Lista 6

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Lista 6 de CM201 - Cálculo Diferencial e Integral I
Profa. Tanise Carnieri Pierin
1 Derivadas de Funções dadas Implicitamente
Questão 1 Determine uma função y = f(x) que seja dada implicitamente pela equação xy2+y+x =
1.
Questão 2 A função y = f(x) é dada implicitamente pela equação xy + 3 = 2x. Verifique que
x dydx = 2− y e calcule dydx |x=2.
Questão 3 Expresse dydx em termos de x e y, em que y = f(x) é uma função derivável dada implici-
tamente pela equação:
(a) x2 − y2 = 4
(b) y3 + x2y = x+ 4
(c) xy2 + 2y = 3
(d) y5 + y = x
(e) x2y3 + xy = 2
(f) xey + xy = 3
(g) y + ln(x2 + y2) = 4
(h) 5y + cos y = xy
Questão 4 A função y = f(x) é dada implicitamente pela equação x2 + 4y2 = 2. Determine a
equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
2 Funções Inversas
Questão 1 Seja f : [0, pi] → [−1, 1] a função dada por f(x) = cosx. Uma vez que f é injetora e
sobrejetora, f admite uma inversa, a saber g : [−1, 1]→ [0, pi] dada por g(x) = arccosx.
Calcule g′(x). Dica: basta lembrar que cos(arccosx) = x, para todo x ∈ [−1, 1].
Questão 2 Determine a derivada:
(a) y = x · arctgx
(b) f(x) = arcsen(3x)
(c) y = arctg(x2)
(d) y = 3arctg(2x+ 3)
(e) y =
sen(3x)
arctg(4x)
1