Funcao_Modular

Prévia do material em texto

FUNÇÃO MODULAR
PROFESSOR MSc. LOURIVAL GOMES
Índice
Prefácio
Introdução
1. Módulo
1.1 Definição
1.2 Interpretação Geométrica
1.3 Algumas Propriedades
1.4 Exercícios Resolvidos
1.5 Exercícios Propostos
2. Equações Modulares
2.1 Exercícios Resolvidos
2.2 Exercícios Propostos
3. Inequações Modulares
3.1 Exercícios Resolvidos
3.2 Exercícios Propostos
4. Gabarito
1. Módulo
1.1. Definição
Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x ou
um número real denominado módulo de x representado por x e
obtido do seguinte modo:
0
0


xsexx
xsexx
1º) Se x é positivo ou nulo, o seu módulo é ele mesmo.
Exemplos:
a) O módulo de 5 é igual a 5, isto é 55 
b) O módulo de 0 é igual a 0, isto é 00 
c) O módulo de 4 é igual a 4 , isto é 44 
d) O módulo de 21 é igual a 21, isto é 2121 
2º) Se x é negativo, o seu módulo é obtido trocando o seu sinal.
Exemplos:
a) O módulo de –2 é igual a +2, isto é 22)2(2 
b) O módulo de 4 é igual a 4 , isto é
44)4(4 
c) O módulo de -10 é igual a 10, isto é 1010)10(10 
O módulo ou valor absoluto de um número real é sempre positivo
1.2 Interpretação Geométrica
Sabemos que um número real x está associado a um ponto da
reta. Podemos interpretar o módulo de x como sendo a distância do
ponto que representa x ao ponto que representa o número 0.
Exemplos:
a) No esquema abaixo, o número real 3 está associado ao ponto
A. O módulo de 3 é igual à distância entre A e 0.
-1 0 1 2 3 4
 / / / / / / / / / / / / /
  
3
0 A
b) No próximo esquema abaixo, o número real é –3 e está
associado ao ponto B. O módulo de -3 é igual à distância entre B e
0.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 / / / / / / / / / / / / /
  
3
0B
1.3 Algumas Propriedades
Sendo x e y quaisquer números reais, teremos algumas
propriedades:
 
2 2
2
1 4
2 5 0 0
3 0 6
M x x M x x
M xy x y M x x
x xM y M x xy y
  
    
  
As propriedades acima são todas imediatas, no entanto, tem-se
uma observação a fazer a respeito da propriedade M6. Suponhamos
por exemplo que x = 5, então temos:
xx  5525522
Suponhamos agora que x = -5:
  xx  55255 22
1.4 Exercícios Resolvidos
1) Calcule:
a) 25 
7725 
b) 83
5583 
c) 52 
75252 
d) 11253 
10828221053 
e) 59234 
2052552145)7(34)5(734 
f) 354 
12128484354 
2) Diga se as seqüências abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) 5454  (Verdadeira)
b) 83)8()3(  (Falsa)
c) 5
4
5
4  (Verdadeira)
d) 54)5()4(  (Verdadeira)
e) 83)8()3(  (Verdadeira)
f) 4774  (Verdadeira)
1.5 Exercícios Propostos
1) Calcule:
a) 62 
b) 15 
c) 53 
d) 4315 
e) 52 
f) )8(2)5( 
g) 1274 
h) 93 
2) Resolva as equações abaixo (baseado nos conceitos de
módulo):
a) 7x
b) 6x
c) 0x
2. Equações Modulares
As equações modulares são resolvidas através da aplicação de
algumas propriedades que estarão definidas a seguir dando
continuidade às propriedades citadas anteriormente:
22
22
10
9
8
7
yxyxM
axaxM
yxouyxyxM
axouaxaxM




Para justificarmos as propriedades M9 e M10 é necessário que
lembremos da seguinte propriedade:
Rababa  ,,22
De modo semelhante podemos justificar ambas as propriedades,
lembrando que 22 xx  e que 0a , então teremos:
2222 axaxax 
Observação:
Se ,0 axouaxaxa 
Se baoubaba 
2.1 Exercícios Resolvidos
1) Resolva as equações:
a) 62 x
1º modo
 4;8
46286262


V
xouxx
2º modo
  032436446262 2222  xxxxxx
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos 84 '''  xex . Assim
temos:  4;8 V
b) 143  xx
1º modo







5
4;3
2
5
4
3
2
143134
)14(3143143
V
xoux
xxouxx
xxouxxxx
2º modo
  032436446262 2222  xxxxxx
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos 5
4
3
2 '''  xex . Assim
temos:  4;8 V
2.2 Exercícios Propostos
3) Resolva as equações abaixo:
a) 212  xx
b) 323152 22  xxxx
c) 3223  xx
d) 31 x
e) 112
3 

x
x sendo 

  2
1x
f) 1361  xx
g)   01453 2  xx
h) 6143  x
4) Sendo 2 xA e 5 xB , resolva a equação 10 BA
3. Inequações Modulares
Para resolver as inequações modulares aplicam-se algumas
propriedades do módulo que serão definidas a seguir:
axouaxax
temosRaDadoM
axaax
temosRaDadoM








:12
:11
Ou para definição mais completa das propriedades utilizadas
podemos demonstrá-las assim:
axouaxax
axouaxaxM
axaax
axaaxM




'
'
12
11
3.1 Exercícios Resolvidos
1) Resolva as inequações:
a) 2x
Os valores que satisfazem essa inequação estão entre –2 e 2:
Vejamos a seguir
222  xx
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 / / / / / / / / / / / / /
 (x)
Sendo o conjunto-verdade:
   2;222/  xRxV
b) 2x
222  xouxx
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 / / / / / / / / / / / / /
 (x)
Sendo o conjunto-verdade:
      ;22;22/ xxRxV
c) 53 x
Segue o mesmo raciocínio...
2853553  xxx
Sendo o conjunto-verdade:
   2;828/  xRxV
3.2 Exercícios Propostos
5) Resolva as inequações abaixo:
a) 423 x
b) 311  x
c) 0172  xx
d) 01243  xx
6) Resolva em R (reais) as inequações abaixo:
a) 11223  xxx
b) xxx  142
7) Sendo 2 xA e 5 xB , resolva a inequação
10 BA .
8) Determine o conjunto solução do sistema abaixo:





12
5
22 yyxx
yx
4. Gabarito (Exercícios Propostos)
1) Calcule:
a) 4
b) 6
c) -2
d) 14
e) 3
f) 5
g) 9
h) 6
2) Resolva as equações abaixo:
a) 7x
b) 6x
c) 0x
3) Resolva as equações abaixo:
a) 


 3;3
1S
b)  6;13S
c)   vazioouS 
d)  4;2S
e) 


 3
4S
f)  4;9S
g) 


 3
5;2
1;2
1S
h) 


 2
5S
4) Resolva a equação 10 BA
  vazioouS 
5) Resolva as inequações abaixo:
a) 


  23
2/ xRxS
b)      4;20;24202/  ouxxRxS
c) 


  3
8/ xRxS
d)   vazioouS 
6) Resolva em R (reais) as inequações abaixo:
a)  02/  xxRxS
b)  735/  xxRxS
7) Resolva a inequação 10 BA



  2
13
2
7/ xxRxS
8) Determine o conjunto solução do sistema:
        3;2;2;3;3;2;2;3 S