Exercícios de Cálculo Numérico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECOˆNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS - CETEC
CA´LCULO NUME´RICO (CET059)- SEM. 2016.1
LISTA DE EXERCI´CIOS I - SISTEMA DE EQUAC¸O˜ES
1. Analise os sistemas lineares abaixo com relac¸a˜o ao nu´mero de soluc¸o˜es, usando o me´todo da
Eliminac¸a˜o de Gauss (trabalhe com treˆs casas decimais):
(a)

3x1 − 2x2 + 5x3 + x4 = 7
−6x1 + 4x2 − 8x3 + x4 = −9
9x1 − 6x2 + 19x3 + x4 = 23
6x1 − 4x2 − 6x3 + 15x4 = 11
(b)

0.252x1 + 0.36x2 + 0.12x3 = 7
0.112x1 + 0.16x2 + 0.24x3 = 8
0.147x1 + 0.21x2 + 0.25x3 = 9
2. Trabalhando com arredondamento para dois dı´gitos significativos em todas as operac¸o˜es, re-
solva o sistema linear abaixo pelo me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss, sem e com pivotamento
parcial. Discuta seus resultados:{
16x1 + 5x2 = 21
3x1 + 2.5x2 = 5.5
Refac¸a o exercı´cio usando truncamento para dois dı´gitos significativos.
3. Trabalhando com quatro dı´gitos significativos, resolva os sistemas lineares a seguir (ou detecte
que na˜o ha´ soluc¸a˜o). Use pivotamento parcial. Estabelec¸a um crite´rio para decidir se nu´meros
pequenos em lugares importantes sa˜o considerados como zero ou na˜o. Confira a soluc¸a˜o obtida:
(a)
{
1.12x1 + 6x2 = 1.3
2.21x1 + 12x2 = 2.6
(b)
{
1.12x1 + 6x2 = 1.3
2.24x1 + 12x2 = 3
4. Justifique se for verdadeiro ou deˆ contra-exemplo se for falsa a afirmac¸a˜o:
”Dada uma matriz A, n× n, sua fatorac¸a˜o LU , obtida com estrate´gia de pivotamento parcial, e´
tal que todos os elementos da matriz L teˆm mo´dulo menor ou igual a 1”.
5. Em cada caso:
(a) verifique se o crite´rio de Sassenfeld e´ satisfeito;
(b) resolva por Gauss-Seidel, se possı´vel:
A =
 10 1 11 10 1
1 1 10
 ; b =
 1212
12

e
1
A =

4 −1 0 0
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
0 0 −1 4
 ; b =

1
1
1
1
 .
6. (a) Usando o crite´rio de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se tem garantia de
que o me´todo de Gauss-Seidel vai gerar uma sequeˆncia convergente para a soluc¸a˜o do sistema:
kx1 + 3x2 + x3 = 1
kx1 + 6x2 + x3 = 2
x1 + 6x2 + 7x3 = 3
(b) Escolha o menor valor inteiro e positivo para k e fac¸a duas iterac¸o˜es do me´todo de Gauss-
Seidel para o sistema obtido.
(c) Comente o erro cometido no item (b).
7. Prove que, no me´todo de Gauss-Seidel, vale a relac¸a˜o:
e
(k+1)
1 =
−1
a11
(a12e
(k)
2 + a13e
(k)
3 + ...+ a1ne
(k)
n )
e
(k+1)
2 =
−1
a22
(a21e
(k+1)
1 + a23e
(k)
3 + ...+ a2ne
(k)
n )
.
.
.
e(k+1)n =
−1
ann
(an1e
(k+1)
1 + an2e
(k+1)
2 + ...+ a2ne
(k+1)
n )
8. Resolva os sistemas lineares abaixo usando a fatorac¸a˜o de Cholesky:
(a)

16x1 + 4x2 + 8x3 + 4x4 = 32
4x1 + 10x2 + 8x3 + 4x4 = 26
8x1 + 8x2 + 12x3 + 10x4 = 38
4x1 + 4x2 + 10x3 + 12x4 = 30
(b)

