aula 4

Prévia do material em texto

Princípios de Mecânica e 
Resistência dos materiais 
 
Prof. Marcus Oliveira Filho 
 
 
 
Aula 4 
 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá, caro aluno! 
Seja bem-vindo à quarta aula de Princípios de Mecânica e 
Resistência dos Materiais. 
Nesta aula veremos quais são as forças internas desenvolvidas em 
membros estruturais, além de conhecermos quais são os métodos 
empregados para determiná-las. Estudaremos vigas mais a fundo e 
aprenderemos a calcular os esforços cortantes e momentos fletores que agem 
sobre elas. Por fim, conheceremos os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor e como podemos construí-los. 
Antes de começar, assista à introdução do professor Marcus Oliveira 
Filho sobre este tema no vídeo disponível no material on-line! 
 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Vigas são elementos estruturais extensivamente utilizados na 
construção civil. Essas estruturas, que são capazes de suportar cargas 
elevadas em direções perpendiculares a seus eixos, devem ser 
dimensionadas corretamente para que ofereçam condições de segurança. 
Historicamente, projetos subdimensionados já provocaram acidentes 
catastróficos, acarretando em perdas de vidas humanas e prejuízos 
financeiros. 
Por outro lado, as vigas não devem ser superdimensionadas, pois isso 
eleva os custos desnecessariamente. É necessário um conhecimento preciso 
das cargas atuantes e dos esforços internos desenvolvidos nestas estruturas 
para poder projetá-las de forma segura e inteligente. 
Você sabe os métodos que os engenheiros usam para determinar 
as forças internas que atuam nas vigas? 
PESQUISE 
 
Forças internas desenvolvidas em membros estruturais 
Para projetar um membro estrutural ou mecânico, é preciso conhecer 
a carga que atua dentro do membro, a fim de garantir que o material possa 
resistir a essa carga. Para tal, utilizamos o método das seções, que consiste 
em passar uma seção imaginária pelo elemento, expondo as cargas internas 
como se fossem externas no diagrama de corpo livre. Considere o seguinte 
exemplo: 
 
Após o corte na seção transversal 𝑎-𝑎, temos os seguintes DCL: 
 
A componente de força 𝑁𝐵, que atua perpendicular à seção transversal 
é chamada de força normal. A componente da força 𝑉𝐵 que é tangente à 
seção transversal é chamada de esforço cortante, e o momento de binário 
𝑀𝐵 é conhecido como momento fletor. 
 
 
 
As componentes de força impedem a translação relativa entre os dois 
segmentos, e o momento de binário impede a rotação relativa. Essas cargas 
podem ser determinadas aplicando as equações de equilíbrio ao DCL de 
qualquer um dos segmentos. 
Devemos optar pelo segmento que tenha um menor número de 
incógnitas para facilitar os cálculos. No caso anterior, por exemplo, o 
segmento da direita seria mais apropriado, pois não envolve as reações 
de apoio incógnitas em 𝐴. 
 
 
Convenção de sinal 
Os engenheiros geralmente usam uma convenção de sinal para 
informar as três cargas internas 𝑁, 𝑉 e 𝑀. Embora essa convenção de sinal 
possa ser atribuída arbitrariamente, utilizaremos a mais aceita: 
1. Força normal 
É considerada positiva se criar tração: 
 
2. Esforço cortante 
Será positivo quando faz com que o segmento da viga sobre o qual atua 
gire no sentido horário: 
 
3. Momento fletor 
É positivo quando tende a curvar o segmento no qual atua de uma maneira 
côncava para cima: 
 
As cargas opostas a esta são consideradas negativas. 
 
 
 
 
 
 
Procedimento para análise 
O método das seções pode ser usado para determinar as cargas 
internas sobre a seção transversal de um membro usando o procedimento a 
seguir: 
 Reações de suporte 
Antes que o membro seja seccionado, pode ser preciso determinar suas 
reações de apoio. 
 Diagrama de corpo livre 
Mantenha todas as cargas distribuídas e os momentos de binário e forças 
que atuam sobre o membro em seus locais exatos. Depois, faça uma 
seção imaginária pelo membro, perpendicular ao seu eixo, no ponto onde 
as cargas internas devem ser determinadas. 
Depois que a secção for feita, desenhe um DCL do segmento que tem o 
menor número de cargas sobre ele e indique as componentes das 
resultantes da força e do momento de binário na seção transversal que 
atua em suas direções positivas, conforme a convenção de sinal 
estabelecida. 
 Equações de equilíbrio 
Os momentos devem ser somados na seção. Desse modo, as forças 
normal e cortante são eliminadas, e podemos obter uma solução direta 
para o momento. Se a solução das equações de equilíbrio gerar um 
escalar negativo, o sentido da quantidade é oposto ao que é mostrado no 
DCL. 
Vamos assistir à videoaula para que os conceitos fiquem mais claros! 
Acesse o material on-line. 
 
