Continue navegando
Prévia do material em texto
CÁLCULO NUMÉRICO Aula 1 – Introdução ao Programa de Computação Numérica PROF. Reinaldo Camargo Reinaldo.camargo@estacio.br AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO EMENTA Introdução ao programa de computação numérica. Erros. Zeros de funções. Resolução de sistemas de equações lineares. Aproximação. Integração numérica. Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias. AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO UNIDADE 1 - Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) 1.1 Operações Aritméticas (Escalares, Vetores e Matrizes) 1.2 Gráficos 1.3 Programação Estruturada 1.4 Funções UNIDADE 2 - Teoria dos Erros 2.1.Origem - Erros de Arredondamento e Truncamento 2.2.Propagação de Erros UNIDADE 3 - Solução de Equações Transcendentes e Polinomiais - Raízes de equações 3.1.Introdução - Identificação de Métodos Numéricos 3.2.Métodos de Intervalos (Bisseção e Falsa Posição) 3.3.Métodos de Aproximação (Newton-Raphson e Ponto Fixo) 3.4.Método da Secante CONTEÚDOS AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO CONTEÚDOS UNIDADE 4 - Sistemas de Equações Lineares 4.1.Métodos Diretos (Gauss-Jordan e Decomposição LU) 4.2.Métodos Iterativos (Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel) 4.3.Implementação e Aplicação com apoio de PCN UNIDADE 5 - Aproximação de Funções 5.1.Interpolação Polinomial (Métodos de Lagrange e Newton) 5.2.Ajuste de Funções (Funções Polinomiais e Linearizáveis) 5.3.Implementação e Aplicação com apoio de PCN UNIDADE 6 - Integração Numérica 6.1 Métodos de Interpolação (Newton-Cotes: Retângulos, Trapézios, Regras de Simpson) 6.2. Métodos de extrapolação: Método de Romberg 6.3 Implementação e Aplicação com apoio de PCN UNIDADE 7 - Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de 1a. Ordem. 7.1 Modelos Dinâmicos; Métodos de Euler 7.2 Método de Runge-Kutta (1a. e 2a. Ordens) 7.3 Implementação e Aplicação com apoio de PCN AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO • AV1, AV2, AV3 • Média >= 6,0 • 2 Av’s com nota >= 4 para não reprovar direto na disciplina • Trabalhos individuais e em grupo • BARROSO, Leônidas Conceição et al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987. • ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo: Thomson Learning, 2008. • RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2006. BIBLIOGRAFIA BÁSICA AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO • AV1, AV2, AV3 • Média >= 6,0 • 2 Av’s com nota >= 4 para não reprovar direto na disciplina • Trabalhos individuais e em grupo • BARROSO, Leônidas Conceição et al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987. BIBLIOGRAFIA BÁSICA AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO • ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo: Thomson Learning, 2008. • RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2006. AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO RESUMO DESTA AULA Identificar e executar as operações aritméticas: Escalares; Vetores; Matrizes; Identificar os tipos de funções e seus respectivos gráficos; AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO VETORES – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA y x ),( bav a b y x ),,( cbav a b c z jbia .. v kcjbia ... v AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM VETORES. • MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR: Seja o vetor v (a,b,c) e o escalar real a. O vetor a.v é dado por (a.a, a.b, a.c) Ex.Se o vetor v é (1,2), o vetor 5.v será (5,10) y x )2,1(v 1 2 y x )10,5(v 5 10 AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM VETORES. • ADIÇÃO: Sejam os vetores v (a,b,c) e u (d,e,f). O vetor soma u + v = v + u = (a+d, b+e, c+f). = prop comutativa Graficamente, temos que: v u vu v u vu Polígono Paralelogramo AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM MATRIZES. Considere uma tabela com m linhas e n colunas em que cada elemento que ocupa a “i-ésima” linha e a “j-ésima” coluna é denominado aij 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A Matriz com 3 linhas e 3 colunas. Matriz quadrada de ordem 3. AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM MATRIZES. Multiplicação de uma matriz A por um escalar real a. Seja a matriz Am x n. O produto de a por A, isto é, a.A é igual à multiplicação de cada elemento aij por a. 