Integração Complexa

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
BACHARELADO EM MATEMÁTICA –VARIÁVEIS COMPLEXAS
RESUMO DAS AULAS DOS DIAS 06/10/2010 e 08/10/2010 – 05 horas de
duração
Integração Complexa.
Integrais de linha Dada f : [a, b] ⊂ R −→ C, f(t) = u(t) + iv(t), cont́ınua, definimos:∫ b
a
f(t)dt =
∫ b
a
u(t)dt+ i
∫ b
a
v(t)dt. (23)
Esta definição ”herda”a maioria das propriedades da integral de funções com valores reais, em particular, se
c = α+ iβ é uma constante teremos que ∫ b
a
cf(t)dt = c
∫ b
a
f(t)dt.
Para ver que a igualdade acima é de fato verdadeira, escreva as partes real e imaginária de cada um dos membros
da igualdade e compare.
Uma outra propriedade comum as duas integrais(real e complexa), é:∣∣∣∣∫ b
a
f(t)dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(t)| dt. (24)
Para verificar esta última desigualdade, seja c = e−iθ, com θ a ser escolhido covenientemente. Temos que pela
equação (1), que
Re
(
e−iθ
∫ b
a
f(t)dt
)
=
∫ b
a
Re(e−iθf(t))dt ≤
∫ b
a
∣∣∣e−iθf(t)∣∣∣ dt = ∫ b
a
|f(t)| dt.
Observe que na expressão acima estamos usando parte da desigualdade (2) no caso real.
Se escolhermos θ = arg
(∫ b
a
f(t)dt
)
, então, Re
(
e−iθ
∫ b
a
f(t)dt
)
=
∣∣∣∣∫ b
a
f(t)dt
∣∣∣∣, e portanto,∣∣∣∣∫ b
a
f(t)dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(t)| dt.
Seja agora γ uma curva diferenciável por partes, com equação z = z(t), t ∈ [a, b]. Se f é uma função continua
em γ∗(o traço de γ), então t 7→ f(z(t)) é cont́ınua no intervalo [a, b], e definimos∫
γ
f(z)dz =
∫ b
a
f(z(t))z′(t)dt. (25)
Note que z′ não é cont́ınua, mas existem pontos a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b, tais que em cada
subintervalo [tj−1, tj ], j = 1, · · · , n, z′ é cont́ınua, e portanto a integral acima fica definida por,∫
γ
f(z)dz =
∫ b
a
f(z(t))z′(t)dt =
n∑
j=1
∫ tj
tj−1
f(z(t))z′(t)dt. (26)
Definição 17 Duas parametrizações, z : [a, b] −→ C e z̃ : [α, β] −→ C são equivalentes se existe uma bijeção
continuamente diferenciável s 7→ t(s) de [α, β] sobre [a, b], tal que t′(s) > 0, e z̃ = z ◦ t.
A condição t′(s) > 0 significa precisamente que o sentido de percusso é preservado.
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Proposition 1 Suponha que t 7→ z(t), t ∈ [a, b] e que τ 7→ z̃(τ), τ ∈ [α, β] são parametrizações equivalentes de
uma curva γ. Então, ∫ b
a
f(z(t)z′(t)dt =
∫ β
α
f(z̃(τ)z̃′(τ))dτ.
Demo Seja t : [α, β] −→ [a, b], t = t(τ) seja uma bijeção continuamente diferenciável e crescente tal que
z̃ = z ◦ t(estamos supondo que as duas parametrizações são equivalentes). Então, usando a mudança de variável
t 7→ t(τ), temos: ∫ b
a
f(z(t)z′(t)dt =
∫ β
α
f(z(t(τ))z′(t(τ))t′(τ)dτ =
∫ β
α
f(z̃(τ))z̃′(τ)dτ.
Na última igualdade usamos a regra da cadeia na igualdade z̃ = z ◦ t.
Dada a curva γ parametrizada no intervalo [a, b], (t 7→ z(t)), definimos a curva −γ por z = z(−t), t ∈
[−b,−a]. Equivalentemente podemos definir −γ como z = z(a+ b− t), t ∈ [a, b].
Temos então que,
Proposition 2 Para toda f cont́ınua e toda γ C1 por partes, tem-se que∫
−γ
f(z)dz = −
∫
γ
f(z)dz.
Demo Temos, usando a mudança de variável t = −τ ,∫
−γ
f(z)dz =
∫ −a
−b
f(z(−t))(−z′(−t))dt =
∫ a
b
f(z(τ))z′(τ)dτ = −
∫ b
a
f(z(τ))z′(τ)dτ = −
∫
γ
f(z)dz.
Definiremos a soma de caminhos γ = γ1 + · · ·+ γn, pela igualdade de integrais,∫
γ1+···+γn
f(z)dz =
∫
γ1
f(z)dz + · · ·+
∫
γn
f(z)dz,
para todas as funções f que sejam cont́ınuas em γ∗.
