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TPREF �ACIOO presente texto foi preparado para o ensino das disciplinas de Resiste^ncia dos Materiais I e IIda Faculdade de Engenharia Meca^nica da UNICAMP. O texto tamb�em tem sido usado em cursos dep�os-gradua�c~ao.A principal proposta �e abordar problemas de meca^nica dos s�olidos utilizando conceitos de meca^nicado cont��nuo e formula�c~ao variacional. A forma tradicional de ensinar Resiste^ncia dos Materiais est�abaseada em modelos unidimensionais de barra e viga. Apesar do relativo sucesso desta abordagempara o tratamento destes tipos espec���cos de problemas, a mesma n~ao �e su�ciente para o tratamento
de problemas muito comuns de engenharia tais como estado plano, estruturas axissim�etricas, placas e
s�olidos.
Um outro ponto est�a relacionado ao fato que os estudantes de engenharia atendem cursos de
Meca^nica dos S�olidos e dos Fluidos como se fossem assuntos completamente dissociados. Este n~ao �e
o caso e o elemento de liga�c~ao entres estas disciplinas est�a dado pela formula�c~ao usada no presente
texto.
Esta primeira vers~ao pretende endere�car uma nova proposta de ensino problemas de meca^nica
utilizando uma abordagem baseada em meca^nica do cont��nuo e formula�c~ao variacional. Para isso, s~ao
necess�arios v�arios conceitos de an�alise tensorial (i.e., vetores, tensores, diferencia�c~ao, autovalores,
etc). Deve-se observar que a maioria destes conceitos s~ao tratados nos cursos de c�alculo e �algebra linear
presentes nos curr��culos de gradua�c~ao em engenharia. Com estes conceitos b�asicos, pode-se apresentar
de�ni�c~oes gerais de deforma�c~ao e tens~ao v�alidos para qualquer meio cont��nuo (i.e, s�olidos, fluidos,
gases). As equa�c~oes constitutivas relacionam tens~ao e deforma�c~ao para v�arios tipos de materiais.
Apenas neste ponto, de�nem-se as hip�oteses para o comportamento de materiais tais como o s�olido
el�astico linear e o fluido newtoniano. Utilizando conceitos como pote^ncia e o Princ��pio das Pote^ncias
Virtuais (PPV), a formula�c~ao variacional pode ser empregada para deduzir as equa�c~oes diferenciais
de equil��brio de problemas tais como barras, vigas, estado plano e s�olidos.
A formula�c~ao variacional �e a maneira mais formal e natural para tratar problemas de meca^nica.
Al�em disso, esta formula�c~ao induz naturalmente os m�etodos variacionais de solu�c~ao tais como o
M�etodo de Elementos Finitos. Observa-se que a formula�c~ao variacional n~ao parte do conceito de
for�ca como a Meca^nica Newtoniana.
A organiza�c~ao desta vers~ao inicial do texto procurou seguir a ementa do curso de Resiste^ncia do
Materiais I. O Cap��tulo 1 trata do problema de equil��brio de part��culas e corpos r��gidos utilizando as
abordagens newtoniana e variacional. O Cap��tulo 2 discute o conceito de esfor�cos solicitantes segundo
a abordagem newtoniana. O principal aspecto deste cap��tulo �e a solu�c~ao das equa�c~oes diferencias de
barra, viga e eixo empregando uma nota�c~ao em fun�c~ao de singularidade para representar o carrega-
mento. O Cap��tulo 3 apresenta de�ni�c~oes de an�alise tensorial e meca^nica do cont��nuo. Os cap��tulos
4 e 5 de�nem os conceitos gerais de deforma�c~ao e tens~ao. Observa-se que a abordagem do cap��tulo
5 est�a baseada nas leis de Newton. Os mesmos conceitos podem ser obtidos a partir da formula�c~ao
variacional. Finalmente, nos cap��tulos 6 a 8 apresentam-se a formula�c~ao variacional e o estudo de
problemas de barra, eixo, viga, estado plano e s�olido.
Esta organiza�c~ao n~ao �e ainda a ideal para a proposta contida neste texto. Al�em disso, est�a faltando
o cap��tulo de equa�c~oes constitutivas. Uma nova revis~ao do texto est�a sendo preparada contemplando
uma s�erie de modi�ca�c~oes e ser�a submetida �a publica�c~ao no segundo semestre de 1999.
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TOs autores agradecem o interesse neste material e gostariam de receber opini~oes e sugest~oes dosleitores. Os autores gostariam de agradecer as seguintes pessoas pela colabora�c~ao efetiva na prepera�c~aodesta notas: Cl�audio A. C. Silva, Wagner Trindade e Sabine Sirimarco Gomes.Atenciosamente,M.L. Bittencourt (mlb@fem.unicamp.br)R.A. Feij�oo (feij@alpha.lncc.br)
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TConte�udo
1 EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 1
1.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Abordagens Newtoniana e Anal��tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Elementos de Barra e Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Hip�oteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Conven�c~oes Diagram�aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.1 Suportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.2 Carregamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.3 Classi�ca�c~ao de Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Equil��brio Est�atico de Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Meca^nica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.2 Meca^nica anal��tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.3 Princ��pio das pote^nciais virtuais (PPV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Exerc��cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1 Exerc��cio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2 Exerc��cio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.3 Exerc��cio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.4 Exerc��cio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.5 Exerc��cio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.6 Exerc��cio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 ESFORC�OS SOLICITANTES 27
2.1 M�etodo das Se�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Conven�c~ao de sinais para esfor�cos solicitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 For�ca normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 For�ca Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 Momento fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.5 Momento Tor�cor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Equa�c~oes Diferenciais de Equil��brio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 For�ca Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2 Momento Tor�cor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3 For�ca Cortante e Momento Fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.4 Dedu�c~ao Global das Equa�c~oes de Equil��brio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Fun�c~oes de Singularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.2 Exerc��cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
iii
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T3 DEFINIC� ~OES E NOTAC� ~OES EM MECA^NICA DO CONT�INUO 773.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2 Nota�c~ao Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.1 Conven�c~ao de somat�orio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 783.2.2 Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.3 S��mbolo de permuta�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.4 Opera�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.5 Nota�c~oes de diferencia�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Espa�cos Pontuais e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.1 Componentes de um tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.2 Tensor nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.3 Tensor identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.4 Soma de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.5 Produto de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.6 Tensor transposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.7 Tensores sim�etrico e antissim�etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.8 Produto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.9 Tra�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.10 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.11 Tensor ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.12 Tensor positivo-de�nido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4.13 Vetor axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4.14 Transforma�c~ao de vetores e tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.15 Autovetores e autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.16 Valores e dire�c~oes principais de tensores sim�etricos . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5 Diferencia�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.6 Gradiente, Divergente, Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6.1 Gradiente de uma fun�c~ao escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6.2 Gradiente de uma fun�c~ao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.6.3 Divergente de uma fun�c~ao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.6.4 Divergente de uma fun�c~ao tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6.5 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.7 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.8 Teorema da Diverge^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.9 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4 DEFORMAC� ~AO 116
4.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2 Caracteriza�c~ao da Deforma�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 Descri�c~oes Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4 Descri�c~ao Material da Deforma�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5 Descri�c~ao Espacial da Deforma�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6 Deforma�c~ao In�nitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.7 Interpreta�c~ao das Componentes de Deforma�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8 Deforma�c~oes Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.9 Dilata�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.10 Taxa de Deforma�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
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T4.11 Exerc��cio Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.12 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405 TENS~AO 1415.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2 For�cas de Corpo e de Superf��cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3 Balan�co das Quantidades de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.4 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4.1 Tensor de tens~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.2 Simetria do tensor de tens~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.3 Equa�c~ao de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5 Tens~oes Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6 Condi�c~oes de Contorno para o Tensor de Tens~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.7 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6 FORMULAC� ~AO VARIACIONAL DE PROBLEMAS DE MECA^NICA 152
6.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2 Pote^ncias Externa e Interna e Princ��pio da Pote^ncia Virtual . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2.1 Pote^ncia externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2.2 Pote^ncia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2.3 Princ��pio da pote^ncia virtual (PPV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3 Barra { Tra�c~ao e Compress~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3.1 Exerc��cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4 Aspectos Gerais da Formula�c~ao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.1 Cinem�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.2 Taxa de deforma�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.4.3 Princ��pio das pote^ncias virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.5 Tor�c~ao em Eixos Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.5.1 Exerc��cio resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7 FLEX~AO EM VIGAS 183
7.1 Flex~ao Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.1.1 Exerc��cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.2 Vigas com V�arios Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2.1 Exerc��cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.3 Cisalhamento em Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.3.1 Exerc��cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8 DEFORMAC� ~AO EM S�OLIDOS 214
8.1 S�olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.2 Problemas Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.2.1 Estado plano de tens~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.2.2 Deforma�c~ao plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 219
8.2.3 Problemas axissim�etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
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TLista de Figuras
1.1 a) Elemento de barra; b) barra em compress~ao; c) barra em tra�c~ao (u, P = deslocamento
e for�ca axiais). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hip�oteses cinem�atica da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Exemplos de restri�c~oes cinem�aticas admiss��veis e n~ao-admiss��veis. . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Suportes: a),b),c) articula�c~ao e rolete; d) pino; e) �xo ou engastamento. . . . . . . . . 5
1.5 Restri�c~oes cinem�aticas e rea�c~oes: a) pino; b) rolete; c) engastamento. . . . . . . . . . . 6
1.6 Restri�c~ao unilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Carregamento concentrado numa viga: a) atual, b) idealizado. . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 For�ca uniformente distribu��da : a) atual; b) idealizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 For�ca distribu��da de forma vari�avel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.10 Momento concentrado numa viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.11 Classi�ca�c~ao de vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.12 For�cas sobre um ponto material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.13 Movimentos de corpo r��gido num plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.14 a) Alavanca articulada com for�ca F; b) diagrama de corpo livre. . . . . . . . . . . . . . 10
