Reta calculo vetorial

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GEOMETRIA ANALÍTICA:
RETA
PROFESSORA: ALINE VIANA DE SOUZA
RETA
 EQUAÇÃO:
• Equação vetorial;
• Equação paramétrica;
• Equação simétrica;
• Equação reduzida;
• EQUAÇÃO VETORIAL NO ℝ2:
Consideremos um ponto A(𝑥0, 𝑦0) e um vetor não nulo 𝑢 = (𝑎, 𝑏). Só
existe uma reta que passa por A e tem a direção de 𝑢. Um ponto P (x,y)
pertence a r se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃 é paralelo a 𝑢, isto é, 𝐴𝑃 =
t𝑢, para algum t real.
Assim, temos:
𝐴𝑃 = t𝑢
P-A= t𝑢
P= A+t𝑢 → 𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + 𝑡(𝑎, 𝑏)
Onde: 𝑢 = 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎; 𝑡 = 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
RETA
• EQUAÇÃO VETORIAL NO ℝ3:
Consideremos um ponto A(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e um vetor não nulo 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Só existe uma reta que passa por A e tem a direção de 𝑣. Um ponto P
(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃 é paralelo a 𝑣, isto é,
𝐴𝑃 = t 𝑣, para algum t real.
Assim, temos:
𝐴𝑃 = t 𝑣
P-A= t 𝑣
P= A+t 𝑣 → 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐)
Onde: 𝑢 = 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎; 𝑡 = 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
RETA
EXEMPLO:
Determine a equação vetorial da reta r no ℝ3 que passa pelo ponto
A(1, −1,4) e tem a direção de 𝑣 = 2,3,2 .
𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,−1,4 + 𝑡(2,3,2)
RETA
EXERCÍCIO
1. Determine a equação vetorial da reta nos seguintes casos:
a) Passa pelo ponto A(-2, 3) na direção do vetor 𝑢 (2, 1).
b) Passa pelo ponto A(-2, 3, 4) na direção do vetor 𝑢 (2, 1, 2).
c) Passa pelos pontos A(1,2) e B(3,8).
d) Passa pelos pontos A(3, -1,-2) e B(1, 2, 4)
• EQUAÇÃO PARAMÉTRICA:
RETA
EXEMPLO:
Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto
A(1, −1,4) e tem a direção de 𝑣 = 2,3,2 .
Equação vetorial 𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,−1,4 + 𝑡(2,3,2)
Equação Paramétrica: 𝑟: 
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = 4 + 2𝑡
RETA
EXERCÍCIO
1. Determine a equação paramétrica da reta nos seguintes casos:
a) Passa pelo ponto A(-2, 3) na direção do vetor 𝑢 (2, 1).
b) Passa pelo ponto A(-2, 3, 4) na direção do vetor 𝑢 (2, 1, 2).
c) Passa pelos pontos A(1,2) e B(3,8).
d) Passa pelos pontos A(3, -1,-2) e B(1, 2, 4)
2. Dado o ponto 𝐴(2,3, −4) e o vetor 𝑣 = (1, −2,3), determine:
a) Dois pontos B e C da reta r de parâmetros t=1 e t=4, respectivamente.
b) O ponto da reta r cuja abscissa é 4.
c) Se os pontos D(4,-1,2) e E(5,-4,3) pertencem à reta r.
d) Equações paramétricas da reta s que passa por A e é paralela ao eixo y.
EXERCÍCIO
RETA
• EQUAÇÃO SIMÉTRICA:
EXEMPLO:
Determine a equação simétrica da reta r que passa pelo ponto
A(1, −1,4) e tem a direção de 𝑣 = 2,3,2 .
Equação simétrica
𝑥 − 1
2
=
𝑦 + 1
3
=
𝑧 − 4
2
RETA
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
a)
GABARITO
c)
EXERCÍCIO
• Equação simétrica de uma reta paralela a um dos eixos:
Paralela aos eixos x,y e z, respectivamente.
RETA
RETA
• Equação simétrica de uma reta paralela a
um dos planos:
Paralela aos planos xy, xz e yz,
respectivamente.
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
• EQUAÇÃO REDUZIDA
Das equações simétricas da reta r dadas por
𝑥−𝑥0
𝑎
=
𝑦−𝑦0
𝑏
=
𝑧−𝑧0
𝑐
é
possível expressar duas variáveis em função da terceira.
EQUAÇÃO DA RETARETA
EQUAÇÃO DA RETARETA
EXEMPLO:
Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo ponto
A(1, −1,4) e tem a direção de 𝑣 = 2,3,2 .
