estac exerc diagramas 2

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I 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA 
 
 
DIAGRAMAS 
 
ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO EXEMPLIFICATIVO APRESENTADO NAS AULAS TEÓRICAS 
 
 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/5 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
EXERCÍCIO 
Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M) 
da viga representada na figura. 
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, 
mínimos e zeros). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. CÁLCULO DAS REACÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 













=
=
=
⇒
=×−
=×−
=






⇒
=∑
=∑
=∑
 
 kN 22,091 V 
kN 38,659 V 
0 H 
 
 0 2,0 60,75 V 5,5 
0 3,5 60,75 V 5,5 
0 H 
 
 0 M 
0 M 
0 F 
 
D 
A 
D 
D 
A 
D 
A 
D 
X 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
0.50.5 4.5 m
d
V
e
N
V
N +
0.5 4.5 m 0.5
38,659kN 22,091kN
⇒⇒⇒⇒
0.5 1.5 m
60,75kN
0.53.0 m
HD
VDVA
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/5 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
2. RESOLUÇÃO COM O REFERENCIAL: 
 
Não existe qualquer força na direcção do eixo da viga, pelo que o esforço axial é nulo em todos os tramos 
da viga. 
Esforço axial ⇒ N = 0 (em toda a viga) 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo AB 
 




⇒=
⇒=
recta kNm 38,659 (x) M
nível de recta kN 38,659 (x) V
 
x
AB 
 
 




=
=
= 
0 M 
kN 38,659 V
 0)(x 
A 
A 
A 




=
=
= 
kNm 19,330 M 
kN 38,659 V
 m) 0,5 (x 
B 
B 
B 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo BC 
 
Equação da carga triangular: kN/m 6 27 (x) p x−= 
 
 
 
 
 
 
 
 C x 3 x 27 dx dx 2x) 6 27 ( x) 6 (27 ++−=== +∫ −−∫ −(x) V 
 38,659 C 
C C x 3 x 27 V 
kN 38,659 
 0) (x 
2
0) (x
=⇒




=++−==
=
=
=
 
V 
V 
B
B 
B 
 
 curva (2º grau) 
 
C x 38,659 x 
2
27
 x dx ) 38,659 x 27 x 3( dx (x) 2 3 2 V ++−=+−== ∫∫(x)M 
 19,330 C 
C C x 38,659 x 13,5 x M 
kNm 19,330 
 0) (x 
23
0) (x 
=⇒




=++−==
=
=
=
 
M 
M 
B
B 
B 
 
 curva (3º grau) 
 




=
=
= 
kNm 19,330 M 
kN 38,659 V
 0)(x 
B 
B 
B 




=
−=
= 
kNm 11,046 M 
kN 22,091 V
 m) 4,5 (x 
C 
C 
C 
dx (x) p ∫ −=V 
 dx (x) V ∫=M 
kN 38,659 27 3 2 +−= xx(x) V 
kNm 330,19 38,659 13,5 23 ++−= xxx(x) M 
de
x
38,659 kN
19,330 kNm
x
de
BA
de
x
38,659 kN
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/5 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Secção onde o esforço transverso é nulo: m 1,786 0 38,659 27 3 0 2 =⇒=+−⇒= xxxV 
Concavidade do diagrama de Esforço Transverso: 0 
dx
d
2 
V 
2 
⇒> concavidade U 
 
Secção onde o momento é máximo: 
 kNm 51,01 
 19,330 1,786 38,659 1,786 13,5 1,786 M M(x) 0 V(x)
máx 
2 3 
1,786) (xmáx máx 
=
+×+×−==⇒=⇒= =
M
MM
 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
dx
Md
2 
 
2 
⇒< concavidade U 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo CD 
 




⇒+−=
⇒−=
recta kNm 11,049 091,22 (x) M
 nível de recta kN 22,091 (x) V
 
x
CD 
 
 




=
−=
= 
kNm 11,049 M
kN 22,091 V
 0)(x 
C 
C 
C 
0 M 
kN 22,091 V
 m) 0,5 (x 
D 
D 