1.15 Diagrama de corpo livre dos elementos do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.16 Part��cula livre com a�c~ao de movimento v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.17 Rela�c~ao de dualidade de a�c~oes de movimento e for�cas numa part��cula. . . . . . . . . . 13
1.18 A�c~ao de movimento de um corpo r��gido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.19 Corpo sujeito �a a�c~ao de um conjunto de for�cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.20 Pote^ncia das for�cas internas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.21 Deslocamento virtual para o c�alculo de RBx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.22 Deslocamento virtual para o c�alculo de rea�c~ao de apoio RBy. . . . . . . . . . . . . . . 18
1.23 Exerc��cios 1 e 2: a) viga com carregamento; b) diagrama de corpo livre. . . . . . . . . 19
1.24 Exerc��cio 2: deslocamento na dire�c~ao de RBy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.25 Exerc��cio 2: deslocamento na dire�c~ao de RAy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.26 Exerc��cio 2: deslocamento na dire�c~ao de RAx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.27 Exerc��cios 3 e 4: a) viga com carregamento; b) diagrama de corpo livre. . . . . . . . . 21
1.28 Exerc��cio 4: a) deslocamento na dire�c~ao de RBy; b) a^ngulo � e sua varia�c~ao ��; c)
rela�c~ao entre os deslocamentos dos pontos B e C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.29 Exerc��cio 4: a) deslocamento na dire�c~a de RAy; b) rota�c~ao em torno de B; c) rela�c~ao
entre os deslocamentos dos pontos A e C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.30 Deslocamento na dire�c~ao de RAx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.31 a) viga com carregamento b) diagrama de corpo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.32 Exerc��cio 6: deslocamento virtual na dire�c~a de RBy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.33 Exerc��cio 6: deslocamentos virtuais nas dire�c~oes de a) RAy; b) RAx. . . . . . . . . . . 26
1.34 Exerc��cios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
vi
DR
AF
T2.1 Particionamento de um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Componentes de esfor�cos internos: a) for�cas; b) momentos. . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Conven�c~oes de sinais: a) for�ca normal; b) for�ca cortante; c) momento fletor; d) momentotor�cor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 For�cas axiais concentradas: a) carregamento; b) DCL com rea�c~ao de apoio. . . . . . . 302.5 For�cas axiais concentradas e distribu��da: a) carregamento; b) DCL com rea�c~ao de apoio. 322.6 Carga distribu��da linear: a) carregamento; b) diagrama de corpo livre com rea�c~ao deapoio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 For�ca cortante numa viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 Momento fletor numa viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9 M�etodo das se�c~oes: viga do exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 M�etodo das se�c~oes: viga do exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 M�etodo das se�c~oes: viga do exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.12 M�etodo das se�c~oes: viga do exemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13 Exemplos de momento tor�cor: a) eixo; b) bobina de papel. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.14 M�etodo das se�c~oes: momento tor�cor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.15 a) Viga submetida a uma for�ca axial vari�avel; b) elemento de viga. . . . . . . . . . . . 49
2.16 Equa�c~ao diferencial: barra submetida a uma carga distribuida. . . . . . . . . . . . . . 50
2.17 Equa�c~ao diferencial: barra submetida a uma carga distribuida constante. . . . . . . . . 51
2.18 Equa�c~ao diferencial: barra submetida a uma carga distribuida linear. . . . . . . . . . . 52
2.19 a) Viga submetida a carregamento transversal; b) elemento de viga. . . . . . . . . . . 53
2.20 Equa�c~ao diferencial: viga submetida a carga distribu��da. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.21 Equa�c~ao diferencial: carga distribu��da linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.22 Equa�c~ao diferencial: viga com r�otula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.23 a) Viga submetida a for�cas axial e transversal e momento tor�cor; b) elemento de viga. 57
2.24 Viga submetida a for�cas e momentos concentrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.25 Nota�c~ao simb�olica para < x− a >n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.26 Gr�a�cos de hn(x) para n = 1; 5; 10; 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.27 Fun�c~ao de Heaviside: a) H(x); b) H(x− a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.28 Delta de Dirac: a) �(x); b) �(x− xo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.29 Derivadas de hn(x) para v�arios valores de n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.30 Gr�a�cos de d
2
dx2
hn(x) para n = 1; 5; 10; 20: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.31 Fun�c~oes de singularidade: viga do exerc��cio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.32 Fun�c~oes de singularidade: viga do exerc��cio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.33 Fun�c~oes de singularidade: viga do exerc��cio 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.34 Fun�c~oes de singularidade: viga do exerc��cio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.35 Fun�c~oes de singularidade: viga do exerc��cio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.36 Fun�c~oes de singularidade: viga do exerc��cio 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.37 Fun�c~oes de singularidade: barra do exerc��cio 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.38 Fun�c~oes de singularidade: viga do exerc��cio 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1 Pontos e vetores numa regi~ao B do espa�co euclidiano.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Sistema de coordenadas cartesiano associado a B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Produtos entre vetores: a) escalar; b) vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4 Espelhamento de vetores em torno de e1 atrav�es de T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Rota�c~oes no sentido anti-hor�ario: a) 90o� em torno de e3; b) 90
o
� em torno de e1. . . . 91
3.6 Sistemas cartesianos retangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7 Regra da cadeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
DR
AF
T3.8 Corpo r��gido e os sistemas de refere^ncia inercial e m�ovel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.9 Interpreta�c~ao geom�etrica de r’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.1 Deforma�c~oes numa a) barra; b) viga; c) e d) eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2 Con�gura�c~ao de refere^ncia B e seu contorno @B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3 Campos vetoriais ut(X) e ut(x) caracterizando, respectivamente, a deforma�c~ao ft(X) esua inversa f−1t (X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4 Barra alongada de um comprimento L0 para L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5 Descri�c~oes material (ut(X)) e espacial (ut(x)) da deforma�c~ao. . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6 Quadrado unit�ario OABC deformado para OAB’C’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.7 Interpreta�c~ao da componente de deforma�c~ao "xx: a)
@u1
@X1
> 0, b)
@u1
@X1
< 0. . . . . . . . 126
4.8 Interpreta�c~ao da deforma�c~ao de cisalhamento γxy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.9 Deforma�c~ao dos elementos dX1 e dX2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.10 Deforma�c~ao da diagonal AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.11 Alongamentos nas dire�c~oes principais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.1 Hip�otese de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2 Formal alternativa para ilustrar a hip�otese de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3 For�cas de contato: a) entre superf��cies de corpos; b) entre a superf��cie de um corpo e
seu ambiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4 Tetraedro in�nitesimal contendo o ponto P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5 Componentes cartesianas do tensor de tens~oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.6 Diagrama de corpo livre de um elemento in�nitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.7 Elemento in�nitesimal com as componentes de tens~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.8 Condi�c~ao de contorno de tens~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.1 Esquema de solu�c~ao de um problema de meca^nica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2 Espa�cos V, V 0, W e W 0 e as pote^ncias externa e interna associadas. . . . . . . . . . . . 154
6.3 Barra de comprimento L juntamente com sistema de coordenadas. . . . . . . . . . . . 156
6.4 a) Se�c~oes transversais planas e normais ao eixo x; b) se�c~oes transversais permanecem
planas e normais ap�os a a�c~ao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.5 Rela�c~ao entre os espa�cos de a�c~oes de movimento V e das taxas de deforma�c~ao W. . . . 158
6.6 Barra: a) for�cas externas; b) conven�c~ao de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.7 Formula�c~ao variacional do problema de barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.8 Tens~ao constante nos pontos de uma se�c~ao da barra: a) tra�c~ao; b) compress~ao. . . . . 161
6.9 Condi�c~oes de contorno em termos de deslocamento numa barra. . . . . . . . . . . . . . 162
6.10 Barra submetida a carregamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.11 Barra: a) apoiada sobre mola; b) com folga �u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.12 Barra hiperest�atica com dois trechos distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.13 Barra: a) trecho AB; b) equil��brio na interface; c) trecho BC. . . . . . . . . . . . . . . 166
6.14 Rela�c~ao entre os espa�cos de a�c~oes de movimento V e de taxas de deforma�c~ao W. . . . 171
6.15 Esquema de solu�c~ao dos problemas de meca^nica pela abordagem variacional. . . . . . 172
6.16 a) Rota�c~ao da se�c~ao transversal do eixo; b) efeito da tor�c~ao no plano longitudinal
imagin�ario DO1O2C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.17 Resultante em termos de momento tor�cor na se�c~ao transversal do eixo (A=�area da se�c~ao.175
6.18 Eixo: a) esfor�cos externos; b) conven�c~ao de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.19 Esquema da formula�c~ao variacional do eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.20 Distribui�c~ao da tens~ao de cisalhamento na se�c~ao de um eixo: a) Mx > 0; b) Mx < 0. . 179
DR
AF
T 16.21 Eixo com se�c~oes circulares cheia e vazada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.1 Sistema de coordenadas da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.2 a) Posi�c~ao inicial e �nal de uma se�c~ao transversal da viga; b) velocidades dos pontosde uma se�c~ao transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.3 Viga: a) esfor�cos externos; b) conven�c~ao de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.4 Formula�c~ao da viga em flex~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.5 Condi�c~oes de contorno na viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.6 Tens~oes de tra�c~ao e compress~ao numa se�c~ao tranversal da viga: a) Mz > 0; a) Mz < 0. 189
7.7 Linha e superf��cie neutras numa viga em flex~ao pura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.8 Viga bi-engastada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.9 Viga constitu��da de dois trechos distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.10 Viga da quest~ao 2: a) trecho AB; b) equil��brio entre os dois trechos; c) trecho BC. . . 193
7.11 Vigas a) sem r�otula; b) com r�otula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.12 Rota�c~oes �1 e �2; descontinuidade ��. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.13 Passarela de pedestres: a) e b) vista geral; c) detalhe da r�otula; d) apoio na rampa. . . 197
7.14 Modelos para a passarela: a) sem r�otula; b) com r�otula. . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.15 Passarela sem r�otula: gr�a�cos da cortante, momento fletor, rota�c~ao e deflex~ao. . . . . 199
7.16 Passarela com r�otula: gr�a�cos da cortante, momento fletor, rota�c~ao e deflex~ao. . . . . 200
7.17 Passarela com r�otula nos pontos de m�aximo momento: gr�a�cos da cortante, momento
fletor, rota�c~ao e deflex~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.18 Vigas com v�arios materiais: a) se�c~ao transversal; b) deforma�c~ao (Mz > 0); c)tens~ao
(Mz > 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.19 Viga com se�c~ao transversal de a�co e madeira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.20 Se�c~ao transversal de a�co e madeira: a) centro geom�etrico; b) distribui�c~oes de defor-
ma�c~ao; c) tens~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.21 Viga com se�c~ao de resina pl�astica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.22 Distribui�c~ao de tens~ao na se�c~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.23 a) ponte rolante; b) se�c~ao transversal da viga central. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 208
7.24 Aplica�c~ao do carregamento em v�arios pontos e respectivos esfor�cos. . . . . . . . . . . . 208
7.25 Se�c~oes transversais: a) estimativa inicial; b) per�l completo; c) per�l refor�cado. . . . . 209
7.26 Carregamento original e efeito do peso pr�oprio da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.27 For�ca cortante m�axima na viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.28 a) c�alculo dos momentos est�aticos; b) distribui�c~ao das tens~oes de cisalhamento. . . . . 212
7.29 Esquema da solda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
DR
AF
TCap��tulo 1
EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS
1.1 Introdu�c~ao
A descri�c~ao e a an�alise de feno^menos f��sicos da natureza sempre foram de interesse da humanidade.
