CAL 4 Lista 2 (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Lista de Exerc´ıcios
Professor: Thiago Bento dos Santos
(1) Calcule
∫
c
xy4ds, onde C e´ a metade direita do c´ırculo x2 + y2 = 16, na direc¸a˜o antihora´ria.
(2) Calcule
∫
c
xds para cada uma das curvas:
(a) C1: y = x
2, −1 ≤ x ≤ 1.
(b) C2: segmento (−1, 1) ate´ (1, 1).
(c) C3: segmento (1, 1) ate´ (−1, 1).
(3) Calcule
∫
c
xyzds, onde C e´ a he´lice dada por −→r (t) = (cos(t), sen(t), 3t), onde 0 ≤ t ≤ pi.
(4) Calcule
∫
c
−→
F · d−→r
(a)
−→
F = (x,−y), C: segmento (2, 3)→ (0, 3).
(b)
−→
F = (z,−y, x), C: segmento (5, 0, 2)→ (5, 3, 4).
(5) A Segunda a Lei de Newton diz que a forc¸a
−→
F = m.−→r ′′(t). Mostre que o trabalho realizado
pelo campo
−→
F para deslocar uma part´ıcula de a para b, e´ igual a diferenc¸a de enegia cine´tica.
A energia cine´tica e´ dada por K = (1/2)m.[−→r ′(t)]2.
(6) Calcule
∫
c
−x2ydx+ xy2dy, onde C e´ o c´ırculo de raio 2 centrado na origem.
(7) Se −→v (x, y) = (x, y), e R e´ a regia˜o delimitada pelas retas x = −1, x = 1, y = −1 e y = −1.
Se C e´ definidido como o contorno de R, direcionado no sentido antihora´rio, e N e´ a normal
unita´ria externo a` C. Calcule
∫
c
−→v .−→Nds.
(8) Demostre que:
(a) ∇× (∇−→F ) = 0.
(b) ∇ · (∇×−→F ) = 0.