Sintonia do compensador PID

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Sintonia do compensador PID
DAELN - UTFPR - Controle I
Paulo Roberto Brero de Campos
0.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo sera´ estudado um problema muito comum na indu´stria que consiste em
fazer o ajuste dos paraˆmetros, ou sintonia, do compensador PID.
0.2 Informac¸o˜es teo´ricas
Um dos compensadores mais utilizados na indu´stria e´ o PID devido a` sua simplicidade,
facilidade na sintonia dos paraˆmetros e atendimento das especificac¸o˜es.
Na figura 1 e´ mostrada a estrutura de um compensador PID. Ele e´ formado por um
compensador proporcional (P), um compensador integral (I) e um compensador derivativo
(D). O ajuste dos paraˆmetros Kp, Ti e Td e´ chamado sintonia do compensador PID. A func¸a˜o
de transfereˆncia do PID e´ dada por: GPID = KP (1 +
1
Tis
+ Tds).
Figura 1: Estrutura de um compensador PID
Pode-se trabalhar com os elementos tambe´m de forma isolada, como por exemplo: a)
i
proporcional: KP ; b) proporcional + integral: KP +
KI
s
; c) proporcional + derivativo:
KP +Kds; d) integral:
KI
s
.
0.3 Representac¸o˜es do PID
Existem diversas formas de se representar implementar o compensador PID, sendo que
algumas sa˜o mostradas a seguir:
1. Paralelo Ideal: u(t) = Kpe(t) +
Kp
Tr
∫
e(t)dt+KpTd
de(t)
dt
;
2. Formato ISA: u(t) = Kp[e(t) +
1
Tr
∫
e(t)dt+ Td
de(t)
dt
];
3. Realizac¸a˜o pra´tica, que ale´m do termo derivativo inclui um filtro passa-baixa para
reduzir amplificac¸a˜o do ru´ıdo. Tn representa a constante de tempo do filtro: U(s) =
(KP +
KI
s
+ Kds
1+Tns
)E(s);
4. U(s) = (KP +
KI
s
+Kds)E(s);
5. U(s) = (P + I
s
+Ds)E(s);
6. Formato se´rie: U(s) = Kc[1 +
1
Tis
][1 + Tds)]E(s);
Usando-se apenas a componente proporcional, o erro em regime depende do valor de Kp,
quanto maior Kp menor sera´ o erro em regime. Um ganho Kp elevado resulta em grandes
alterac¸o˜es na sa´ıda para uma dada alterac¸a˜o no erro. Um ganho baixo implica que a ac¸a˜o
de controle sera´ pequena. O componente proporcional consiste essencialmente num ganho
ajusta´vel.
O componente integral, ao adicionar um po´lo na origem da func¸a˜o de transfereˆncia do
controlador, elimina o erro estaciona´rio, mas aumenta o tempo de acomodac¸a˜o e piora a
estabilidade relativa, o que usualmente e´ indeseja´vel.
A adic¸a˜o do modo derivativo permite melhorar o tempo de acomodac¸a˜o, mas resulta num
controlador sens´ıvel a ru´ıdos e variac¸o˜es dos paraˆmetros.
Existem diversas formas de se implementar o compensador PID em um processo. A forma
tradicional e´ mostrada na figura 2. Outras configurac¸o˜es sera˜o vistas nas pro´ximas sec¸o˜es.
SP significa Setpoint, e e´ o valor de refereˆncia que o processo deve atingir. PV significa
ii
Varia´vel do processo, e e´ o valor que a sa´ıda do processo apresenta. Offset significa o
erro em regime permanente. MV significa Varia´vel Manipulada, e´ a varia´vel sobre a qual
o controlador atua para controlar o processo.
Figura 2: Sistema realimentado com PID
0.3.1 Regras de sintonia do PID de Ziegler-Nichols para sistemas
cont´ınuos
Chama-se sintonia de um compensador PID ao ca´lculo dos paraˆmetros do compensador,
que sa˜o Kp, Ti e Td.
As regras de sintonia de compensadores teˆm um forte componente emp´ırico. Elas se
aplicam a processos tipo passa-baixa.
Quando o modelo do processo e´ conhecido, e´ mais adequado fazer o projeto utilizando
te´cnicas de controle como Lugar das Ra´ızes, resposta frequencial e outras te´cnicas, para
encontrar os paraˆmetros mais adequados.