V�arios cientistas famosos ao longo dos �ultimos s�eculos estudaram o movimento e a deforma�c~ao dos
corpos. Estes temas pertencem a �area de meca^nica dos s�olidos, cujo objetivo b�asico �e o estudo do
comportamento de corpos submetidos a solicita�c~oes quaisquer, determinando-se os esfor�cos internos e
os estados de deforma�c~ao e tens~ao.
Atrav�es de algumas simpli�ca�c~oes sobre o caso geral de um corpo s�olido, permitindo a sua an�alise
atrav�es de modelos unidimensionais, desenvolveu-se a discplina de resiste^ncia dos materiais. De forma
geral, deseja-se conhecer os esfor�cos internos e a deforma�c~ao em elementos como barras, vigas e eixos.
Para isso, assume-se que toda solicita�c~ao aplicada ao corpo causa apenas deforma�c~ao, n~ao ocorrendo
nenhuma a�c~ao de movimento. Observa-se que o estado de repouso de um corpo pode ser considerado
como um caso particular de movimento. Uma s�erie de express~oes foram deduzidas para o c�alculo das
deforma�c~oes e tens~oes em estruturas compostas de barras e vigas. Desta forma, pode-se considerar a
resite^ncia dos materiais como uma descri�c~ao t�ecnica de alguns conceitos de meca^nica dos s�olidos.
Entretanto, torna-se essencial ao aluno de engenharia conhecer os princ��pios b�asicos de meca^nica,
sendo capaz de identi�car onde as hip�oteses foram aplicadas na teoria de resiste^ncia de materiais.
Desta maneira, atrav�es destes princ��pios, o estudante ser�a capaz de tratar outros tipos de problemas
n~ao considerados pela resiste^ncia dos materiais cl�assica.
Logo, este curso tem como objetivo principal apresentar os conceitos b�asicos de meca^nica e ao
mesmo tempo abordar a teoria cl�assica de resiste^ncia. Neste cap��tulo, inicialmente, faz-se uma apre-
senta�c~ao das abordagens newtoniana e anal��tica para o tratamento de problemas de meca^nica. Pos-
teriormente, consideram-se elementos de barra e viga, algumas hip�oteses e conven�c~oes diagram�aticas
para suportes e carregamentos. Finalmente, considera-se o equil��brio est�atico de corpos segundo os
postulados de Newton e na forma variacional, tomando-se neste �ultimo caso o princ��pio das pote^ncias
virtuais.
1.2 Abordagens Newtoniana e Anal��tica
Uma das maiores di�culdades ao longo da hist�oria da Meca^nica tem sido encontrar uma repre-
senta�c~ao f��sico-matem�atica satisfat�oria para o conceito de a�c~ao de um determinado corpo sobre a
con�gura�c~ao (estado) de outro.
A partir dos postulados de movimento estabelecidos por Newton, a meca^nica desenvolveu-se ao
longo de duas linhas principais. A primeira, denominada meca^nica vetorial, parte diretamente das leis
1
DR
AF
TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 2de Newton, representando a a�c~ao atrav�es de for�cas dadas por vetores segundo um certo sistema derefere^ncia. Desta forma, o conceito de for�ca surge como um ente abstrato, de�nido de forma totalmentedesvinculada da cinem�atica adotada para modelar o problema. Essa �e a abordagem aplicada nodesenvolvimento da f��sica newtoniana, sendo a an�alise e s��ntese de for�cas e momentos a sua principalpreocupa�c~ao.Leibniz, um contempora^neo de Newton, introduziu uma segunda linha de abordagem denominadameca^nica anal��tica, a qual baseia o estudo do equil��brio e do movimento em duas grandezas escalaresb�asicas, ou seja, as energias cin�etica e potencial. Aparentemente mais abstrato, este tratamento
traduz a experie^ncia concreta di�aria, adotando como elementos principais da caracteriza�c~ao da a�c~ao
sobre o corpo o respectivo movimento e a pote^ncia (trabalho) dispendida para efetu�a-lo. A partir
da��, o conceito de for�ca surge naturalmente, n~ao como uma de�ni�c~ao abstrata a-priori , mas como um
elemento de liga�c~ao entre a a�c~ao de movimento do corpo e a pote^ncia dispendida para realiz�a-la.
Esta segunda descri�c~ao �e, ao contr�ario do que possa parecer, t~ao antiga quanto a pr�opria Meca^nica.
De fato, desde os primeiros passos no sentido de dar uma estrutura matem�atica formal �a Meca^nica, o
conceito de pote^ncia surgiu como algo b�asico e fundamental. Neste sentido, destacam-se os trabalhos de
pioneiros como J. Bernoulli (1717), de�nitivamente consagrados por D’Alembert (1743). Essa descri�c~ao
�e tamb�em mais natural pois representa, na verdade, o enunciado matem�atico de uma experie^ncia f��sica
bastante comum:
� quando se deseja conhecer o peso de um objeto, levanta-se o mesmo ligeiramente, avaliando-
se o seu peso pela pote^ncia (ou trabalho) para efetuar tal movimento. Em outras palavras,
introduz-se um movimento virtual tirando o objeto do movimento natural (repouso) em que se
encontrava;
� de uma maneira similar, para se conhecer a tens~ao numa correia, desloca-se a mesma de sua
con�gura�c~ao natural introduzindo um pequeno movimento com os dedos. Logo, efetua-se uma
a�c~ao de movimento virtual e atrav�es da pote^ncia dispendida para realiz�a-la, avalia-se a tens~ao
da correia.
Observa-se que esta �ultima abordagem difere consideravelmente na sua metodologia em rela�c~ao a
meca^nica vetorial.
A lei fundamental de movimento estabelecida por Newton, ou seja, massa vezes acelera�c~ao �e igual a
for�ca, �e v�alida em primeira insta^ncia apenas para uma �unica part��cula. Foi deduzida para o movimento
de uma part��cula no campo gravitacional da Terra e aplicada ao movimento de planetas sob a a�c~ao do
sol. Nestes dois problemas, o corpo em movimento pode ser idealizado como uma part��cula, ou seja,
um ponto simples no qual associa-se uma massa. A lei de Newton fornece uma equa�c~ao diferencial de
movimento e atrav�es da sua integra�c~ao �e poss��vel resolver o problema dina^mico.
Entretanto, no caso de um corpo s�olido ou fluido, as part��culas est~ao associadas entre si, devendo-se
tomar algumas precau�c~oes para aplicar a lei de Newton. Deve-se isolar uma part��cula das demais e
determinar as for�cas exercidas pelas part��culas vizinhas. Desta forma, cada part��cula �e uma unidade
independente seguindo a lei de movimento. Esta an�alise em termos de for�cas torna-se trabalhosa, pois
n~ao se conhece em geral a natureza das for�cas de intera�c~ao. Para resolver esta limita�c~ao, Newton
introduziu o princ��pio da a�c~ao e rea�c~ao como a sua terceira lei de movimento. Entretanto, nem todos
os problemas podem ser resolvidos atrav�es deste postulado, sendo necess�arias novas hip�oteses, como
por exemplo no caso do estudo de corpos r��gidos. Veri�ca-se ainda que a abordagem newtoniana falha
em fornecer uma �unica resposta para problemas mais complexos.