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 333231 232221 131211 ... ... ... . aaa aaa aaa A aaa aaa aaa a AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM MATRIZES. Adição de matrizes – para que esteja definida entre duas matrizes Am x n e Bp x q é necessário que m = p e n = q. Para encontrar a matriz C = A + B, basta adicionar os elementos respectivos, isto é, cij = aij + bij 333332323131 232322222121 131312121111 333231 232221 131211 333231 232221 131211 bababa bababa bababa bbb bbb bbb aaa aaa aaa AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM MATRIZES. Produto de matrizes – para que esteja definida entre duas matrizes Am x n e Bp x q é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz, isto é, n = p. A matriz produto terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda, isto é, m linhas e q colunas. Observe: A3x4 . B4x5 = C3x5 AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM MATRIZES. Produto de matrizes – Uma vez que esta operação esteja definida, cada elemento cij seráformado pela multiplicação dos elementos da linha i da matriz A pelos correspondentes elementos da coluna j da matriz B. Exemplo. c32 = a31.b12 + a32.b22+a33.b32 244241 3231 2221 1211 233231 2221 1211 34434241 333231 232221 131211 . x x x cc cc cc cc bb bb bb aaa aaa aaa aaa AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM MATRIZES. Dado as matrizes A = (aij)4x3, e B = (bij)3x4, pergunta-se: É possível calcular o produto AxB? Qual seria o resultado? AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO OPERAÇÕES COM MATRIZES. PROPRIEDADES: • Em regra, Se A.B = B.A diz-se que A e B comutam; • A.I = A, I – matriz identidade • A.(B+C) = A.B + A.C - distributiva à esquerda • (B+C).A = B.A + C.A - distributiva à direita • A.(B.C) = (A.B).C – associativa • A.0 = 0, sendo 0, a matriz nula. ABBA .. AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 (PETROBRÁS - engenheiro) Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a: (PETROBRÁS - Engenheiro) Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a? SOLUÇÃO: • Multiplicação de um escalar por um vetor: 3u = 3.(1,2) = (3,6) • Adição/subtração de vetores: 3u – v = (3,6) – (-2,5) = (5,1) = w = (x,y) • Por comparação, x = 5 e y = 1. Logo, x + y = 6 AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Considere as seguintes matrizes: M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe. Para que seja possível determinar M+N, MxP e P-Q, quais os valores de a, b, c, d, e ? SOLUÇÃO: • ADIÇÃO: M2x3 + Naxb a = 2 e b = 3 • MULTIPLICAÇÃO: M2x3.Pcx4 c = 3 • SUBTRAÇÃO: Pcx4 – Qdxe e = 4 e c =d = 3 AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO FUNCÕES ELEMENTARES Suponha dois conjuntos A e B. Diz-se que f: A B é uma função se para todo elemento x A existe um único elemento y B. Observe. f: x x+3 domínio • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 f Imagem Contradomínio AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO FUNCÕES ELEMENTARES Graficamente, podemos identificar se uma curva é uma função traçando retas verticais. Se as retas cortarem em apenas um único ponto a curva, é uma função. x y É função y Não é função x AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO FUNCÕES ELEMENTARES - FUNÇÕES POLINOMIAIS • f(x) = an.x n + an-1.x n-1 + an-2.x n-2 + ...+ a2.x 2 + a1.x + a0 • As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo, ou seja, a interseção do gráfico com o eixo x. •P(X) = 4x5 + 2x4 – 6 P(1) = 0 x y AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO TEOREMA DE BOLZANO Ex. (-1,7) Considere um intervalo (a,b) do domínio da função f(x). • Se f(a).f(b) > 0, existe um número par de raízes reais no intervalo (a,b); • Se f(a).f(b) < 0, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (a,b). x y a b f(a) f(b) AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 Seja a função polinomial f(x) = 2x3 - 12x2 -3x + 8. Mostre que existe ao menos uma raiz real no intervalo (0, 1) da equação f(x) = 0. SOLUÇÃO: f(0) = 2.(0)3 – 12.(0)2 -3.(0) + 8 = 8 f(1) = 2.(1)3 – 12.(1)2 -3.(1) + 8 = -5 Pelo Teorema de Bolzano, como f(0).f(1) < 0, podemos inferir que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (0,1). AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE • Se x2 > x1 f(x2) > f(x1) diz-se que a função é estritamente crescente; • Se x2 > x1 f(x2) < f(x1) diz-se que a função é estritamente decrescente. x y x1 x2 f(x2) f(x1) x y x1 x2 f(x1) f(x2) AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO FUNÇÕES ELEMENTARES. • Função afim / linear: y = a.x + b • Função quadrática: y = a.x2 + b.x + c • Função exponencial: y = ax • Função Logarítmica: y = Logb(x) • Função seno: y = sen(x) • Função co-seno: y = cos(x) • Função tangente: y = tg(x) AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO GRÁFICOS – FUNÇÃO AFIM y x y x Crescente / a > 0 Decrescente / a < 0 b b x = -b/a x = -b/a AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO GRÁFICOS – FUNÇÃO DO 20 GRAU y x a > 0 c Raízes reais Vértice y x a < 0 c Raízes reais Vértice AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO GRÁFICOS – FUNÇÃO EXPONENCIAL y x a > 1 (0,1) Crescente y x 0 <a < 1 Decrescente (0,1) AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO GRÁFICOS – FUNÇÃO SENO y x 1 -1 p/2 p 3p/2 2p Período principal : 2p AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO GRÁFICOS – FUNÇÃO CO-SENO y x 1 -1 p/2 p 3p/2 2p Período principal : 2p AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO GRÁFICOS – FUNÇÃO TANGENTE y x p/2p 3p/2 -p/2 Período principal : p -p -3p/2 AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA CÁLCULO NUMÉRICO RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: As operações aritméticas: Escalares; Vetores; Matrizes; Os tipos de funções e seus respectivos gráficos.
Materiais relacionados
Perguntas relacionadas