 
 
 
Exemplos resolvidos de forças internas 
Nesta seção, veremos dois exemplos resolvidos sobre o cálculo de 
forças internas desenvolvidas em membros estruturais: 
Exemplo 1: 
Determine a força normal, o esforço cortante e o momento fletor que 
atuam no ponto 𝐵 da estrutura de dois membros, como mostrado na imagem: 
 
1ª etapa – Reações de apoio: um DCL de cada membro é mostrado 
na figura: 
 
 
 
Como 𝐶𝐷 é um membro com duas forças, as equações de equilíbrio 
precisam ser aplicadas apenas ao membro 𝐴𝐶: 
∑𝑀𝐴 = 0; −50(8)(4) +
3
5
𝐹𝐷𝐶(8) = 0 
𝐹𝐷𝐶 = 333,3 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑥 = 0; −𝐴𝑥 +
4
5
(333,3) = 0 
𝐴𝑥 = 266,7 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0; 𝐴𝑦 − 400 +
3
5
(333,3) = 0 
𝐴𝑦 = 200 𝑘𝑁 
 
2ª etapa – Diagramas de corpo livre: passando um corte imaginário 
perpendicular ao eixo do membro 𝐴𝐶 através do ponto 𝐵, geram-se os DCL 
dos segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶. 
 
Ao construir esses diagramas, é importante manter a carga distribuída 
onde ela se encontra até depois que o corte for feito. Somente depois ela 
poderá ser substituída por uma única força resultante. 
 
3ª etapa – Equações de equilíbrio: aplicando as equações de 
equilíbrio ao segmento 𝐴𝐵, temos: 
∑𝐹𝑥 = 0; 𝑁𝐵 − 266,7 = 0 
𝑁𝐵 = 266,7 𝑘𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0; 200 − 200 − 𝑉𝐵 = 0 
𝑉𝐵 = 0 
∑𝑀𝐵 = 0; 𝑀𝐵 − 200(4) + 200(2) = 0 
𝑴𝑩 = 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑵. 𝒎 
 
Exemplo 2: 
Determine a força normal, o esforço cortante e o momento fletor que 
atuam no ponto 𝐸 da estrutura carregada: 
 
1ª etapa – Reações de apoio: Por inspeção, os membros 𝐴𝐶 e 𝐶𝐷 são 
membros de duas forças: 
 
 
 
Para obter 𝑅, precisamos analisar o equilíbrio do pino em 𝐶: 
 
∑𝐹𝑦 = 0; 𝑅 𝑠𝑒𝑛 45
𝑜 − 600 = 0 
𝑅 = 848,5 𝑁 
 
2ª etapa – Diagrama de corpo livre: constrói-se o DCL do segmento 
𝐶𝐸: 
 
3ª etapa – Equações de equilíbrio: 
∑𝐹𝑥 = 0; 848,5 cos 45
𝑜 − 𝑉𝐸 = 0 
𝑉𝐸 = 600 𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0; −848,5 𝑠𝑒𝑛 45
𝑜 + 𝑁𝐸 = 0 
𝑁𝐸 = 600 𝑁 
∑𝑀𝐸 = 0; 848,5 cos 45
𝑜(0,5) − 𝑀𝐸 = 0 
𝑀𝐸 = 300 𝑁. 𝑚 
 
Vamos assistir à videoaula com o professor Marcus Oliveira Filho para 
compreendermos a resolução de mais um problema! Acesse o material on-
line! 
 
 
Equações e diagramas de esforço cortante e momento fletor 
Vigas são membros estruturais projetados para suportar cargas 
aplicadas perpendiculares aos seus eixos. Em geral, elas são longas e retas, 
possuindo uma área da seção transversal constante. 
O projeto real de uma viga requer um conhecimento detalhado da 
variação do esforço cortante 𝑉 e do momento fletor 𝑀 interno atuando em 
cada ponto ao longo do eixo da viga. 
Normalmente, a força normal interna não é considerada por dois 
motivos: 
1. Normalmente,as cargas aplicadas a uma viga atuam perpendicularmente 
ao eixo da viga (produzem apenas esforço cortante e momento fletor). 
 