Quando γ é uma curva fechada, podemos tomar dois pontos distintos quaisquer dela que ficará dividida em
duas curvas γ1 e γ2. Temos então que∫
γ
f(z)dz =
∫
γ1+γ2
f(z)dz =
∫
γ2+γ1
f(z)dz.
Naturalmente podemos escrever qualquer integral complexa em termos de integrais reais. Se f(z) = u(x, y)+
iv(x, y), então teremos:∫
γ
f(z)dz =
∫ b
a
f(z(t))z′(t)dt =
∫
γ
udx− vdy + i
∫
γ
vdx+ udy.
Exemplos
1 - Sejam γ o ćırculo unitário orientado positivamente e n ∈ Z. Então,
∫
γ
zndz =
{
0, n ̸= −1
2πi, n = −1 .
Para ver que esta afirmação é correta, substitúımos γ parametrizada por z(t) = cos t + i sen t, t ∈ [0, 2π] na
definição da integral de linha. Então teremos que, no caso n ̸= −1:∫
γ
zndz =
∫ 2π
0
(cosnt+ i sennt)(− sen t+ i cos t)dt =
∫ 2π
0
(− cosnt sen t− sennt cos t)dt+
i
∫ 2π
0
(cosnt cos t− sennt sen t)dt =
∫ 2π
0
− sen(n+ 1)tdt+ i
∫ 2π
0
cos(n+ 1)tdt
=
[
1
n+ 1
cos(n+ 1)t
]2π
0
+ i
[
1
n+ 1
sen(n+ 1)t
]2π
0
= 0 + i0 = 0.
No caso em que n = −1, a integral acima se transforma em∫
γ
z−1dz = i
∫ 2π
0
dt = 2πi.
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2 - Seja γ a curva assim definida: o intervalo na reta [1, |z|], z ̸= 0 seguido do arco de ćırculo |z| eit, 0 ≤ t ≤ θ.
Então, ∫
γ
dw
w
= log |z|+ iθ = Log z.
(Veja a figura abaixo)
x
y
θ
1 |z|
z
Figura 35: O logaritmo dado por uma integral
Temos que a integral desejada é a soma das integrais, primeiro ao longo do segmento [1, |z|], e depois ao
longo do arco de ćırculo |z| eit, t ∈ [0, θ], donde,∫
γ
dw
w
=
∫ |z|
1
dt
t
+
∫ θ
0
i |z| eit
|z| eit
dt =
∫ |z|
1
dt
t
+
∫ θ
0
idt = log |z|+ iθ.
Sejam p e q funções cont́ınuas em uma região G. Considere as duas seguintes afirmações:
(a) Quaisquer que sejam os caminhos γ1 e γ2 em G que tenham os mesmos pontos inicial e final, tem-se que∫
γ1
pdx+ qdy =
∫
γ2
pdx+ qdy.
(b)
∫
γ
pdx+ qdy = 0, qualquer que seja a curva fechada γ contida em G.
Mostremos que (a) e (b) são equivalentes.
(b) ⇒ (a)
Dados γ1 e γ2, caminhos em G com os mesmos pontos inicial e final, γ = γ1 − γ2 é um caminho fechado em G,
donde ∫
γ1
pdx+ qdy −
∫
γ2
pdx+ qdy =
∫
γ
pdx+ qdy = 0,
portanto, ∫
γ1
pdx+ qdy =
∫
γ2
pdx+ qdy.
(a) ⇒ (b)
Seja agora γ um caminho fechado qualquer em G. Sejam A e B dois pontos distintos de γ∗; estes pontos
dividem a curva em duas, γ1 que é a parte da curva no sentido positivo de A até B, e γ2 que é a parte da curva,
mantendo o sentido, de B até A. É claro que γ = γ1 + γ2. Portanto,∫
γ
pdx+ qdy =
∫
γ1+γ2
pdx+ qdy =
∫
γ1
pdx+ qdy −
∫
−γ2
pdx+ qdy = 0,
pois γ1 e −γ2 tem os mesmos pontos inicial e final.
Teorema 12 Sejam G um aberto conexo de C, γ um caminho em G, e p, q : G −→ C funções cont́ınuas. A
integral de linha
∫
γ
pdx+ qdy depende apenas dos pontos inicial e final de γ, se e só se existe
U = U(x, y) : G −→ C tal que ∂U
∂x
= p, e
∂U
∂y
= q
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Demo A suficiência é imediata: Se existe U = U(x, y) definida em G tal que
∂U
∂x
= p, e
∂U
∂y
= q, e se o
intervalo do parâmetro de γ é [a, b], então temos que:∫
γ
pdx+ qdy =
∫ b
a
(
∂U
∂x
x′(t) +
∂U
∂y
y′(t)
)
dt =
∫ b
a
d
dt
(U(x(t), y(t))) dt = U(x(b), y(b))− U(x(a), y(a)),
o que mostra que a integral só depende dos pontos inicial e final.
