CAL 4 Lista 3

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Lista de Exerc´ıcios Treˆs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Questo˜es marcadas com ? sa˜o complementares ao assunto visto em sala de aula.
Questo˜es marcadas com ∗ sa˜o questo˜es com grau de dificuldade maior.
(1) Determine uma representac¸a˜o parame´trica para cada uma das superf´ıcies descritas abaixo.
(a) Parte do plano z = x+ 3 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 1.
(b) Parte do cilindro y2 + z2 = 16 que se encontra entre os planos x = 0 e x = 5.
(c) Plano que passa pelo ponto (1, 2,−3) e conte´m os vetores (1, 1,−1) e (1,−1, 1).
(d) Parte do parabolo´ide x = y2 + z2 que esta´ dentro do cilindro y2 + z2 = 9.
(e) Gra´fico da func¸a˜o f : D ⊂ R2 → R, f(x, y) = y3 + lnx, onde D e´ o triaˆngulo delimitado pela reta
2x+ y = 3 e pelos eixos coordenados.
(f) Superf´ıcie obtida ao rotacionarmos a curva y = 2 + cosx, x ∈ [−pi, pi], ao redor do eixo-x.
(g) Parte da superf´ıcie do item anterior que esta´ contida na regia˜o E =
{
(x, y, z) ∈ R3, 0 ≤ y, y ≤ z ≤ √3y
}
.
(2) Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie parametrizada dada no ponto especificado.
(a) α(u, v) = (u2 + 1, v3 + 1, u+ v), (2, 2, 0).
(b) α(u, v) = (v2,−uv, u2), 0 ≤ u ≤ 3, −3 ≤ v ≤ 3, (4,−2, 1).
(c) A superf´ıcie e´ a Faixa de Mo¨bius (veja questa˜o 3c) e o ponto e´
(
−2, 0,−1
4
)
.
(3) (a) Determine a a´rea da superf´ıcie z = x2 + 2y que esta´ acima do triaˆngulo com ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 2).
?(b) A superf´ıcie com parametrizac¸a˜o
α(u, v) = (u cos v, usenv, v) , (u, v) ∈ [0, 1]× [0, pi]
e´ chamada de helicoide. Esboce a superf´ıcie e, em seguida, calcule sua a´rea.
?(c) A superf´ıcie com parametrizac¸a˜o
α(r, θ) =
(
2 cos θ + r cos
(
θ
2
)
, 2senθ + r cos
(
θ
2
)
, rsen
(
θ
2
))
,
onde −1
2
≤ r ≤ 1
2
, 0 ≤ θ ≤ 2pi, e´ chamada de Faixa de Mo¨bius. Calcule sua a´rea.
∗(d) Determine a a´rea da superf´ıcie obtida da intersec¸a˜o dos cilindros y2 + z2 = 1 e x2 + z2 = 1.
∗(e) Se a equac¸a˜o de uma superf´ıcie S e´ z = f(x, y), onde x2 + y2 ≤ R2, e sabemos que |fx| ≤ 1 e |fy | ≤ 1 o
que podemos dizer sobre a a´rea de S?
(4) Sem usar o teorema de Stokes, obtenha o que se pede em cada um dos itens a seguir.
(a)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
− x,−y, z3
)
, S e´ a parte do cone z =
√
x2 + y2 que esta´ entre os planos
z = 1 e z = 3 com orientac¸a˜o descendente.
(b)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
zexy ,−3zexy , xy
)
, S e´ o paralelogramo com parametrizac¸a˜o
α(u, v) = (u+ v, u− v, 1 + 2u+ v), 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1.
(c) Calcule
∫∫
S
√
1 + x2 + y2 dS, onde S e´ o helico´ide (veja questa˜o 3b).
(5) Sem usar o teorema do divergente, obtenha o que se pede em cada um dos itens a seguir. Considere a orientac¸a˜o
positiva (para fora).
(a) Calcule o fluxo do campo F (x, y, z) = (x3 + y3, y3 + z3, z3 + x3) atrave´s da esfera centrada na origem e de
raio 2.
(b) Calcule
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) = (x2yz, xy2z, xyz2) e S e´ a superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos
x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = 0, z = c, onde a, b e c sa˜o nu´meros positivos.
(c) Suponha que f(x, y, z) = g
(√
x2 + y2 + z2
)
, onde g e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel tal que g(2) = −5.
Calcule
∫∫
S
f(x, y, z) dS, onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 4.
(d)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
0, y,−z
)
, S e´ formada pelo parabolo´ide y = x2 + z2, 0 ≤ y ≤ 1, e pelo
disco x2 + z2 ≤ 1, y = 1.
(e)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
x2, y2, z2
)
, S e´ o limite do semicilindro so´lido 0 ≤ z ≤
√
1− y2, 0 ≤ x ≤ 2.
(f)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
y, z−y, x
)
, S e´ a superf´ıcie do tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 1).
(6) Use o teorema de Stokes para resolver as questo˜es a seguir.
(a)
∫∫
S
rotF · dS onde F (x, y, z) = (2y cos z, exsen z, xey) e S e´ o hemisfe´rio x2+y2+z2, z ≥ 0, com orientac¸a˜o
para cima.
(b)
∫∫
S
rotF · dS, onde F = (x, y, z) = (x2yz, yz2, z3exy), S e´ parte da esfera x2 + y2 + z2 = 5 que esta´ acima
do plano z = 1 e S tem orientac¸a˜o ascendente.
(c)
∫
C
F · dα, onde F = (yz, 2xz, exy) e C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 16, z = 5, orientado no sentido anti-hora´rio,
quando visto de cima.
(d)
∫
C
F · dα, onde F = (x, y, z) = (1, x + yz, xy − √z) e C e´ o limte da parte do plano 3x + 2y + z = 1 no
primeiro octante.
∗(e)
∫
C
F · dα, onde F = (x, y, z) = (y+senx, z2+cos y, x3) e C e´ a curva α(t) = (sen t, cos t, sen2t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
(7) Use o teorema do divergente para resolver as questo˜es a seguir.
(a) O fluxo de F (x, y, z) = (x4,−x3z2, 4xy2z) atrave´s da superf´ıcie do so´lidido delimitado pelo cilindro x2 +
y2 = 1 e pelos planos z = x+ 2 e z = 0.
(b) O fluxo do campo
F (x, y, z) =
x i+ y j+ z k
(x2 + y2 + z2)
3
2
atrave´s do elipso´ide 4x2 + 9y2 + 6z2 = 36, orientado positivamente.
(c)
∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) = (z2x, 1
3
y3 + tgz, x2z+ y2) e S e´ a metade superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1.(
Dica: S na˜o e´ fechada. Chame de S0 o disco x
2 + y2 ≤ 1 e aplique o teorema a` S ∪ S0.
)