fatoracao exercicio

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Resolva as equações usando fatoração para determinar as raízes: 
a) 𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0 
b) 𝑦2 − 𝑦 = 2 
c) 𝑧2 + 7𝑧 + 12 = 0 
d) 𝑧2 − 7𝑧 + 12 = 0 
e) 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 0 
f) 2. 𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0 
g) 4. 𝑦2 + 8𝑦 + 3 = 0 
h) 3. 𝑧2 = 2. 𝑧 + 1 
i) 𝑥2 − 25 = 0 
j) 2. 𝑦2 −
9
2
= 0 
 
 
Resultados: 
 
a) A equação 𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0 pode ser fatorada através da busca de dois valores 
cuja soma seja 6 e cujo produto seja 5. Os valores são 1 e 5. Usando estes dois 
valores reescreve-se a equação sendo (𝑥 + 5). (𝑥 + 1) = 0. As raízes são 
determinadas pela propriedade do fator zero (se um produto é nulo, então o 
primeiro termo é nulo, ou o segundo termo é nulo) sendo: 𝑥 + 5 = 0 e 𝑥 + 1 = 0. 
Resultando em 𝑥 = −5 e 𝑥 = −1 para as raízes. 
 
b) A equação 𝑦2 − 𝑦 = 2 pode ser reorganizada para 𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0 e usando 
fatoração busca-se dois valores numéricos cuja soma seja -1 e cujo produto seja 
-2. Os valores obtidos são -2 e 1. Reescreve-se (𝑦 − 2). (𝑦 + 1) = 0. Usando a 
propriedade de fator zero obtém-se 𝑦 − 2 = 0 ou 𝑦 = 2 para a primeira raiz, e 
𝑦 + 1 = 0 ou 𝑦 = −1 para a segunda raiz da equação. 
 
c) Para esta equação, busca-se dois valores numéricos que somados resultem 7 e 
em produto resultem 12. Os valores são 3 e 4. Tem-se (𝑧 + 4). (𝑧 + 3) = 0 e 
resultando 𝑧 = −4 e 𝑧 = −3 como soluções. 
 
d) Para esta equação, os valores numéricos em produto, devem resultar 12 e em 
soma -7, sendo então -3 e -4. Tem-se: (𝑧 − 3). (𝑧 − 4) = 0 e a raízes serão: 
 𝑧 = 3 e 𝑧 = 4. 
 
e) A equação 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 0 pode ser fatorada considerando produto notável 
como (𝑦 + 1). (𝑦 + 1) = 0, e as raízes serão iguais e com valores 𝑦 = −1. 
 
f) Na equação 2. 𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0, busca-se dois valores numéricos que somados 
resultem 5 e cujo produto seja 2.3 = 6. Os valores são 2 e 3. Reescrevendo o 
termo central (5x) com estes dois valores tem-se 2x e 3x. A equação torna-se 
 2. 𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3 = 0 Nos dois primeiros termos pode-se evidenciar 2x e nos 
dois últimos termos pode-se evidenciar o 3 sendo: 2𝑥. (𝑥 + 1) + 3(𝑥 + 1) =
0. Observa-se que há um fator comum entre parênteses, o que permite 
reorganizar a equação (𝑥 + 1). (2𝑥 + 3) = 0. O primeiro fator 𝑥 + 1 = 0 
apresenta raiz 𝑥 = −1; e o fator 2𝑥 + 3 = 0 apresenta raiz 𝑥 = −
3
2
. 
 
g) Na equação 𝟒. 𝒚𝟐 + 𝟖𝒚 + 𝟑 = 𝟎 busca-se dois números cujo produto resulte 
3 . 4 = 12 e cuja soma seja 8. Os valores serão 2 e 6, que permitem reescrever 
o termo central da equação como sendo 4. 𝑦2 + 2𝑦 + 6𝑦 + 3 = 0. 
Pode-se agrupar os dois primeiros termos e os dois últimos, evidenciando fatores 
comuns, que resulta em 2𝑦. (2𝑦 + 1) + 3(2𝑦 + 1) = 0. O fator (2𝑦 + 1) é 
comum, o que permite reescrever (2𝑦 + 3). (2𝑦 + 1) = 0. Considerando o 
primeiro fator tem-se 𝑦 = −
3
2
 para a primeira raiz; e o segundo fator resulta 𝑦 =
−
1
2
 para a segunda raiz da equação. 
 
h) Reorganizando a equação 3. 𝑧2 = 2. 𝑧 + 1 tem-se 3. 𝑧2 − 2. 𝑧 − 1 = 0 que pode 
ser fatorada buscando 2 valores numéricos cuja soma seja -2 e cujo produto seja 
igual a -3. Os valores obtidos são -3 e 1. Reescrevendo o termo central tem-se: 
3. 𝑧2 − 3. 𝑧 + 𝑧 − 1 = 0 e agrupando termos tem-se 3. 𝑧(𝑧 − 1) + 1(𝑧 − 1) = 0 
Pode-se reescrever (3𝑧 + 1). (𝑧 − 1) = 0, que permite calcular a primeira raiz 
pelo termo 3𝑧 + 1 = 0 ou 𝑧 = −
1
3
 e a segunda raiz é calculada por 𝑧 − 1 = 0 ou 
𝑧 = 1. 
 
i) Neste caso, usando produto notável, a fatoração de 𝑥2 − 25 = 0 é reescrita 
como sendo (𝑥 + 5). (𝑥 − 5) = 0. As raízes são 𝑥 = −5 e 𝑥 = 5. 
 
j) Para a equação 2. 𝑦2 −
9
2
= 0 multiplica-se por 2 para eliminar a fração, 
resultando 4. 𝑦2 − 9 = 0. que é um produto notável podendo ser reescrito como 
(2𝑦 + 3). (2𝑦 − 3) = 0. O primeiro fator resulta na raiz 𝑦 = −
3
2
 e o segundo fator 
resulta 𝑦 =
3
2
 para a raiz.