𝑥 − 1
2
=
𝑦 + 1
3
=
𝑧 − 4
2
𝑥 − 1
2
=
𝑦 + 1
3
𝑦 =
3𝑥 − 5
2
𝑥 − 1
2
=
𝑧 − 4
2
𝑧 = 𝑥 + 3
Equações reduzidas
da reta r na variável x← →
RETA
RETA
EXEMPLO:
EXEMPLO:
Seja 𝑥 = 3 + 4t e 𝑦 = −5 + 2t as equações paramétricas da reta.
Escreva as equações simétricas, reduzida e geral para essa mesma reta.
Equação Simétrica:
𝒙−𝟑
𝟒
=
𝒚+𝟓
𝟐
Equação Reduzida: 𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟒𝒚 + 𝟐𝟎 ⟶ 𝒚 =
𝒙
𝟐
−
𝟏𝟑
𝟐
Equação geral: 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐𝟔 = 𝟎 ⟶ 𝒙− 𝟐𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎
EQUAÇÃO DA RETARETA
EXERCÍCIOS
1. Obtenha a equação reduzida da reta nos seguintes casos:
a) A reta passa pelos pontos A(1,2) e B(3,8)
b) A reta passa pelo ponto A(2,-4,3) na direção do vetor 𝑣 = (1,2, −3)
2. Obtenha a equação reduzida da reta que passa nos pontos A e B(4,6).
Sendo o ponto A interseção das retas de equações 2𝑥 + 𝑦 – 6 = 0 e
2𝑥 – 𝑦 – 6 = 0.
3. Determine os pontos em que a reta de equação 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0
intercepta os eixos coordenados.
EXERCÍCIOS 
ÂNGULO ENTRE RETAS
EXEMPLO:
ÂNGULO ENTRE RETAS
EXERCÍCIOS
1. Calcule o ângulo entre a reta r que passa pelos pontos A(-5,2,3) e
B(0,- 4,5) e a reta s que passa pelos pontos C(-1, -3, 4) e D(-3, -2,-1).
2. Determine o ângulo entre as seguintes retas:
Sejam as retas 𝑟1 e 𝑟2 com as condições de 𝑣1 e 𝑣2, respectivamente,
então:
RETAS ORTOGONAIS
Observação: Duas retas ortogonais podem ou não ter um ponto em comum.
Quando elas tem um ponto em comum ( retas concorrentes), diz-se que são
perpendiculares.
EXEMPLO:
Sendo 𝑢 = (0, 4, 6) e 𝑣 = (0,3, 1), 
RETAS ORTOGONAIS
1. Verifique se as retas 𝑟1 e 𝑟2 são ortogonais:
𝑟1: 
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑧 = 4𝑥
𝑟2: 
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = 4 + 𝑡
𝑧 = 𝑡
2. 
EXERCÍCIOS
3.
4. Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,4,-1)
e é ortogonal às retas:
𝑟1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,0,1 + 𝑡(2,3, −4) 𝑟2: 
𝑥 = 5
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 1 − 𝑡
EXERCÍCIOS
GABARITO
3. 1. 𝑣1 = 1,−2,4
 𝑣2 = −2,1,1
São ortogonais.
2. K=1
4. Produto 
vetorial: 
 𝑣 = 1,2,2
𝑟: 
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 4 + 2𝑡
𝑧 = −1 + 2𝑡
PARALELISMO 
EXEMPLO:
Sendo 𝑢 = (1,−3, 4) e 𝑣 = (2, −6, 8), 
PARALELISMO E PERPENDICULARIDADEPARALELISMO 
EXERCÍCIO
1. Verifique se as retas r e s são paralelas:
𝑟: 
𝑥 = 2𝑡 − 1
𝑦 = 𝑡 + 1
𝑧 = 3𝑡 + 2
s: 
𝑥 = 4𝑡 + 3
𝑦 = 2𝑡 − 4
𝑧 = 𝑡 − 1
 𝑣1 = 2,1,3 𝑣2 = (4,2,1)
1
2
=
1
2
≠
3
1
(não são paralelas)
2. 
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
2.
RETAS COPLANARES 
RETAS COPLANARESRETAS COPLANARES 
Verifique se as seguintes retas são coplanares.
𝑢, 𝑣, 𝐴𝐵 =
3 −2 1
6 −4 2
6 −5 0
= −54 + 54 = 0
∴ 𝑢, 𝑣, 𝐴𝐵 são coplanares.
RETAS COPLANARES
EXEMPLO:
RETAS COPLANARES
EXERCÍCIOS
Verifique se as retas abaixo são coplanares: