Aula 05 (Cálculo II Semestre 2015.1)

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Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
1 
AULA 05 – Integral Definida 
Geometricamente, a integral definida dada por 
   
i
b n
*
i i
máx x 0
i 1a
f x dx lim f x x
 

 
 (1) 
representa a área entre 
 y f x
 e o eixo das abscissas no intervalo 
 a,b
, se 
 f x 0
. No 
caso da função 
f
 admitir valores positivos e negativos, a integral definida representa a área 
líquida com sinal entre 
 y f x
 e o eixo das abscissas no intervalo 
 a,b
. 
Em casos mais simples, as integrais definidas podem ser calculadas usando 
fórmulas de geometria plana para computar as áreas com sinal. 
 
Exemplo 1. Esboce a região cuja área está representada pela integral definida e calcule a 
integral usando uma fórmula apropriada da geometria plana. 
(a) 2
2
2
4 x dx


 (b) 
 
2
1
x 1 dx


 
 
Solução (a). O gráfico representado pela integral definida é o semicírculo superior de raio 
2
 e 
centro na origem, como mostrado na Fig. 1. 
Figura 1 – Representação gráfica da região do item (a) 
 
 
 
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2 
Logo, a integral definida é numericamente igual à área do semicírculo, isto é, 
 
2
22
2
1
4 x dx 2 2
2

    
 
Solução (b). O gráfico representado pela integral definida é mostrado na Fig. 2. 
Figura 2 – Representação gráfica da região do item (b) 
 
 
 
De acordo com a Fig. 2 têm-se duas regiões, uma acima do eixo 
x
, 
1S
, e outra 
abaixo do eixo 
x
, 
2S
. Então, 
1
1 1 1
S
2 2

 
 e 
2
2 2
S 2
2

 
 
Logo, pode-se concluir que, 
 
2
1 2
1
1 3
x 1 dx S S 2
2 2

     
 
 
Exemplo 2. Ache o valor da integral 3
0
x dx
. 
 
 
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3 
Solução. A integral definida é numericamente igual à área do triângulo ilustrado na Fig. 3. 
Figura 3 – Representação gráfica do triângulo 
 
Logo, pode-se concluir que 
3
0
3 3 9
2 2
x dx

 
 
 
Definição 1. Tem-se, por definição, 
(a) Se 
a
 estiver no domínio da função 
f
, define-se 
 
a
a
f x dx 0
 (2) 
(b) Se 
f
 for integrável em 
 a,b
, então, define-se 
   
b a
a b
f x dx f x dx 
 (1) 
 
 
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Teorema 1. Se 
f
 e 
g
 forem integráveis em 
 a,b
 e se 

 for uma constante, então 
f
, 
f g
 
e 
f g
 são integráveis em 
 a,b
, e 
   
b b
a a
f x dx f x dx  
 (3a) 
       
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx      
 (3b) 
 
Corolário 1.1. Sejam as funções 
1f
, 
2f
,... , 
nf
 integráveis em 
 a,b
, e 
1
, 
2
,..., 
n
 
constantes reais, então a combinação 
1 1 2 2 n nf f f   
 é integrável em 
 a,b
, e 
       
b a a
1 1 n n 1 1 n n
a b b
f x f x dx f x dx f x dx         
 (4) 
 
Teorema 2. Se 
f
 for integrável em um intervalo fechado contendo os pontos 
a
, 
b
 e 
c
, então 
     
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx   
 (5) 
não importando como os pontos estão ordenados. 
 
Teorema 3. 
(a) Se 
f
 for integrável em 
 a,b
 e 
 f x 0
 para todo 
 x a,b
, então 
 
b
a
f x dx 0
 (6a) 
(a) Se 
f
 e 
g
 forem integráveis em 
 a,b
 e 
   f x g x
 para todo 
 x a,b
, então 
 
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5 
   
b b
a a
f x dx g x dx 
 (6b) 
 
Definição 2. Diz-se que uma função 
f
 é limitada em um intervalo 
I
, se existir um número 
positivo 
M
 tal que 
 M f x M  
 (7) 
para todo 
x I
. Geometricamente, isso significa que o gráfico de 
f
 no intervalo 
I
 fica entre 
as retas 
y M
 e 
y M
. 
 
Teorema 4. Seja 
f
 uma função definida em todos os pontos de um intervalo finito fechado 
 a,b
. Assim, 
(a) Se 
f
 for contínua em 
 a,b
, então 
f
 é integrável em 
 a,b
. 
(b) Se 
f
 tiver um número finito de descontinuidades em 
 a,b
, mas for limitada em 
 a,b
, 
então 
f
 é integrável em 
 a,b
. 
(c) Se 
f
 não for limitada em 
 a,b
, então 
f
 não é integrável em 
 a,b
.