Conicas e quadricas

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Medianeira, Paraná 
2013 
 
Notas de aula destinada à disciplina de 
Geometria Analítica, para os cursos de 
Engenharia. 
 
Prof.
a 
Msc.Priscila Pigatto Gasparin 
 
 Adaptada dos livros: 
Jacir Venturini e Paulo Winterle 
 
 
2 
 
 
Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não- perpendiculares. 
Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno de e mantendo 
constante o ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta g gera uma superfície 
cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O. (Figura 1) 
 
 
Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano 

 qualquer que não passa 
pelo vértice O, a cônica será: 
a) Uma parábola, se 

for paralelo a uma geratriz da superfície (Figura 2(a)) 
b) Uma elipse, se 

 não for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das 
folhas da superfície (Figura 2(b)) 
c) Uma hipérbole, se 

não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da 
superfície (Figura 2(c)). A hipérbole deve ser vista como uma curva só, constituída de 
dois ramos, um em cada folha da superfície. 
 
 
Observação: 
As superfícies cônicas deve ser interpretadas de forma ilimitada, isto é, constituídas de 
duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os sentidos. 
A reta g é chamada de geratriz da superfície 
cônica e a reta e eixo da superfície. 
Chama-se secção cônica, ou simplesmente, 
cônica, ao conjunto de pontos que formam a 
interseção de um plano com a superfície 
cônica. 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
3 
 
Se cada um dos planos secantes da Figura 2 forem transladados 
paralelamente até chegarem ao vértice O obteremos as respectivas cônicas 
“degeneradas”da Figura 3. 
 
 
 a) reta b) ponto c) duas retas 
 
As cônicas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astronomia 
sendo descritas na antiguidade por Apolônio de Perga. Mais tarde Kepler e Galileu 
mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais como nas trajetórias de 
um projétil ou de um planeta. 
 
1 PARÁBOLA 
Definição: Parábola é um conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um 
ponto fixo e de uma reta fixa desse plano. 
 
 
 
Elementos da Parábola 
Figura 3 
 
Figura 4 
 
4 
 
 
 
Equações Canônicas ou Reduzidas da Parábola 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
Aplicações da Parábola 
 
 
 
 
7 
 
 
Exemplos: 
1) Para cada uma das parábolas 
yx 82 
e 
2
2
1
yx 
. Construir o gráfico e encontrar 
o foco e uma equação da diretriz. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Faça um esboço do gráfico e encontre uma equação da parábola que satisfaça as 
condições: 
a) vértice V(0,0) F(1,0) 
b) vértice V(0,0) e diretriz 
3y
 
c) vértice V(0,0) passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima 
1.1 Translação de eixos 
a) Eixo da parábola é paralelo ao eixo do y 
8 
 
Com origem no ponto V, o sistema 
''' yOx
 (
VO '
). A parábola em relação a este 
sistema tem vértice na origem, portanto sua equação reduzida é 
'2'2 pyx 
 
Como para todo ponto P da parábola temos 
hxx '
 
kyy '
. Desta forma, temos 
a seguinte equação: 
)(2)( 2 kyphx 
. 
 
 
b) O eixo da parábola é paralelo ao eixo do x. 
Tem com equação 
)(2)( 2 hxpky 
 
 
 
Exemplos: 
1) Determinar uma equação da parábola de vértice V(3,-2) eixo paralelo a y e 
parâmetro p = 1 
 
 
 
2) Dada a parábola de equação 
017862  xyy
determinar: 
a) Equação reduzida 
b) Vértice 
c) Esboço do gráfico 
d) Foco e uma equação diretriz 
1.2 Equações Paramétricas 
OBS: Se p > 0 a parábola está 
voltada para cima e p < 0 está 
voltada para baixo. 
 
OBS: Se p > 0 a parábola está 
voltada para direita e p < 0 está 
voltada para esquerda. 
 