Para processos onde o modelamento exato da planta e´ muito dif´ıcil, as regras de sintonia
ajudam a obter uma resposta otimizada.
As regras de sintonia de Ziegler-Nichols pretendem obter uma raza˜o de decaimento de
1/4 na resposta em malha fechada, conforme mostrado na figura 3.
Figura 3: Taxa de decaimento da resposta
Este processo apresentara´ um valor de ultrapassagem a uma excitac¸a˜o degrau em torno
de 10%− 60%. Na me´dia o valor de ultrapassagem e´ de 25%. Isto equivale a um ξ = 0, 3.
iii
No processo de sintonia de compensadores PID, o primeiro passo e´ identificar a planta.
Normalmente a planta possui uma estrutura complexa, mas ela pode ser aproximada a um
processo de primeira ou segunda ordem. Para as ana´lises feitas nesta apostila, a planta sera´
aproximada a um processo de primeira ordem.
Identificac¸a˜o da planta em malha aberta
Aplicando-se um degrau na entrada do processo a ser controlado, em malha aberta,
pode-se identificar o comportamento do processo atrave´s da forma do sinal de sa´ıda. Para
este caso pode-se obter duas situac¸o˜es: a) sistema com comportamento na˜o integrativo e b)
sistema com comportamento integrativo.
a) Sintonia PID para sistemas na˜o integrativos
Para este tipo de sistema a resposta pode ser modelada como um sistema de primeira
ordem, sem componente integrativo, com atraso Y (s)
U(s)
= KEe
−Ls
1+Ts
, onde U(s) = degrau unita´rio.
As regras de Ziegler-Nichols permitem calcular o valor dos paraˆmetros a serem aplicados
ao controlador PID. Elas sa˜o mostradas na tabela 1.
Tipo de controlador Func¸a˜o de transfereˆncia Kp Ti Td
P Kp
T
KL
ma´ximo 0
PI Kp(1 +
1
Tis
) 0,9T
KL
L
0,3
0
PID Kp(1 +
1
Tis
+ Tds)
1,2T
KL
2L 0, 5L
Tabela 1: Regras Ziegler-Nichols para sistemas na˜o integrativos
Na figura 4 e´ mostrado como e´ feita a identificac¸a˜o do sistema e qual tipo de curva e´
obtida. L e´ o atraso de transporte (tempo morto) do processo, T e´ a constante de tempo do
processo e K e´ o ganho do processo em malha aberto, isto e´ K = Y (s)/U(s) = KE/U . Se o
sinal de entrada for um degrau unita´rio, U = 1 e K = KE.
b) Sintonia PID para sistemas com comportamento integrativo
Aproxima-se a resposta do processo como um atraso e um integrador. Na figura 5 e´
mostrada a resposta a um degrau unita´rio. A func¸a˜o de transfereˆncia do sistema a ser
identificado e´ dada por: Y (s)
U(s)
= KEe
−Ls
TGs
iv
Figura 4: Curva em forma de S
Figura 5: Resposta para um sistema integrativo
v
Para se determinar os paraˆmetros do compensador PID utiliza-se as regras mostradas na
tabela 2.
Tipo de controlador Func¸a˜o de transfereˆncia Kp Ti Td
P Kp
1
KL
TG
ma´ximo 0
PI Kp(1 +
1
Tis
) 0,9KL
TG
L
0,3
0
PID Kp(1 +
1
Tis
+ Tds)
1,2
KL
TG
2L 0, 5L
Tabela 2: Regras Ziegler-Nichols para sistemas integrativos
Sintonia PID pelo me´todo em malha fechada
Para um sistema em malha fechada, os valores dos ganhos integral e derivativo (Ki e Kd)
sa˜o fixados em zero, e aumenta-se o ganho ate´ o limite de estabilidade, a partir do qual o
sistema em malha fechada comec¸a a oscilar.