A aproxima�c~ao da meca^nica anal��tica trata os problemas de uma forma diferente. A part��cula n~ao
�e mais isolada, fazendo parte de um sistema como todo. Um sistema meca^nico �e uma montagem de
DR
AF
TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 3part��culas, as quais interagem entre si. Desta maneira, uma part��cula simples n~ao tem signi�ca^ncia,mas sim o sistema como um todo, n~ao havendo a necessidade de desmembrar o sistema em partes.Ao contr�ario do tratamento vetorial, onde cada part��cula deve ser considerada de forma especial ea for�ca atuante determinada independentemente das outras part��culas,na abordagem anal��tica tem-seuma �unica fun�c~ao descrevendo as for�cas atuantes nas part��culas do sistema.Uma outra diferen�ca fundamental refere-se ao tratamento de condi�c~oes auxiliares, como no casode rela�c~oes cinem�aticas conhecidas para o sistema em estudo. Por exemplo, as part��culas de umcorpo s�olido podem se mover como se o corpo fosse r��gido, ou seja, a dista^ncia entre dois pontos
quaisquer permanece �xa. No caso da meca^nica newtoniana, h�a a necessidade de for�cas para manter
esta condi�c~ao, enquanto na abordagem anal��tica n~ao �e necess�ario o conhecimento destas for�cas, sendo
levada em conta apenas a condi�c~ao cinem�atica estabelecida. Analogamente, para o caso de fluidos
n~ao �e necess�ario conhecer o tipo de for�cas presentes entre as part��culas. Leva-se em conta apenas o
fato emp��rico de que um fluido resiste consideravelmente a qualquer tentativa de alterar o seu volume,
enquanto tem-se uma resiste^ncia menor a a�c~oes que alterem a forma e n~ao o volume do fluido. Logo,
despreza-se a natureza das for�cas entre as part��culas, estabelecendo-se condi�c~oes cinem�aticas tais que
durante uma a�c~ao de movimento, o volume de qualquer parte do fluido deve ser preservada.
No entanto, a principal diferen�ca entre as duas abordagens est�a no fato de um princ��pio �unico sobre
o qual est�a fundamentada a meca^nica anal��tica. Para um sistema complexo, o n�umero de equa�c~oes
de movimento pode ser bastante grande. Os princ��pios variacionais da meca^nica anal��tica permitem
uma base �unica a partir da qual derivam-se todas as equa�c~oes. Dado o conceito fundamental de a�c~ao,
o princ��pio que esta seja estacion�aria resulta no conjunto de equa�c~oes diferenciais do sistema. Al�em
disso, esta formula�c~ao �e invariante com respeito a qualquer transforma�c~ao de coordenadas.
Logo, as quatro principais diferen�cas entre os tratamentos vetorial e anal��tico podem ser resumidas
como:
1. a meca^nica vetorial isola a part��cula, tratando-a de forma individual; j�a o caso anal��tico considera
o sistema como um todo;
2. a meca^nica vetorial constr�oi uma resultante de for�cas para cada part��cula; o tratamento anal��tico
considera uma �unica fun�c~ao (energia potencial) contendo todas as for�cas necess�arias;
3. o caso vetorial deve considerar o conjunto de for�cas necess�arias para manter qualquer rela�c~ao
estabelecida entre as coordenadas de um sistema; na meca^nica anal��tica qualquer condi�c~ao ci-
nem�atica representa mais um para^metro conhecido do sistema;
4. na abordagem anal��tica, todo o conjunto de equa�c~oes pode ser desenvolvido a partir de um �unico
princ��pio, o qual toma a forma de minimizar uma certa a�c~ao. Este princ��pio �e independente de
qualquer sistema de coordenadas empregado, sendo poss��vel escolher aquele mais natural a cada
problema analisado.
Ao longo deste cap��tulo, pretende-se mostrar estas duas abordagens para o caso de equil��brio de
corpos r��gidos. No Cap��tulo 6, considera-se a caracteriza�c~ao da deforma�c~ao em barras, eixos, vigas e
s�olidos, procurando ressaltar as vantagens do tratamento anal��tico ou variacional.
1.3 Elementos de Barra e Viga
Tradicionalmente, a resiste^ncia dos materiais considera o estudo de estruturas constitu��das de
elementos unidimensionais de barra e viga. Uma barra, ilustrada na Figura 1.1a), possui como ca-
racter��stica geom�etrica principal, o fato que o seu comprimento �e muito maior que as dimens~oes da
DR
AF
TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 4se�c~ao transversal. A hip�otese cinem�atica assume que as a�c~oes de movimento poss��veis s~ao tais que asec�c~ao transversal permanece plana e normal ao eixo x. Desta forma, tem-se apenas deslocamentos esolicita�c~oes axiais de tra�c~ao e compress~ao, ilustradas nas Figuras 1.1b) e c).
Figura 1.1: a) Elemento de barra; b) barra em compress~ao; c) barra em tra�c~ao (u, P = deslocamento
e for�ca axiais).
A hip�otese de vigas em flex~ao pura consiste em supor que as a�c~oes de movimento poss��veis devem
ser tais que as sec�c~oes transversais permane�cam planas, n~ao-deformadas e ortogonais ao eixo da viga,
como mostrado na Figura 1.2. Logo, as for�cas transversais e os momentos puros s~ao os esfor�cos
compat��veis com a cinem�atica adotada. Estes elementos estruturais ser~ao estudados com maiores
detalhes no Cap��tulo 6.
Figura 1.2: Hip�oteses cinem�atica da viga.
1.4 Hip�oteses
Como mencionado anteriormente, o objetivo b�asico da resiste^ncia dos materiais �e determinar o
n��vel de solicita�c~ao de uma estrutura meca^nica, estabelecendo crit�erios para a valida�c~ao de seu projeto
atual. Desta maneira, todo carregamento aplicado causa apenas deforma�c~ao na estrutura. Para isso,
deve existir um n�umero su�ciente de restri�c~oes ou suportes para evitar o movimento do componente.
Assim, tem-se um conjunto de restri�c~oes cinem�aticas, as quais devem ser satisfeitas para qualquer
a�c~ao desenvolvida pela estrutura, como ilustrado na Figura 1.3.
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AF
TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 5
Figura 1.3: Exemplos de restri�c~oes cinem�aticas admiss��veis e n~ao-admiss��veis.
1.5 Conven�c~oes Diagram�aticas
1.5.1 Suportes
Torna-se essencial estabelecer algumas conven�c~oes para representar os suportes respons�aveis por
manter um estrutura em repouso quando submetida a carregamentos externos. Basicamente, os supor-
tes s~ao identi�cados pelo tipo de restri�c~ao cinem�atica presente ou de forma equivalente pelas rea�c~oes
que oferecem �as for�cas externas.
Figura 1.4: Suportes: a),b),c) articula�c~ao e rolete; d) pino; e) �xo ou engastamento.
Num primeiro caso, tem-se um rolete ou uma articula�c~ao, veri�cando-se um deslocamento nulo ou
uma for�ca resistiva em uma linha de a�c~ao espec���ca, como exempli�cado na Figura 1.4 a), b), c):
� no exemplo a), qualquer a�c~ao de movimento deve respeitar a restri�c~ao cinem�atica de desloca-
mento nulo ao longo da linha AB. Visto pelo lado da meca^nica vetorial, a articula�c~ao resiste
apenas �a for�cas na dire�c~ao AB;
� no segundo caso, o deslocamento �e nulo na dire�c~ao vertical e o rolete resiste apenas a uma for�ca
vertical;
� em c), tem-se um deslocamento nulo, originando uma for�ca resistente na dire�c~ao perpendicular
ao plano CD.
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 6
Figura 1.5: Restri�c~oes cinem�aticas e rea�c~oes: a) pino; b) rolete; c) engastamento.
Em todos estes casos, veri�ca-se uma �unica rea�c~ao ou inc�ognita para as equa�c~oes de equil��brio.
Nos casos planos, a rela�c~ao entre as duas componentes de rea�c~ao �e �xa. O pino, ilustrado na Figura
1.4 d) �e outro tipo de suporte. Observa-se que os deslocamentos nas dire�c~oes horizontal e vertical s~ao
nulos, fazendo surgir duas for�cas de rea�c~ao. Por sua vez na Figura 1.4e), ilustra-se um suporte �xo
ou engastamento, onde al�em dos deslocamentos, tamb�em a rota�c~ao �e nula. Da mesma forma, este
suporte resiste a uma for�ca em qualquer dire�c~ao, al�em de um momento. Como exemplo t��pico, tem-se
um engastamento de uma viga num bloco de concreto. A Figura 1.5 resume as diferen�cas entre os
suportes discutidos, enfatizando as restri�c~oes cinem�aticas presentes, assim como as rea�c~oes impostas.
Um outro tipo de v��nculo encontrado frequentemente em v�arios problemas de meca^nica, tais como
contato e conforma�c~ao, est�a ilustrado na Figura 1.6. Esta restri�c~ao �e denominada unilateral, sendo
caracterizada pelo fato de que se a a�c~ao de movimento estiver impedida numa dire�c~ao, n~ao estar�a na
dire�c~ao oposta. Este caso induz uma n~ao-linearidade ao problema, estando fora do escopo desse texto.
