FICHA - FUNCAO INVERSA E FUNCAO COM MAIS DE UMA SENTENCA (1)

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<p>1</p><p>FICHA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA</p><p>FUNÇÃO INVERSA E FUNÇÃO COM MAIS DE UMA SENTENÇA</p><p>1. (UNICAMP – 2024) Considere a função</p><p>ax 1</p><p>f(x) .</p><p>2x 3</p><p>−</p><p>=</p><p>+</p><p>a) Para a = 0, calcule 1f (3 5).−</p><p>b) Determine o(s) valor(es) de a para que f(f (1)) = 1.</p><p>TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:</p><p>Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em</p><p>computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”.</p><p>Considere a função</p><p>x 1</p><p>y f(x) ,</p><p>x 1</p><p>+</p><p>= =</p><p>−</p><p>definida para x ,x 1,  que é uma versão simplificada de uma transformação de</p><p>Möbius.</p><p>2. (UNICAMP – 2023) Sobre a função inversa de f(x), é correto afirmar que</p><p>a) 1f (x) f(x), para x 1.− = </p><p>b) 1f (x) 1 f(x), para x 1.− =  </p><p>c) 1f (x) f(x), para x 1.− = − </p><p>d) 1f (x) f( x), para x 1.− = − </p><p>3. (EEAR – 2023) Se a função inversa de 𝑓: ℛ−</p><p>∗ → ℛ+</p><p>∗ ;</p><p>1</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>=</p><p>−</p><p>é a função g, então tem-se</p><p>a) 𝑔: ℛ+</p><p>∗ → ℛ−</p><p>∗ ;𝑔(𝑥) =</p><p>1</p><p>−𝑥</p><p>b) 𝑔: ℛ+</p><p>∗ → ℛ−</p><p>∗ ;𝑔(𝑥) = −𝑥</p><p>c) 𝑔: ℛ−</p><p>∗ → ℛ+</p><p>∗ ;𝑔(𝑥) =</p><p>1</p><p>−𝑥</p><p>d) 𝑔: ℛ−</p><p>∗ → ℛ+</p><p>∗ ;𝑔(𝑥) = −𝑥</p><p>4. (FUVEST – 2023) A função 𝑓: [3, +∞[ → ℛ dada por 2f(x) x 6x 8,= − + é inversível. A função inversa g = f-1 de f é</p><p>definida por:</p><p>a)</p><p>2</p><p>1</p><p>g(x)</p><p>x 6x 8</p><p>=</p><p>− +</p><p>b) g(x) 3 1 x= + +</p><p>c)</p><p>1</p><p>g(x)</p><p>3 1 x</p><p>=</p><p>+ +</p><p>d) 2g(x) 6x x 8= − −</p><p>e) g(x) 3 1 x= − +</p><p>Educando(a): _________________________________</p><p>Data: _____/_____/_____ Turma: ______ Nº: ______</p><p>Educador: Felipe Borba</p><p>Componente Curricular: Matemática 1</p><p>1ª</p><p>SÉRIE – EM</p><p>2</p><p>5. (Integrado – medicina – 2022) Dado duas funções reais e invertíveis, tais que f(x) = 4x – 3 e g(x) = 5 – x. Assinale a</p><p>alternativa que indique corretamente a função j(x) = foh(x), onde h(x) = g−1(x).</p><p>a) j(x) = 4x + 17</p><p>b) j(x) = 4x – 17</p><p>c) j(x) = 4x + 23</p><p>d) j(x) = 4x – 23</p><p>e) j(x) = 4x – 21</p><p>6. (EPCAR – AFA – 2021) Considere as funções 𝑓: ℛ∗ → ℛ − {2} e 𝑔: ℛ∗ → ℛ − {2} definidas por</p><p>1</p><p>f(x) 2</p><p>2x</p><p>= + e</p><p>g(x) x 2= + e, também, a função real h definida por 1h(x) f (g(x)).−=</p><p>É correto afirmar que</p><p>a) a função h é par.</p><p>b) h(1) 2=</p><p>c) a função h NÃO é injetora.</p><p>d)</p><p>1</p><p>h(1) 2 x</p><p>4</p><p>= −  = −</p><p>7. (UECE – 2020) A função f : { 1} {1},− − → − definida por</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>1 x</p><p>=</p><p>+</p><p>é invertível. Considerando-se g sua inversa, o</p><p>valor positivo de k, para o qual f(k) g(k) 3,+ = é igual a</p><p>a) 3 3.