Determina-se o valor do ganho Kcr que torna o sistema oscilato´rio e determina-se o
per´ıodo de oscilac¸a˜o Pcr, conforme mostrado na figura 6.
onde:
Pcr=per´ıodo da oscilac¸a˜o mantida (per´ıodo cr´ıtico)
Kcr=ganho limite (ganho cr´ıtico), em que o sistema entra em oscilac¸a˜o
Figura 6: Em malha fechada
Os paraˆmetros do PID sa˜o ajustados conforme as regras mostradas na tabela 3, a partir
de Kcr e Pcr:
vi
Tipo de controlador Func¸a˜o de transfereˆncia Kp Ti Td
P Kp 0, 5Kcr ma´ximo 0
PI Kp(1 +
1
Tis
) 0, 45Kcr
Pcr
1,2
0
PID Kp(1 +
1
Tis
+ Tds) 0, 6Kcr 0, 5Pcr 0, 125Pcr
Tabela 3: Regras Ziegler-Nichols em malha fechada
0.3.2 Construc¸a˜o do bloco derivativo puro D
O controlador derivativo puro na˜o pode ser implementado fisicamente com elementos
passivos R, L, C, pois a func¸a˜o de transfereˆncia tem um zero e nenhum po´lo. Mas pode
ser constru´ıdo com amplificadores operacionais. O derivativo puro e´ um filtro passa-alta e
devido a isto o sistema ficara´ sens´ıvel a ru´ıdos em alta frequeˆncia.
Um compensador derivativo idealtraz diversos problemas. Como sua magnitude cresce
quando a frequeˆncia tende ao infinito, um diferenciador ideal produz uma amplificac¸a˜o in-
deseja´vel de ru´ıdos em altas frequeˆncias que podem estar presentes na malha fechada. Ale´m
disto, o aumento da banda de passagem associado com o compensador derivativo ideal po-
deria causar instabilidades devido a dinaˆmicas na˜o-modeladas de altas frequeˆncias.
Um compensador derivativo real e´ implementado da seguinte forma: Kds
1+Tns
.
Exemplo: considerando um compensador PD, o compensador derivativo real e´ normal-
mente implementado pela colocac¸a˜o de um po´lo em uma frequeˆncia entre treˆs a dez vezes
maiores do que a frequeˆncia de canto Kp
Kd
, isto e´, ω = NKp
Kd
, onde 3 ≤ N ≤ 10. Assim o
compensador PD f´ısico e´ caracterizado por uma func¸a˜o pro´pria:
CPD(s) =
Kp(s
KD
KP
+1)
(s
KD
NKP
+1)
0.4 Resumo das caracter´ısticas do PID
As ac¸o˜es do PID podem ser vistas como sendo comportadas por controladores indepen-
dentes:
1. Um controlador proporcional Kp ira´ reduzir o tempo de subida e ira´ reduzir, mas na˜o
eliminar, o erro em regime permanente.
2. Um controlador integral Ki ira´ eliminar o erro em regime permanente, mas ira´ piorar
a resposta transito´ria.
vii
3. Um controlador derivativo Kd tera´ o efeito de aumentar a estabilidade do sistema,
reduzindo o sobressinal, e melhorando a resposta transito´ria.
Os efeitos de cada elemento do controlador PID sa˜o mostrados na tabela abaixo:
Tempo de
subida
Sobressinal Tempo de aco-
modac¸a˜o
Erro em regime
permanente
Proporcional Diminui Aumenta Pequenas mu-
danc¸as
Diminui
Integral Diminui Aumenta Aumenta Elimina
Derivativo Pequenas
mudanc¸as
Diminui Diminui Pequenas mu-
danc¸as
Tabela 4: Resumo das ac¸o˜es do PID
Note que estas correlac¸o˜es podem na˜o ser exatamente precisas, porque Kp, Ki e Kd
sa˜o dependentes de cada um. De fato, mudando uma destas varia´veis, pode-se provocar
mundac¸as nas outras duas. Por isto esta tabela deve ser usada apenas como referencia, na
determinac¸a˜o de Ki, Kp e Kd.
Observac¸a˜o – e´ usual na indu´stria a adoc¸a˜o do conceito de Banda Proporcional (BP)
em substituic¸a˜o a Kp:
MV (t) = 100
BP
(e(t) + Ir
∫
e(t)dt+Dtde(t)
dt
)
Onde, Tempo derivativo= Dt e Taxa integral ou Reset=Ir
viii
	Introdução
	Informações teóricas
	Representações do PID
	Regras de sintonia do PID de Ziegler-Nichols para sistemas contínuos
	Construção do bloco derivativo puro D
	Resumo das características do PID