Figura 1.6: Restri�c~ao unilateral.
1.5.2 Carregamentos
Os carregamentos aplicados a uma viga podem ser transmitidos atrav�es de um pilar, uma alavanca
ou um componente rebitado, como mostrado na Figura 1.7a). Observa-se que estes arranjos aplicam a
for�ca numa parcela limitadada viga e s~ao idealizados como for�cas concentradas, conforme o diagrama
da Figura 1.7b).
Em outros casos, as for�cas s~ao aplicadas ao longo de uma por�c~ao maior da viga, sendo denominados
carregamentos distribu��dos. As Figuras 1.8 e Figura 1.9 ilustram for�cas distribu��das uniformes e
vari�aveis, respectivamente, juntamente com as suas idealiza�c~oes. Como �ultimo caso, pode-se carregar
um viga com um momento concentrado num ponto, conforme mostrado na Figura 1.10.
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 7
Figura 1.7: Carregamento concentrado numa viga: a) atual, b) idealizado.
Figura 1.8: For�ca uniformente distribu��da : a) atual; b) idealizado.
Figura 1.9: For�ca distribu��da de forma vari�avel.
Figura 1.10: Momento concentrado numa viga.
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 81.5.3 Classi�ca�c~ao de VigasAs vigas s~ao classi�cadas de acordo com o tipo de suporte ou carregamento presentes, como ilus-trado na Figura 1.11. A dista^ncia entre os suportes �e denominada v~ao. Observa-se que para uma vigacont��nua, os diversos v~aos podem ter comprimentos vari�aveis.Al�em disso, as estruturas de forma geral pode ser estaticamente determinadas e indeterminadas.No primeiro caso, apenas as condi�c~oes de equil��brio s~ao necess�arias para calcular as rea�c~oes de apoio,como nos casos a), b), e) e f) da Figura 1.11. Do contr�ario, deve-se considerar informa�c~oes adicionaissobre a deforma�c~ao da estrutura, como nos casos c), d) e g) da Figura 1.11.
Figura 1.11: Classi�ca�c~ao de vigas.
1.6 Equil��brio Est�atico de Corpos
1.6.1 Meca^nica Newtoniana
Uma part��cula �e um ponto material com uma certa massa associada e cujas dimens~oes n~ao s~ao
relevantes. Segundo a abordagem vetorial, a condi�c~ao de equil��brio de uma part��cula �e que a resultante
F das for�cas externas atuantes seja nula, ou seja, F = 0.
Adotando um sistema de refere^ncia cartesiano, como ilustrado na Figura 1.12 para um caso bidi-
mensional, tem-se que a condi�c~ao de equil��brio anterior implica que a resultante das for�cas externas
nas dire�c~oes x, y e z s~ao nulas. Logo,P
Fx = 0
P
Fy = 0
P
Fz = 0 (1.1)
No entanto, o interesse aqui �e estudar corpos r��gidos, os quais est~ao constitu��dos de in�nitas
part��culas, sendo constante a dista^ncia entre as mesmas para qualquer a�c~ao de movimento. Para um
corpo r��gido, as condi�c~oes de equil��brio s~ao tais que as resultantes em termos de for�cas externas F e
momentos M sejam nulos, isto �e F = 0 e M = 0, respectivamente. Para um sistema cartesiano, vem
que, P
Fx = 0
P
Fy = 0
P
Fz = 0P
Mx = 0
P
My = 0
P
Mz = 0
(1.2)
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 9
Figura 1.12: For�cas sobre um ponto material.
A Figura 1.12 ilustra uma treli�ca com cargas externas P1 e P2 sobre o n�o A sendo F1, F2 e F3 as
for�cas nos elementos de barra compartilhando o n�o A. As condi�c~oes de equil��brio desta part��cula s~ao
dadas por,
1.
P
Fx = 0! P1 + F2 cos � + F3 = 0
2.
P
Fy = 0! P2 + F1 + F2 sin � = 0
Observa-se que as condi�c~oes de equil��brio de uma part��cula s~ao usadas extensivamente na an�alise
de treli�cas pelo m�etodo dos n�os.
Tomando-se um corpo plano, a Figura 1.13 apresenta os movimentos de corpo r��gido poss��veis, ou
seja, transla�c~oes em x e y e rota�c~ao segundo o eixo z. Neste caso, as condi�c~oes de equil��brio resumem-se
em, P
Fx = 0
P
Fy = 0
P
Mz = 0 (1.3)
Figura 1.13: Movimentos de corpo r��gido num plano.
Exemplo 1
Considere a alavanca articulada ACB da Figura 1.14a), usada para comprimir um bloco de madeira.
Deseja-se determinar a for�ca exercida pela alavanca no bloco quando um certa for�ca F �e aplicada em
C, supondo que n~ao h�a atrito.
Objetivos:
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 10
Figura 1.14: a) Alavanca articulada com for�ca F; b) diagrama de corpo livre.
1. Ilustrar a constru�c~ao do diagrama de corpo livre;
2. Exempli�car an�alise das condi�c~oes de equil��brio pela abordagem newtoniana;
Etapas:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre do sistema;
2. Determina�c~ao das equa�c~oes de equil��brio do sistema;
3. Solu�c~ao das equa�c~oes e determina�c~ao das inc�ognitas do problema.
Solu�c~ao:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre dado na Figura 1.14b),
Neste diagrama, apresentam-se de forma idealizada as for�cas externas e de rea�c~ao presentes na
estrutura.
2. Determina�c~ao das equa�c~oes de equil��brio do sistema
A partir do diagrama de corpo livre, pode-se escrever as condi�c~oes de equil��brio do sistema:
i)
P
Fx = 0! RAx −RBx = 0
ii)
P
Fy = 0! RAy +RBy − F = 0
iii)
P
MzA = 0! 2l sin �RBy − l sin �F = 0
Considerando a alavanca articulada como constitu��da de dois elementos de barra AC e BC,
tem-se apenas for�cas axiais resultantes ao longo de AC e BC. Logo, a partir da geometria do
problema tamb�em tem-se a rela�c~ao,
iv) tan � = RBxRBy
3. Solu�c~ao das equa�c~oes e determina�c~ao das inc�ognitas
Das equa�c~oes iii) e iv), obt�em-se, respectivamente,
RBy =
F
2 RBx =
�
F
2
�
tan �
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 11sendo RBx a inc�ognita procurada. As demais rea�c~oes s~ao determinadas a partir dos valoresacima empregando i) e ii). Logo,RAx = �F2 � tan � RAy = F2Exemplo 2Considere a alavanca articulada ACB da Figura 1.14a). Deseja-se determinar todas as for�cas atuando
nos elementos internos do sistema.
Objetivo:
1. Exempli�car a an�alise das condi�c~oes de equil��brio pela abordagem newtoniana, considerando cada
elemento interno do sistema. Um procedimento an�alogo �e aplicado em problemas de treli�ca.
Etapas:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre de cada elemento do sistema;
2. Determina�c~ao das equa�c~oes de equil��brio de cada elemento e das equa�c~oes de compatibilidade do
sistema;
3. Solu�c~ao das equa�c~oes e determina�c~ao das inc�ognitas do problema.
Solu�c~ao:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre de cada elemento do sistema;
Seguem-se os procedimentos anteriores para a constru�c~ao do diagrama de corpo livre de cada
elemento do sistema, como mostrado na Figura 1.15.
2. Determina�c~ao das equa�c~oes de equil��brio de cada elemento e das equa�c~oes de compatibilidade do
sistema
Elemento 1 :
i)
P
Fx = 0! −RAx + F1x = 0
ii)
P
Fy = 0! RAy − F1y = 0
iii)
P
MzA = 0! l cos �F1x − l sin �F1y = 0
Elemento 2 :
iv)
P
Fx = 0! −RBx + F2x = 0
v)
P
Fy = 0! RBy − F2y = 0
vi)
P
MzB = 0! −l cos �F2x + l sin �F2y = 0
Equa�c~oes de compatibilidade entre os elementos:
vii) −F1y − F2y = −F
viii) −F1x = F2x
Observe que as equa�c~oes de i) a viii) formam um sistema de 8 inc�ognitas e 8 equa�c~oes indepen-
dentes. Dessa forma, o sistema tem solu�c~ao �unica.
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 12
Figura 1.15: Diagrama de corpo livre dos elementos do sistema.
3. Solu�c~ao das equa�c~oes e determina�c~ao das inc�ognitas do problema
Substituindo as equa�c~oes vii) e viii) em iii) tem-se,
l cos �F2x − l sin � (F − F2y) = 0
que somado a vi) resulta em,
F2y =
F
2 F2x =
�
F
2
�
tan �
Substituindo esses valores nas equa�c~oes convenientes resultam em,
RBy =
F
2 RBx =
�
F
2
�
tan �
RAy =
F
2 RAx =
�
F
2
�
tan �
1.6.2 Meca^nica anal��tica
Na abordagem newtoniana, uma part��cula est�a em equil��brio se a resultante das for�cas externas
atuantes sobre a part��cula �e zero. Nesta forma, isola-se a part��cula e substitui-se todas as restri�c~oes por
for�cas. Logo, parte-se do conceito de for�ca j�a de�nido a-priori . Na formula�c~ao anal��tica, considera-se
a a�c~ao ou a cinem�atica que a part��cula pode estar submetida, recuperando-se a partir da�� a de�ni�c~ao
cl�assica de for�ca.
