2), (−5,−2, 1)}
III β3 = {(2,−5,−3), (0, 0, 0), (4,−2, 6)}
(a)β1 e β2 (b)β1 e β3 (c)β2 e β3 (d) β2 (e)β1, β2 e β3
17. Considere o EV R2, com produto interno 〈x, y〉 = x1y1−x2y1−x1y2+2x2y2. Neste espaço, em radianos,
qual o ângulo formado entre os vetores (1, 0) e (1, 1)?
(a) pi2 (b)
pi
4 (c) 0 (d)
pi
3 (e) NRA
18. Marque verdadeiro (V) ou falso (F):
• ( ) Se W é um Espaço Vetorial de dimensão 3, e se β = {v1, v2, v3} é um conjunto ortogonal de W ,
então β é uma base para W .
• ( ) Se uma matriz A possui colunas LI, então na decomposição QR desta matriz as colunas de Q
formam uma base ortogonal para Col(A).
• ( ) Seja uma matriz A, podemos afimar que o espaço das linha de A (Lin(A))é o complemento
ortogonal do espaço nulo de A (Null(A)).
(a) VVF (b)VFV (c) VVV (d)FVF (e)FVV
19. Considere C[0, 1] o espaço de todas as funções reais contínuas no intervalo [0, 1], com produto interno
definido por 〈f(x), g(x)〉 = ∫ 1
0
f(x)g(x)dx. Neste espaço encontre a projeção ortogonal do vetor h1(x) = x2
sobre o vetor h2(x) = x+ 1
(a) x3 + 2 (b)
x2
4 (c)
x+1
4 (d) x− 54 (e) NRA
20. Seja m conjunto de 50 pontos do plano real {(x1, y1), (x2, y2), ..., (x50, y50)} um conjunto de 50 pontos do
plano. , sabendo que:
50∑
n=1
xn = 0,
50∑
n=1
yn = 10,
50∑
n=1
x2n = 10,
50∑
n=1
y2n = 15,
50∑
n=1
xnyn = 8
Encontre através da reta de ajuste de mínimos quadrados destes pontos Y = mX + b a reta, qual o valor
de X quando Y = 1.
(a) 1 (b)0.8 (c)1.1 (d)0.6 (e)1.2