=
−=
=D 
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
DIAGRAMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DC
de
x
22,091 kN
11,049 kNm
+
1,786 m
-
+
0,5 0,52,714 m
38,659
c
c -22,091
V
unidade: kN
ESFORÇO TRANSVERSO
1,786 m0,5 0,52,714 m
c
11,046
M
unidade: kNm
MOMENTO FLECTOR
19,330
51,01
r
r
r r
c
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/5 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
3. RESOLUÇÃO COM O REFERENCIAL: 
 
 
• Tramo DC 
 




⇒−=
⇒−=
recta kNm 091,22 (x) M
 nível de recta kN 22,091 (x) V
 
x
DC 
 
 
 
0 M 
kN 22,091 V
 m) 0 (x 
D 
D 




=
−=
=D 




=
−=
=
 kNm 11,049 M
kN 22,091 V
 m) 0,5(x 
C 
C 
C 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
• Tramo CB 
 
Equação da carga triangular: kN/m 6 (x) p x= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C x 3 dx x 6 2 +=∫=(x) V 
 22,091 C 
C C x 3 V 
kN 22,091 
 0) (x 
2
0) (x
−=⇒




=+==
−=
=
=
 
V 
V 
C
C 
C 
 
 curva (2º grau) 
 
 
C x 091,22 x dx ) 22,091 x 3( dx ) 22,091 x 3( dx (x) V 322 ++−=∫ +−=∫ −−=∫ −=(x)M 
 11,046 C 
C C x 22,091 x M 
kNm 11,046 
 0) (x 
3
0) (x
=⇒




=++−==
=
=
=
 
M 
M 
C
C 
C 
 
 curva (3º grau) 
 




=
−=
= 
kNm 11,046 M 
kN 22,091 V
 0) (x 
C 
C 
C 




=
=
= 
kNm 19,330 M 
kN 38,659 V
 ) m 5,4(x 
B 
B 
B 
 
dx (x)p ∫=V 
 dx (x) V ∫ −=M 
kN 22,091 3 2 −= x(x) V 
 kNm 046,11 22,091 3 ++−= xx(x) M 
x
de
DC
de
x
22,091 kN
de
x
22,091 kN
11,046 kNm
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 5/5 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Secção onde o esforço transverso é nulo: m 2,714 0 22,091 3 0 2 =⇒=−⇒= xxV 
Concavidade do diagrama de Esforço Transverso: 0 
dx
d
2 
V 
2 
⇒> concavidade U 
 
Secção onde o momento é máximo: 
 kNm 51,01 
 11,046 2,714 22,091 2,714 M M(x) 0 V(x)
máx 
3 
,714)2 (xmáx máx 
=
+×+−==⇒=⇒= =
M
MM
 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
dx
Md
2 
 
2 
⇒< concavidade U 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo BA 
 




⇒−=
⇒=
recta kNm 38,659 19,330 (x) M
nível de recta kN 38,659 (x) V
 
x
BA 
 
 




=
=
= 
kNm 19,330 M 
kN 38,659 V
 0) (x 
B 
B 
B 




=
=
= 
0 M 
kN 38,659 V
 m) 0,5(x 
A 
A 
A 
_______________________________________________________________________________________ 
 
4. RESOLUÇÃO DO TRAMO CB SEM INTEGRAÇÃO E COM O REFERENCIAL: 
 
 
• Tramo CB 
 
 
Equação da carga triangular: kN/m 6 (x) p x= 
 
 
 
 
 
 
 
 





⇒++−=++−=
⇒−=
grau) (3º curva kNm 11,046 22,091 11,046 22,091 
3
 . 3 (x) M
grau) (2º curva kN 22,091 3 (x) V
 
32
2
xxxxx
x
CB 
 




=
−=
= 
kNm 11,046 M 
kN 22,091 V
 0) (x 
C 
C 
C 




=
=
= 
kNm 19,330 M 
kN 38,659 V
 ) m 5,4(x 
B 
B 
B 
BA
de
38,659 kN
19,330 kNm
x
x
de
de
x
22,091 kN
11,046 kNm
x
3