Considere a part��cula P da Figura 1.16, sem nenhuma restri�c~ao cinem�atica, localizada no espa�cotridimensional <3. Dessa forma, qualquer a�c~ao de movimento de P equivale a um vetor v pertencente
a <3. A pote^ncia Pe associada a uma a�c~ao de movimento �e uma fun�c~ao linear dada por,
f : <3 ! <
v ! f (v) = Pe
Uma fun�c~ao deste tipo, que associa a cada elemento de um espa�co vetorial um escalar, �e chamada
funcional. Como a cinem�atica de P �e um vetor v no espa�co euclidiano, a �unica opera�c~ao sobre v
DR
AF
TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 13
Figura 1.16: Part��cula livre com a�c~ao de movimento v.
resultando num escalar, ou seja, na pote^ncia, �e um produto escalar de vetores. Assim, o sistema de
for�cas presentes numa part��cula �e dado por vetores F, sendo a pote^ncia expressa como,
Pe = f(v) = F � v (1.4)
deixando claro que F tamb�em �e um vetor em <3. Isso mostra que a partir do conceito de pote^ncia,
recupera-se a id�eia cl�assica de for�ca. Observa-se que para o caso de espa�cos vetoriais, um funcional
linear �e representado pelo produto interno ou escalar de dois vetores. A Figura 1.16 ilustra a rela�c~ao
entre as a�c~oes de movimento e as for�cas sobre a part��cula em <3, a partir da pote^ncia associada ao
movimento.
Figura 1.17: Rela�c~ao de dualidade de a�c~oes de movimento e for�cas numa part��cula.
Considere agora o caso de um corpo r��gido B, mostrado na Figura 1.18, livre de qualquer restri�c~ao
ao seu movimento. As �unicas a�c~oes de movimento admiss��veis devem preservar a hip�otese inicial de
que o corpo �e r��gido, ou seja quaisquer deslocamentos e rota�c~oes r��gidas devem manter as dimens~oes
do corpo inalteradas. Logo, uma a�c~ao de movimento de um corpo r��gido tem a seguinte forma,
v (x) = v (o) + ! � (x− o)! vx = vo + ! � (x− o) (1.5)
onde o �e um ponto arbitr�ario selecionado para descrever a a�c~ao sobre B; x �e um ponto qualquer de
B; v0 �e a velocidade do ponto o, representando a transla�c~ao de B; ! �e o vetor de velocidade angular,
descrevendo a rota�c~ao instanta^nea do corpo.
Decompondo os vetores vo e !, segundo o sistema cartesiano ilustrado na Figura 1.18, s~ao ne-
cess�arias seis componentes para representar uma a�c~ao de movimento de um corpo r��gido, tre^s associa-
das a transla�c~oes dadas por vo e mais tre^s rota�c~oes descritas por !.
A express~ao da pote^ncia associada a essa a�c~ao de movimento �e ent~ao a seguinte:
Pe = f (v (x)) = f (vo + ! � (x− o)) = Fo: [vo + ! � (x− o)]
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 14
Figura 1.18: A�c~ao de movimento de um corpo r��gido.
= Fo:vo + Fo: (! � (x− o)) = Fo:vo + ((x− o)� Fo) :!
= Fo:vo + mo:! (1.6)
sendo Fo a resultante das for�cas externas aplicadas e mo o momento gerado por estas for�cas.
Observa-se que a escolha do ponto o para representar a a�c~ao de movimento B foi inteiramente
arbitr�aria. Tomando-se um ponto p distinto de o, pode-se reescrever as express~oes da velocidade e da
pote^ncia em rela�c~ao a p, respectivamente, como:
v (x) = vp + ! � (x− p) onde vp = v (p) = vo + ! � (x− o)
Pe = Fp:vp + mp:!
Como a a�c~ao de movimento �e a mesma, mudando apenas a sua representa�c~ao, a pote^ncia envolvida
�e igual tomando-se os dois pontos. Logo,
Fo:vo + mo:! = Fp:vp + mp:!
0 = (Fo − Fp) :vo + [mo −mp − (p− o)� Fp] :!
Para que a rela�c~ao anterior seja satisfeita para qualquer a�c~ao r��gida dada por vo e !, tem-se que,
Fo = Fp = F
mo −mp = (p− o)� F
Assim, recuperam-se os resultados cl�assicos da meca^nica de corpos r��gidos: as for�cas est~ao ca-
racterizadas por um vetor F chamado de resultante das for�cas, sendo independente do ponto do corpo
escolhido para descrever a a�c~ao cinem�atica, e mais um vetor mo, dependente da escolha desse ponto,
denominado resultante dos momentos.
1.6.3 Princ��pio das pote^nciais virtuais (PPV)
Como pode ser observado a partir da se�c~ao anterior, a condi�c~ao de equil��brio de uma part��cula ou
corpo r��gido �e obtida impondo-se que a pote^ncia das for�cas externas seja nula para qualquer a�c~ao de
movimento, compat��vel cinematicamente, a partir da posi�c~ao de equil��brio. Desta maneira, �e poss��vel
recuperar as condi�c~oes de equil��brio da meca^nica de Newton. O enunciado acima constitui-se no
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 15princ��pio das pote^ncias virtuais (PPV) para o caso de equil��brio de corpos, sendo um dos princ��piosvariacionais da meca^nica anal��tica. Observa-se que uma a�c~ao cinematicamente admiss��vel �e aquelaque respeita as condi�c~oes de v��nculo ou apoio da estrutura.Estas a�c~oes de movimento, a partir da posi�c~ao de equil��brio, n~ao s~ao �sicamente realizadas, sendopor isso denominadas a�c~oes virtuais. O princ��pio estabelece que para qualquer a�c~ao ou varia�c~ao a partirda posi�c~ao de equil��brio, a pote^ncia �e nula, ou seja, o sistema meca^nico permanece em equil��brio.
Figura 1.19: Corpo sujeito �a a�c~ao de um conjunto de for�cas.
Considere o ponto material A da Figura 1.19 submetido �a a�c~ao de v�arias for�cas. Suponha que
esse ponto sofra uma a�c~ao de movimento, compat��vel com a sua cinem�atica, do ponto A para A’.
As for�cas podem estar equilibradas e o corpo permanecer em repouso ou se mover em uma dire�c~ao
diferente de AA’. A a�c~ao de movimento considerada �e portanto imagin�aria, sendo denominada a�c~ao de
movimento virtual e designada pelo diferencial de primeira ordem �v. Supondo que o ponto A esteja
em equil��brio, a a�c~ao �v representa uma pequena varia�c~ao da posi�c~ao da part��cula em rela�c~ao ao seu
estado de equil��brio. Logo, pelo PPV a pote^ncia Pe associada a �v �e nula, ou seja,
Pe = F � �v = 0 (1.7)
implicando que a resultante das for�cas F sobre a part��cula deve ser nula, recuperando-se assim a
condi�c~ao de equil��brio dada pelas leis de Newton.
Observa-se que a condi�c~ao anterior �e necess�aria e su�ciente: se o ponto est�a em equil��brio, a
resultante das for�cas �e nula e portanto a pote^ncia virtual tamb�em �e nula; da mesma maneira, se a
pote^ncia �e nula para qualquer a�c~ao virtual �v, ent~ao o produto escalar F. �v �e nulo, implicando que
a resultante das for�cas F deve ser zero.
No caso da an�alise de corpos em equil��brio est�atico, como n~ao est~ao envolvidas velocidades, o
princ��pio das pote^ncias virtuais �e aplicado em termos de deslocamentos virtuais, sendo ent~ao chamado
de princ��pio dos trabalhos virtuais (PTV). O PTV para um ponto material estabelece que, se o ponto
est�a em equil��brio, o trabalho virtual total das for�cas aplicadas �e zero, para qualquer deslocamento
virtual.
Para o caso de um corpo r��gido, tomando-se uma a�c~ao de movimento r��gida �vo, tem-se que no
equil��brio a pote^ncia �e nula. Logo, a partir da se�c~ao anterior, a pote^ncia �e dada por,
Pe = Fo � �vo + mo � �! = 0 (1.8)
implicando que as resultantes em termos de for�cas e momentos devem ser nulas para qualquer a�c~ao
virtual.
Observa-se que a pote^ncia das for�cas internas num corpo r��gido �e nula, como ilustrado na Figura
1.20. Tomando-se os pontos A e B, as for�cas exercidas entre si s~ao F e -F. Mesmo considerando a�c~oes
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 16virtuais distintas �v e �v’, as componentes destas a�c~oes ao longo de AB devem ser iguais, pois comoo corpo �e r��gido, a dista^ncia entre os pontos deve ser constante. Logo, a pote^ncia associada �as for�casinternas ser�a nula. Da mesma maneira, como as a�c~oes virtuais s~ao compat��veis com a cinem�atica docorpo, as rea�c~oes de apoio n~ao realizam trabalho. Para calcular as rea�c~oes, deve-se violar a restri�c~aocinem�atica, impondo-se um deslocamento na dire�c~ao da rea�c~ao.
Figura 1.20: Pote^ncia das for�cas internas.
Torna-se interessante interpretar �sicamente o princ��pio dos trabalhos virtuais, tomando-se o caso
do equil��brio de uma part��cula. De acordo com a meca^nica de Newton, no estado de equil��brio, a
resultante das for�cas, expressa como a soma das for�cas externas e derea�c~ao, agindo sobre qualquer
part��cula do sistema �e nula. Como no equil��brio, o princ��pio requer que o trabalho destas for�cas seja
nulo, veri�ca-se que o trabalho virtual das for�cas externas pode ser substitu��do pelo trabalho virtual
das for�cas de rea�c~ao. Logo, o PTV pode ser reformulado como o seguinte postulado: o trabalho virtual
das for�cas de rea�c~ao �e sempre nulo para qualquer deslocamento virtual compat��vel com as restri�c~oes
cinem�aticas.
