DEFINIÇÃO DE DERIVADAS PARCIAS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Prévia do material em texto

DEFINIÇÃO DE DERIVADAS PARCIAS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
Seja f uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são fx e fy , 
respectivamente, definidas por: 
 
 
 
 
Desde que os limites existam 
 
Outras notações para derivadas parciais, se z = f(x,y), temos: 
 
 
 
Exercícios 
Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem (zx e zy), usando a definição, das 
funções abaixo: 
1) z = 5x2 -7xy-2y2. 2) z=4 – x2 – 2y2. 3) z=x3 +x2 y3 -2y2. 
 
Regras de derivação para funções de duas variáveis. 
 
Sejam u=f(x,y) e v=g(x,y): 
Regra da soma: 
x
v
x
u
)vu(
x 







 
Regra do Produto: 
x
u
v
x
v
u)uv(
x 







 
Regra do Quociente: 
2v
x
v
u
x
u
v
v
u
x












 
 ou 
x
)y,x(f)y,xx(f
lim)y,x(f
h
)y,x(f)y,hx(f
lim)y,x(f
x
x
h
x





 00
y
)y,x(f)yy,x(f
lim)y,x(f
h
)y,x(f)hy,x(f
lim)y,x(f
y
y
h
y





 00
 ou 
fD
y
z
y
)y,x(f
y
f
)y,x(f yy 









fD
x
z
x
)y,x(f
x
f
)y,x(f xx 









Regra da Potência: 
x
u
un)u(
x
nn




 1
 
 
Derivadas de funções usuais:
x
u
ee
x
;
x
u
)u(Cos)u(Sen
x
;
x
u
)u(Sen)u(Cos
x
uu















 
 
Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais de f(x,y) 
 
Supondo f: D2 , z = f(x,y) admite derivadas parciais em (x0,y0)  D. 
Para y= y0 temos que f(x, y0) é uma função de uma variável cujo gráfico é 
uma curva C1, resultante da interseção da superfície z=f(x,y) com o plano y= 
y0. 
 
A inclinação da reta tangente à curva C1 resultante da interseção de 
z=f(x,y) com o plano y= y0, é dada por: 
x
)yx(f
tg ,


 00 
 
 
Da mesma forma, temos a inclinação da reta tangente à curva C2, 
resultante da interseção de z=f(x,y) com o plano x= x0, dada por: 
y
)yx(f
tg ,


 00 
 
 
 
Exercícios 
1) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da 
superfície z=x2+y2 com o plano x = 1, no ponto (1, 2, 5). 
2) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da 
superfície z=16-x2-y2 com o plano y = 2, no ponto (1, 2, 11). 
3) 
3).- ,12 (1, ponto no 1 xplano o com 9y 
2
1
superfície da interseção de curva à tangente reta da ção inclina a e3)Determin
 3636 22 x
 
4) Se f(x,y) = 4 - x2- - 2y2, ache fx(1, 1) e fy(1, 1) e interprete esses números 
como inclinações. 
5) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da 
superfície z=6-x2-y2 com o plano x = 2, no ponto (2, 1, 1), em seguida, 
determine a equação da curva de interseção, por último, determine a equação 
da reta tangente á superfície.. 
 
Livros consultados 
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo B: funções de várias variáveis, 
integrais duplas e triplas. São Paulo, MAKRON Books, 2006. 
 
STEWART, J. Cálculo. Vol 2 – 5 ed. São Paulo: Pineira Thomson Learning, 2006. 
 
THOMAS, G. B., Cálculo, vol. 2, 11a ed., Addison Wesley, São Paulo, 2009.