20x1 + 7x2 + 9x3 = 16
7x1 + 30x2 + 8x3 = 38
9x1 + 8x2 + 30x3 = 38
9. Considere o sistema de equac¸o˜es lineares:{
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
uma condic¸a˜o menos restritiva que a de diagonal estritamente dominante, para que haja con-
vergeˆncia dos me´todos iterativos de resoluc¸a˜o e´,
|a12 × a21|
|a11 × a22| < 1.
(a) Mostre que se o sistema dado for diagonal estritamente dominante (por linha ou coluna), a
condic¸a˜o (1) esta´ satisfeita.
(b) Verifique que o sistema, {
x1 + 2x2 = 3
5x1 + 195x2 = 200
satisfaz a condic¸a˜o acima, embora na˜o seja de diagonal estritamente dominante.
(c) Considere X(0) = (0, 0), resolva-o pelo me´todo iterativo de Gauss-Seidel, realizando 4
iterac¸o˜es, usando 3 casas decimais e arredondamento padra˜o.
10. Dado o sistema de equac¸o˜es lineares Ax = b, quando a matriz A e´ dita de ”Diagonal estrita-
mente dominante”? (Deˆ um exemplo). O que exatamente significa, para os me´todos iterativos
de resoluc¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es lineares, tal condic¸a˜o da matriz A?
11. Aplicando-se o processo de Cholesky a` matriz A, obteve-se:
A =

... 2 ... ...
... 8 10 −8
3 10 14 −5
... −8 ... 29
 = GGt,
onde:
G =

1 ©
2 ...
... 2 1
0 −4 ... 2
 .
Preencha os espac¸os pontilhados com valores adequados.
12. Mostre que se A e´ uma matriz real, sime´trica, positiva definida, enta˜o necessariamente temos:
(a) aii > 0, i = 1, 2, ..., n.
(b) a2ik < aiiakk para todo i 6= k.
(c) O maior elemento de A em mo´dulo esta´ sob a diagonal.
13. Considere o sistema linear Ax = b, onde:
A =
 1 α 3α 1 4
5 2 1
 , x =
 x1x2
x3
 , e b =
 −2−3
4
 .
Para que valores de α:
(i) A matriz A pode ser decomposta no produto LU? Justifique.
(ii) O sistema pode ser resolvido por Cholesky? Justifique.
(iii) Considere α = 1 e resolva o sistema linear obtido pelo me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss.
14. Resolva os sistemas na˜o lineares abaixo para os me´todos de Newton e Newton Modificado com
precisa˜o de 10−2:
(a)
{
x21 + x
2
2 − 2 = 0
ex1−1 + x32 − 2 = 2 , x
(0) = (1.5, 2.0)T
(b)
{
4x1 − x31 + x2 = 0
x21
9
+
4x2−x22
4
= −1 , x
(0) = (−1.0,−2.0)T
(c)
{
10(−x21 + x2) = 0
1− x1 = 0 , x
(0) = (−1.2, 1.0)T
15. O me´todo de Newton pode ser aplicado para a resoluc¸a˜o de um sistema linear Ax = b. Neste
caso, quantas iterac¸o˜es sera˜o realizadas? Por queˆ?
16. Considere os seguintes sistemas:
x2 + y2 + z3 = 9
xyz = 1
x + y − z2 = 0
e
{
x3 + 3y2 = 21
x2 + 2y + 2 = 0
(i) Resolva os sistemas dados usando o me´todo iterativo linear, com atualizac¸a˜o do tipo Gauss-
Jacobi nas iterac¸o˜es, para obter precisa˜o ate´ a segunda casa decimal.
(ii) Resolva os sistemas dados usando o me´todo iterativo linear, com atualizac¸a˜o do tipo Gauss-
Seidel nas iterac¸o˜es, para obter precisa˜o ate´ a terceira casa decimal.
17. Resolva o sistema {
x2 + xy3 = 9
3x2y − y3 = 4
pelo me´todo de Newton-Raphson para obter precisa˜o ate´ a terceira casa decimal. Use cada uma
das seguintes tentativas iniciais:
(i)(x0, y0) = (1.2, 2.5);
(ii)(x0, y0) = (−2, 2.5);
(iii) (x0, y0) = (−1.2,−2.5);
(iv)(x0, y0) = (2,−2.5);