Este postulado n~ao �e restrito �a est�atica, mas aplica-se igualmente �a dina^mica, onde o PTV �e
generalizado por meio do princ��pio de d’Alembert. Como todos os outros princ��pios variacionais
(Euler, Lagrange, Jacobi, Hamilton) da meca^nica anal��tica s~ao formula�c~oes matem�aticas alternativas
do princ��pio de d’Alembert, o enunciado acima �e o �unico postulado na meca^nica anal��tica, sendo
portanto de fundamental importa^ncia.
Exemplo 3
Considere a mesma alavanca articulada mostrada na Figura 1.14a). Deseja-se determinar a for�ca
exercida pela alavanca no bloco quando um certa for�ca F �e aplicada em C (supondo que n~ao h�a atrito)
usando o conceito de trabalho virtual.
Objetivo:
1. An�alise das condi�c~oes de equil��brio atrav�es da abordagem anal��tica.
2. Comparar as abordagens newtoniana e anal��tica na solu�c~ao do problema.
Etapas:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre do sistema;
2. Assumir um deslocamento virtual (conveniente) compat��vel com os v��nculos do sistema;
3. Escrever a express~ao do trabalho virtual para o deslocamento assumido para o sistema;
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 174. Solu�c~ao das equa�c~oes.
Figura 1.21: Deslocamento virtual para o c�alculo de RBx.
Solu�c~ao:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre do sistema.
A determina�c~ao do diagrama de corpo livre j�a foi realizada no exerc��cio anterior (Figura 1.14).
2. Assumir um deslocamento virtual (conveniente) compat��vel com os v��nculos do sistema
3. Escrever a express~ao do trabalho virtual para o deslocamento do sistema
Considera-se, em primeiro lugar, um incremento �� positivo do a^ngulo �. Em seguida, adotando
um sistema de coordenadas com origem em A, observam-se as varia�c~oes �xB e �yC respectiva-
mente nas dimens~oes xB e yC. As rea�c~oes RAx, RAy e RBy n~ao realizar~ao trabalho durante
o deslocamento virtual considerado, necessitando-se calcular somente o trabalho de F e RBx.
Exprimindo as coordenadas xB e yC em termos do a^ngulo � e diferenciando obt�em-se,
i) xB = 2l sin � ! �xB = l cos ���
ii) yC = l cos � ! �yB = −l sin ���
Como RBx e �By te^m sentidos opostos, o trabalho virtual �e �TRBx = − (RBx) �xB . Como F e
o incremento �yC te^m mesmo sentido, seu trabalho virtual �e �TF = F�yC . O trabalho virtual
total das for�cas do sistema �e ent~ao,
iii) �Te = �TRBx + �TF = −RBx�xB + F�yC = −2RBxl cos ��� + Fl sin ���
4. Solu�c~ao das equa�c~oes
Fazendo �Te = 0 (corpo em equil��brio), obtem-se,
2RBxl cos ��� = Fl sin �! RBx = 1
2
F tan �
Para calcular a rea�c~ao de apoio RBy, basta impor um deslocamento virtual �yB na dire�c~ao de
RBy, mantendo o ponto A �xo. O resultado deste deslocamento est�a mostrado na Figura 1.22,
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 18observando-se que o ponto C sofre um deslocamento �yC . Como as duas �unicas for�cas realizandotrabalho s~ao F e RBy, pelo PTV vem que,�Te = RBy�yB − F�yC = 0A partir da Figura 1.22, tem-se por semelhan�ca de tria^ngulos que �yC�yB = 12 . Portanto,
RBx =
F
2
Logo, para calcular uma rea�c~ao de apoio, imp~oe-se um deslocamento virtual na dire�c~ao da rea�c~ao,
violando desta maneira uma restri�c~ao cinem�atica. O mesmo procedimento pode ser aplicado para
a determina�c~ao de RAx e RBx.
Figura 1.22: Deslocamento virtual para o c�alculo de rea�c~ao de apoio RBy.
1.7 Exerc��cios Resolvidos
1.7.1 Exerc��cio 1
Calcular as rea�c~oes nos apoios da viga simples com o carregamento mostrado na Figura 1.23a),
desprezando o peso pr�oprio da viga.
Objetivos:
1. Ilustrar a constru�c~ao do diagrama de corpo livre;
2. Exempli�car an�alise das condi�c~oes de equil��brio pela abordagem newtoniana.
Etapas:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre do sistema;
2. Determina�c~ao das equa�c~oes de equil��brio do sistema;
3. Solu�c~ao das equa�c~oes e determina�c~ao das inc�ognitas do problema.
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 19
Figura 1.23: Exerc��cios 1 e 2: a) viga com carregamento; b) diagrama de corpo livre.
Solu�c~ao:
Em A, podem existir duas componentes de rea�c~ao desconhecidas, j�a que a extremidade �e articulada
num pino. A rea�c~ao em B, entretanto, pode agir apenas na dire�c~ao vertical porque a extremidade est�a
sobre um rolete. O diagrama de corpo livre �e mostrado na Figura 1.23b). A partir do diagrama de
corpo livre , pode-se escrever as condi�c~oes de equil��brio do sistema:P
Fx = 0 : RAx = 0P
MzA = 0 −200− 100(0; 2) − 160(0; 3) +RBy(0; 4) = 0! RBy = 670NP
MzB = 0 −RAy(0; 4) − 200 + 100(0; 2) + 160(0; 1) = 0! RAy = −410N
Pode-se veri�car as rea�c~oes anteriores como,P
Fy = 0 670 − 410− 100 − 160 = 0
1.7.2 Exerc��cio 2
Calcular as rea�c~oes nos apoios da viga da Figura 1.23a) usando o princ��pio dos trabalhos virtuais.
Objetivo:
1. Exempli�car a aplica�c~ao do princ��pio dos trabalhos virtuais na determina�c~ao das rea�c~oes nos
apoios de uma viga.
Etapas:
1. Construir o diagrama de corpo livre do sistema;
2. Determinar os deslocamentos virtuais convenientes;
3. Escrever as express~oes do trabalho para cada deslocamento virtual assumido.
Solu�c~ao:
� Determina�c~ao de RBy:
Considerando a varia�c~ao angular �� na posi�c~ao original da viga em torno do ponto A, como
mostrado na Figura 1.24, obt�em-se um deslocamento virtual do ponto B na dire�c~ao da inc�ognita
RBy. Dessa forma, tem-se a seguinte express~ao do trabalho para a viga:
�Te = 200�� + 100(0; 2) sin �� + 160(0; 3) sin �� −RBy(0; 4) sin ��
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 20
Figura 1.24: Exerc��cio 2: deslocamento na dire�c~ao de RBy.
Como a viga est�a em equil��brio, o PTV estabelece que o trabalho exercido pelas for�cas externas
ao sistema �e zero. Assim,
�Te = 0! 200�� + 100(0; 2) sin �� + 160(0; 3) sin �� −RBy(0; 4) sin �� = 0
Para uma varia�c~ao pequena de ��, pode-se assumir a aproxima�c~ao sin �� �= ��. Portanto,
200�� + 100(0; 2)�� + 160(0; 3)�� −RBy(0; 4)�� = 0! RBy = 670N
� Determina�c~ao de RAy:
Figura 1.25: Exerc��cio 2: deslocamento na dire�c~ao de RAy.
De maneira an�aloga, considerando um deslocamento angular em torno de B, obt�em-se um des-
locamento do ponto A na dire�c~ao da inc�ognita RAy, de acordo com a Figura 1.25. Escrevendo a
express~ao do trabalho das for�cas externas sobre a viga tem-se:
�Te = −RAy(0; 4) sin �� − 200�� + 100(0; 2) sin �� + 160(0; 1) sin ��
Novamente, para uma varia�c~ao �� pequena pode-se assumir a aproxima�c~ao sin �� �= ��. Logo,
−RAy(0; 4)�� − 200�� + 100(0; 2)�� + 160(0; 1)�� = 0! RAy = −410N
� Determina�c~ao de RAx:
Neste caso, assume-se um deslocamento horizontal �x na dire�c~ao x, como mostrado na Figura
1.26. Dessa forma, a express~ao do trabalho sobre a viga �e a seguinte:
�Te = RAx�x = 0! RAx = 0
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 21Figura 1.26: Exerc��cio 2: deslocamento na dire�c~ao de RAx.
1.7.3 Exerc��cio 3
Determinar as rea�c~oes da viga da Figura 1.27 usando as equa�c~oes de equil��brio de Newton.
Figura 1.27: Exerc��cios 3 e 4: a) viga com carregamento; b) diagrama de corpo livre.