 
1. Para fins de projeto, a resistência da viga ao cisalhamento e flexão é mais 
importante do que sua capacidade de resistir a uma força normal. 
As variações de 𝑉 e 𝑀 ao longo do eixo da viga podem ser obtidas 
usando o método das seções apresentado no início desta aula. Para isso, é 
necessário seccionar a viga a uma distância arbitrária 𝑥 a partir de uma 
extremidade e depois aplicar as equações de equilíbrio ao segmento, tendo o 
comprimento 𝑥. Assim, obtemos 𝑉 e 𝑀 como funções de 𝑥. 
Em geral, as funções de esforço cortante e momento fletor interno são 
descontínuas, ou suas inclinações serão descontínuas, em pontos onde uma 
carga distribuída varia ou onde forças ou momentos de binário concentrados 
são aplicados. Por causa disso, essas funções precisam ser determinadas 
para cada segmento da viga localizado entre duas descontinuidades de carga 
quaisquer. 
Considere a viga abaixo: 
 
Os segmentos com comprimentos 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 terão que ser usados para 
descrever a variação de 𝑉 e 𝑀 ao longo do comprimento da viga. 
Essas funções serão válidas apenas dentro das regiões: 
 De 𝑂 até 𝑎, para 𝑥1. 
 De 𝑎 até 𝑏, para 𝑥2. 
 De 𝑏 até 𝐿, para 𝑥3. 
Se as funções resultantes de 𝑥 forem desenhadas, os gráficos serão 
chamados de diagrama de esforço cortante e diagrama de momento 
fletor, conforme as figuras abaixo: 
 
O uso destes diagramas é conveniente porque possibilita a rápida 
visualização de toda a informação de forças internas às quais as vigas estão 
sujeitas. O projetista pode, assim, saber quais são os pontos mais críticos da 
viga e dimensioná-la de forma a atender às condições de uso seguro. 
 
Procedimento para análise 
Os diagramas de esforço cortante e momento fletor para uma viga 
podem ser construídos usando o procedimento a seguir: 
 Reações de apoio 
 Determine todas as forças e momentos de binário reativos que atuam 
sobre a viga e decomponha todas as forças em componentes que 
atuam perpendicular e paralelamente ao eixo da viga (eixos 𝑥 e 𝑦). 
 Funções de esforço cortante e momento 
 Especifique coordenadas separadas 𝑥 tendo uma origem na 
extremidade esquerda da viga e estendendo-se para regiões da viga 
entre forças e/ou momentos de binário concentrados, ou onde a carga 
distribuída é contínua; 
 
 
 Seccione a viga a cada distância 𝑥 e desenhe o DCL de um dos 
segmentos. Certifique-se que 𝑉 e 𝑀 apareçam atuando em seu 
sentido positivo, de acordo com a convenção de sinal vista nos temas 
anteriores; 
 O esforço cortante 𝑉 é obtido somando-se as forças perpendiculares 
ao eixo da viga; 
 O momento fletor 𝑀 é obtido somando-se os momentos em relação à 
extremidade seccionada do segmento. 
 Diagramas de esforço cortante e momento fletor 
 Construa o gráfico do diagrama do esforço cortante (𝑉 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥) e o 
diagrama de momento fletor (𝑀 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥). Se os valores calculados 
das funções descrevendo 𝑉 e 𝑀 forem positivos, os valores são 
desenhados acima do eixo 𝑥, enquanto os valores negativos são 
desenhados abaixo do eixo 𝑥; 
 Geralmente, é conveniente fazer os gráficos dos diagramas de 
esforço cortante e momento fletor diretamente abaixo do DCL da viga. 
 
Vamos conferir mais exemplos? Acesse o material on-line! 
 
Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento fletor 
Se uma viga está sujeita a várias forças concentradas, momentos de 
binário e cargas distribuídas, o método de construção dos diagramas de 
esforço cortante e momento fletor apresentado no tema anterior não se 
mostram convenientes. 
Apresentaremos um método mais simples para construir esses 
diagramas, baseado nas relações diferenciais que existem entre a carga, o 
esforço cortante e o momento fletor. 
Considere a viga 𝐴𝐷: 
 
Na discussão a seguir, a carga distribuída será considerada positiva 
quando a carga age para cima, conforme mostrado. Um DCL para um 
pequeno segmento da viga tendo um comprimento ∆𝑥 é escolhido em um 
ponto 𝑥 ao longo da viga, que não está sujeito a uma força ou momento de 
binário concentrado: 
 
Observe que tanto a força cortante como o momento fletor que atuam 
sobre a face direita precisam ser aumentados por uma pequena quantidade 
finita a fim de manter o segmento em equilíbrio. A carga distribuída foi 
substituída por uma força resultante ∆𝐹 = 𝑤(𝑥)∆𝑥, que atua a uma distância 
fracionária 𝑘(∆𝑥) a partir da extremidade direita (𝑘 varia entre 0 e 1). 
 
 
 
Relação entre a carga distribuída e o esforço cortante 
Aplicando a equação de equilíbrio no eixo 𝑦 a este segmento de viga, 
encontramos: 
∆𝑉 = 𝑤(𝑥)∆𝑥 
Dividindo por ∆𝑥 e fazendo ∆𝑥 → 0, obtemos: 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 𝑤(𝑥) 
∆𝑉 = ∫ 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 
Ou seja, a variação no esforço cortante é igual à área sob a curva de 
carregamento. 
 
Relação entre o esforço cortante e o momento 
De forma análoga à dedução anterior, se aplicarmos a equação de 
equilíbrio de momentos em relação ao ponto 𝑂 do DCL do segmento da viga, 
encontramos: 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 
∆𝑀 = ∫ 𝑉 𝑑𝑥 
Ou seja, a variação no momento fletor é igual à área sob o diagrama 
de esforço cortante. 
Como dissemos anteriormente, as equações que vimos não se aplicam 
em pontos onde atuam uma força ou momento de binário concentrados. 
Essas duas situações especiais criam descontinuidades nos diagramas de 
esforço cortante e momento fletor, conforme demonstraremos adiante. 
 
Força concentrada 
Um DCL de um segmento pequeno da viga, tomado sob a uma das 
forças, é mostrado na figura: 
 
Pelo equilíbrio de forças em 𝑦, obtemos: 
∆𝑉 = 𝐹 
Como a variação no esforço cortante é positiva, o diagrama de esforço 
cortante saltará para cima quando 𝐹 atuar para cima na viga. De modo 
semelhante, o salto no esforço cortante (∆𝑉) é para baixo quando 𝐹 atua para 
baixo. 
 
Momento de binário concentrado 
Selecionando-se um segmento de viga que está localizado no 
momento de binário 𝑀𝑜: 
 
 
 
E fazendo ∆𝑥 → 0, o equilíbrio de momento requer: 
∆𝑀 = 𝑀𝑜 
Portanto, a variação no momento é positiva, ou o diagrama do 
momento saltará para cima se 𝑀𝑜 estiver no sentido horário. De modo 
semelhante, o salto ∆𝑀 é para baixo quando 𝑀𝑜 está em sentido anti-horário. 
Eis alguns tópicos que você deve sempre lembrar: 
 A inclinação do diagrama de esforço cortante em um ponto é igual à 
intensidade da carga distribuída, onde a carga distribuída positiva é 
para cima, ou seja, 𝑑𝑉 𝑑𝑥 = 𝑤(𝑥)⁄ . 
 Se uma força concentrada atua para cima na viga, o esforço cortante 
saltará para cima com a mesma quantidade. 
 A variação no esforço cortante ∆𝑉 entre dois pontos é igual à área sob 
a curva de carga distribuída entre os pontos. 
 A inclinação do diagrama de momento fletor em um ponto é igual ao 
esforço cortante, ou seja, 𝑑𝑀 𝑑𝑥⁄ = 𝑉. 
 A variação no momento ∆𝑀 entre dois pontos é igual à área sob o 
diagrama de esforço cortante entre os dois pontos. 
 Se um momento de binário no sentido horário atuar sobre a viga, o 
esforço cortante não será afetado; porém, o diagrama de momento 
fletor saltará para cima com a mesma quantidade. 
 Os pontos de esforço cortante zero representam os pontos de 
momento fletor máximo ou mínimo, pois 𝑑𝑀 𝑑𝑥⁄ = 0. 
 Se a curva de carga 𝑤 = 𝑤(𝑥) for um polinômio de grau 𝑛, 𝑉 = 𝑉(𝑥) 
será uma curva de grau 𝑛 + 1 e 𝑀 = 𝑀(𝑥) será uma curva de grau 
𝑛 + 2, pois duas integrações de 𝑤 = 𝑤(𝑥) estão envolvidas. 
 