</p><p>b) 2 3.</p><p>c) 3.</p><p>d)</p><p>3</p><p>.</p><p>3</p><p>8. Considere as informações do gráfico a seguir, sobre a quantidade de células em uma cultura observada durante um</p><p>período de 8 dias:</p><p>Uma função f que representa algebricamente as informações do gráfico é</p><p>a)</p><p>x 2, se 0 x 4</p><p>y f(x)</p><p>7, se 5 x 8</p><p>+  </p><p>= = </p><p> </p><p>b) y f(x) x 1= = −</p><p>c) y f(x) x 2= = +</p><p>d) y f(x) 7= =</p><p>e)</p><p>x 2, se 0 x 5</p><p>y f(x)</p><p>7, se 5 x 8</p><p>+  </p><p>= = </p><p> </p><p>9. (PUC-RJ-2023) A função: f : [0,1] → é tal que</p><p>3</p><p>1 1</p><p>f(2x), 0 x</p><p>3 2</p><p>f(x)</p><p>1 2 1</p><p>f(2x 1), x 1</p><p>3 3 2</p><p></p><p> </p><p>= </p><p> + −  </p><p></p><p>Quanto vale f(1/7)?</p><p>a) 1/27</p><p>b) 1/25</p><p>c) 1/19</p><p>d) 1/9</p><p>10. (ENEM – 2021) O quadro representa a relação entre o preço de um produto (R) e seu respectivo imposto devido (I).</p><p>Preço do produto (R) Imposto devido (I)</p><p>R 5000 Isento</p><p>5000 R 10000  10% de (R – 5000)</p><p>10000 R 15000  500 + 30% de (R – 10000)</p><p>O gráfico que melhor representa essa relação é</p><p>a)</p><p>c)</p><p>b</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Gabarito:</p><p>4</p><p>Resposta da questão 1:</p><p>a) Inversa de f para a = 0:</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>2f (x) 3</p><p>1</p><p>2f (x) 3</p><p>x</p><p>1 3x</p><p>f (x)</p><p>2x</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>+</p><p>+ = −</p><p>− −</p><p>=</p><p>Logo:</p><p>1</p><p>3 14</p><p>1 3</p><p>3 75 5f</p><p>3 65 3</p><p>2</p><p>5 5</p><p>−</p><p>− −  −</p><p> </p><p>= = = − </p><p>  </p><p>b) Temos que:</p><p>2</p><p>2</p><p>a 1 1 a 1</p><p>f(1)</p><p>2 1 3 5</p><p>a 1 a a 5a 1</p><p>a a 55 5f(f(1))</p><p>2a 13a 1 2a 13</p><p>2 3</p><p>55</p><p> − −</p><p>= =</p><p> +</p><p>−  − − − </p><p>− − </p><p>= = =</p><p>+− + </p><p> + </p><p> </p><p>Os valores de a que satisfazem f(f(1)) = 1 são:</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>a a 5</p><p>1</p><p>2a 13</p><p>a a 5 2a 13</p><p>a 3a 18 0</p><p>3 81 3 9</p><p>a</p><p>2 2</p><p>a 3 ou a 6</p><p>− −</p><p>=</p><p>+</p><p>− − = +</p><p>− − =</p><p> </p><p>= =</p><p>= − =</p><p>Resposta da questão 2:</p><p>[A]</p><p>Resposta da questão 3:</p><p>[A]</p><p>Resposta da questão 4:</p><p>[B]</p><p>Resposta da questão 5:</p><p>ANULADA</p><p>Questão anulada no gabarito oficial.</p><p>j(x) foh</p><p>j(x) f(h(x))</p><p>j(x) 4(h(x)) 1</p><p>j(x) 4 (5 x) 3</p><p>j(x) 20 4x 3</p><p>j(x) 4x 17</p><p>=</p><p>=</p><p>= −</p><p>=  − −</p><p>= − −</p><p>= − +</p><p>Resposta da questão 6:</p><p>5</p><p>[D]</p><p>Resposta da questão 7:</p><p>[D]</p><p>Resposta da questão 8:</p><p>[E]</p><p>Resposta da questão 9:</p><p>[B]</p><p>Resposta da questão 10:</p><p>[A]</p>