Exercicio GA vetores

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Produto Escalar, Produto Vetorial e Produto Misto 
 
1) Dados os vetores 
)1,3(u
e 
)2,1(v
, determinar o vetor 
x
 tal que: 
a) 
xuxvu  2
3
1
)(4
 
b) 
)34(2)2(3 uxuvx 
 
2) Dados os vetores 
)4,2( u
 
)1,5( v
 
)6,12(w
, determinar 
1a
e 
2a
tais que 
vauaw 21 
 
3) Dados os vetores 
)1,1( u
, 
)4,3(v
 e 
)6,8( w
, calcular: 
a) 
u
 c) 
w
 e) 
v
v 
b) 
v
 d) 
vu 
 f) 
u
u 
4) Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices 
a) 
)1,0,0(A
, 
)1,0,0(B
, 
)2,0,4(C
e 
)1,0,4(D
 
b) 
)0,1,2(A
, 
)0,2,2(B
, 
)2,2,0(C
e 
)2,1,0(D
 
5) Verificar se são colineares os pontos: 
)0,5,1( A
, 
)3,1,2(B
, 
)1,7,2( C
 
6) Sabendo que o ponto 
),4,( nmP
pertence à reta que passa pelos pontos 
)3,2,1( A
, 
)5,1,2( B
, calcular m e n 
7) Verificar se são unitários os seguintes vetores 
)1,1,1(u
 







6
1
,
6
2
,
6
1
v
 
Produto Escalar 
8) Calcular 
vu 
, 
vu 
 e 
  vuvu  .
 sabendo que 
u
=4 , 
v
=3 e o ângulo entre 
u
 
e 
v
é de 60o. 
9) Dados os pontos 
)5,0,1(A
, 
)4,1,2( B
, 
)1,1,1(C
determinar x tal que 
AC
 e 
BP
 
sejam ortogonais, sendo 
)3,0,( xxP
 
 Geometria Analítica – Turma: A11 Profa.Priscila Pigatto Gasparin 
 
2 
 
10) Seja o triângulo de vértices 
)4,4,3(A
, 
)4,3,2( B
, 
)4,0,6(C
. Determinar o ângulo 
interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B? 
11) Calcular o valor de m de modo que seja 120o o ângulo entre os vetores 
)1,2,1( u )1,1,2(  mv
 
12) Para cada um dos pares de vetores 
u
 e 
v
 encontrar a projeção ortogonal de 
v
 
sobre 
u
 e decompor 
v
 como soma de 
1v
 com 
2v
, sendo 
uv //1
e 
uv 2
 
a) 
)2,2,1( u )1,2,3( v
 b) 
)31,3( u )1,3,2( v
 
13) Determinar o valor de k para que os vetores 
)3,2(u )4,(  kv
sejam: 
a) Paralelos b) Ortogonais 
Produto Vetorial 
14) Dados os pontos 
)1,1,2( A
, 
)1,0,3(B
, 
)3,1,2( C
determinar o ponto D tal que 
ACXBCAC 
 
15) Sejam os vetores 
)1,2,1( u )1,1,1(v
 e 
)1,0,1( w
: 
a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais. 
b) Mostrar que 
0)( wXvXu
 
16) Dados os vetores 
)0,1,1(u )2,1,1(v
determinar: 
a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a 
u
 e 
v
 
b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a 
u
 e 
v
 
 
Produto Misto 
17) Verificar se são coplanares os vetores 
)2,1,1( u )1,2,2(v
 e 
)4,0,2( w
 
18) Qual o volume do cubo determinado pelos vetores 
i
 , 
j
 e 
k
? 
19) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores 
)2,1,0(1 v )1,2,4(2 v
 e 
)2,,3(3  mv
 
20) Sabendo que os vetores 
)4,1,2( AB )3,1,(  MAC
 e 
)2,1,3( AD
, 
determinar o valor de m para que o volume do tetraedro seja 3 u.v (unidades de 
volume).