9 
 
Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é do y 
pyx 22 
. Nesta 
equação onde x pode assumir qualquer valor real, temos que x = t (em que t é 
chamado de parâmetro) teremos então: 
2
2
1
t
p
y 
 
As equações paramétricas da parábola são dadas por: 


tt
p
y
tx
;
2
1 2
 ou 


tty
t
p
x
;
2
1 2 
Com vértice V(0,0) e eixo 0x. 
 
Exemplo: 
1) Obter equações paramétricas da parábola de equações 
yx
4
12 
 
 
 
 
 
 
 
1) Construa o gráfico e encontre o foco e uma equação diretriz: 
a) 
yx 42 
 b) 
xy 62 
 c) 
02  yx
 
2) Determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma 
equação do eixo da parábola de equação dada. Esboce o gráfico: 
a) 
012842  yxx
 
b) 
0492162  yxy
 
3) Obter a equação da parábola que tem como gráfico: 
 
 
4) Esboçar o gráfico da parábola de equação 
)3(12)1( 2  yx
 
10 
 
 
5) A parábola abaixo configurada tem equação 
0652  yxx
. Achar as 
coordenadas nos pontos A, B e C. 
 
 
6) Obtenha os pontos de interseção das parábolas 
12  xy
 e 
32  xy
. Calcule 
os vértices e as interseções de cada parábola com os eixos cartesianos. 
 
7) Encontre uma equação paramétrica da parábola de equação: 
a) 
xy 42 
 
b) 
)1(2)4( 2  yx
 
c) 
0142  xyy
 
 
Respostas 
1) a) F(0,-1) diretriz 1 
 b) F(3/2,0) diretriz -3/2 
 c) F(0,-1/4) diretriz ¼ 
 
2) a) 
2( 2) 8( 1)x y   
 V(-2,-1) F(-2,-3) Diretriz -1 
 b) 
2( 1) 16( 3)y x  
 V(3,-1) F(7,-1) Diretriz -1 
 
3) 
2( 3) 8( 3)y x  
 
11 
 
5) A(2,0) B(3,0) C(0,6) 
6) P(-1,2) P´(1,2) 
7) a) 21
4
x t
y t

 

 
 b) 
2
4
1
2
x t
t
y
 


  

 c) 2 3
2
x t
y t
   

 
 
 
 
2 ELIPSE 
Definição: Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das 
distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. 
Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que, a distância 
d(F1,F2) = 2c e um número real positivo a com 2a > 2c. Chamando 2ª a constante da 
definição um ponto P pertencente a elipse, se e somente se, 
 
 
Elementos da Elipse 
 
Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado na elipse, obtemos a relação notável: 
222 cba 
 
Observação: Denomina-se “eixo maior”o segmento 
21AA
 e de “eixo menor”o 
segmento 
21BB
. 
 
Excentricidade 
aFPdFPd 2),(),( 21 
 da 
mesma forma para 
aFQdFQd 2),(),( 21 
 
 
12 
 
Uma importante característica da elipse é a sua excentricidade, que é definida pela 
relação: 
10,  
a
c
 
Como a e c são positivos e c < a depreende-se que 
10  
. 
Quanto mais próximo de zero for o valor de 

, mais a elipse se aproxima de uma 
circunferência. Por outro lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o valor de 

 se 
aproxima de 1. 
 Uma vez fixo o valor de a, há uma correspondência entre o valor de 

 e a 
distância entre os focos, e quanto mais achatada for a elipse, maior a distância entre 
os focos. 
 
 Temos que os valores extremos do domínio de 

: 
- Se 

= 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2a e os focos F1 e F2, coincidem 
com o centro da circunferência. 
- se 

 = 1 tem-se segmento retilíneo F1F2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Equaçãocanônica ou reduzida da elipse de centro na origem 
a) O eixo maior coincide com o eixo x. 
13 
 
 
b) O eixo maior coincide com o eixo y 
 
14 
 
 
 
Exemplos 
1) Dada a equação da elipse 
144916 22  yx
pede-se; 
a) Equação Canônica 
b) Excentricidade 
c) Gráfico, coordenadas dos focos e dos vértices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Obter a equação da elipse com centro na origem do sistema cartesiano, eixo focal 
coincidente com o eixo x, que passa pelo ponto 
)1,1(P
e cuja excentricidade é igual a 
2
2 . 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Construção de uma Elipse 
 