Necessidade Fixe um ponto qualquer z0 = (x0, y0) ∈ G; como G é conexo, podemos ligar um outro ponto
qualquer z = (x, y) ao ponto fixado por uma poligonal, e, podemos se necessário determinar que cada trecho
desta poligonal seja paralelo a um dos eixos coordenados, e em particular, o trecho final pode ser horizontal ou
vertical, como na figura abaixo .
z0
z
x
y
z0
z
x
y
Vejamos primeiro o caso em que o caminho termina em um trecho na horizontal. Como a integral de linha
depende apenas dos pontos inicial e final do caminho de integração, se γ é qualquer caminho em G, ligando z0
a z, a expressão
U(z) = U(x, y) =
∫
γ
pdx+ qdy,
define uma função em G. Escolhendo uma poligonal ligando z0 a z com o último trecho horizontal, teremos
U(x, y) =
∫ x
p(t, y)dt+ constante, donde
∂U(x, y)
∂x
= p(x, y). Da mesma forma, se a poligonal ligando z0 a z
tem seu último trecho na vertical, então, U(x, y) =
∫ y
q(x, t)dt+ constante, logo,
∂U(x, y)
∂y
= q(x, y).
Definição 18 Se existe U tal que
∂U(x, y)
∂x
= p(x, y) e
∂U(x, y)
∂y
= q(x, y), diremos que p(x, y)dx+ q(x, y)dy
é uma forma diferencial exata.
Em resumo:∫
γ
pdx+ qdy depende apenas dos pontos inicial e final de γ, se e só se pdx+ qdy é uma forma diferencial exata.
Cabem aqui duas observações:
1 – Se U como no teorema existe, ela é única, a menos de adição de constante.
2 – As funções p, q, U , podem ser reais ou complexas.
Pergunta: Dada f cont́ınua em G, em que condiçõesf(z)dz é uma diferencial exata?
Observe que f(z)dz = f(z)dx + if(z)dy, portanto, esta forma diferencial é exata se e só se
∂F
∂x
= f(z)
e
∂F
∂y
= if(z), ou, equivalentemente,
∂F
∂x
= −i∂F
∂y
, logo, f é cont́ınua e F satisfaz as equações de Cauchy-
Riemann, donde F é holomorfa em G com F ′ = f .
Resposta: Se f é cont́ınua em G então f(z)dz é exata se e somente se f é a derivada de uma função holomorfa
em G.
Como exemplo, já vimos, a menos de translação(a = 0) que∫
|z−a|=R
(z − a)ndz =
{
0, n ̸= −1
2πi, n = −1 ,
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portanto não existe função holomorfa f definida em uma vizinhança de a, com a removido, tal que f ′(z) =
1
z − a
nesta vizinhança.
Um outro exemplo: Se n ∈ Z, n ̸= −1, então (z − a)n =
(
(z−a)n+1
n+1
)′
, e z 7→ (z−a)
n+1
n+1 é uma função holomorfa
em C \ {a}, se n < 0 e holomorfa em C se n ≥ 0, portanto∫
γ
(z − a)ndz =
{
0, −1 ̸= n < 0 para toda curva fechada γ que não passa por a
0, n ≥ 0 para toda curva fechada γ ,
Exemplos
1 – Calcular
∫
|z|=2
2dz
z2 − 1
.
Por enquanto não temos muitas alternativas para fazer este cálculo, a não ser o teorema 1. Note que
2
z2 − 1
=
1
z − 1
− 1
z + 1
. Olhando formalmente o segundo membro desta última igualdade,vemos que é igual a derivada de
log
(
z − 1
z + 1
)
, e, onde existir um ramo holomorfo desta multifunção, a igualdade deixa de ser formal para ser real.
Ora, anteriormente vimos que existe um ramo holomorfo de log
(
z − 1
z + 1
)
em C \ [−1, 1], logo a curva fechada
|z| = 2 está contida em C \ [−1, 1], portanto,∫
|z|=2
2dz
z2 − 1
=
∫
|z|=2
[
log
(
z − 1
z + 1
)]′
dz = 0.
2 – Calcular
∫
|z|=1
|z − 1||dz|.
Usando a parametrização, z(t) = eit = cos t+ i sen t, t ∈ [0, 2π], obtemos,∫
|z|=1
|z − 1||dz| =
∫ 2π
0
√
(cos t− 1)2 + sen2 tdt =
∫ 2π
0
√
2(1− cos t)dt = 8.
3 – Calcular
∫
|z|=r
xdz.
Use a parametrização natural de |z| = r para calcular esta integral. Aqui faremos este cálculo de um modo
diferente.
Observe que x =
z + z
2
=
1
2
(
z +
r2
z
)
. Consequentemente,∫
|z|=r
xdz =
∫
|z|=r
1
2
(
z +
r2
z
)
dz =
1
2
∫
|z|=r
zdz +
1
2
∫
|z|=r
r2
z
dz =
1
2
× 0 + r
2
2
× 2πi = r2πi.
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