Confira mais alguns exemplosque o professor Marcus Oliveira Filho 
nos apresentará no material on-line! 
 
NA PRÁTICA 
O fabricante de um trampolim estabelece que a massa máxima 
suportada pelo trampolim é de 150 𝑘𝑔 – pessoas mais pesadas do que isto 
não podem utilizar a prancha por motivos de segurança. Sabendo que a 
prancha tem 2,5 𝑚 de comprimento, construa os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor para a situação crítica e determine qual é o 
momento fletor máximo suportado pela prancha. Caso o limite máximo de 
peso não seja respeitado, em qual ponto a prancha irá quebrar? 
Para resolver este problema, é necessário criar um modelo 
bidimensional, considerando a prancha uma viga com uma extremidade livre 
e a outra extremidade fixa (também chamada de viga em balanço). O peso da 
pessoa deve ser representado como um vetor de força para baixo, e a 
situação crítica ocorre quando este vetor está posicionado na extremidade 
livre da prancha. 
Com o modelo construído, você deve fazer um DCL da prancha e 
determinar as reações de apoio. Estando em posse dessas informações, 
utilize um dos dois métodos apresentados nesta aula para construir os 
diagramas de esforço cortante e momento fletor da prancha. O ponto que tiver 
o maior momento fletor é o ponto da prancha que tem a maior chance de 
quebrar. 
Não esqueça de considerar a aceleração da gravidade para encontrar 
o peso da pessoa! 
Não importa a orientação dos eixos utilizada pelo projetista, a resolução 
correta do problema leva às mesmas conclusões! Se você resolveu o 
problema com o trampolim fixo do lado esquerdo e a pessoa do lado direito 
ou vice-versa, não há problema, pois os valores (em módulo) deverão ser 
os mesmos. 
 
 
 
 
 
 
 
Já fez os cálculos? 
Confira, a seguir, a resolução do exercício! 
Primeiramente, criamos um modelo bidimensional do problema: 
 
Sabemos que a massa da pessoa é de 150 𝑘𝑔. Portanto, seu peso é 
𝑃 = 𝑚. 𝑔 = 150(9,81) = 1471,5 𝑁. Em seguida, construímos o DCL da 
prancha: 
 
Aplicamos as equações de equilíbrio: 
∑𝑀𝐵 = 0; 1471,5(2,5) − 𝑀𝑏 = 0 
𝑀𝑏 = 3678,75 𝑁. 𝑚 
∑𝐹𝑦 = 0; −1471,5 + 𝑅𝑏 = 0 
𝑅𝑏 = 1471,5 𝑁 
 
Como não há cargas distribuídas, o diagrama de esforço cortante é 
construído diretamente: 
 
Construímos o diagrama de momento fletor pela da integração da 
função do esforço cortante. Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,5: 
𝑀(𝑥) = ∫ 𝑉(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ −1471,5 𝑑𝑥 
𝑀(𝑥) = −1471,5𝑥 
 
O valor máximo do momento fletor (em módulo) é atingido quando 𝑥 =
2,5: 
𝑀(2,5) = −1471,5(2,5) = −3678,75 𝑁. 𝑚 
O diagrama de momento fletor é, portanto: 
 
Pelo diagrama, o momento fletor máximo suportado pela prancha é de 
𝑀 = −3678,75 𝑁. 𝑚. Caso esse limite não seja suportado, a prancha irá 
quebrar no local de máximo momento fletor, isto é, a extremidade fixa (𝑥 =
2,5 𝑚). 
 
 
SÍNTESE 
 Nesta aula, aprendemos quais são as forças internas desenvolvidas 
em membros estruturais. Estudamos o que são vigas e qual a sua importância, 
além de termos conhecido dois métodos diferentes para construir os 
diagramas de esforço cortante e momento fletor. Esperamos que, agora, você 
esteja apto a compreender, modelar, calcular e resolver problemas reais de 
engenharia que envolvam estes conceitos. 
Para adquirir confiança e corrigir eventuais 
equívocos, é necessária a prática extensiva através de 
exercícios do livro texto, o “Estática – Mecânica para 
Engenharia”! Para acessá-lo, entre no portal ÚNICO! 
 
Até a próxima aula! 
 
 
Referências 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para engenharia. 12. ed. Pearson, 
2011. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica – Estática. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2004.