Aplicações Práticas de uma Elipse 
 
 
 
 
 
2.2 Equação da Elipse cujo centro é 
),(' 00 yxO 
e cujos eixos são paralelos aos 
eixos coordenados. 
a) O eixo maior é paralelo ao eixo x. 
16 
 
 
 
b) O eixo maior é paralelo ao eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
Exemplos 
1) Determinar as equações das elipses representadas: 
a) 
 
b) 
 
 
2) Dada a elipse de equação 
0436894 22  yxyx
. Determinar: 
a) Equação canônica ou reduzida; 
b) Centro; 
c) Vértices; 
d) Focos; 
e) Excentricidade; 
f) Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
2.3 Equação Paramétrica 
Consideremos a elipse de equação 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
. Fazendo a circunferência de centro 
O e raio igual ao semi-eixo maior a da elipse. 
 
 Seja P(x,y) um ponto qualquer desta elipse. A reta que passa por P e é paralela 
ao eixo dos y, intercepta a circunferência em A e o raio AO determina o eixo dos x um 
ângulo 

. Do triângulo A’AO vem cos.' OAOA  ou cos.ax  . 
 Como x é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada y do mesmo ponto é 
calculada substituindo o valor de x na equação da elipse: 
1
)cos.(
2
2
2
2

b
y
a
a  em que  22
2
2
cos1 sen
b
y

 e 
senby .
 
 Observemos que, para cada valor 

 corresponde um e um só ponto P da 
elipse e quando 

 varia de 0 a 
2
, o ponto P parte de (a,0) e “descreve”a elipse no 
sentido anti-horário. Então 

 é o parâmetro e o sistema: 







senby
ax
.
cos.  20  
 
Observações: 
1) No caso da elipse ser 
1
2
2
2
2

a
y
b
x
 (eixo maior sobre Oy) suas equações 
paramétricas são: 







senay
bx
.
cos. 
2) Quando o centro da elipse for C(xo, yo) pela translação de eixos obtemos: 







bsenyy
axx
0
0 cos
 (eixo maior paralelo a Ox) 
 







asenyy
bxx
0
0 cos
 (eixo maior paralelo a Oy) 
Equações Paramétricas da Elipse. 
19 
 
 
3) O sistema de equações: 







cos.
.
by
senax  20  . Descreve de outra forma a 
mesma elipse dada pelo sistema, porém neste caso o ponto P parte de (0,b) e 
“descreve”a elipse no sentido horário. 
Exemplo 
1) Obter as equações paramétricas da elipse de equação: 
a) 
4002516 22  yx
 
b) 
061165449 22  yxyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo: 
a) 
 
20 
 
 
 
b) 
 
2) Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor 
mede 8. 
 
3) Escreva a equação canônica da elipse com centro na origem eixo focal sobre o eixo 
y e cuja medida do eixo maior é 5 e do eixo menor é 2. 
 
4) Calcular a excentricidade da elipse 
2 225 16 400x y 
 
 
5) A Terra move-se à volta do Sol com uma órbita elíptica e o Sol ocupa um dos focos. 
O comprimento do eixo maior é 14957000 Km e a excentricidade é 0,0167. Determine 
uma distância a que a Terra fica do Sol. 
6) Uma elipse tem centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto 
(1,1)A 
e tem um foco em 
6
,0
2
F
 
   
 
. Calcular a excentricidade da elipse. 
7) Uma elipse tem os focos em 
 1 3,0F  
 e 
 2 3,0F 
e excentricidade igual a 0,5. 
Forneça a sua equação e a sua área S (da geometria 
.S a b
) 
8) Obter a equação da elipse com centro em 
´ (8, 2)O  
com b = 1 
3c 
 
 
Respostas: 
1) a) 2 2
1
16 25
x y
 
 b) 2 2
1
14 5
x y
 
 
2) 
2 6c 
 
3) 2 24
1
1 25
x y
 
 
21 
 
 
4) 
3
5
 
 
5) 7353609,1 km 
6) 2
2
 
 
7) 2 2
1
36 27
x y
 
 e 
18 3S 
u.a 
8) 2 2( 8) ( 2)
1
4 1
x y 
 
 
 
3 HIPÉRBOLE 
Definição: É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias, 
em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. 
 
 Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância 
d(F1,F2)=2c e um número real positivo a de modo que 2a < 2c. Chamando de 2a a 
constante da definição, um ponto P pertence à hipérbole, se e somente se, 
aFPdFPd 2),(),( 21 
. 
 A hipérbole é uma curva com dois ramos e o valor absoluto pode ser 
desconsiderado desde que adotemos a diferença entre a maior e a menor distância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
3.1 Elementos da Hipérbole 
 
Observação: Por abuso de linguagem, denomina-se “eixo real”o segmento A1A2 e 
“eixo imaginário” o segmento B1B2. O eixo imaginário tem como reta suporte a 
mediatriz do segmento A1A2. Do triângulo retângulo B2OA2, hachurado, obtemos a 
relação notável: 
222 bac 
 
 
Excentricidade da Hipérbole 
É definida pela relação 
a
c

 
)1( 
 
Como a e c são positivos e c > a, conclui-se que 
1
. 
Há uma proporcionalidade entre a excentricidade e a abertura da hipérbole: quanto 
maior a excentricidade maior a abertura e vice-versa. 
 
3.2 Equação canônica da hipérbole de centro na origem 
a) O eixo real coincide com o eixo x. 
 
 
 
23 
 
Agora, empregando as mesmas operações para deduzir a equação da elipse, 
chegamos à equação: 
1
2
2
2
2

b
y
a
x (eixo real = eixo x) Equação Canônica ou 
reduzida da hipérbole. 
 
b) O eixo real coincide com o eixo y 
 
 
3.3 Assíntotas 
As assíntotas r e s são retas que passam pelo centro da hipérbole, no caso, a origem 
do sistema. Logo, suas equações são do tipo: 
mxy 
, sendo m a declividade 
a
b
m 1
 
E a assíntota s tem declividade 
a
b
m 2
 
Quando a equação da hipérbole é da forma 
1
2
2
2
2

b
x
a
y as declividades das 
assíntotas serão 
b
a
m 1
 e 
b
a
m 2
 com equação 
mxy 
 
 
 
Para a equação 
1
2
2
2
2

b
y
a
x 
24 
 
Exemplo 
1) Dada a equação da hipérbole,determine 
a) A medida dos semi-eixos e) Assíntotas 
b) Vértices f) Gráfico 
c) Focos 
d) Excentricidade 
 
i) 
0164 22  yx
 
ii) 
422  yx
 
25 
 
 
APLICAÇÕES PRÁTICAS DA HIPÉRBOLE 
 
 
3.4 Equação da hipérbole cujo centro é 
),(' oo yxO 
e cujos eixos são paralelos 
aos eixos coordenados. 
a) O eixo real é paralelo ao eixo x 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
b) O eixo real é paralelo ao eixo y 
 
 
Exemplo 
1) Determinar a equação da hipérbole abaixo:2) Obter a equação canônica da hipérbole 
04484 22  yxyx
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
 Consideremos a hipérbole de equação 
1
2
2
2
2

b
y
a
x . Escrevendo esta equação 
como: 
1
22












b
y
a
x significa dizer que 
a
x
 e 
b
y
são números reais cuja diferença de 
seus quadrados é sempre igual a 1. 
 Se na identidade 
1cos22  sen dividirmos ambos os membros por 
0cos 2 
obtemos 
 2222
2
22
2
2
2
sec1tan
cos
1
1
coscos
1
cos
cos
cos

sensen
. Desta forma 
temos que: 
1tansec 22   
 Portanto, confrontando esta equação com a equação da hipérbole 
1
22












b
y
a
x podemos fazer: 
sec
a
x
 e 
tan
b
y
, podemos concluir que para o 
parâmetro 

 
 20 
 excluídos 
2
3
,
2

o sistema: 







tan.
sec.
by
ax equações paramétricas da hipérbole. 
Quando 

 percorre o intervalo 







2
,
2

está descrito o ramo direito da hipérbole 
)( ax 
e quando percorre o intervalo 






2
3
,
2

 o ramo esquerdo 
)( ax 
. 
Observações 
a) No caso da hipérbole ser 
1
2
2
2
2

b
x
a
y (eixo real sobre Oy) suas equações 
paramétricas são: 







sec.
tan.
ay
bx 
b) Quando o centro da hipérbole for C(xo,yo) aplicando a translação de eixos, as 
equações paramétricas são: 







tan.
sec.
0
0
byy
axx ou 







sec.
tan.
0
0
ayy
bxx 
Conforme o eixo real seja paralelo a Ox ou Oy , respectivamente. 
 
 
 
28 
 
 
Exemplos 
1) Obter equações paramétricas da hipérbole de equação: 
a) 
03694 22  yx
 
b) 
051283 22  yxyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Dada a hipérbole de equação 
4002516 22  yx
, determine: 
a) Equação canônica 
b) Excentricidade 
c) Gráfico 
 
2) Determinar a distância focal da hipérbole 
144169 22  yx
 
 
3) Equação da hipérbole com focos em 
)8,0(1F
 
)8,0(2 F
e vértices em 
)6,0(
 e 
)6,0( 
 
 
4) Equação da hipérbole cuja excentricidade é 
5
 e cuja distância focal é de 
54
. (o 
centro coincide com a origem e os focos estão sobre o eixo x). 
 
5) Obter a excentricidade da hipérbole 
kyx  22 55
 para 
)0( k
 
 
6) Uma hipérbole tem o centro na origem e o eixo real coincide com o eixo x. Temos 
ainda que 
62 b
 e 
4
5

. Determine sua equação. 
 
29 
 
 
7) Escreva a equação da hipérbole sabendo-se que um dos focos é 
)2,2(F
 
O centro 
)1,2(' O
e 
42 a
 
 
8) Construa o gráfico e escreva o nome de cada equação: 
a) 
922  yx
 
b) 
1
94
22

yx
 
c) 
1
94
22

xy
 
d) 
1
32

yx
 
e) 
02  xy
 
f) 
022  yx
 
 
Respostas: 
1) a) 
1
1625
22

yx
 b) 
5
41

 
2) 10 
3) 
1
2836
22

xy
 
4) 
1
164
22

yx
 
5) 
2k
 
6) 
1
916
22

yx
 
7) 
1
5
)2(
4
)1( 22



 xy
 
8) a) Circunferência r=3 
b) Elipse a =3 e b = 2 (eixo maior em y) 
c) Hipérbole a = 2 e b =3 
d) reta 
e) parábola para a direita 
f) par de retas reais 
 
3
 
30 
 
 
 
Definição: 
 
 
Exemplos de Quádricas 
 
As equações podem ser descritas: 
 
Superfícies 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Exemplos 
 
Representações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Equações curvas no 
3
 
 
Exemplos 
 
 
INTERSEÇÃO DA SUPERFÍCIE COM OS PLANOS 
 
 
33 
 
 
 
EXEMPLOS DE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
1) Elipsoide 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
Exemplo: Construa o Elipsoide 
 
 
1
9164
222

zyx
35 
 
2) Hiperboloide de uma folha 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Exemplo: Construa o hiperboloide de equação: 
 
 
1
4
2
22 
z
yx
37 
 
3) Hiperboloide de duas folhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Exemplo: Construa o hiperboloide de duas folhas 
 
1
444
222

zyx
39 
 
4) PARABOLOIDE ELÍPTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Exemplo: Construa o paraboloide de equação: 
94
22 yx
z 
41 
 
5) Paraboloide Hiperbólico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Exemplo: Construa o paraboloide hiperbólico de equação 
 
94
22 yx
z 
43 
 
6) CONE ELÍPTICO 
 
 
Exemplo: Construa o cone elíptico de equação 
4
2
22 yxz 