AntiderivadasEAD

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Antiderivadas.
No Ca´lculo 1, aprendemos a encontrar a derivada de uma func¸a˜o real dada. Agora, vamos considerar
outro problema:
Dada uma func¸a˜o real f(x), encontrar uma outra func¸a˜o real F (x) tal que F ′(x) = f(x).
Ou seja, temos que encontrar a func¸a˜o F (x) tal que sua derivada F ′(x) seja a func¸a˜o f(x) dada.
A func¸a˜o F (x) que satisfaz essa condic¸a˜o e´ dita antiderivada ou primitiva da func¸a˜o f(x).
Exemplo 1. Uma antiderivada para f(x) = x2 e´ F (x) = x
3
3
pois F ′(x) = 3x
2
3
= x2 = f(x).
A func¸a˜o G(x) =
x3
3
+ 9 tambe´m e´ uma antiderivada da func¸a˜o f(x) = x2, pois
G′(x) =
3x2
3
+ 0 = x2.
Da mesma maneira podemos observar que as func¸o˜es abaixo sa˜o antiderivadas da func¸a˜o f(x) =
x2.
H(x) =
x3
3
+
23
102
pois H ′(x) = x2
L(x) =
x3
3
+
√
2 pois L′(x) = x2
Percebemos que a diferenc¸a entre duas antiderivadas de uma mesma func¸a˜o e´ uma constante, ou
seja, um nu´mero real. Por exemplo a diferenc¸a entre as func¸o˜es G(x) e F (x) e´ G(x) − F (x) = 9, a
diferenc¸a entre H(x) e L(x) e´ H(x)− L(x) = 23
102
−√2.
Assim podemos observar algumas coisas:
• A antiderivada na˜o e´ u´nica.
• Se F1(x) e F2(x) sa˜o antiderivadas de f(x), enta˜o existe um nu´mero real C tal que
F1(x) = F2(x) + C.
Isto quer dizer que a diferenc¸a entre duas antiderivadas de uma mesma func¸a˜o e´ uma constante.
Com essas observac¸o˜es vamos ver a seguinte definic¸a˜o.
1
Definic¸a˜o. Se F (x) e´ uma antiderivada de f(x), chamamos F (x) + C de integral indefinida
da func¸a˜o f(x) e denotamos por
∫
f(x)dx = F (x) + C.
Obs: O s´ımbolo
∫
e´ o s´ımbolo de integral e f(x) e´ o integrando.
Exemplo 2. Usando a definic¸a˜o e o Exemplo 1, vemos que
∫
x2 dx = x
3
3
+ C.
Agora, encontre as antiderivadas abaixo:
•
∫
x3 dx
•
∫
x7 dx
•
∫
1
x4
dx
•
∫
x−5 dx
•
∫
x
2
3 dx
•
∫
x
−1
6 dx
Para qualquer n 6= −1 tem-se
∫
xn dx =
xn+1
n+ 1
+ C. (1)
Exemplo 3. Quanto vale
∫
1 dx ?
Resposta: Estamos procurando uma func¸a˜o F (x) cuja derivada e´ 1. Essa func¸a˜o e´ F (x) = x+C,
pois F ′(x) = 1.
2
De algumas derivadas que conhecemos, podemos obter as antiderivadas abaixo:
•
∫
1
x
dx = ln |x|+ C
•
∫
ex dx = ex + C
•
∫
cos x dx = sen x+ C
•
∫
sen x dx = − cos x+ C
•
∫
sec2 x dx = tan x+ C
•
∫
cossec2x dx = −cotan x+ C
•
∫
sec x · tan x dx = sec x+ C
•
∫
cossec x · cotan x dx = −cossec x+ C
•
∫
1√
1− x2dx = arcsen x+ C
•
∫
1
1 + x2
dx = arctan x+ C
•
∫
1
x
√
x2 − 1dx = arcsec x+ C
3
Propriedades da integral. Sejam f(x) e g(x) func¸o˜es reais e k uma constante real. Assim:
•
∫
k f(x) dx = k
∫
f(x) dx;
•
∫
(f(x)± g(x)) dx =
∫
f(x) dx±
∫
g(x) dx.
Exemplo 4.
1) Calcule
∫ (
9x2 +
√
x
)
dx.
Resposta: Usando a segunda propriedade podemos escrever
∫ (
9x2 +
√
x
)
dx =
∫
9x2 dx+
∫ √
xdx.
Pela primeira propriedade temos que
∫
9x2 dx = 9
∫
x2 dx.
Sabemos que
√
x = x
1
2 enta˜o
∫ √
xdx =
∫
x
1
2dx. Dessa forma, usando a fo´rmula (1), obtemos
∫ (
9x2 +
√
x
)
dx =
∫
9x2 dx+
∫ √
xdx
= 9
∫
x2 dx+
∫
x
1
2dx
= 9
x3
3
+
x
1
2
+1
1
2
+ 1
+ C
= 3x3 +
x
3
2
3
2
+ C
= 3x3 +
2
3
x
3
2 + C.
Portanto,
∫ (
9x2 +
√
x
)
dx = 3x3 +
2
3
x
3
2 + C.
Podemos verificar se a resposta esta´ correta. Para isso a derivada da resposta tem que ser o
integrando (veja a definic¸a˜o). Assim, sendo F (x) = 3x3 +
2
3
x
3
2 sua derivada e´
F ′(x) = 3.3x2 +
2
3
.
3
2
x
3
2
−1 = 9x2 + x
1
2 = 9x2 +
√
x.
4
2) Calcule
∫
1 + x√
x
dx.
Resposta: Podemos reescrever o integrando da seguinte forma:
1 + x√
x
=
1√
x
+
x√
x
=
1
x
1
2
+
x
x
1
2
= x−
1
2 + x.x−
1
2 = x−
1
2 + x1−
1
2 = x−
1
2 + x
1
2 .
Assim,
∫
1 + x√
x
dx =
∫ (
x−
1
2 + x
1
2
)
dx
=
∫
x−
1
2 dx+
∫
x
1
2dx
=
x−
1
2
+1
−1
2
+ 1
+
x
1
2
+1
1
2
+ 1
+ C
=
x
1
2
1
2
+
x
3
2
3
2
+ C
= 2x
1
2 +
2
3
x
3
2 + C.
Verificando:
Derivando a func¸a˜o F (x) = 2x
1
2 +
2
3
x
3
2 + C temos
F ′(x) = 2.
1
2
x
1
2
−1 +
2
3
.
3
2
x
3
2
−1 = x−
1
2 + x
1
2 =
1 + x√
x
.
3) Calcule
∫
(cos x− sen x)dx.
Resposta: Usando a segunda propriedade temos
∫
(cos x− sen x)dx =
∫
cos xdx−
∫
sen xdx
= sen x− (−cos x) + C
= sen x+ cos x+ C.
Verifique que a resposta esta´ correta.
5
Exerc´ıcios.
Calcule as integrais abaixo:
1.
∫ (
3x2 + 5 +
√
2
)
dx
2.
∫ (
3 sec x tan x+ cosec2x
)
dx
3.
∫
x4 + 3x−1/2 + 4
3
√
x
dx
4.
∫
2et dt
5.
∫ (
1
1 + x2
+ 8x
)
dx
6
	Antiderivadas.