Atividade estruturada final

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Cálculo Diferencial e Integral 3 
 
Prof. José Roberto Tavares 
Engenharia Elétrica 
junho de 2015 
 
Atividade Estruturada Final- 2015.1 
 
 
 
 
 Tabela de Transformadas de Laplace 
f(t) F(s)= L {f(t)}=



0
st dte f(t)
 
1 1 
s
1
 
2 tn ( n=1,2,...) 
1ns
!n

 
3 t1/2 
2/32s
 
4 eat 
as
1

 
5 tn .e
at ( n=1,2,...) 
1n)as(
!n

 
6 sen bt 
22 bs
b

 
7 cos bt 
22 bs
s

 
8 senh bt 
22 bs
b

 
9 cosh bt 
22 bs
s

 
10 eatsen bt 
22 b)as(
b

 
11 eatcos bt 
22 b)as(
as


 
12 sen2 bt 
)4.(
2
22
2
bss
b

 
13 cos2 bt 
)4.(
2
22
22
bss
bs


 
14 t sen at 
222 )as(
as2

 
15 t cos at 
222
22
)as(
as


 
16 sin at – at cos at 
222
3
)as(
a2

 
17 sin at + at cos at 
222
2
)as(
as2

 
18 
)t(f )n(
 
)0(...)0(')0()( )1(21   nnnn ffsfssFs
 
 
Parte 1: Transformada de Laplace: 
1. Calcule L {5 + 8 t3} se t ≥ 0. 
Gabarito: 
4
485
)(
ss
sF 
 
2. Calcule L {3e3t+5} 
Gabarito: 
4
3
)(
5


s
e
sF
 
3. Calcule L {8 - 4 t5 + 5e2t } se t ≥ 0. 
Gabarito: 
2
54808
)(
6 

sss
sF
 
4. Calcule L {2t3e-4t + 3sen5t} se t ≥ 0. 
Gabarito: 
25
15
)4(
4
)(
23 



ss
sF
 
 
 
Parte 2: Transformada Inversa de Laplace: 
1. Calcule L 
-1
 {
4
3
2 s
} 
 Gabarito: 
tsen2
2
3
 
2. Calcule L 
-1
 {
3)1(
4
s
} 
Gabarito: 
tet 2
 
3. Calcule L 
-1
 {
43
2
2  ss
}. 
Gabarito: 
tt ee
5
2
5
2 4  
 
4. Calcule L 
-1
 {
)2)(1(
3


ss
s
}. 
Gabarito: 
tt ee 22  
 
 
Parte 3: Aplicação da Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial 
 
1. Resolva: 
06'''  yyy
 sendo y(0)=2 e y’(0)= -1. 
Gabarito: 
tt ee 23
5
7
5
3 
 
 
2. Resolva: 
05  y
dx
dy sendo y(0) = 2. 
Gabarito: 
xe52
 
3. Resolva: 
04
2
2
 y
dx
yd sendo y(0) = 2 e y’(0) = 2 . 
Gabarito: 
xsenx 22cos2 
 
 
 
 
4. Resolva: 
teyy '
 sendo y(0)=5. 
Gabarito: 
tet  )5(
 
5. Resolva: 
teyyy 63'2'' 
 sendo y(0) =1 e y’(0) = 3. 
Gabarito: 
ttt eee 3
4
7
4
3
2
3
 
 
 
 
 
Parte 4: Wronskiano 
 
1. Verifique se as funções seguintes são linearmente dependentes (L.D.) ou linearmente 
independentes (L.I.) no intervalo dado: 
a) x+1 e x-1 , (0<x<1) 
b) sen2x e senx.cosx , qualquer intervalo 
c) ex e x.e2x , (0<x<1) 
Gabarito: L.I. 
L.D. 
L.I. 
 
2. Mostre que y = (C1 + C2.x).e
x é uma solução geral de y’’ – 2y’ + y = 0 em qualquer 
intervalo. 
 
3. Encontre o Wronskiano das seguintes bases: 
a) eax e ebx , a≠b 
b) e-kx/2-cosx e e-kx/2.senx 
c) cos x e sem x 
Gabarito: (b-a) eax+bx 
e-kx 
 
 
4. Considere a equação diferencial 
0''3'''  yxy
 e o conjunto de soluções desta 
equação y1= 1; y2= x e y3= x
-1 . Encontre a solução geral. 
Gabarito: C1 + C2x +C3x
-1 
 
5. Considere a equação diferencial 
06'11''6'''  yyyy
 e o conjunto de 
soluções desta equação y1= e
x; y2= e
2x e y3= e
3x. Encontre a solução geral. 
Gabarito: C1 e
x + C2 e
2x +C3 e
3x