Objetivos:
1. Ilustrar a constru�c~ao do diagrama de corpo livre;
2. Exempli�car a an�alise das condi�c~oes de equil��brio pela abordagem newtoniana.
Etapas:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre do sistema;
2. Determina�c~ao das equa�c~oes de equil��brio do sistema;
3. Solu�c~ao das equa�c~oese determina�c~ao das inc�ognitas do problema.
Solu�c~ao:P
Fx = 0 : RAx = 0P
MzA = 0 : 15 (2)−RBy (5) = 0! RBy = 6KNP
MzB = 0 : −RAy (5) + 15 (3) = 0! RAy = 9KN
Veri�ca�c~ao:
P
Fy = 0 : −6− 9 + 15 = 0
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 221.7.4 Exerc��cio 4Determinar as rea�c~oes da viga mostrada na Figura 1.27 atrav�es do princ��pio dos trabalhos virtuais.Objetivo:1. Exempli�car a aplica�c~ao do princ��pio dos trabalhos virtuais na determina�c~ao das rea�c~oes nosapoios de uma viga.Etapas:
1. Construir o diagrama de corpo livre do sistema;
2. Determinar os deslocamentos virtuais convenientes;
3. Escrever as express~oes do trabalho para cada deslocamento virtual assumido.
Figura 1.28: Exerc��cio 4: a) deslocamento na dire�c~ao de RBy; b) a^ngulo � e sua varia�c~ao ��; c) rela�c~ao
entre os deslocamentos dos pontos B e C.
Solu�c~ao:
� Determina�c~ao de RBy:
Considere o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 1.27b) e o deslocamento mostrado na
Figura 1.28a). Como a coordenada yB do ponto B �e expressa por,
yB = l sin�
a varia�c~ao da posi�c~ao vertical �yB do ponto B �e ent~ao,
�yB = l�� cos� = 5��
A partir da Figura 1.28c), observa-se que os deslocamentos dos pontos B e C te^m a seguinte
rela�c~ao,
�yC
�yB
=
2
5
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 23O trabalho exercido sobre a viga no deslocamento virtual assumido �e dado por,�Te = 15�yC −RBy�yBO princ��pio dos trabalhos virtuais estabelece que �Te �e nulo, pois o corpo est�a em equil��brio.Logo,�Te = 15�yC −RBy�yB = 0! RBy = 15�yC�yB = 6KN
� Determina�c~ao de RAy:
Para determinar RAy, adota-se o deslocamento mostrado na Figura 1.29a). A coordenada yA do
ponto A, de acordo com a Figura 1.29b), �e dada por,
yA = l sin�
de onde obtem-se a varia�c~ao,
�yA = l�� cos� = 5��
Figura 1.29: Exerc��cio 4: a) deslocamento na dire�c~a de RAy; b) rota�c~ao em torno de B; c) rela�c~ao
entre os deslocamentos dos pontos A e C.
Como mostrado na Figura 1.29c), a rela�c~ao entre os deslocamentos dos pontos A e do ponto C
�e dada por
�yC =
3
5
�yA =
3
5
(5��) = 3��
A express~ao do trabalho sobre o corpo para este deslocamento virtual �e calculado como,
�Te = 15�yC −RAy�yA = 15(3��) −RAy(5��) = 0! RAy = 9KN
� Determina�c~ao de RAx:
Para o deslocamento �x na dire�c~ao x, mostrado na Figura 1.30, tem-se a seguinte express~ao do
trabalho virtual,
Te = RAx�xA = 0 =) RAx = 0
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 24
Figura 1.30: Deslocamento na dire�c~ao de RAx.
Figura 1.31: a) viga com carregamento b) diagrama de corpo livre.
1.7.5 Exerc��cio 5
Determinar as rea�c~oes da viga da Figura 1.31 usando as equa�c~oes de equil��brio de Newton.
Objetivos:
1. Ilustrar a constru�c~ao do diagrama de corpo livre;
2. Exempli�car an�alise das condi�c~oes de equil��brio pela abordagem newtoniana.
Etapas:
1. Constru�c~ao do diagrama de corpo livre do sistema;
2. Determina�c~ao das equa�c~oes de equil��brio do sistema;
3. Solu�c~ao das equa�c~oes e determina�c~ao das inc�ognitas do problema.
Solu�c~ao:
Em A existem duas componentes desconhecidas RAx e RAy. J�a em B, a rea�c~ao RB �e normal ao
plano do suporte e constitui uma inc�ognita. �E conveniente substituir essa for�ca pelas duas compo-
nentes RBy e RBx, as quais nesse problema, em particular, s~ao numericamente iguais. Analogamente,
substitui-se a for�ca inclinada de 5t pelas duas componentes mostradas. As condi�c~oes de equil��brio s~ao
as seguintes:P
MzA = 0 : 4(3) −RBy(12) = 0! RBy = 1t! RBx = 1tP
MzB = 0 : −RAy(12) + 4(9) = 0! RAy = 3tP
Fx = 0 : RAx −RBy − 3 = 0! RAx = 4t
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 25Os m�odulos das rea�c~oes RA e RB s~ao determinados, respectivamente, como,RA = (42 + 32� 12 = 5t RB = (12 + 12) 12 = p2tVeri�ca�c~ao: PFy = 0 :! 3− 4 + 1 = 01.7.6 Exerc��cio 6Determinar as rea�c~oes nos apoios da viga mostrada na Figura 1.31a) usando o princ��pio dos tra-
balhos virtuais.
Objetivo:
1. Exempli�car a aplica�c~ao do princ��pio dos trabalhos virtuais na determina�c~ao das rea�c~oes nos
apoios de uma viga.
Etapas:
1. Construir o diagrama de corpo livre do sistema;
2. Determinar os deslocamentos virtuais convenientes;
3. Escrever as express~oes do trabalho para cada deslocamento virtual assumido.
Figura 1.32: Exerc��cio 6: deslocamento virtual na dire�c~a de RBy.
Solu�c~ao:
� Determina�c~ao de RBx e RBy:
Os deslocamentos dos pontos B e C para um deslocamento angular pequeno �� s~ao respectiva-
mente,
�yB = 12 sin �� � 12��
�yC = 3 sin �� � 3��
A express~ao do trabalho virual �e ent~ao dada por,
�Te = −4(3��) +RBy(12��) = 0! RBy = 1t
Devido ao tipo de apoio em B, tem-se que jRBxj = jRBy j. Portanto, RBx = 1t.
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TCAP�ITULO 1. EQUIL�IBRIO DE CORPOS R�IGIDOS 26
Figura 1.33: Exerc��cio 6: deslocamentos virtuais nas dire�c~oes de a) RAy; b) RAx.
� Determina�c~ao de RAy
De acordo com a Figura 1.33a), tem-se os seguintes deslocamentos dos pontos A e C,
�yA = 12 sin �� � 12��
�yC = 9 sin �� � 9��
Figura 1.34: Exerc��cios propostos.
Escrevendo a express~ao do trabalho virtual,
�Te = −4(9��) +RAy(12��) = 0! RAy = 3t
� Determina�c~ao de RAx:
De acordo com o deslocamento mostrada na Figura 1.33b), tem-se a seguinte express~ao do
trabalho virtual,
�Te = RAx(�x) − 3(�x) −RBx(�x) = 0! RAx = 4t
1.8 Exerc��cios Propostos
Determinar as rea�c~oes de apoio para as vigas ilustradas na Figura 1.34, empregando as condi�c~oes
de equil��brio de Newton e o princ��pio dos trabalhos virtuais.
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TCap��tulo 2
ESFORC�OS SOLICITANTES
2.1 M�etodo das Se�c~oes
Como mencionado ateriormente, uma das principais preocupa�c~oes da meca^nica dos s�olidos, �e deter-
minar a resiste^ncia de um corpo submetido a carregamentos externos. Para isso, deve-se caracterizar
os esfor�cos presentes no interior do corpo.
Considere o diagrama de corpo livre (DCL) de um s�olido gen�erico, ilustrado na Figura 2.1, com
o carregamento indicado. Para determinar os esfor�cos internos no corpo, efetua-se um corte gen�erico
atrav�es de um plano arbitr�ario ABCD, separando o s�olido original em duas partes distintas. Este
procedimento �e determinado m�etodo das se�c~oes.
Figura 2.1: Particionamento de um corpo.
Como o corpo est�a em equil��brio, qualquer parte do mesmo tamb�em est�a em equil��brio, fazendo-
se necess�ario a presen�ca de for�cas na se�c~ao de corte, as quais s~ao denominadas esfor�cos internos ou
solicitantes. Desta forma, as for�cas externas aplicadas de um lado do corte arbitr�ario devem ser
compensadas pelas for�cas internas.
No caso do estudo de vigas, partindo-se do DCL, os planos de corte s~ao orientados em dire�c~oes
particulares. Al�em disso, os esfor�cos internos s~ao decompostos segundo um sistema cartesiano de
refere^ncia, sendo as componentes denominadas como:
� Nx: for�ca normal na dire�c~ao x;
� Vy, Vz : for�cas cortantes nas dire�c~oes y e z;
27
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TCAP�ITULO 2. ESFORC�OS SOLICITANTES 28� Mx ou T : momento tor�cor na dire�c~ao x;� My, Mz : momentos fletores em rela�c~ao aos eixos y e z.Para casos planos, tem-se apenas os esfor�cos Nx, Vy e Mz como ilustrados na Figura 2.2. Arepresenta�c~ao dos esfor�cos ao longo da viga �e efetuada atrav�es de gr�a�cos denominados diagramas deesfor�cos solicitantes. Nas se�c~oes seguintes, considera-se uma conven�c~ao de sinais para os esfor�cos eapresentam-se os diagramas para as for�cas normal e cortante, assim como para os momentos fletor etor�cor.
De forma geral, para aplicar o m�etodo das se�c~oes, efetuam-se os seguintes passos:
c�alculo das rea�c~oes de apoio : a partir do DCL para o problema e das condi�c~oes de equil��brio de
corpo r��gido, determinam-se os valores das rea�c~oes de apoio.
equil��brio das se�c~oes : deve-se efetuar cortes nas se�c~oes da viga para as v�arias descontinuidades